【高考數(shù)學】選擇題1~7大合集（教師版）

專題一壓軸選擇題

第一關(guān)以函數(shù)與方程、不等式相綜合為背景的選擇題

本類壓軸題常以超越方程、分段函數(shù)、抽象函數(shù)等為載體，達到

考查函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)零點的個數(shù)、參數(shù)的范圍和通過函數(shù)性質(zhì)求解不

等式問題等目的。要注意函數(shù)y=/(x)與方程〃幻=0以及不等式

/(x)>0的關(guān)系，進行彼此之間的轉(zhuǎn)化是解決該類題的關(guān)鍵.解決該

類問題的途徑往往是構(gòu)造函數(shù)，進而研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)性質(zhì)

去求解問題是常用方法，其間要注意導數(shù)的應用.

【典例解剖】

類型一用函數(shù)與方程求解零點問題

典例1.設函數(shù)=+8),若關(guān)于*的方程

/(x)-log?(x+l)=0(a〉0且"I)在區(qū)間［0,5］內(nèi)恰有5個不同的根，

則實數(shù)a的取值范圍是

A.(1,73)B.(君,”)C.(>/3,-FW)D.(6G)

【答案】C

【名師指點】求解零點問題時，往往轉(zhuǎn)化為/(x)=0的根求解，若該

方程不易解出，可考慮數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩熟悉圖象的交點問題求

解.本題首先應正確求出函數(shù)y=/(x)的解析式，準確畫出函數(shù)圖象，

注意分段函數(shù)在分界點處的連續(xù)性以及對參數(shù)。的范圍的討論，根據(jù)

方程解的個數(shù)確定圖像交點個數(shù)，“臨界點”2和4的函數(shù)值要倍加關(guān)

注.

【舉一反三】

x2+(4a-3)x+3a,x<0,

已知函數(shù)/(x)=<a>0且"I)在R上單調(diào)遞減,

log?(x+l)+l,x>0

且關(guān)于x的方程|/(x)|=2-x恰好有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值

范圍是()

A.eB.艮ma［早］mD.(畢］m

I3」［34j［_33」［4/|_33)(4J

【答案】C

類型二用函數(shù)與方程求解不等式問題

典例2.定義在R上的函數(shù)“X)的導函數(shù)為r(x),若對任意實數(shù)x,

有/(%)>/'(無)，且/(X)+2O17為奇函數(shù)，貝IJ不等式，(x)+2017e*<。的解

集是()

A.(-oo,0)B.(0,+oo)C.-oo,—^D.［1,+oo)

【答案】B

【解析】設g(x)=?2,則g，(x)J(”/(x)<0,所以g(x)是R上的

減函數(shù)，由于/(x)+2017為奇函數(shù)，所以/(0)=-2017,g(0)=-2017,因

為/3+2017/<00￥2<-2017即8(力<8曲,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可

知龍〉0,所以不等式/(x)+2017e*<0的解集是(0,+oo),故選B.

【名師指點】結(jié)合已知條件/a)>ra),聯(lián)想構(gòu)造函數(shù)g(x)=§,

利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，利用單調(diào)性解解抽象不等式問題是解題關(guān)鍵.

【舉一反三】己知定義在R上的可導函數(shù)/(X)的導函數(shù)為廣(幻，滿足

r(x)</(x),且/(x+0為偶函數(shù)，/(4)=1,則不等式/(x)<e'的解集為

()

A.(-2,+00)B.(4,+oo)C.(1,4-00)D.(0,+oo)

【答案】D

類型三用構(gòu)造法求解問題

典例3設x.ywR,且滿足上萬一2)：+2x+Sin(x_2)=2,貝心+y=()

(y-2)3+2y+sin(y-2)=6

A.1B.2C.3D.4

【答案】D.

【解析】令/(x)=V+2x+sinx,則/(x)的圖象關(guān)于原點點對稱，由題

設(x-2)3+2x+sin(x-2)=2彳曰(x—2)+2(x—2)+sin(x—2)=—21平

(y-2)3+2y+sin(y-2)=6(y-2)3+2(y-2)+sin(y-2)=2

/(x-2)=-/(y-2),，(x—2)+(y—2)=0,即Jx+y=4.選D.

【名師指點】解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設法

建立起目標函數(shù)，并確定變量的限制條件，用函數(shù)觀點加以分析，常

可使問題變得明了，從而易于找到理想的解題途徑，構(gòu)造函數(shù)，利用

函數(shù)性質(zhì)解決問題是構(gòu)造函數(shù)法蘊含的數(shù)學思想.

【舉一反三】設函數(shù)/(x)=/+x,xeR.若當0<8?時，不等式

/(msinO)+/(I-〃2)>0恒成立，則實數(shù)〃?的取值范圍是()

A.(―,1]B.(―,1)C.[1,+QO)D.(-oo,i]

【答案】D

【解析】易得/(外是奇函數(shù)，八%)=3%2+1>。=>/(%)在R上是增函數(shù),

又

11

f(msin6)>f(m-l)=>msin0>m-\=>m<,0<sin^<l=>=>/n<1

1—sin。1-sin^

,故選D.

