專題04 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（原卷版）

【原卷版】專題04冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)第4章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)【課本目錄】4.1冪函數(shù)：4.1.1冪函數(shù)的定義與圖像；4.1.2冪函數(shù)的性質(zhì)；4.2指數(shù)函數(shù)：4.2.1指數(shù)函數(shù)的定義與圖像；4.2.2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；4.3對數(shù)函數(shù)：4.3.1對數(shù)函數(shù)的定義與圖像；4.3.2對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；本章內(nèi)容提要1.冪函數(shù)的定義域由指數(shù)的不同，冪函數(shù)的定義域是不同的.特別地，當(dāng)指數(shù)取有理數(shù)時（為正整數(shù)，為整數(shù)），冪函數(shù)的定義域是使得根式有意義的的全體.2.冪函數(shù)有單調(diào)性：當(dāng)時，它在上嚴(yán)格遞增；而當(dāng)時，它在上嚴(yán)格遞減.3.指數(shù)函數(shù)（，）的定義域是全體實數(shù).4.指數(shù)函數(shù)（，）有單調(diào)性；當(dāng)時，它在上嚴(yán)格遞增；而當(dāng)時，它在上嚴(yán)格遞減.5.對數(shù)函數(shù)的定義域是正數(shù)全體.6.對數(shù)函數(shù)有單調(diào)性：當(dāng)時，它在上嚴(yán)格遞增；而當(dāng)時，它在上嚴(yán)格遞減.題型1、對冪函數(shù)的概念的理解例1、（1）函數(shù)f(x)＝(a－b)＋b－3是冪函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A．f(a)>f(b) B．f(a)<f(b)C．f(a)＝f(b) D．以上都不對（2）已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是冪函數(shù)，求m，n的值．【說明】理解冪函數(shù)的概念、判斷及應(yīng)用：1、判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xα(α為常數(shù))的形式，需滿足：①指數(shù)為常數(shù)，②底數(shù)為自變量，③xαy＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函數(shù)都不是冪函數(shù)；2、若一個函數(shù)為冪函數(shù)，則該函數(shù)也必具有y＝xα(α為常數(shù))這一形式；題型2、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)例2、（1）若點(eq\r(2)，2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))在冪函數(shù)g(x)的圖象上，問當(dāng)x為何值時，①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)；（2）已知冪函數(shù)y＝xα(α∈R)的圖象過點(2,8)，下列說法正確的序號是①函數(shù)y＝xα的圖象過原點；②函數(shù)y＝xα是偶函數(shù)；③函數(shù)y＝xα是單調(diào)減函數(shù)；④函數(shù)y＝xα的值域為R；【說明】1、冪函數(shù)圖象的畫法：①確定冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象：先根據(jù)α的取值，確定冪函數(shù)y＝xα在第一象限內(nèi)的圖象．②確定冪函數(shù)在其他象限內(nèi)的圖象：根據(jù)冪函數(shù)的定義域及奇偶性確定冪函數(shù)f(x)在其他象限內(nèi)的圖象．2、對于冪函數(shù)圖象只要掌握住在第一象限內(nèi)三條線把第一象限劃分為六個區(qū)域，即x＝1，y＝1，y＝x所分區(qū)域．根據(jù)α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定．3、在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較．4、一般冪函數(shù)的圖象特征：（1）所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)；（2）當(dāng)α>0時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增．特別地，當(dāng)α>1時，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0<α<1時，冪函數(shù)的圖象上凸；（3）當(dāng)α<0時，冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減；（4）冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱；（5）在第一象限，作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點從下到上的順序，冪指數(shù)按從小到大的順序排列；題型3、冪函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3、（1）給出冪函數(shù)：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝eq\r(x)；⑤f(x)＝eq\f(1,x)；其中滿足條件f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))>eq\f(f(x1)＋f(x2),2)(x1>x2>0)的函數(shù)的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4（2）已知冪函數(shù)y＝x3m－9(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，求滿足的的取值范圍；【說明】本題通過冪函數(shù)的圖象特征抽