巧用各種運(yùn)動(dòng)求曲率半徑(發(fā)表于物理教學(xué)探討)公開(kāi)課

PAGEPAGE3巧用巧用各種運(yùn)動(dòng)求曲率半徑浙江省諸暨中學(xué)侯位鋒曲率半徑在數(shù)學(xué)上有嚴(yán)格的意義和表達(dá)式，而曲率半徑的計(jì)算需要用到高等數(shù)學(xué)的知識(shí)。在中學(xué)階段，我們可巧用各種運(yùn)動(dòng)來(lái)求曲率半徑，具體舉例如下。1．利用平拋運(yùn)動(dòng)Oθθvvyv0xy(xOθθvvyv0xy(x，y)θAO′解析：可以構(gòu)建一個(gè)初速度為v0的平拋運(yùn)動(dòng)，建立拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，初速度方向?yàn)閤軸的坐標(biāo)系（如圖所示）．則x=v0t，y=gt2．拋物線的軌跡方程為式中．拋物線上任一點(diǎn)A的速度，設(shè)A點(diǎn)的曲率半徑為ρ，則，又因，所以，化簡(jiǎn)此式得到：．2．利用勻速率運(yùn)動(dòng)題目：四質(zhì)點(diǎn)A、B、C、D在同一平面上運(yùn)動(dòng)。每時(shí)刻，A速度總對(duì)準(zhǔn)B，速度大小為常量u，B速度總對(duì)準(zhǔn)C，速度大小同為u，C速度總對(duì)準(zhǔn)D，速度大小同為u，D速度總對(duì)準(zhǔn)A，速度大小同為u。某時(shí)刻，A、B、C、D恰好逆時(shí)針?lè)较虬葱蛭挥诟鬟呴L(zhǎng)為l的的正方形四個(gè)頂點(diǎn)上，試求此時(shí)A的運(yùn)動(dòng)軌道在此位置的曲率半徑ρ。ABCDllllu△uu△t△θ解析：經(jīng)過(guò)△t時(shí)間，A、B、C、D位置變化如圖所示。A的速度變化是△u，方向與u垂直，△u＝u△θ，又因u△t＝l△θ，則A的加速度為ABCDllllu△uu△t△θ又因A做勻速率運(yùn)動(dòng)，無(wú)切向加速度，a心＝a，根據(jù)ρ＝u2/a心，所以ρ＝l。3．利用勻速直線運(yùn)動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)題目：半徑為R的輪子在水平直線MN上方純滾動(dòng)，輪子邊緣上任意點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡不妨稱為上滾輪線。如圖所示，將上滾輪線繞MN向下翻轉(zhuǎn)180°，成為下滾輪線。下滾輪線可看成R輪子在下方沿直線MN純滾動(dòng)時(shí)輪子邊緣點(diǎn)P的軌跡。RRRPMN求此軌跡最低點(diǎn)的曲率半徑ρ。解析：點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)可以看成是水平方向的勻速運(yùn)動(dòng)設(shè)速度為v0，與豎直平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)（角速度為ω）的合運(yùn)動(dòng)。根據(jù)純滾動(dòng)可知ω＝v0/R而當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到軌跡最低點(diǎn)時(shí)，速度（對(duì)地）2v0，向心加速度為a心＝v02/R又因ρ＝（2v0）2/a心，ρ＝4R。同樣方法其實(shí)可以求出任一點(diǎn)的曲率半徑。即用上面方法可以求出滾輪線上任一點(diǎn)的曲率半徑。用勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)還可以來(lái)求等距螺旋線的曲率半徑。4．利用勻速直線運(yùn)動(dòng)與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)OxyPθvxvyva心題目：如圖所示一余弦曲線y＝AOxyPθvxvyva心解析：設(shè)質(zhì)點(diǎn)在x方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度大小為v0，y方向做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)y＝Acosv0t，則質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡為y＝Acosx。則vx＝v0ax＝0vy＝－v0Asinv0tay＝－v02Acosv0t當(dāng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)，當(dāng)0＜x＜π/2時(shí)根據(jù)圖線的對(duì)稱性，則可得余弦曲線任一點(diǎn)的曲率半徑。5．利用勻速直線運(yùn)動(dòng)和一般變速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)題目：求解曲線y=ex的曲率半徑隨x的分布ρ（x）。解析：設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿y=ex軌道運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，x方向分運(yùn)動(dòng)為x＝vt，即勻速直線運(yùn)動(dòng)。y方向分運(yùn)動(dòng)為y＝evt，則vx＝v，vy＝vevtOvyvxua＝ayaOvyvxua＝aya心xxyy1θθ如圖所示，則a心＝acosθ＝ayvx/u＝v3evt/uρ＝u2/a心，ρ＝u3/v3evt，又u＝則ρ＝（1+e2x）3/2ex6．利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)和簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)題目：求橢圓上，任意一點(diǎn)的曲率半徑。解析：可以構(gòu)建一個(gè)這樣一個(gè)運(yùn)動(dòng)，水平方向做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振幅為a，恢復(fù)力Fx=–k1x，x=acost，vx=–asint，所以，OyxθvvxvyO′FyFXθA（x，y）又因、，則k1=m．豎直方向也做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振幅為b，恢復(fù)力Fy=–k2yOyxθvvxvyO′FyFXθA（x，y）．如圖所示在橢圓上取一點(diǎn)A（x，y），物體運(yùn)動(dòng)到該點(diǎn)的速度，在該點(diǎn)物體受到的向心力，又因Fx=–mx，F(xiàn)y=–my，所以．設(shè)A點(diǎn)的曲率半徑為ρ，則，即，又、，則，所以，則。7．利用勻變速曲線運(yùn)動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)題目：半徑為r的圓盤以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，現(xiàn)與水平面成α角以速度v拋出圓盤，圓盤運(yùn)動(dòng)時(shí)圓盤面保持豎直。求當(dāng)圓盤上升到最大高度時(shí)，盤上最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的曲率半徑。解析：圓盤上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以看作是圓盤圓心的斜拋運(yùn)動(dòng)和繞圓盤的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。由題意可知，圓盤中心在最高點(diǎn)的速度為vcosα，繞盤中心可以順時(shí)針或逆時(shí)針轉(zhuǎn)，則最高點(diǎn)的速度為vA＝vcosα±ωr，最高點(diǎn)的加速度為aA＝aAO+aO，其中aAO為最高點(diǎn)相對(duì)于盤中心的加速度，大小為ω2r，方向豎直向下，aO為盤中心相對(duì)地的加速度，大小為g，方向豎直向下，由此可得aA＝ω2r+g，因此可得盤上最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的曲率半徑為ρ＝vA2/a心，則ρ＝（vcosα±ωr）2/（ω2r+g）同理可得圓盤上各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的曲率半徑。8．利用勻速圓周運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)rROO′題目：如圖所示固定環(huán)R=4rROO′解析：滾輪線上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以看成是繞圓心O′的勻速圓周運(yùn)動(dòng)和圓心O′繞圓心O的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。設(shè)小環(huán)自轉(zhuǎn)角速度為ω1、線速度為v，小環(huán)圓心繞大環(huán)圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω0，根據(jù)運(yùn)動(dòng)關(guān)聯(lián)則，rω1＝（R－r）ω0，所以ω1＝（R－r）ω0/r，又滾輪線曲率半徑最大處在弧中段，此點(diǎn)線速度大小為v1＝2v，加速度方向有O指向O′，大小為a＝rω12－（R－r）ω02