安徽省淮北市樹人高級中學(xué)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理

安徽省淮北市樹人高級中學(xué)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試

題理

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.以復(fù)數(shù)一24+加(加e而的實部為首項，虛部為公差的等差數(shù)列EJ,當(dāng)且僅當(dāng)〃=10時

其前〃項和最小，則必的取值范圍是()

2.已知集合4=3-1W盡1}和集合廬3尸玲，則4n8等于()

A.{y|0<y<l}B.{y|0Wj<l}C.{y\y>Q}D.{(0,1),(1,0)}

3.我市高中數(shù)學(xué)研究會準(zhǔn)備從會員中選拔1名男生，y名女生組成一個小組去參加數(shù)學(xué)文

2x-y25,

化知識競賽，若x,y滿足約束條件?則該小組最多選拔學(xué)生()

x<8,

A.24名B.19名C.16名D.14名

4.我國經(jīng)典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣的一道題：今有出錢五百七十六，買竹七十八,

欲其大小率之，向各幾何？其意是：今有人出錢576,買竹子78根，擬分大、小兩種竹子為

單位進(jìn)行計算，每根大竹子比小竹子貴1錢，問買大、小竹子各多少根？每根竹子單價各是

多少錢？則在這個問題中大竹子每根的單價可能為()

A.6錢B.7錢C.8錢1).9錢

5.函數(shù)/(%)=皿(/+2)-61的圖象可能是()

6.已知二項式(x+y)”的展開式的二項式項的系數(shù)和為64,

(2x+3)"=4+q(x+1)+a?(尤+D~T---卜a”(x+1)",則4=()

A.20B.30C.60D.80

7.已知某三角函數(shù)的部分圖象如圖所示，則它的解析式可能是()

y

A.y=sin(x+—)B.y=sin(2x+—)C.y=cos(x+—)

444

n/c34、

D.y=cos(2x+—)

c

8.若等差數(shù)列｛4｝的公差為4前〃項和為S"，記d='則

n

A.數(shù)列是等差數(shù)列，｛勿｝的公差也為d

B.數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，｛2｝的公差為2d

C.數(shù)列｛%+%｝是等差數(shù)列，｛4+。,,｝的公差為d

D.數(shù)列｛%-勿｝是等差數(shù)列，｛4一2｝的公差為日

9.已知|萬|=|石|=3,。是與向量5方向相同的單位向量，向量G在向量日上的投影向量為

3

一。，則〃與5的夾角為

2

A.30°B.60。C.120'D.150。

10.我國古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一直角邊為股，斜邊為

弦.若a,b”c為直角三角形的三邊，其中c為斜邊，則1+〃=。2,稱這個定理為勾股定

理.現(xiàn)將這一定理推廣到立體幾何中：

在四面體O—ABC中，ZAOB=ZBOC=ZAOC=90，S為頂點。所對面的面積，

E，§2,S3分別為側(cè)面△。鉆，AOAC,AOBC的面積，則下列選項中對于S「S2，S3滿足的

關(guān)系描述正確的為

2222

A.S=S,+S2+53B.S~=a+a+/c.S-S1+ST+S3

0109

11.己知點A（l,-2）,B（2,0）,一為曲線y?2上任意一點，則Q.麗的取值范

圍為

A.[1,7]B.[-1,7]C.[1,3+26]D.[-1,3+2^]

12.已知在R上的函數(shù)/（x）滿足如下條件：①函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于>軸對稱；②對于任

意xeR,/（2+x）—/（2—x）=0；③當(dāng)xe[0,2]時，f（x）=x-④函數(shù)

%（x）=/（2fx）,MN*，若過點（TO）的直線/與函數(shù)九）（力的圖象在xe[0,2]

上恰有8個交點，在直線/斜率上的取值范圍是（）

二、填空題本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.過點（2,4）作函數(shù)丫=/一2彳的切線，則切線方程是.