象出冪函數(shù)的奇偶性，根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)的值，得到冪函數(shù)的解析式，然后利用其單調(diào)性解不等式，在此過程中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)抽象與直觀想象的核心素養(yǎng)；解決與冪函數(shù)有關(guān)的綜合性問題的方法：首先要考慮冪函數(shù)的概念，對于冪函數(shù)y＝xα(α是常數(shù))，由于α的取值不同，所以相應(yīng)冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性也不同；同時，注意分類討論思想的應(yīng)用；題型4、對指數(shù)函數(shù)的概念的理解例4、（1）給出下列函數(shù)：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x；其中，指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是（）A．0B．1C．2D．4（2）若函數(shù)y＝(2a－1)x(x是自變量)是指數(shù)函數(shù)，則a的取值范圍是【說明】判斷一個函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)的方法：1、底數(shù)的值是否符合要求；2、ax前的系數(shù)是否為1；3、指數(shù)是否符合要求；題型5、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)例5、（1）函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)>1，b<0B．a(chǎn)>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0（2）直線y＝2a與函數(shù)y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是________．【說明】應(yīng)用指數(shù)函數(shù)圖象的4個技巧：1、畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點：(1，a)，(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2、已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象一般是取特殊點，判斷所給的圖象是否過這些點，若不滿足，則排除．3、對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到相應(yīng)函數(shù)的圖象．當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時，應(yīng)注意分類討論；4、有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往要作出相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，運用數(shù)形結(jié)合的思想求解；題型6、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用例6、（1）求：函數(shù)：f(x)＝的嚴(yán)格單調(diào)遞增、遞減區(qū)間；【說明】1、求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先求出函數(shù)的定義域，然后把函數(shù)分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通過考察f(u)和φ(x)的單調(diào)性，利用同增異減原則，求出y＝f(φ(x))的單調(diào)性；2、關(guān)于指數(shù)型函數(shù)y＝af(x)(a>0，且a≠1)的單調(diào)性由兩點決定，一是底數(shù)a>1還是0<a<1；二是f(x)的單調(diào)性，它由兩個函數(shù)y＝au，u＝f(x)復(fù)合而成；（2）已知<ax＋6(a>0，a≠1)，求x的取值范圍；【說明】1、利用指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性解不等式，需將不等式兩邊都湊成底數(shù)相同的指數(shù)式；2、解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依據(jù)是指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性，要養(yǎng)成判斷底數(shù)取值范圍的習(xí)慣，若底數(shù)不確定，就需進行分類討論，即af(x)>ag(x)?f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)；題型7、對對數(shù)函數(shù)的概念的理解例7、（1）下列函數(shù)表達式中，是對數(shù)函數(shù)的有()①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝lnx；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1).A.1個 B.2個 C.3個 D.4個（2）若函數(shù)f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是對數(shù)函數(shù)，則實數(shù)a＝________.【說明】判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的方法：1、系數(shù)：對數(shù)符號前面的系數(shù)為1；2、底數(shù)：對數(shù)的底數(shù)是不等于1的正常數(shù)；3、真數(shù)：對數(shù)的真數(shù)僅有自變量；題型8、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)例8、（1）當(dāng)a>1時，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝a－x與y＝logax的圖象為()（2）作出下列函數(shù)的大致圖象：①y＝|log2x|；②)y＝|log2(x－1)|；③y＝|log2(1－x)|.