2022年湖南師大附中高考數(shù)學(xué)一模試卷及答案解析

2022年湖南師大附中高考數(shù)學(xué)一模試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)

條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)

號(hào)涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效。

3、非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在

試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知全集U=R,集合A=3-2Wx<3},B={y|y=2x,x20},則AAB=（）

A.{x|-2?0}B.{x[l<x<3}C.{x|-2?0}D.*|0?3}

1

2.已知角a的終邊與單位圓/+y2=1交于點(diǎn)p（3,和），則cos2a等于（）

A.-iB.C.-D.1

222

3.某學(xué)校為高一年級(jí)排周一上午的課表，共5節(jié)課，需排語文、數(shù)學(xué)、英語、生物、地理

各一節(jié)，要求語文、英語之間恰排1門其它學(xué)科，則不同的排法數(shù)是（）

A.18B.26C.36D.48

4.已知某種垃圾的分解率為v,與時(shí)間/（月）滿足函數(shù)關(guān)系式片M（其中a,b為非零

常數(shù)）.若經(jīng)過12個(gè)月，這種垃圾的分解率為10%,經(jīng)過24個(gè)月，這種垃圾的分解率為

20%,那么這種垃圾完全分解，至少需要經(jīng)過（）（參考數(shù)據(jù)：/g2Po.3.）

A.48個(gè)月B.52個(gè)月C.64個(gè)月D.120個(gè)月

5.騎行是目前很流行的一種綠色健身和環(huán)保出行方式，騎行屬于全身性有氧活動(dòng)、能有效

地鍛煉大腦、心臟等人體器官機(jī)能，它帶給人們的不僅是簡(jiǎn)單的身體上的運(yùn)動(dòng)鍛煉，更

是心靈上的釋放.如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓。

（后輪）的半徑均為/XABE,/XBEC,△EC。均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形.設(shè)點(diǎn)尸

為后輪上一點(diǎn)，則在騎行該自行車的過程中，盛■?麗的最小值為（）

第1頁共25頁

C.12V3D.24

y2

6.橢圓彳+：-=1與777+——=1(0<*<9)關(guān)系為（)

2599-k25-k

A.有相等的長(zhǎng)、短軸B.有相等的焦距

C.有相同的焦點(diǎn)D.有相等的離心率

7.若兩個(gè)正四面體的頂點(diǎn)都是一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體的頂點(diǎn)，則這兩個(gè)正四面體公共部分

的體積為（）

5151

A.—B.-C.——D.-

164246

2

8.將方程siru.-cos^+V3sinx=字的所有正數(shù)解從小到大組成數(shù)列｛切｝,記an=cos（xn+i-

則。1+〃2+…+〃2021=()

C-收

ATC'-6

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

（多選）9.下列說法正確的是（）

A.必然事件與任意事件相互獨(dú)立

B.若事件A、B、C兩兩互斥，則P(AUfiUC)=P(A)+P(B)+P(C)

C.若事件A、B、C兩兩獨(dú)立，則P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

D.線性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線y=bx+a至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)

（多選）10.已知Z1與Z2互為共規(guī)復(fù)數(shù)，下面四個(gè)命題一定是正確的是（）

A.Z1+Z26RB.zi-Z26RC.Z1Z2GRD-tG/?

（多選）11.設(shè)正實(shí)數(shù)m〃滿足2〃+A=l,則（)

1灣的最小值是9

A.而的最大值是二B.

4

]

C.4次+房的最小值為5D.疹+傷的最小值為2

(多選)12.已知函數(shù)/(X)=(x+1)lnx+t(x-1)(ZSRS有3個(gè)零點(diǎn)xi,X2,X3,

第2頁共25頁

則X1+X2+X3的可能取值為()

A.3B.4C.5D.6

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.己知函數(shù)fG)滿足：?f(0)=0；②/?(2-x)=fG)；③在區(qū)間(1,4)上單調(diào)遞

增.寫出一個(gè)滿足以上條件的函數(shù)/(x)=.