14.己知等差數(shù)列｛q｝中，6+%=22,4=9,數(shù)列也｝滿足2=23，則

白也也…-bn=.

15.已知點尸（1,2）在拋物線E：y2=2px（p〉o）上，過點/（1,0）的直線/交拋物線E于

A，B兩點，若麗/=3耐，則直線/的傾斜角的正弦值為_____.

16.己知三棱錐P—ABC中，二面角P-AB-C的大小為120。，AA6c是邊長為4的

正三角形，是以尸為直角頂點的直角三角形，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考

題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（-）必考題：共60分。

4D-v3^zcosC=\2b-v3cIcosA

17.在AABC中，角A,B,C的對邊分別是a,6,c,且'>

（1）求角1的大小；

（2）求cos（當(dāng)一8）-2$血丁?的取值范圍.

18.四棱錐P-ABCD中，底面ABC。為直角梯形，BC//AD,ADVDC,BC=CD=T,

4）=2，PA=PD，E為PC的中點，尸為AD的中點，平面尸4）_L底面ABC。.

（I）證明：平面BEFJ_平面PAD；

71

（ID若PC與底面ABC。所成的角為一，求二面角七一防一4的余弦值.

3

19.東莞的輕軌給市民出行帶來了很大的方便，越來越多的市民選擇乘坐輕軌出行，很多市

民都會開汽車到離家最近的輕軌站，將車停放在輕軌站停車場，然后進(jìn)站乘輕軌出行，這給

輕軌站停車場帶來很大的壓力.某輕軌站停車場為了解決這個問題，決定對機(jī)動車停車施行

收費(fèi)制度，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：4小時內(nèi)（含4小時）每輛每次收費(fèi)5元；超過4小時不超過6

小時，每增加一小時收費(fèi)增加3元；超過6小時不超過8小時，每增加一小時收費(fèi)增加4

元，超過8小時至24小時內(nèi)（含24小時）收費(fèi)30元；超過24小時，按前述標(biāo)準(zhǔn)重新計費(fèi).上

述標(biāo)準(zhǔn)不足一小時的按一小時計費(fèi).為了調(diào)查該停車場一天的收費(fèi)情況，現(xiàn)統(tǒng)計1000輛車

的停留時間（假設(shè)每輛車一天內(nèi)在該停車場僅停車一次），得到下面的頻數(shù)分布表：

T（小時）(0,4]（4句(5,6](6,7]（7閭(8,24]

頻數(shù)（車

10010020020035050

次）

以車輛在停車場停留時間位于各區(qū)間的頻率代替車輛在停車場停留時間位于各區(qū)間的概率.

（1）現(xiàn)在用分層抽樣的方法從上面1000輛車中抽取了100輛車進(jìn)行進(jìn)一步深入調(diào)研，記錄

并統(tǒng)計了停車時長與司機(jī)性別的2x2列聯(lián)表：

男女合計

不超過6小時30

6小時以上20

合計100

完成上述列聯(lián)表，并判斷能否有90%的把握認(rèn)為“停車是否超過6小時”與性別有關(guān)？

（2）（i）X表示某輛車一天之內(nèi)（含一天）在該停車場停車一次所交費(fèi)用，求X的概率

分布列及期望f（x）；

（ii）現(xiàn)隨機(jī)抽取該停車場內(nèi)停放的3輛車，〈表示3輛車中停車費(fèi)用大于￡（X）的車輛數(shù),

求尸抬N2）的概率.

n^ad-bc^

參考公式：k2，其中拉=a+b+c+d

(a+〃)(c+d)(Q+c)(Z?+d)

p(2

K>k0)0.400.250.150.100.050.025

k00.7801.3232.0722.7063.8415.024

x

20.如圖，已知橢圓C：一+l(a>b>0)過點,其的左、右頂點分別是A,B,

下、上頂點分別是C,D,尸是橢圓上第一象限內(nèi)的一點，直線24,的斜率勺，&滿

（1）求橢圓C的方程；

（2）過P點的直線尸。交橢圓于另一點Q,求四邊形4PCQ面積的取值范圍.