類型四關(guān)于復合方程的解的問題

典例4.已知實數(shù)/(x)=["/NO,若關(guān)于x的方程/2岡+⑥)+1=0有

lg(-x),x<0,

三個不同的實根，貝h的取值范圍為()

A.(-oo,-2]B.[1,+00)

C.[-2,1]D.(9,-2][1,+8)

【答案】A

【解析】設機=〃x)，作出函數(shù)“X)的圖象，如圖所示，則加21時，

機=〃x)有兩個根，當=<1時，,=/(x)有一個根,若關(guān)于x的方程

/2(x)+f(x)+t=0有三個不同的實根，則等價為1+m+t=o由兩個不同

的實數(shù)根，口加21或，〃<1,當機=1時，t=-2,此時由疝+加一2=0,

解得機=1或旭=-2,滿足/(尤)=1有兩個根，/(%)=-2有一個根，滿足

條件；當〃?片1時，設〃(/")=:4+加+t,則〃(1)<0即可，即l+l+f<0,

解得/<-2,綜上實數(shù)f的取值范圍為區(qū)-2,故選A.

【名師指點】求解復合方程問題時，往往把方程〃g(x)]=0分解為

%)=0和8(%)=/處理，先從方程/(f)=0中求f,再帶入方程g(元)=/中

求x的值.

【舉一反三】若函數(shù)/(力=/+加+區(qū)+C有極值點X],々，且，

則關(guān)于X的方程3(〃X))2+24(X)+0=0的不同實根的個數(shù)是()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A.

【解析】函數(shù)/(%)=尸+加+Z?x+c有極值點X],々，說明方程

/(%)=3/+2<3%+匕=0的兩根為$,x2?方程3(/(x))~+2q/'(x)+/?=0的

解為/(x)=芯或/(幻=%2，若%(<々，即玉是極大值點，々是極小值點，

由于，..?西是極大值，/(x)=x,有兩解，不<々，f(x)=x2>/(x,)

只有一解，.?.此時只有3解，若為>w，即的是極小值點，%是極大值

點，由于/(xj=石，?,.王是極小值，/(x)=X|右2解，xt>x2,

」(x)=W</(石)只有一解，，此時只有3解,綜上可知，選A.

【精選名校模擬】

L設函數(shù)f(x)=[gj；.+i,xx]，若函數(shù)g(x)=[f(x)T+妙(x)+c有三個

零點再，X,>X,>貝！J'了2+NW+等于?

【答案】2

2.若方程-1|T=O有四個不同的實數(shù)根x”w，玉,項,且

%1<x2<Aj<x4>則2(玉f)+(W-/)的取值范圍是()

A.(8,6夜)B.(8,46]C.(60,46)D.(60,45]

【答案】B

【解析】方程|f—2x-1|T=O有四個不同的實數(shù)根，在同一坐標系內(nèi)作

出函數(shù)/(x)=|x2-2x-11與函數(shù)g(x)蟲的圖象如下圖所示，所以4匕是

方程X?-2*-1=/的兩根，々，*3是方程d-2x-l=T的兩根，由求根公

工弋彳寸/一石=2yl2+f,玉—%2=25/2-1,110</<2,p/f以

2(七一石)+(芻一々)=2(27?77+>/^7),令/?)=2(27^77+7^7),由

%)=2(2吁-際)=0得函數(shù)/⑺在區(qū)間(0,當遞增，在區(qū)間

y/4-r255

4,2)遞減，又/(0)=6&"(§=4?"⑵=8,所以所求函數(shù)的取值范圍

/(x)>-礦(x)恒成立，則函數(shù)g(x)=4(x)+l目x+l|的零點的個數(shù)為

()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】因為當x>0時，W(無)了=/(x)+M7x)>0,所以獷(x)在(0,+00)上

單調(diào)遞增，又函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，所以函數(shù)4。)為偶函數(shù)，結(jié)合

"3)=0,作出函數(shù)y=Mx)與y=-lg|x+l|的圖象，如圖所所示，由圖

象知，函數(shù)g(x)=#(x)+lg|x+l|的零點有3個，故選C.

4.設定義域為R的函數(shù)/(x)=/:TxNO,若關(guān)于％的方程

[x~+4x+4,x<0

尸(幻一(2m+l)/(x)+〃=0有7個不同的實數(shù)解，則加=()

A.6B.4或6C.6或2D.2

【答案】D

5.已知函數(shù)一(力是定義在R上的偶函數(shù)，且=當

xe[-l,0]時，〃力=7?.則關(guān)于x的方程〃x)=|cos時在d上的所

有實數(shù)解之和為().