14.已知數(shù)列｛“”｝滿足(ln+\—Qn+Cln-1(/22),又｛〃"｝的刖"項(xiàng)和為Sn>若$6=52,則<25

15.如圖，從某個(gè)角度觀察籃球，可以得到一個(gè)對(duì)稱的平面圖形，籃球的外形輪廓為圓O,

將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周

長(zhǎng)八等分，AB=8C=CO,設(shè)該雙曲線的中心在原點(diǎn)，實(shí)軸在y軸上，則該雙曲線的漸

近線方程為.

16.在側(cè)棱長(zhǎng)為2的正三棱錐。-ABC中，DA,DB,DC兩兩垂直，M、E分別為4C、AB

的中點(diǎn)，則三棱錐。-ACE的外接球的表面積為,若P為。M上的動(dòng)點(diǎn)，。是

平面ECD上的動(dòng)點(diǎn)，則AP+PQ的最小值是.

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四、解答題：本題共。6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)已知數(shù)列｛斯｝滿足m=2,n^an+\-n-1)=(n+l)(a?+n)(nGN*).

(1)求證數(shù)列｛黑｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛“"｝的通項(xiàng)公式；

(2)令從產(chǎn)普一,數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為證明：對(duì)于任意的〃6N*,都有。V言.

a

nan+264

18.(12分)已知△4BC中，a,b,c是角A,B,C所對(duì)的邊，asin-=bsinA,且〃=1.

(1)求8；

(2)若AC=BC,在△4BC的邊AB,AC上分別取。，E兩點(diǎn)，使△4OE沿線段OE折

疊到平面BCE后,頂點(diǎn)A正好落在邊BC(設(shè)為點(diǎn)P)上，求此情況下AD的最小值.

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19.（12分）如圖，在幾何體ABCQEF中，四邊形ABC。為等腰梯形，且AB=2CO=2,

NA8C=60°,四邊形ACFE為矩形，且尸8=VLM,N分別為EF,A3的中點(diǎn).

（1）求證：MN〃平面FC&

（2）若直線AF與平面FCB所成的角為60°,求平面AMB與平面MAC所成銳二面角

的余弦值.

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20.（12分）甲、乙、丙、丁四只球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)小組賽（每?jī)蓚€(gè)隊(duì)比賽一場(chǎng)），比賽分三

輪，每輪兩場(chǎng)比賽，第一輪第一場(chǎng)甲乙比賽，第二場(chǎng)丙丁比賽：第二輪第一場(chǎng)甲丙比賽，

第二場(chǎng)乙丁比賽；第三輪甲對(duì)丁和乙對(duì)丙兩場(chǎng)比賽同一時(shí)間開賽，規(guī)定：比賽獲勝的球

隊(duì)記3分，輸?shù)那蜿?duì)記0分，打平兩隊(duì)各記1分.三輪比賽結(jié)束后以積分多少進(jìn)行排名，

積分相同的隊(duì)伍由抽簽決定排名，排名前兩位的隊(duì)伍小組出線.假設(shè)四只球隊(duì)水平相當(dāng)，

1

即每場(chǎng)比賽雙方獲勝、負(fù)、平的概率都為3

（I）三輪比賽結(jié)束后甲的積分記為X,求P（X=3）；

（II）若前二輪比賽結(jié)束后，甲、乙、丙、丁四個(gè)球隊(duì)積分分別為3、3、0、6,問甲能

小組出線的概率.

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21.（12分）如圖，設(shè)Q為x軸的正半軸上的任意一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).過點(diǎn)Q作拋物線

M：b=2px（p>0）的兩條弦4c和BQ,4、。在x軸的同側(cè).

（1）若。為拋物線M的焦點(diǎn)，\QA\+\QD\=S,直線8。的斜率為代，且直線AC和83

的傾斜角互補(bǔ)，求〃的值；

（2）若直線A8、CD.AD,BC分別與x軸相交于點(diǎn)E、F、G、H,求證：\OE]^OF]=\OG\

?\OH\.

c

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22.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=—In(ar+1)(〃W0).

