向量難題附加解析

第5頁（共11頁）2016年02月12日高中數(shù)學(xué)組卷一．選擇題（共4小題）1．（2015?天津校級一模）在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，P為EF上的任一點(diǎn)，實數(shù)x，y滿足，設(shè)△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S1，S2，S3，記，則λ2?λ3取到最大值時，2x+y的值為（）A．﹣1 B．1 C． D．2．（2015?哈爾濱校級三模）已知O為正三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，若△OAB的面積與△OAC的面積比值為3，則λ的值為（）A． B．1 C．2 D．33．（2014?安慶三模）如圖所示，設(shè)P為△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，并且=+，則△ABP與△ABC的面積之比等于（）A． B． C． D．4．（2013?重慶）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，則||的取值范圍是（）A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]二．填空題（共6小題）5．（2011?天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動點(diǎn)，則的最小值為．6．（2012?湖南）如圖，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP=3，則=．7．（2014?余杭區(qū)校級模擬）如圖，ABCD是邊長為4的正方形，動點(diǎn)P在以AB為直徑的圓弧APB上，則的取值范圍是．8．（2014?韶關(guān)模擬）已知AD是△ABC的中線，若∠A=120°，，則的最小值是．9．（2010?武昌區(qū)模擬）△ABC的面積為1，，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且，則△BCP的面積為．10．（2014?江蘇）如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，?=2，則?的值是．

【點(diǎn)評】三角形面積性質(zhì)：同（等）底同（等）高的三角形面積相等；同（等）底三角形面積這比等于高之比；同（等）高三角形面積之比等于底之比．4．（2013?重慶）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，則||的取值范圍是（）A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用；平面向量的基本定理及其意義．【專題】壓軸題；平面向量及應(yīng)用．【分析】建立坐標(biāo)系，將向量條件用等式與不等式表示，利用向量模的計算公式，即可得到結(jié)論．【解答】解：根據(jù)條件知A，B1，P，B2構(gòu)成一個矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)|AB1|=a，|AB2|=b，點(diǎn)O的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），由=1，得，則∵||＜，∴∴∴∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1，∴y2≤1同理x2≤1∴x2+y2≤2②由①②知，∵||=，∴＜||≤故選D．【點(diǎn)評】本題考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力，考查學(xué)生的計算能力，屬于難題．二．填空題（共6小題）5．（2011?天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動點(diǎn)，則的最小值為5．【考點(diǎn)】向量的模．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，利用解析法求解，以直線DA，DC分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），設(shè)P（0，b）（0≤b≤a），求出，根據(jù)向量模的計算公式，即可求得，利用完全平方式非負(fù)，即可求得其最小值．【解答】解：如圖，以直線DA，DC分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）設(shè)P（0，b）（0≤b≤a）則=（2，﹣b），=（1，a﹣b），∴=（5，3a﹣4b）∴=≥5．故答案為5．【點(diǎn)評】此題是個基礎(chǔ)題．考查向量在幾何中的應(yīng)用，以及向量模的求法，同時考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力．6．（2012?湖南）如圖，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP=3，則=18．【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】計算題；壓軸題．【分析】設(shè)AC與BD交于O，則AC=2AO，在RtAPO中，由三角函數(shù)可得AO與AP的關(guān)系，代入向量的數(shù)量積=||||cos∠PAO可求【解答】解：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，則AC=2AO∵AP⊥BD，AP=3，在Rt△APO中，AOcos∠OAP=AP=3∴||cos∠OAP=2||×cos∠OAP=2||=6，由向量的數(shù)量積的定義可知，=||||cos∠PAO=3×6=18故答案為：18【點(diǎn)評】本題主要考查了向量的數(shù)量積的定義的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)規(guī)律：AC×cos∠OAP=2×AOcos∠OAP=2AP．7．（2014?余杭區(qū)校級模擬）如圖，ABCD是邊長為4的正方形，動點(diǎn)P在以AB為直徑的圓弧APB上，則的取值范圍是[0，16]．【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】計算題；綜合題；壓軸題．【分析】以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立如圖坐標(biāo)系，可得C（2，4），D（﹣2，4），P（2cosα，2sinα），得到、坐標(biāo)，用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式化簡，得=16﹣16sinα，再結(jié)合α∈[0，π]，不難得到的取值范圍．【解答】解：以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立如圖坐標(biāo)系則圓弧APB方程為x2+y2=4，（y≥0），C（2，4），D（﹣2，4）因此設(shè)P（2cosα，2sinα），α∈[0，π]∴=（2﹣2cosα，4﹣2sinα），=（﹣2﹣2cosα，4﹣2sinα），由此可得=（2﹣2cosα）（﹣2﹣2cosα）+（4﹣2sinα）（4﹣2sinα）=4cos2α﹣4+16﹣16sinα+4sin2α=16﹣16sinα化簡得=16﹣16sinα∵α∈[0，π]，sinα∈[0，1]∴當(dāng)α=0或π時，取最大值為16；當(dāng)α=時，取最小值為0．由此可得的取值范圍是[0，16]故答案為：[0，16]【點(diǎn)評】本題給出正方形內(nèi)半圓上一個動點(diǎn)，求向量數(shù)量積的取值范圍，著重考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和圓的參數(shù)方程等知識，屬于中檔題．8．（2014?韶關(guān)模擬）已知AD是△ABC的中線，若∠A=120°，，則的最小值是1．【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用．【專題】壓軸題；平面向量及應(yīng)用．【分析】利用向量的數(shù)量積公式，及三角形中線向量的表示，利用基本不等式，即可求的最小值．【解答】解：∵=||||cosA，∠A=120°，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴||||=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵=（+），∴||2=（||2+||2+2?）=（||2+||2﹣4）≥（2||||﹣4）=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴min=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查向量的數(shù)量積，基本不等式，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．9．（2010?武昌區(qū)模擬）△ABC的面積為1，，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且，則△BCP的面積為．【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用．【專題】計算題；壓軸題．【分析】在△ABC中，作出向量，由向量的幾何意義，三角形的面積公式，且△ABC的面積為1，可以求出△BCP的面積．【解答】解：如圖，在△ABC中，作出，平移，其中，△ABC的面積為：S==sinA=1，而△ADE，△CEP，平行四邊形BDEP的面積和為：=||?sinA++==，所以△BCP的面積為：1﹣=．本題也可以通過左移點(diǎn)P：個單位，下移個單位，到點(diǎn)A．知△BCP邊BC上的高h(yuǎn)2是△ABC邊BC上的高h(yuǎn)1的，即△BCP的面積是△ABC的．故答案為：．【點(diǎn)評】本題通過作圖得出向量的關(guān)系，從而求出三角形的面積．10．（2014?江蘇）如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，?=2，則?的值是22．【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析