A.-7B.-6C.-3D.-1

【答案】A

【解析】因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以/(-x-l)=/(x+l)=/(x-1),所以函

數(shù)是周期為2的偶函數(shù)，如圖畫出函數(shù)圖像，兩個函數(shù)在區(qū)間[-2二

有7給交點，中間是》=一1,其余6個交點關(guān)于x=-1對稱，所以任一

組對稱點的橫坐標之和為-2,所以這7個交點的橫坐標之和為

3x(—2)—1=—7,故選A.

6.已知定義域為R的偶函數(shù)/⑴，其導函數(shù)為(⑴，對任意xe[O,代o),

均滿足：引.若g(x)=xV(x),則不等式g(2x)<g(l-x)的

解集是()

A.B.18,；)C.D.(-co,—

【答案】C

7.【河南百校聯(lián)盟2017屆高三11月質(zhì)檢】已知函數(shù)“X)滿足

/(x)=4/仕，當小時，〃x)=lnx,若在；,4上，方程/(%)=依

\X)

有三個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是()

A.-41n4,--B.[Tin4,-In4]

「4、r41

C.—,-In4D.—,—In4

_e)Le_

【答案】D

【解析】

試題分析:

iri、rni

由題意，-A時f(x)=lnx,當xe(L4]時,-e工」(x)=4/；_；=41n_=-4x,如圖

4X*Tj、X}X

-41nx=fcdSxe(L4］有兩解，左=二等有兩解，設函數(shù)gfx)=：?2g'(x)=-4匕產(chǎn)虱x)在

(Le］上單調(diào)遞減，在卜4］上單調(diào)遞增，二一±4左4一山4.故選：D.

e

ln(x+l),x>0

8.已知函數(shù)/(x)=<1若m<n，且f(m)-f(n),貝U〃一機的

—x+l,x<0

12

取值范圍是()

A.[3-21n2,2)B.L3-21n2,2]C.[e-l,2jD.[e-1,2)

【答案】A

【解析】如圖,作出函數(shù)y=/(x)的圖象，不妨設“㈤=/(")=￡,

由/(㈤=/(?)可知函數(shù)fix)的圖象與直線y=f有兩個交點,

而x?o時，函數(shù)y=/a)單調(diào)遞增，其圖象與y軸交于點。1),

所以0</Kl.又加<〃，所以加W0,〃>0,

由0</41,得0<ln(〃+l)?l,解得0<〃4e-l.

由/(加)=/,即;加+1=/,解得機=2f-2；

由/(〃)=*即ln(〃+l)=f,解得〃=/一1；

所以當0<f<ln2時，g'⑺<0,函數(shù)gQ)單調(diào)遞減；

當ln2<dl時,g'⑺>0,函數(shù)g⑺單調(diào)遞增.

所以函數(shù)g(f)的最小值為g(ln2)=*2_21n2+l=3-21n2；

而g(0)=e°+l=2,g(l)=e-2+l=e-l<2,所以3-21n24g(f)<2.

9.定義在實數(shù)集R上的函數(shù)〃x),滿足〃x)=〃2-x)=/(x-2),當

xw［O,l］時,=則函數(shù)g(x)=/(x)-|lgx|的零點個數(shù)為()

A.99B.100C.198D.200

【答案】B

【解析】“力是偶函數(shù)，圖象關(guān)于直線x=l對稱，周期是2,畫圖可

得，零點個數(shù)為100,故選B.

0已知函數(shù).=瞿一—)有四個不同的零點，則實數(shù)*的

取值范圍是()

A.k<0B.k〈lC.0<^<1D.k>l

【答案】D

則函數(shù)人加昌一小心R)有

【解析】因為x=0是函數(shù)/a)的零點,

四個不同的零點,等價于方程左—有三個不同的根,即方程

\x\(x+2)

:=|x|(x+2)有三個不同的根.記函數(shù)g(x)=W(x+2)=

卜［2%叱0).由題意y二與y=g(x)有三個不同的交點，由圖知

-X-2x,U<0)k

0<,<1,所以左>1,故選D.

log,(x+l),0<x<l

11.定義域在R上的奇函數(shù)/(力，當x20時，/(x)=2,

1-卜-3|,x21

則關(guān)于x的方程/(x)-。=0(0<。<1)所有根之和為1-0，則實數(shù)。的值

為()

A.變B.-C.變D.-

2234

【答案】B

【解析】因為函數(shù)/(》)為奇函數(shù)，所以可以得到當xe(-1,0］時，

于(X)=-/(-X)=-iog,(-X4-1)=log2(l-x)，當xe(-00,-1］時，

八一口=一/(無)—|)

Hx+31-1,所以函數(shù)/(x)圖象如下圖，函數(shù)/(x)的零點即為函數(shù)

f(x)與y=a的交點,如上圖所示,共5個，當xe(-oo,-l］時，令

|x+31-1=。，解得：X[=-4-a,x2=a-2,當xe(-1,0]時，log2(1-x)=a,

a

解得：x3-l-2,當xe[l,+oo)時，令1-1x-31=a,解得：x4=4-?,x5=a+2,

所以所有零點之和為:

W+W+七+%+毛=-4—a+a—2+1—2"+4—a+a+2=l—2"=1—5/2,a=~

12.已知定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足/(4-x)=/(x),且當xe(-1,3］時,

則函數(shù)g(x)=/(x)_|lgx|的零點個數(shù)是()

1十cos2?,JJ

A.7B.8C.9D.10

【答案】D.