(1)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

xstnx

(2)當(dāng)x>0時(shí)，證明：——e2>x.

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2022年湖南師大附中高考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知全集。=凡集合A={x|-2Wx<3},B={y\y=2x,尤20},則4cB=（）

A.{x\-2<x<0}B.{A-|1<X<3}C.{X|-2WXW0}D.{X|0WXV3}

解：因?yàn)?={x|-2Wx<3},8={九=2",x20}={九21},

則ACB=[1,3）.

故選：B.

]

2.已知角a的終邊與單位圓/+y2=i交于點(diǎn)尸（耳，yo）,則cos2a等于（）

A.一5B.C.-D.1

222

1

解：???角a的終邊與單位圓7+『=1交于尸（3,州），

?，?可得：r=1,cosa=2,

211

?'?cos2a=2cos-a-1=2x-r—1=—0，

故選：A.

3.某學(xué)校為高一年級(jí)排周一上午的課表，共5節(jié)課，需排語文、數(shù)學(xué)、英語、生物、地理

各一節(jié)，要求語文、英語之間恰排1門其它學(xué)科，則不同的排法數(shù)是（）

A.18B.26C.36D.48

解：分兩步如下，

①將語文+1門其它學(xué)科+英語看成一個(gè)整體，共有廢?掰=3X2=6種排法，

②將上面整體和剩余的2門學(xué)科進(jìn)行排列共有尚=6種排法，

二不同的排法數(shù)為6X6=36,

故選：C.

4.已知某種垃圾的分解率為v,與時(shí)間M月）滿足函數(shù)關(guān)系式產(chǎn)出（其中a,b為非零

常數(shù)）.若經(jīng)過12個(gè)月，這種垃圾的分解率為10%,經(jīng)過24個(gè)月，這種垃圾的分解率為

20%,那么這種垃圾完全分解，至少需要經(jīng)過（）（參考數(shù)據(jù)：起2~0.3.）

A.48個(gè)月B.52個(gè)月C.64個(gè)月D.120個(gè)月

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解：由題意可得，解得b=2白，a=0.05,

皿24)=ab"=0.2

1

故v(1)=0.5x(2T2)f,

令v(t)=1,可得(2由t=20,即f=logJ_2O=也空■=畢建。2平薯2=52.

212lg21212192°3

故選：B.

5.騎行是目前很流行的一種綠色健身和環(huán)保出行方式，騎行屬于全身性有氧活動(dòng)、能有效

地鍛煉大腦、心臟等人體器官機(jī)能，它帶給人們的不僅是簡(jiǎn)單的身體上的運(yùn)動(dòng)鍛煉，更

是心靈上的釋放.如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A(前輪)，圓。

(后輪)的半徑均為8，/XABE,/XBEC,力均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形.設(shè)點(diǎn)P

為后輪上一點(diǎn)，則在騎行該自行車的過程中，盛?麗的最小值為()

D.24

解：建立如圖的坐標(biāo)系如圖，

則圓。的方程為/+)2=3,

設(shè)P(V^cos0,百sinG),(0WeW2n),

則A(-8,0),B(-6,2V3).C(-2,2百),

則4C=(6,2V3),BP=(V3cos0+6,V3sin0-2>/3),

則公?麗=(6,2V3).(V3COS0+6,V3sin0-2>/3)=6V3cosG+36+6sin0-12=12

y/31-ji

(——cos04-5sin0)+24=12sin(。+不)+24,

223

Tt777TT

；0W8W2TT,

...當(dāng)sin(0+J)=-1時(shí)，易?麗的取得最小值，最小值為-12+24=12,

故選：B.

第10頁共25頁

x2y2x2y2?

