平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充復(fù)數(shù)的引入章末大盤點(diǎn)

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一、數(shù)形結(jié)合思想向量的加、減、數(shù)乘等線性運(yùn)算有著豐富的幾何背景，同時(shí)，向量的坐標(biāo)表示又為向量運(yùn)算的代數(shù)化提供了可能.因此，向量融數(shù)、形于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份〞，自然處于中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要交匯點(diǎn).顯然，形成并自覺運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法是解決向量與其他問題的關(guān)鍵..【例如1】向量a2＝b2＝1，且a·b＝求(1)|a＋b|；(2)a與(b－a)的夾角..[解]法一：(數(shù)形結(jié)合法)作以為鄰邊作?ABCD，如下圖.由a2＝b2＝1及a·b＝得又∠BAD∈[0°，180°]，∴∠BAD＝120°.所以四邊形ABCD為邊長為1且一個(gè)內(nèi)角為120°的菱形，易得(1)|a＋b|＝(2)a與(b－a)的夾角為150°..法二：(數(shù)量積運(yùn)算法)由于0°≤θ≤180°，∴θ＝150°.所以a與(b－a)的夾角為150°.〔2〕設(shè)a與b〔a-b〕r的夾角為θ由于.[領(lǐng)悟]法一充分利用向量加法的平行四邊形法那么轉(zhuǎn)化為平面幾何求解是直觀形象，法二利用向量的數(shù)量積運(yùn)算及其變形公式更是簡(jiǎn)潔明快..二、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想等價(jià)轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)是將難解的問題化為易解的問題，將復(fù)雜問題化為簡(jiǎn)單的問題來處理.在本章中，可利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法那么，把向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的運(yùn)算，即將向量的加、減、實(shí)數(shù)與向量的積和數(shù)量積的運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的加、減、乘的運(yùn)算.把一些幾何問題的證明轉(zhuǎn)化為向量的代數(shù)運(yùn)算，無不表達(dá)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想..【例如2】正方形ABCD，E、F分別是CD、AD的中點(diǎn)，BE、CF交于點(diǎn)P.求證：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB..[證明]如圖建立直角坐標(biāo)系xAy，其中A為原點(diǎn)，不妨設(shè)AB＝2，那么A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(xiàn)(0，1).＝(－2，－1)，＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，即BE⊥CF..(2)設(shè)P(x，y)，那么∴-X=-2(y-1)，即x=2y-2同理由得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2.解得.[領(lǐng)悟]此題為平面幾何問題，證明過程中以直角坐標(biāo)系為平臺(tái)，以向量為工具，較容易地完成了證明.顯然，向量共線與向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，運(yùn)用得既巧妙而又必不可少，突出重點(diǎn)的同時(shí)更突破了難點(diǎn)..三、函數(shù)與方程的思想向量作為一種運(yùn)算工具，與函數(shù)和方程是密切相關(guān)的.例如，向量a，b的坐標(biāo)中含有參數(shù)t時(shí)，計(jì)算a·b時(shí)，即把a(bǔ)·b視為關(guān)于t的函數(shù)；解決共線向量時(shí)，那么常常借助b＝λa來確定λ，求λ的方法即利用向量相等的充要條件列出方程(組)來求解..【例如3】a是以點(diǎn)A(3，－1)為起點(diǎn)，且與向量b＝(－3,4)平行的單位向量，那么向量a的終點(diǎn)坐標(biāo)是..[解析]設(shè)向量a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)，那么a＝(x－3，y＋1)，由題意可知[答案]

或解得

故或填或.[領(lǐng)悟]利用方程的思想解決問題時(shí)關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系，建立方程...1.(2021·遼寧高考)復(fù)數(shù)z＝1－2i，那么＝()答案：D解析：由.2.(2021·北京高考)向量a、b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()A.k＝1且c與d同向B.k＝1且c與d反向C.k＝－1且c與d同向D.k＝－1且c與d反向.解析：不妨設(shè)a＝(1,0)，b＝(0,1).依題意d＝a－b＝(1，－1)，又c＝ka＋b＝(k,1)，∵c∥d，∴12－(－1)·k＝0，∴k＝－1，又k＝－1時(shí)，c＝(－1,1)＝－d，∴c與d反向.答案：D.3.(2021·湖北高考)投擲兩顆骰子，得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，那么復(fù)數(shù)(m＋ni)(n－mi)為實(shí)數(shù)的概率為().解析：∵(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i，它為實(shí)數(shù)的等價(jià)條件是m2＝n2，又m，n均為正整數(shù)，∴m＝n.故問題事件所含根本領(lǐng)件有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)六個(gè)，根本領(lǐng)件空間中含有36個(gè)根本領(lǐng)件，所以答案：C.4.(2021·全國卷Ⅰ)設(shè)非零向量a、b、c滿足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，那么〈a，b〉＝()A.150°B.120°C.60°D.30°.解析：∵a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2.又|a|＝|b|＝|c|，∴2a·b＝－b2，即2|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|2.∴cos〈a，b〉＝∴〈a，b〉＝120°.答案：B.5.(2021·杭州質(zhì)檢)設(shè)向量a與b的夾角為θ，定義a與b的“向量積〞：a×b是一個(gè)向量，它的模|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，假設(shè)a＝(－，－1)，b＝(1，)，那么|a×b|＝()A.B.2C.2D.4.答案：B解析：.6.(2021·福建高考)假設(shè)＝a＋bi(i為虛數(shù)單位，a，b∈R)，那么a＋b＝.答案：2即1＋i＝a＋bi，∴a＝1，b＝1，∴a＋b＝2.解析：.7.(2021·湖南高考)如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起，假設(shè)那么x＝，y＝..解析：.設(shè)那么由題意：又∠BED＝60°，∴顯然的夾角為45°.∴由得：×1×cos45°＝(x－1)×12.∴x＝同理，在兩邊與取數(shù)量積可得y＝答案：.8.(2021·常州模擬)給出以下四個(gè)命題：①對(duì)任意兩個(gè)向量a，b都有|a·b|＝|a|·|b|；②假設(shè)a，b是兩個(gè)不共線的向量，且a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，那么A、B、C共線?λ1λ2＝1；③假設(shè)向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，那么a＋b與a－b的夾角為90°；④假設(shè)向量a、b滿足|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝那么a，b的夾角為60°.其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)是..解析：命題①左邊|a·b|＝|a||b|cosθ(θ為a、b夾角)，當(dāng)cosθ≠1時(shí)，|a·b|≠|(zhì)a||b|故①錯(cuò)誤；命題②假設(shè)A、B、C共線，假設(shè)λ1λ2＝1，λ2＝.∴A、B、C共線，那么②正確.易知③正確，命題④|a＋b|＝兩邊平方|a＋b|＝13，即a2＋b2＋2a·b＝13，∴2a·b＝13－|a|2－|b|2＝－12，∴a·b＝－6＜0，∴a與b夾角為鈍角.答案:

①④.9.(2021·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足(1)求△ABC的面積；(2)假設(shè)c＝1，求a的值..解：(1)因?yàn)樗杂钟傻胋ccosA＝3，所以bc＝5.因此S△ABC＝bcsinA＝2.(2)由(1)知，bc＝5.又c＝1，所以b＝5，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bcc