-x?+2x(—24x40)

13.已知函數(shù)〃x)=4i,若g(x)=|/(x)|-ax-a的圖象與

In——(0<x<2)

,x+1

X軸有3個不同的交點，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(0,-)B.(0,—)

e2e。?呼擊

【答案】C

—x~+2x(-24x40)

x2-2x-2<x<0

【解析】/(X)=<

In—!—(0<x<2)ln(x+l),0<x<2

x+1

g(x)^f(x)\-ax-a的圖象與x軸有3個不同的交點，，函數(shù)與函數(shù)

y=ar+a的圖象有3個不同的交點；作函數(shù)與函數(shù)y=以+a的圖象

如下，圖中A(-1,0),B(2,In3)，故此時直線AB的斜率k=叱一°=—;

當直線AB與/(x)=ln(x+l)相切時，設切點為(x,ln(x+l));則

In(喇0=J,解得x=e-l；此時直線AB的斜率人L結(jié)合圖象可

x-(-l)x+1e

知，度<a<L故選C.

3e

專題一壓軸選擇題

第二關(guān)以棱柱、棱錐與球的組合體為背景的選擇題

【名師綜述】球作為立體幾何中重要的旋轉(zhuǎn)體之一，成為考查的重

點.要熟練掌握基本的解題技巧.還有球的截面的性質(zhì)的運用，特別

是其它幾何體的內(nèi)切球與外接球類組合體問題，以及與球有關(guān)的最值

問題,更應特別加以關(guān)注的.試題一般以小題的形式出現(xiàn),有一定難

度.解決問題的關(guān)鍵是畫出正確的截面，把空間“切接”問題轉(zhuǎn)化為

平面“問題”處理.

類型一四面體的外接球問題

典例1.點均在同一球面上，且A3、AC>AD兩兩垂直，且

AB=l,AC=2,AD=3,則該球的表面積為

A.7萬B.14萬C.—D.

23

【答案】B

【解析】根據(jù)48、XC、AD兩兩垂直，可以將此三棱錐進行補體，補成如圖長方體，此長方體的外接球

和三棱錐的外接球是同一個外接球，那么長方體的對角線是球的直徑，即

=AS:+AC2+.4D2=14,故該球的表面積是S=4成？=14%,故選B.

【方法指導】本題屬于三棱錐的外接球問題，當三棱錐的某一頂點的

三條棱兩兩垂直，可將其補全為長方體或長方體，三棱錐與長方體的

外接球是同一外接球，而長方體的外接球的在球心就是對角線的交點,

那么對角線就是外接球的直徑2尺=必行77,dc分別指兩兩垂

直的三條棱，進而確定外接球表面積.

【舉一反三】已知三棱錐A-8CO的所有頂點都在球。的球面上，AB為

球。的直徑，若該三棱錐的體積為逑，BC=4,BD=6,NC8D=90°,

3

則球。的表面積為（）

A.1UB.20TTC.23萬D.35乃

【答案】A

類型二三棱柱的外接球問題

典例2.三棱柱ABC-A8c的側(cè)棱垂直于底面，且AB_L8C,

AB=BC=AA]=2,若該三棱柱的所有頂點都在同一球面上，則該球的表

面積為（）

A.48萬B.32開C.12萬D.8萬

【答案】C

【解析】如圖，由題可知矩形MGC的中心。為該三棱柱外接球的球

心，℃=,『+（四）=也.

.??該球的表面積為4萬（白了=12%.選C.

A

B.

【名師指導】確定球心位置是解決相關(guān)問題的關(guān)鍵，確定一個點到多

面體各頂點相等的策略是將問題分解，即先確定到頂點A、B、C距離

相等的點在過AABC的外心且垂直于平面ABC的直線上，再確定到頂

點A、4、&距離相等的點過的外心且垂直于平面A4G的直線

上，故直三棱柱ABC-a4G的外接球球心為連接上下底面外心的線段

的中點，進而可確定外接球半徑.

【舉一反三】設正三棱柱ABC-中，4r=2,AB=26,則該正

三棱柱外接球的表面積是.

【答案】204

【解析】

試題分析：因為該三棱柱為正三棱柱，所以底面為正三角形，底面三

角形外接圓的直徑為2r=*-=W=4,即r=2,所以該三棱柱外接

sin60°下）

球的半徑R=卜+［竽j=HF=V5,所以該三棱柱外接球的表面積

為S=4兀R?=207.

類型三四棱錐的外接球問題

典例3.已知四棱錐P-ABCO中，平面平面ABCO,其中ABCD為

正方形，△P4D為等腰直角三角形，PA=PD=C，則四棱錐P-A5C。

外接球的表面積為（）

A.10zrB.4乃C.16%D.8?