6.橢圓二+—=1與—-+-----=1（0＜攵＜9）關(guān)系為（）

A.有相等的長(zhǎng)、短軸B.有相等的焦距

C.有相同的焦點(diǎn)D.有相等的離心率

X2V2

解：橢圓一+乙=1中，;。=5,b=3,c=4,

259

4

，長(zhǎng)軸是10,短軸是6；焦距是8；焦點(diǎn)坐標(biāo)是（±4,0）；離心率是g.

x2y2

——+——=1（0VAV9）中，

9一k25f

9：a=V25-/C,/?=c=4,

,,_____4

，長(zhǎng)軸是272s一k,短軸是2V9-/c；焦距是8；焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0,±4）；離心率是7卡一丁.

V25—K

2222

???橢圓kx+.y=1與=x+y=1（0VY9）關(guān)系為有相等的焦距.

2599K25K.

故選：B.

7.若兩個(gè)正四面體的頂點(diǎn)都是一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體的頂點(diǎn)，則這兩個(gè)正四面體公共部分

的體積為（）

5151

A.—B.-C.—D.一

164246

解：如圖所示，以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的兩個(gè)不同的正四面體，

它們的公共區(qū)域是一個(gè)以正方體的六個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正八面體，

它的體積U=1x（易2X1=1

故選：D.

第11頁共25頁

、/

8.將方程sinxcosx+V3sin2A=等的所有正數(shù)解從小到大組成數(shù)列{x〃},記〃〃=cos（切+1-物）,

則。1+〃2+…+02021=()

AV3B夜C耳D&

A--TB?一彳C'~-6D--T

解：sinxcosx4-V3sin2x=，，即為-sin2x+店(1-cos2%)

=sin⑵―電+坐=冬

322

即sin(2x—5)V3

~~6f

所以2x—5=arcsin(一絡(luò))+2Kr或2Kr+ir-s/rsin(一電),

kWZ,

47rV3

即2x=與-arcsin—+2Zm或2Znr++Arcsin—,kWZ,

3636

V3V371

而arcsin—<arcsin—=一,

623

所以2x1=與-arcsin—，

J6

c_4兀.聲

=

2x2Q+arcsin,

J6

7TV3

2x3=—arcsin—+2m

566

A/3V373

所以X2-714-arcsin—,cos(%2-xi)=-sin(arcsin—)=—-r-=a\,

X1=2666

7T.陋cos(X2-X1)=sin(arcsin—)=空=42,

X3-X2=5-arcsin—,

乙666

/o

后面的值都是以-理J重復(fù)循環(huán)出現(xiàn)，旦。1+。2=0,。3+。4=0,…,

6

所以a1+6Z2+,,,+?2021=4Z202i=a\=一%",

故選：C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

（多選）9.下列說法正確的是（）

第12頁共25頁

A.必然事件與任意事件相互獨(dú)立

B.若事件A、B、C兩兩互斥，則尸(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)

C.若事件A、B、C兩兩獨(dú)立，則尸(ABC)=P(A)P(B)P(C)

D.線性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線y=bx+a至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)

解：對(duì)于A,必然事件與任意事件都相互獨(dú)立，故力正確，

對(duì)于B,?.?事件A、B、C兩兩互斥，

：.P(ACIB)=0,P(BCC)=0,P(ACC)=0,P(ACBCC)=0,

：.P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AAB)-P(BAC)-P(ADC)+P

(AABCIC)=P(A)+P(B)+P(C),故8正確，

對(duì)于C,事件4、B、C兩兩獨(dú)立，不能推出P(ABC)=P(A)P(8)P(C),

例如：從1,2,3,4中隨機(jī)選出一個(gè)數(shù)字，記事件4="取出的數(shù)字為1或2"，B="

取出的數(shù)字為1或3"，C="取出的數(shù)字為1或4”，

則AB=BC=4C=ABC="取出的數(shù)字為1”，

顯然P(A)=P(B)=P(C)=4=4，

1

P(AB)=P(AC)=P(BC)=P(ABC)=。,

滿足P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),

所以A、B、C兩兩獨(dú)立，但是尸(ABC)WP(A)P(B)P(C),

故C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,線性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線y=bx+a必過樣本中心點(diǎn)，但不一定過樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)中

的任何一個(gè)點(diǎn)，故。錯(cuò)誤.

故選：AB.