；【說明】有關(guān)對數(shù)函數(shù)圖象間的變換規(guī)律1、一般地，函數(shù)y＝f(x＋a)＋b(a，b為實數(shù))的圖象是由函數(shù)y＝f(x)的圖象沿x軸向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|個單位長度，再沿y軸向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個單位長度得到的；2、含有絕對值的函數(shù)的圖象是一種對稱變換，一般地，y＝f(|x－a|)的圖象是關(guān)于直線x＝a對稱的軸對稱圖；.題型9、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用例9、（1）已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為()A．(0,1) B．(1,2)C．(0,2) D．[2，＋∞)【說明】形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法：1、先求g(x)>0的解集(也就是函數(shù)f(x)的定義域)；2、當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時，在g(x)>0這一前提下，g(x)的單調(diào)增區(qū)間是f(x)的單調(diào)增區(qū)間；g(x)的單調(diào)減區(qū)間是f(x)的單調(diào)減區(qū)間；3、當(dāng)?shù)讛?shù)0<a<1時，在g(x)>0這一前提下，g(x)的單調(diào)增區(qū)間是f(x)的單調(diào)減區(qū)間，g(x)的單調(diào)減區(qū)間是f(x)的單調(diào)增區(qū)間；（2）解不等式：loga(2x－5)>loga(x－1)；【說明】對數(shù)不等式的三種考查類型及解法：1、形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0<a<1兩種情況進行討論；2、形如logax>b的不等式，應(yīng)將b化為以a為底數(shù)的對數(shù)式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的單調(diào)性求解；3、形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用換底公式化為同底的對數(shù)進行求解，或利用函數(shù)圖象求解；題型10、冪、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的初步應(yīng)用例10、（1）一個人以6米/秒的速度去追停在交通燈前的汽車，當(dāng)他離汽車25米時，交通燈由紅變綠，綠燈時長超過5s，汽車以1米/秒2的加速度勻加速開走，那么（）A．人可在7秒內(nèi)追上汽車B．人可在10秒內(nèi)追上汽車C．人追不上汽車，其間距最少為5米D．人追不上汽車，其間距最少為7米（2）春天來了，某池塘中的荷花枝繁葉茂，已知每一天新長出荷葉覆蓋水面面積是前一天的2倍，若荷葉20天可以完全長滿池塘水面，當(dāng)荷葉剛好覆蓋水面面積一半時，荷葉已生長了________天．題型11、函數(shù)的圖象的作法例11、作出下列函數(shù)的大致圖象．（1）y＝x－|x－1|；（2）y＝eq\f(2x－1,x－1)；（3）y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|；（4）y＝|log2x－1|.【說明】1、作函數(shù)圖象的兩種常用方法：（1）直接法：當(dāng)函數(shù)表達式(或變形后的表達式)是熟悉的基本初等函數(shù)時，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征直接作出；（2）圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個基本初等函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序；2、函數(shù)圖象對稱變換的相關(guān)結(jié)論（1）y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝m對稱的圖象是函數(shù)y＝f(2m－x)的圖象；（2）y＝f(x)的圖象關(guān)于直線y＝n對稱的圖象是函數(shù)y＝2n－f(x)的圖象；（3）y＝f(x)的圖象關(guān)于點(a，b)對稱的圖象是函數(shù)y＝2b－f(2a－x)的圖象；題型12、辨識函數(shù)圖象與用好函數(shù)圖象例12、（1）(1)函數(shù)y＝eq\f(e|x|,4x)的圖象可能是（）【說明】已知函數(shù)解析式選圖或知圖選函數(shù)解析式時的解題技巧：根據(jù)函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)的圖象特征的對應(yīng)關(guān)系切入．具體如下：函數(shù)性質(zhì)函數(shù)圖象特征函數(shù)的定義域圖象的左右位置函數(shù)的值域圖象的上下位置函數(shù)的奇偶性圖象的對稱性函數(shù)的單調(diào)性圖象的變化趨勢函數(shù)的周期性圖象的循環(huán)往復(fù)函數(shù)的零點圖象與x軸的交點情況函數(shù)經(jīng)過的定點、極值點等函數(shù)圖象上的特殊點（2）已知函數(shù)f(x)＝x|x|－2x，則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(0，＋∞)B．f(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(－∞，1)C．f(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(－1,1)D．f(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(－∞，0)【說明】對于已知解析式或易畫出在給定區(qū)間上的圖象的函數(shù)，常借助圖象研究其性質(zhì)：1、從圖象的最高點、最低點分析函數(shù)的最值、極值；2、從圖象的對稱性分析函數(shù)的奇偶性；3、從圖象的走向趨勢分析函數(shù)的單調(diào)性、以及以后的函數(shù)的周期性；1、構(gòu)成集合的對象必須是“確定”的題型13、有關(guān)冪、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的新穎題新高考下，高考數(shù)學(xué)命題遵循課程標(biāo)準(zhǔn)，深化基礎(chǔ)性考查，注重數(shù)學(xué)本質(zhì)與創(chuàng)造性思維，深入考查核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力，加強情境化設(shè)計，增強題目的開放性．