【答案】D

【名師指點】某些空間幾何體是某一個幾何體的一部分，在解題時，

把這個幾何體通過“補形”補成完整的幾何體或置于一個更熟悉的

幾何體中，巧妙地破解空間幾何體的體積問題，這是一種重要的解題

策略一一補形法.常見的補形法有對稱補形、聯(lián)系補形與還原補形.對

于還原補形，主要涉及臺體中“還臺為錐”問題.本題可以利用補體

法，將四棱錐補體為直三棱錐，利用直三棱柱的外接球半徑求法確定

其外接球半徑.

【舉一反三】正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4,

底面邊長為2,則該球的體積為（）

A243乃B81乃c814D27?

?16?丁?—

【答案】A

【解析】設球的半徑為R,???棱錐的高為4,底面邊長為2,

R2=（4-R『+（可，.

.,?球的體積為丫=9住）=筆萬.故應選A.

3I”lo

類型四幾何體的內(nèi)切球問題

典例4.（2016?嘉興模擬）若圓錐的內(nèi)切球與外接球的球心重合，且

內(nèi)切球的半徑為1,則圓錐的體積為.

【答案】3n

【解析】過圓錐的旋轉(zhuǎn)軸作軸截面，得截面△4%及其內(nèi)切圓。。和

外接圓?！?，且兩圓同圓心，即的內(nèi)心與外心重合，易得△/比

為正三角形，由題意知。。的半徑為r=l,.?.△/勿的邊長為24，

圓錐的底面半徑為第，高為3,，「=；義冗X3X3=3H.

O

【名師指點】解決球與其他幾何體的切接問題，關(guān)鍵在于認真分析、

觀察，弄清先關(guān)元素的幾何關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選準最佳角度作出截面,

截面的選擇應該更多地體現(xiàn)元素與元素之間關(guān)系，達到空間問題平面

化的目的.

【舉一反三】將邊長為V2的正方形A5CO沿對角線AC折成一個直二

面角8-AC-D.則四面體A8CD的內(nèi)切球的半徑為（）

A.1B.2V2-V3C.V2-ID.2-73

【答案】D

【解析】設球心為。，球的半徑為R,由

^D-ABC~^O-ABC+%-AOC+^O-BCD+^O-ABD9矢口廠=2—6>故選D.

【精選名校模擬】

1.三棱錐A-BCD的外接球為球。，球。的直徑是A。，且AABC,'BCD

都是邊長為1的等邊三角形，則三棱錐A-BCD的體積是（）

A.也B."C.顯D.近

612412

【答案】B

【解析】如下圖所示，由題意可知AB=BC=AC=BO=C￡>=1,又球。的

直徑是，所以448￡>=/4。。=90。,4。=/,49=。。=。。=也,且

2

400=90。，所以該幾何體的體積為V/=_lx」x也x也x0=E,故選

322212

B.

c

2.已知A、B、。是球。的球面上三點，AB=2,AC=26ZABC=6（y,

且棱錐0-ABC的體積為尬，則球。的表面積為（）

3

A.10〃B.24萬C.367rD.487r

【答案】D

3.現(xiàn)有一半球形原料，若通過切削將該原料加工成一正方體工件，則

所得工件體積與原料體積之比的最大值為（)

A.逅B.逅C.逑D,還

3乃648萬44

【答案】A

【解析】

試題分析：當正方體的下底面在半球的大圓面上，上底面的四個頂點

在球的表面上時，所得工件體積與原材料體積之比選項取得最大值,

此時設正方體的棱長為明則球的半徑為/?=卜/4=半。，所以

V6

所求體積比為故選A.

3萬

9o

4.在平行四邊形ABCO中，ACCB=O,2BC+AC-4=0,若將其沿

AC折成直二面角。-AC-B,則三棱錐。-AC-3的外接球的表面積為

()

A.164B.8萬C.4萬D.2兀

【答案】c

【解析】AC1CB,2BC2+AC2-4^BC2+BC2+AC2-4=BC2+AB2-4

因為是平行四邊形，所以=因為是直二面角，所以仞，平面

ABC,AD1AB,BC2+AB2=AD2+AB2=BD2=4,即3。=2

取BD中點。，連接OAOC，ZBAAN8C0都是直角三角形，根據(jù)直角

三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，所以OA=OB=OC=8,所以三

棱錐。-AC-5的外接球的球心為點。，半徑H=05=1,所以表面積

是S=4做2=4%.

5.已知點/、B、C、〃在同一個球的球面上，AB=BC="AC=2,若

四面體ABCO中球心。恰好在側(cè)棱DA上，DC=2V3,則這個球的表面

積為（）

25不

B.44C.164D.84

~T~

【答案】C

【解析】由A8=8C="AC=2,可知乙鉆。=會取AC中點M,則0M為

DA的中位線，又點M為外接圓圓心，球心。到面ABC的距離

為d=；DA=y5,球半徑為R=產(chǎn)/=#+（欄丫=2,故球表面積為

S-4%R2—167r.