(多選)10.已知zi與Z2互為共桅復(fù)數(shù)，下面四個(gè)命題一定是正確的是()

A.Z1+Z26RB.zi-Z2€RC.Z1Z26RD.-6/?

Z2

解：設(shè)zi=a+6i,z2—a-bi,a,b&R,

一一口ooZia+bi

則ZI+Z2ER,ZI-Z2=24’不一定是R,ziz2=(a+bi)(a-bi)=/+Z/wR,—=-------

z2a-bi

(a+bi)2a2-b22ab丁…品皿

-----=工~F~77不一定是頭數(shù)，

(a-bi)(a+bi)a2+b2a2+b2

綜上只有AC正確.

第13頁共25頁

故選：AC.

（多選）11.設(shè)正實(shí)數(shù)。，匕滿足2。+匕=1,則（）

121

A.必的最大值是-B.一+工的最小值是9

4ab

1__

C.4/+戶的最小值為5D.畫+傷的最小值為2

解：正實(shí)數(shù)a,6滿足2a+6=l,

由基本不等式得，l=2a+%22&^，

當(dāng)且僅當(dāng)2a=匕且2a+6=1,即〃=a，〃=細(xì)取等號(hào)，

4L

1

解得，ab<p,A錯(cuò)誤；

O

21212b2Q

一+—=（一+—）（2a+b）=54-—+^>5+4=9,

ababab

i21

當(dāng)且僅當(dāng)。=力=寺時(shí)取等號(hào)此時(shí)一+三取得最小值9,B正確；

Jab

4/+/=（2〃+b）2-4ab=1-4ab>1-4x1當(dāng)且僅當(dāng)2a=b且2o+b=l,即a=7,

oZ4

b=;時(shí)取等號(hào)，

即最小值為MC正確；

（V2a+Vb）2=2a+b+2yj2ab=]+2>j2ab<1+2x工2x*=2,

當(dāng)且僅當(dāng)2a=6且2a+6=1,即a=a，〃=細(xì)取等號(hào)，

4L

所以5+VF的最小值為VL。錯(cuò)誤.

故選：BC.

（多選）12.己知函數(shù)/（x）=（x+1）lnx+t（x-1）（f€R且華0）有3個(gè)零點(diǎn)xi,孫X3,

則X1+X2+X3的可能取值為（）

A.3B.4C.5D.6

解：

第14頁共25頁

函數(shù)的定義域(0,+8),顯然x=l為函數(shù)/(x)的一個(gè)零點(diǎn)，

n

當(dāng)時(shí)，令/(x)=0,則t=。誓”,

令。(%)—(X；y1》,則函數(shù)y=f與函數(shù)y=g(X)在(0,1)U(1,+°°)上有兩個(gè)交

點(diǎn)，

2Znx+1-x.1

g(%)=-----令/i(x)=2lnxH--------%,

(1—x)x

則“(x)=ITT=-x2~J+1=一(*)2VO，

即函數(shù)〃(x)在定義域上為減函數(shù)，

又h(1)=0,則當(dāng)在(0,1)時(shí)，h(x)>0,

g'(x)>0,g(x)單增；

當(dāng)(1,+°°)時(shí)，h(x)<0,g'(x)<0,g(x)單減，

結(jié)合圖象易知，要使函數(shù))'=f與函數(shù)y=g(x)在(0,1)U(1,+8)上有兩個(gè)交點(diǎn)，

則X2+X3>2,故XI+X2+X3>3.

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)f(x)滿足：◎(0)=0；②/'(2-x)=/(%)；③在區(qū)間(1,4)上單調(diào)遞

增.寫出一個(gè)滿足以上條件的函數(shù)/(x)=7-2x.

解：由/(2-x)=f(x)得f(x)的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱，

因?yàn)槌?0)=0,③在區(qū)間(1,4)上單調(diào)遞增.

結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可知符合題意的一個(gè)函數(shù)/(x)=？-2x.

故答案為：?-2x.