21.已知函數(shù)/(x)=orlnx-(a+l)lnx,/(x)的導(dǎo)數(shù)為/'(x).

（1）當(dāng)。＞一1時，討論/'（力的單調(diào)性;

3i

（2）設(shè)a＞0,方程=有兩個不同的零點辦,9（不＜%2）,求證內(nèi)+6＞工2+一.

ee

（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的

第一題計分。

x=6cosa

CJ_.

（H）22.在平面直角坐標(biāo)系xOv中，已知曲線U=3sma為參數(shù)），以坐標(biāo)原

點°為極點，％軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；

⑵若點A、3為曲線C上的兩點，且。4_LQB,求的最小值.

23.已知函數(shù)〃x）=|x—4|+歸+3].

（1）解不等式/（x）＜9；

（2）若不等式—N+1在實數(shù)R上的解集不是空集，求正數(shù)。的取值范圍。

參考答案

1.D

【分析】

a.<0

由題可得q=-24,d=m,由<n，、可求得.

M〉o

【詳解】

由題可得等差數(shù)列{a}的首項q=-24,公差d=m,

?=-24+9m12Q

10由題意知《?,o<0八

<則可解得一<m<一.

=-24+10/7/>053

故選：D.

2.B

【分析】

先由二次函數(shù)的值域求得集合B,再運(yùn)用集合的交集運(yùn)算可得選項.

【詳解】

因為廬3%右，所以后3y20},4C/{y|0Wj<l}.

故選：B.

3.B

【分析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，然后求z=x+y的最大值即可.

【詳解】

2x-y>5,

畫出x,y滿足約束條件,1,表示的平面區(qū)域，如圖所示.

x<8

要求招入的人數(shù)最多，即2=》+丫取得最大值，

目標(biāo)函數(shù)化為y=-x+z,在可行域內(nèi)任意取x,y且為正整數(shù)，

fx=8,

使得目標(biāo)函數(shù)代表的斜率為定值一1，截距最大時的直線過點A,聯(lián)立「得

2x-y=5,

A（8,ll）,

此時目標(biāo)函數(shù)取得最大值為z=8+11=19,

故選：B

【點睛】

本題考查的是線性規(guī)劃的知識，屬于基礎(chǔ)題.

4.C

【分析】

根據(jù)題意設(shè)買大竹子x,每根單價為小,可得576=如+（78-x）（m—1）,由0<xW78,

解不等式組即可求解.

【詳解】

依題意可設(shè)買大竹子x,每根單價為加，

購買小竹子78-每根單價為加一1,

所以576=mx+（78—,

即78〃z+x=654,BPx=6（109-13m）,

因為0WxW78,

109

[109-13m>0”一7796109

所以6（109.）V78=96<

113

根據(jù)選項機(jī)=8,x=30,

所以買大竹子30根，每根8元.

故選：C

【點睛】

本題考查了不等式，考查了數(shù)據(jù)處理能力以及分析能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.B

【分析】

分析四個圖像，從而判斷函數(shù)的性質(zhì)，利用排除法求解.

【詳解】

由于函數(shù)/(X)的定義域為R,且在R上為連續(xù)函數(shù)，可排除A答案；

由于/(0)=1112-”1,ln2>ln&=g,,所以/(0)=ln2-e"〉。，可排除C

答案；

當(dāng)Xf”時，/(%)->-oo,故排除D答案；

故答案選B.

【點睛】

本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與數(shù)形結(jié)合的思想方向的應(yīng)用，屬于中檔題

6.C

【分析】

根據(jù)題意賦值可得2"=64,從而求出〃，再換元，設(shè)x+l=f,將二項式展開，即可根據(jù)

二項展開式的通項公式求出的.