6.已知一個三棱柱，其底面是正三角形，且側(cè)棱與底面垂直，一個

體積為色的球體與棱柱的所有面均相切，那么這個三棱柱的表面積

3

是（）

A.673B.1273C.1873D.2473

【答案】C.

7.已知點4B、C、。在同一球的球面上，AB=BC=e,AC=2,若四

面體A5CD外接球的球心。恰好在側(cè)棱D4上，DC=26,則這個球

的表面積為（）.

A.至巴B.47C.8萬D.16萬

4

【答案】D

【解析】如下圖所示，設三角形A3。所在小圓的圓心為q,則a為AC

的中點，且O0_L平面ABC,又DC//OQ,所以。C_L平面ABC,所以

（2/?）2=DA2=AC2+DC2=16,外接球的表面積

S=4;*=i6〃，故選D.

8.已知邊長為26的菱形ABC。中，NA=60。，現(xiàn)沿對角線BD折起，

使得二面角A-3。-C為120,此時點A,B,C,。在同一個球面上,

則該球的表面積為()

A.2()"B.24TlC.28萬D.32%

【答案】c

【解析】如圖所示，

ZAFC=120°,ZAFE=60°,AF=—x2V3=3,/.AE=—,EF=-,設

222

OO'=x,則O'B=2,。。=1,

???由勾股定理可得R2=Y+4=(3+l)2+(空一X)2,：.R2=7,四面體的夕卜

22

接球的表面積為4/R2=28為故選C.

9.如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm,

將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當球面恰好接觸水面時測得

水深為6cm,如果不計容器的厚度，則球的體積為（）

500n

A.---cmB.~--cm3

Oo

2048Jt3

D.---cm

o

【答案】A.

【解析】作出該球軸截面的圖像如下圖所示，依題意BE=2,

AE=CE=4,設。E=故AO=2+x,*.?AD2=AE2+DE1,解得x二3,

故該球的半徑AO=5,.?/=&4巾=%.

33

10.已知三棱錐P-MC,在底面AABC中，ZA=60°,BC=6,

以_1_面四。，PA=2,則此三棱錐的外接球的體積為（）

A.8?兀B.4yB兀C.4“兀D.8萬

33

【答案】A

p

M

11.如圖，直三棱柱ABC-A4G的六個頂點都在半徑為1的半球面上,

A8=AC,側(cè)面BCG4是半球底面圓的內(nèi)接正方形，則側(cè)面A84A的面

積為()

【答案】C.

【解析】球心在面BCG4的中心。上，6c為截面圓的直徑，

ZBAC=90°,底面外接圓圓心N位于8C中點，的4G外心M在4G中

點上，設正方形邊長為％,HMQg中，0M=楙，MC]=|,

OG=R=1,(|)2+(|)2=1,即x=&,則AB=AC=1,

S矩物1附4=近X1=&■?

12.已知球的直徑SC=4,A,8是該球球面上的兩點，AB=2,

ZASC=NBSC=45,則棱錐S-ABC的體積為()

A.是B.巫C.述D.迪

3333

【答案】C.

【解析】由條件直徑SC所對的圓周角NSBC=NSAC=90。，由已知

ZASC=ZBSC=45,

ASBC與ASAC是全等的等腰三角形，BOYSC,AOLSC,即SC，

面A08,由條件04=08=2,則AOAB為等邊三角形，

=5，-5C，=x22xsin60x4

VS-ABC~AOAB^（~°）--~?

13.已知三棱柱ABC-A4G的側(cè)棱垂直于底面，各項點都在同一球面

上，若該棱柱的體積為6，AB=2,AC=1,ABAC=60,則此球的表

面積等于（）

A.24B.4萬C.6兀D.8萬

【答案】D.

專題一壓軸選擇題

第三關(guān)以圓錐曲線的幾何性質(zhì)為背景的選擇題

1.求解曲線的離心率：求橢圓、雙曲線的離心率，關(guān)鍵是根據(jù)已

知條件確定a,b,c的等量關(guān)系，然后把匕用a,c代換，求￡的值;

a

在雙曲線中由于e2=l+（2y,故雙曲線的漸近線與離心率密切相關(guān)，

a

求離心率的范圍問題關(guān)鍵是確立一個關(guān)于a,gc的不等式，再根據(jù)

a,b,c的關(guān)系消掉方得到關(guān)于a,c的不等式，由這個不等式確定a,

c的關(guān)系.

2.求解特定字母取值范圍問題的常用方法：（1）構(gòu)造不等式法:

根據(jù)題設條件以及曲線的幾何性質(zhì)（如：曲線的范圍、對稱性、位置

關(guān)系等），建立關(guān)于特定字母的不等式（或不等式組），然后解不等式

（或不等式組），求得特定字母的取值范圍.（2）構(gòu)造函數(shù)法：根據(jù)題

設條件，用其他的變量或參數(shù)表示欲求范圍的特定字母，即建立關(guān)于

特定字母的目標函數(shù)，然后研究該函數(shù)的值域或最值情況，從而得到

特定字母的取值范圍.（3）數(shù)形結(jié)合法：研究特定字母所對應的幾何

意義，然后根據(jù)相關(guān)曲線的定義、幾何性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的方法求

解.