14.已知數(shù)列｛〃"｝滿足斯+1=4"+””-I(〃22),又｛〃"｝的前"項(xiàng)和為S",若$6=52,則45

=13.

第15頁共25頁

解：an+\=an+an-1（w》2）,

/?S6=a1+42+43+44+45+46=43+43+44+45+45+44

=2（a3+“4）+2“5=4a5=52,

.?.45=苧=13.

故答案為：13.

15.如圖，從某個(gè)角度觀察籃球，可以得到一個(gè)對(duì)稱的平面圖形，籃球的外形輪廓為圓0,

將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓。的交點(diǎn)將圓0的周

長(zhǎng)八等分，AB=BC=CD,設(shè)該雙曲線的中心在原點(diǎn)，實(shí)軸在＞?軸上，則該雙曲線的漸

V7

近線方程為v-±—%.

------31

解：設(shè)雙曲線的方程為獲下=1（4。，Q。），則。C=a.

因?yàn)锳B=BC=CO,所以C￡＞=20C,所以。。=30c=3a.

因?yàn)樽鴺?biāo)軸和雙曲線與圓0的交點(diǎn)將圓。的周長(zhǎng)八等分，

3399a2

所以點(diǎn)a6a，a）在雙曲線上，代入雙曲線方程得3=1,

a27

解得/=7.

b29

V7

該雙曲線的漸近線方程為：y=±yx.

_,V7

故答案為：＞^=±—x.

16.在側(cè)棱長(zhǎng)為2的正三棱錐。-A8C中，DA,DB,QC兩兩垂直，M、E分別為AC、AB

的中點(diǎn)，則三棱錐O-ACE的外接球的表面積為81T,若尸為0M上的動(dòng)點(diǎn)，。是

平面EC。上的動(dòng)點(diǎn)，則AP+PQ的最小值是

第16頁共25頁

解：因?yàn)镈4,DB,0c兩兩垂直，DA=DB=DC^2,

所以AB=AC=BC=2y[2,

因?yàn)槔?，E分別為AC、AB的中點(diǎn)，

所以MA=MC=MD=ME=V2,

故M為三棱錐D-ACE的外接球球心，

所以三棱錐。-ACE的外接球的表面積S=4irR2=4nX(V2)2=8it；

由題知在正三棱錐ABC。中，E為48中點(diǎn)，

：.AB±DE,ABICE,

平面CDE,

設(shè)CE中點(diǎn)為G,連接MG,

為4c中點(diǎn),

：.MG//AE,且MG=；AE=*,

，MG_L平面CDE,

：.DG即為在平面CCE上的射影，

沿0M展開平面AOM,使之與平面GOW重合，

此時(shí)，AP+PQ的最小值即為點(diǎn)4到。G的距離，

故過點(diǎn)A作AQVDG于點(diǎn)Q.

又DM=V2,

第17頁共25頁

:.sin乙MDG=鐳=米ZMDG=30°,

VZADM=45°.

；.sinNADQ=sin(ZADM+ZMDG)=sin(45°+30°)=

\Z6+A/2

：

.AQ=AD-sinZADQ=2x-2-

V6+V2

故答案為:8n；---------

2

四、解答題：本題共。6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)已知數(shù)列｛“〃｝滿足防=2,n(an+1-n-1)=(n+1)(a〃+〃)(HGN*).

(1)求證數(shù)列｛黑｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛“"｝的通項(xiàng)公式;

⑵令立怒？數(shù)列阿的前〃項(xiàng)和為"證明：對(duì)于任意的〃封，都有7“〈總

證明：(1)(的+|-1)=(〃+1)(/1GN*),

.Q九十］-Q九十九

…n+1n

.?.皿-1=為+1,即皿an

n+1nn+1n

又■:ai=2:;=2

1

???數(shù)列｛黑｝是公差為2,首項(xiàng)為2的等差數(shù)列,

—=2+2(〃-1)=2〃，

n

2

/.an=2n.

2

(2)an=2n,

?h-九+1_-+1_J_r_l______1__,

22162?