新情境、新設(shè)問、新題型等都成為新高考的一個特色．機械刷題、套路解題已遠遠達不到新高考的要求，減少刷題、減少套路，重思維、提能力；例13、已知g(x)為偶函數(shù)，h(x)為奇函數(shù)，且滿足g(x)－h(huán)(x)＝2x.若存在x∈[－1,1]，使得不等式m·g(x)＋h(x)≤0有解，則實數(shù)m的最大值為（）A．eq\f(3,5)B．－eq\f(3,5)C．1D．－1例14、設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，若滿足：①f(x)在D內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)；②存在[m，n]?D(n>m)，使得f(x)在[m，n]上的值域為[m，n]，那么就稱y＝f(x)是定義域為D的“成功函數(shù)”．若函數(shù)g(x)＝loga(a2x＋t)(a>0且a≠1)是定義域為R的“成功函數(shù)”，則t的取值范圍是（）A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))例15、若ea＋πb≥e－b＋π－a，則a與b的關(guān)系式為________．例16、設(shè)f(x)＝2－x，g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，h(x)的圖象由g(x)的圖象向右平移1個單位長度得到，則h(x)＝.例17、已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x＞0，,2|x|，x≤0，))則方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解的個數(shù)是________．【說明】利用函數(shù)的圖象解不等式的基本思路：當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題或函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合法求解；題型14、有關(guān)冪、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的綜合題例18、已知函數(shù)f(x)＝2x－x－1，則不等式f(x)＞0的解集是（）A．(－1,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(0,1)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)例19、已知函數(shù)f(x)＝a|x＋b|(a＞0，且a≠1，b∈R)．（1）若f(x)為偶函數(shù)，求b的值；（2）若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，試求a，b應(yīng)滿足的條件．【說明】與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，要弄清復(fù)合函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成，要注意數(shù)形結(jié)合思想的運用；例20、已知函數(shù)f(x)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋a)＋1))是奇函數(shù)，a∈R；（1）求a的值；（2）對任意的x∈(－∞，0)，不等式f(2x＋1)>log2(m－2x)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【說明】本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及不等式恒成立問題，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題是關(guān)鍵，另外要注意對數(shù)的真數(shù)部分也要恒大于零；一、填空題（共10小題，每小題4分，滿分40分）1、在函數(shù)y＝eq\f(1,x2)，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，冪函數(shù)的個數(shù)為(個)2、若函數(shù)f(x)是冪函數(shù)，且滿足f(4)＝16，則f(－4)的值等于________．3、函數(shù)y＝1－2x，x∈[0,1]的值域是4、若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))|x－2|，則f(x)的嚴(yán)格單調(diào)遞減區(qū)間是5、已知函數(shù)f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[－1,1]上恒有f(x)＜2，則實數(shù)a的取值范圍為6、若函數(shù)f(x)＝loga(x＋2)＋2(a＞0，且a≠1)的圖象恒過點M，則點M的坐標(biāo)為7、碳14的半衰期為5730年，那么碳14的年衰變率為8、函數(shù)f(x)＝的值域是9、若函數(shù)f(x)＝eq\f(ax－2,x－1)的圖象關(guān)于點(1,1)對稱，則實數(shù)a＝________.10、已知函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是冪函數(shù)，對任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，滿足eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值為負值，則下列結(jié)論可能成立的序號是①a＋b＞0，ab＜0 ②a＋b＜0，ab＞0③a＋b＜0，ab＜0 ④以上都可能二、選擇題（共4小題每小題4分，滿分16分）11、如圖所示，圖中的曲線是冪函數(shù)y＝xn在第一象限的圖象，已知n取±2，±eq\f(1,2)四個值，則相應(yīng)于C1，C2，C3，C4的n依次為（）A．－2，－eq\f(1,2