3.圓錐曲線中的最值問題：一是利用幾何方法，即通過利用曲線

的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進行求解；二是利

用代數(shù)方法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達式表示為某個（些）

參數(shù)的函數(shù)（解析式），然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進行求解.

常見的幾何方法有：（1）直線外一定點P到直線上各點距離的最

小值為該點P到直線的垂線段的長度；（2）圓C外一定點P到圓上各

點距離的最大值為IPCI+R,最小值為IPCI-R（R為圓C半徑）;（3）

過圓C內(nèi)一定點尸的圓的最長的弦即為經(jīng)過P點的直徑，最短的弦為

過P點且與經(jīng)過P點直徑垂直的弦；（4）圓錐曲線上本身存在最值問

題，如①橢圓上兩點間最大距離為2a（長軸長）；②雙曲線上兩點間最

小距離為2a（實軸長）；③橢圓上的點到焦點的距離的取值范圍為

\a-c,a+c],a-c與a+c,分別表示橢圓焦點到橢圓上點的最小與最大距

離；④拋物線上的點中頂點與拋物線的準線距離最近.

常用的代數(shù)方法有：（1）利用二次函數(shù)求最值；（2）通過三角換

元，利用正、余弦函數(shù)的有界性求最值；（3）利用基本不等式求最值;

（4）利用導數(shù)法求最值；（5）利用函數(shù)單調(diào)性求最值.

【典例剖析】

類型一求圓錐曲線的離心率問題

22

典例1.過雙曲線二-2=l(a>0/〉0)的右焦點且垂直于x軸的直線與

ab

雙曲線交于A,8兩點，與雙曲線的漸進線交于C,。兩點，若

\AB\>^\CD\,則雙曲線離心率的取值范圍為()

A.日,+8)B.["+8)C.(12]D.

3434

【答案】B

【解析】當X=c時代入:一2=1得y=±幺，則從6—：㈤C一一，貝上必=巴，將x=c代入

a0aa，aya

尸土，,得)，=±紇則￡7/；℃-""則卬|=迦；即|2：卬|,二生23之,即

aaIaJ1a)a5a5a

aQ916”v

—cz=>c2-az>一”，即一c22a、則二2二，則eN一，故選B.

5252525164

?2、,2

典例2.已知。為坐標原點，口是雙曲線「:,方=l(a>0/>0)的左

焦點，AB分別為「的左、右頂點，P為「上一點，且PF_Lx軸，過

點A的直線/與線段PF交于點M,與y軸交于點E,直線與y軸

交于點N,若|o￡|=2|av|,則「的離心率為()

A.3B.2C.-D.-

23

【答案】A

【解析】易證得AM網(wǎng)\EOA,則世婦=四，即

|必|\OA\

imJEOHE；同理"FB\NOB,

\OA\a

|NO|?|q|_|N0|?(c+a),所以|EO|.(c—a)_|N0.(c+a),乂

|OB|aaa

|O￡|=2|ON],所以2(c-a)=a+c,整理，得：=3，故選A.

【名師指點】在求解有關(guān)離心率的問題時，一般并不是直接求出。和

a的值，而是根據(jù)題目給出的橢圓或雙曲線的幾何特征，建立關(guān)于參

數(shù)c,a,b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或

范圍.

一般來說，求離心率取值范圍，通?？梢詮膬蓚€方面來研究：一

是考慮幾何關(guān)系，例如根據(jù)線段的大小關(guān)系或者角的大小關(guān)系列不等

式；二是考慮代數(shù)關(guān)系，通過設點，將所給問題坐標化，結(jié)合圓錐曲

線方程和本身范圍來確定.

【舉一反三】

22

過橢圓與+*=13">0）的左焦點￡作》軸的垂線交橢圓于點2，F(xiàn)2

ab

為右焦點，若/耳。鳥=60,則橢圓的離心率為（）

A.-B.變C.-D.近

2233

【答案】D

類型二與圓錐曲線有關(guān)的最值問題

典例2.等腰直角△AOB內(nèi)接于拋物線y2=2px（p>0）,。為拋物線的

頂點，OALOB,△AOB的面積是16,拋物線的焦點為F,若M是拋

物線上的動點，則出的最大值為（）

\MF\

【答案】C

【解析】因為等腰直角△AOB內(nèi)接于拋物線y2=2px（p>0）,。為拋物

線的頂點，OALOB用「以，可設A（a,a）,S?Bc=gax2a=16,得a=4,將

4（44）代入產(chǎn)=2網(wǎng),得P=2,拋物線的方程為V=4x,所以E（1,O），

設M（x,y），則a0,設公士（。<七1）,則耦=丹手

卜+二___2=導云7邛.3?！寡沮?述,

X+INX+1（x+1）2VL3）\33

時，“=”成立.故選C.