,?lan^an+2.2n-2(n+2)-.(n+2)

1111111111

16i32224232524262n2(n+2)2

1…111、_51「1_,11

164(n+1)2(幾+2)2—6416%+i)2(九+2)2卜

*11

V/26N,——-+-———>0,

(n+1)2(n+2)2

A+C

18.(12分)已知△ABC中，a,b,c是角A,B,C所對(duì)的邊，“sin------=Z?sinA,且〃=1.

2

(1)求B；

第18頁共25頁

(2)若AC=3C,在△ABC的邊A3,AC上分別取E兩點(diǎn),使△ADE沿線段QE折

疊到平面8CE后，頂點(diǎn)A正好落在邊8C(設(shè)為點(diǎn)P)上，求此情況下AQ的最小值.

_.-A+C

解：(1)由正弦定理及osin一廠=AsinA,

71-B

知sin>4sin----=sinBsirb4,

2

因?yàn)閟inAWO,

".Tt-B

所以sin----=sinB,

2

BBB

即cos-=sinB=2sin-cos-,

222

因?yàn)锽E(0,n),

一B7T

所以一W(0,-),

22

B

所以cos—00,

2

B1

所以sin-=

22

解得B=J.

(2)???AC=BC,B=J,

AABC是等邊三角形，

：.AB=BC=AC=\,

設(shè)AD=m,

*.BD=\-m,

由題意，DP=AD=m,

在△OBP中，由余弦定理得￡>p2=O82+gp2-2DB3Pcos60。，

；52=(1-〃z)2+BP2-2(l

.'.w2—1-Im+n^+BP1-BP+mBP,

第19頁共25頁

設(shè)BP=x,0<x<1，

設(shè)/=2-元，2],

???7H=￡+[-3）2V5—3,

當(dāng)且僅當(dāng)t=%即t=b時(shí)取等號(hào)，

的最小值為2舊一3.

19.（12分）如圖，在幾何體ABCDE/中，四邊形ABC。為等腰梯形，且AB=2C￡>=2,

NABC=60°,四邊形ACFE為矩形，且FB=魚，M,N分別為EF,AB的中點(diǎn).

（1）求證：MN〃平面FCB；

（2）若直線AF與平面BC8所成的角為60°,求平面M4B與平面M4C所成銳二面角

（1）證明：取BC的中點(diǎn)Q,連接N0,FQ,（1分）

1

則NQ||》C,（2分）

-L

1

又MFII^AC,所以MF||NQ

所以四邊形MN。尸為平行四邊形，所以何N〃尸。，（3分）

又因?yàn)槭?u平面FCB,MMC平面FCB,（4分）

所以MN〃平面FCB

（2）由四邊形A3CD為等腰梯形，且A8=2CD=2,/A8C=60°,

可得BC=l,AC=V3,所以NACB=90°,所以AC1BC.（6

分）

又因?yàn)樗倪呅蜛CFE為矩形，所以ACLCF,所以AC,平面尸C8,

所以/AFC為直線AF與平面FC3所成的角，即/AFC=60°,（7分）

第20頁共25頁

所以FC=\.

又因?yàn)?所以尸g2=Fc2+CB2,所以FC_LBC.（8分）

則可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz

M俘所以總=(學(xué),

4(百,0,0),B(0,L0),,0,1),0,-1),AB

(-V3,1,0)

■TT(V30

m-MA=0,g|JTx-Z=o

m-AB=0I—V3x+y=0

?。?26，可以y=6,z=3,則藍(lán)=（2g，6,3）為平面MA8的一個(gè)法向量，（10分）

又￡=（0,1,0）為平面M4C的一個(gè)法向量，（11分）

m-n_667572>/57

所以cos〈m.

