如何正確理解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系？-初中數(shù)學(xué)《一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系》教案解析2

第頁(yè)共頁(yè)如何正確理解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系？——初中數(shù)學(xué)《一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系》教案解析2。對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a≠0），我們知道，其根可以通過(guò)求解該方程得到。方程的解是指能夠令該方程成立的x的取值。對(duì)于一元二次方程，其通常有兩個(gè)解，可表示為x1和x2。那么根與系數(shù)之間的關(guān)系是什么呢？我們要了解一下一元二次方程的判別式。對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0，其判別式Δ=b2-4ac。判別式Δ可以幫助我們判斷方程的兩個(gè)根的情況。如果Δ>0，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；如果Δ=0，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；如果Δ<0，則方程沒(méi)有實(shí)根。接下來(lái)，我們來(lái)看一下根與系數(shù)之間的具體關(guān)系。我們從判別式Δ入手。Δ=b2-4ac，其中b、a、c分別代表一元二次方程中的系數(shù)。顯然，Δ與a、b、c之間的關(guān)系很密切。我們可以將Δ的符號(hào)與a、b、c的關(guān)系作出如下總結(jié)：當(dāng)a>0時(shí)，若b2<4ac，則Δ<0，方程無(wú)實(shí)根；若b2=4ac，則Δ=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；若b2>4ac，則Δ>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根。當(dāng)a<0時(shí)，若b2<4ac，則Δ<0，方程有兩個(gè)不相等的復(fù)根；若b2=4ac，則Δ=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；若b2>4ac，則Δ>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根。這里需要注意的是，復(fù)數(shù)根是由實(shí)數(shù)根引出來(lái)的，因此一個(gè)方程既能有實(shí)數(shù)根，又能有復(fù)數(shù)根，但不可能只有復(fù)數(shù)根。進(jìn)一步地，我們可以從根與系數(shù)的關(guān)系出發(fā)，解釋判別式和系數(shù)之間的聯(lián)系。我們知道，兩個(gè)根的和與積分別是：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。通過(guò)代入判別式的公式，我們可以得到：Δ=b2-4ac=(b2-4ac)+(4ac-b2)=(x1+x2)2-4x1x2因此，我們可以得到：當(dāng)Δ=0時(shí)，x1+x2=0，即兩個(gè)根的和為0，因此，有一個(gè)根是正數(shù)，另一個(gè)根是相反數(shù)。當(dāng)Δ>0時(shí)，x1和x2都是實(shí)數(shù)，關(guān)于x軸對(duì)稱，即兩個(gè)根的和與積的乘積為正數(shù)。當(dāng)Δ<0時(shí)，x1和x2都是復(fù)數(shù)，無(wú)法在實(shí)軸上畫出，但可在復(fù)平面上畫出一對(duì)共軛的復(fù)數(shù)。通過(guò)根與系數(shù)的關(guān)系，我們可以更好地理解一元二次方程的解的性質(zhì)，而深入掌握這些性質(zhì)也可以幫助我們更好地解決各種與一元二次方程相關(guān)的問(wèn)題，例如通過(guò)系數(shù)求出根、通過(guò)根求出系數(shù)等等。