3

【名師指點】拋物線定義是轉(zhuǎn)化拋物線上的點到焦點距離和到準線距

離的橋梁，通過設點的坐標并結(jié)合拋物線定義，將待求對象坐標化,

同時結(jié)合拋物線方程消元，利用函數(shù)思想求解最值問題是常見的求最

值方法，有時還可以幾何平面幾何知識求解.

【舉一反三】

已知F是拋物線丁=》的焦點，點A,B在該拋物線上且位于x軸的兩

側(cè)，0403=2（其中。為坐標原點），則AA8。與AAF。面積之和的最

小值是（）

A.2B.3C.D.M

8

【答案】B

類型三平面圖形與圓錐曲線相結(jié)合的問題

典例3.設雙曲線C:吞-￡=l（a>0,。>0）的左焦點為尸（-c,0）,點〃、N

在雙曲線C上，。是坐標原點，若四邊形OFMN為平行四邊形，且四邊

形OFA/N的面積為伍3則雙曲線C的離心率為（）

A.V2B.2C.2&D.2召

【答案】D

【解析】設M($,%)，,?,四邊形。尸MN為平行四邊形?四

邊形OFMN的面積為y/2cb,

**?\y0\c=y/2cd，即\y0\=42h,?、代入雙曲線方程得?-2=1,

e>1,e=2>/3.故選D.

【名師指點】求離心率問題實質(zhì)上是根據(jù)已知條件，挖掘題中。也。的

等量關(guān)系或者不等關(guān)系，可以借助平面圖形自身滿足的條件或者點的

坐標所滿足的方程或者范圍等，本題利用平行四邊形的性質(zhì)并結(jié)合雙

曲線方程和平行四邊形的面積公式得關(guān)于。，仇。的方程，進而確定離心

率的值.

【舉一反三】已知中心在坐標原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，且左、

右焦點分別為￡,曰這兩條曲線在第一象限的交點為P,A/罟鳥是以

P片為底邊的等腰三角形.若I尸用=10,記橢圓與雙曲線的離心率分別

1

為q、e2,貝J罕2的取值范圍是()

A.(J+00)B.((，+8)

C.(―,4-00)D.(0,+00)

【答案】C

【精選名校模擬】

22

1.雙曲線會-%=1(。>0/>0)的左右焦點分別為48，過鳥的直線

與雙曲線的右支交于48兩點，若MAB是以A為直角頂點的等腰直

角三角形，則e2=()

A.I+2V2B.4-2V2C.5-2V2D.3+20

【答案】C

22

2.已知雙曲線r：+-2=1(。＞0力〉0),過雙曲線「的右焦點，且傾斜

ab~

角為工的直線/與雙曲線「交地A,B兩點，。是坐標原點，若

2

ZAOB=ZOAB,則雙曲線「的離心率為()

A6+SB拒+后

*-2-*

「V3+V39n1+V17

64

【答案】C

【解析】由題意可知AB是通徑，根據(jù)雙曲線的對稱性和/A0B=N0A5

可知，三角形AO8為等邊三角形，即0+c=tan壬=^,/=2^ac,由

a633

222

c=a+b,得。2=片+且亞，兩邊除以標得「2一立e—1=0,解得

33

后+如

e=------?

6

3.雙曲線C:0-《=1(4＞0/＞0)的左、右焦點分別為4(-c,0),F,(c,0),

ab

M,N兩點在雙曲線。上，且.柳〃|Fg|=4|MN|,線段川V交雙曲

線。于點。，且|￡Q|=|QN|,則雙曲線。的離心率為

A.2B.V3C.V5D.V6

【答案】D

【解析】由于腑〃用力I66I=4|MN|,則網(wǎng)=(,設N((,y),又耳(-c,0),

且IKQRQNl，則。(-與,當，點N、Q在雙曲線上滿足方程，有

82

22C22

=1,—--^7=1，消去＞得：e2=6,則6=后選D.

\6a~b~64r4b~

22

4.已知橢圓f+5=1(“＞。＞0)的左、右焦點分別為耳，居，過百且與無

a"b~

軸垂直的直線交橢圓于A、8兩點，直線4工與橢圓的另一個交點為C,

若SAA8C=3%S，則橢圓的離心率為（）

A.叵B.@C.叵D.述

53510

【答案】A

【解析】設橢圓的左、右焦點分別為石（一金0）,外（c。，由x=-c,代入橢圓方程可得y=±t,可設

C（xsy）,由Sa?=3S?，可得麗=2成,即有|2c,-I2（x-c,y）,即

2c=2x-2c--=2y,可得x=2cj,=-g,代入橢圓方程可得上*+[==1,由。=巳,

a2ao'4優(yōu)a

bz=a:-c:,即有4c，+1一30'二1,解得故選：A.

445

5.在平面直角坐標系中，AB分別是x軸和y軸上的動點，若以A