而=而=b=k

2V57

故平面MAB與平面MAC所成銳二面角的余弦值為年.(12

分）

20.（12分）甲、乙、丙、丁四只球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)小組賽（每?jī)蓚€(gè)隊(duì)比賽一場(chǎng)），比賽分三

輪，每輪兩場(chǎng)比賽，第一輪第一場(chǎng)甲乙比賽，第二場(chǎng)丙丁比賽；第二輪第一場(chǎng)甲丙比賽，

第二場(chǎng)乙丁比賽；第三輪甲對(duì)丁和乙對(duì)丙兩場(chǎng)比賽同一時(shí)間開賽，規(guī)定：比賽獲勝的球

隊(duì)記3分，輸?shù)那蜿?duì)記0分，打平兩隊(duì)各記1分.三輪比賽結(jié)束后以積分多少進(jìn)行排名，

積分相同的隊(duì)伍由抽簽決定排名，排名前兩位的隊(duì)伍小組出線.假設(shè)四只球隊(duì)水平相當(dāng)，

1

即每場(chǎng)比賽雙方獲勝、負(fù)、平的概率都為3

（I）三輪比賽結(jié)束后甲的積分記為X,求P（X=3）；

（II）若前二輪比賽結(jié)束后，甲、乙、丙、丁四個(gè)球隊(duì)積分分別為3、3、0、6,問甲能

第21頁共25頁

小組出線的概率.

解：(I)設(shè)甲的第i場(chǎng)比賽獲勝記為4(i=l,2,3),第，場(chǎng)比賽獲平記為3(i=l,

2,3),第，?場(chǎng)比賽獲輸記為G(i=1,2,3),

P(X=3)=尸(BIB2B3)+P(4C2c3)+P(CIA2c3)+P(CICM3)=(1)3+3X|X(1)2='.

(ID分類1：若第三輪甲勝丁，則甲、乙、丙、丁四個(gè)球隊(duì)積分變?yōu)?、3、0、6,

另一場(chǎng)比賽乙勝丙，這時(shí)甲、乙、丁積(6分)，丙積0分，

所以要抽簽決定，抽中前兩名的概率為|,這時(shí)甲出線的概率為Pi=(上2x,,

另一場(chǎng)比賽乙平丙或乙輸丙，這時(shí)甲一定出線，甲出線的概率為P2=4)2x2；

分類2：若第三輪甲平丁，則甲、乙、丙、丁積分變?yōu)?、3、0、7,

另一場(chǎng)比賽乙輸丙，則甲、乙、丙、丁積分變?yōu)?、3、3、7,甲一定出線，甲出線的概

率為P3=(1)2

另一場(chǎng)比賽乙平丙，則甲、乙、丙、丁積分變?yōu)?、4、1、7,

所以要抽簽決定，抽中前兩名的概率為|,這時(shí)甲出線的概率為七=鼾x發(fā)

分類3：若第三輪甲輸丁，則甲、乙、丙、丁積分變?yōu)?、3、0、9,

另一場(chǎng)比賽乙輸丙，甲、乙、丙、丁積分變?yōu)?、3、3、9,甲出線的概率為Ps=&)2x主

.?.甲出線的概率為P=P1+P2+P3+P4+P5=^.

21.(12分)如圖，設(shè)。為x軸的正半軸上的任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).過點(diǎn)。作拋物線

M-./=2*(p>0)的兩條弦AC和80，A、。在x軸的同側(cè).

(1)若。為拋物線M的焦點(diǎn)，|Q4|+|QO|=8,直線BO的斜率為四，且直線AC和BO

的傾斜角互補(bǔ)，求p的值；

(2)若直線AB、CD、AD、BC分別與x軸相交于點(diǎn)E、F、G、H,求證：|O￡b|OF|=|OG|

?\OH\.

第22頁共25頁

解：（1）根據(jù)題意，。為拋物線M的焦點(diǎn)，則。（今n0）,由于直線8。的斜率為3,

故直線8/）的方程為），=百（為一分，

所以聯(lián)立方程0=8。-Q,化簡(jiǎn)整理可得，3/-5px+'p2=o,

ly2=2px

設(shè)3（xi,yi）,￡）（x2,”），則％]+%2=等，

因?yàn)橹本€AC和BD的傾斜角互補(bǔ)，所以|QA|=|Q3|,

因?yàn)镮Q4|+IQD|=