【詳解】

根據(jù)題意，令工=1,丁=1可得2"=64,即〃=6,(2X+3)"=(2X+3)6

設(shè)x+l=f,即2x+3=2f+l

(2x+3)"=(2,x+3)6=(2/+1)6=a。+a/+廠+?—F,即工一］=C；x(2r)x1',

令6—r=2,解得r=4.，7；+i=C：x(27)6-4xl4=c：x22xf2=6()/2,可知々=60.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查利用二項展開式的通項公式求某指定項的系數(shù)，以及二項式定理，賦值法的應(yīng)

用，解題關(guān)鍵是換元法的使用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

7.C

【解析】

T37r7i

試題分析：4=1,—=------nT=2^=>69=1,

444

所以sin(3子4+°)=—1=亍37r+°=3;4+2左1(ZeZ)=e=3^7r+2^4(ZeZ)

3471

所以它的解析式可能是y=sin(x+—+2k兀)=cos(x+-),選C.

44

考點：三角函數(shù)解析式

[方法點睛】已知函數(shù)y=Asin(a>x+。)+8(A>0,。>0)的圖象求解析式

(])4_)'max)'min§一)inax+)min

_2，—2

(2)由函數(shù)的周期T求3,7=生.

co

(3)利用“五點法”中相對應(yīng)的特殊點求。.

8.D

【分析】

根據(jù)己知寫出若等差數(shù)列｛4｝的通項公式和求和公式，根據(jù)等差數(shù)列通項公式的函數(shù)性質(zhì)

判斷即可得出結(jié)論.

【詳解】

由題可得4=4-l)d，S“d,則

b“=&=?,+—d=%+；而是關(guān)于n的一次函數(shù)，則數(shù)列也｝是公差為Jd的

等差數(shù)列，故A,B錯誤；由2+勿=2q-丁3+科3〃是關(guān)于〃的一次函數(shù)，得數(shù)列｛%,+2｝

311

是公差為5d的等差數(shù)列，故C錯誤；又4-2=一耳。+/而是關(guān)于〃的一次函數(shù)，則數(shù)

列｛a,,-bn｝是公差為;d的等差數(shù)列，故D正確.

故選:D.

【點睛】

本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式，考查等差數(shù)列｛4｝,a“=〃〃+q是關(guān)于〃的一

次函數(shù)，公差為。，熟練掌握等差數(shù)列通項公式的函數(shù)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

9.B

【分析】

設(shè)0=丸5(幾>0)，求出幾=；，再根據(jù)向量在向量上的投影向量的定義列式求

-9

出箱。=一,最后利用平面向量的夾角公式可求得結(jié)果.

2

【詳解】

因為0是與向量方方向相同的單位向量，設(shè)。=丸日。>0),

則|。|=|幾5|=，出所以1=34,得4=；,所以己=：5,

—?1々

因為向量汗在向量B上的投影為腎，且向量少在向量B上的投影向量為:。，

,a-bb3_,a-bb31,a-b1一1一9

所以r...--—e,所以r---X-br,所以所以箱力=上|切2='，

聞|。|2聞|。|23聞2222

9

設(shè)M與方的夾角為。，則8S0=萬石5=1，

\a\-\b\3x32

又0。麴8180°,所以6=60，

故選：B.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：利用向量在向量上的投影向量的定義以及平面向量的夾角公式求解是解題關(guān)

鍵.

10.C

【分析】

作四面體O-ABC,ZAOB=ZBOC=ZAOC=90-?！ò薆C于點。，連接A￡>,結(jié)合

勾股定理可得答案.

【詳解】

作四面體O-ABC，ZAOB=ZBOC=ZAOC=90-OABC千點、D,連接AZ)，如圖

A

D

B

=；BO?.AO?=J.(QR2+002)

S2

^(OB2+OC2)-0^+^BC2-OD2OA^j+[^OC'OA]+[^BC'°D}

22

=sj+S2+S3.

即S?uS:+SzZ+S??

故選c.

【點睛】

本題主要考查類比推理，解題的關(guān)鍵是將勾股定理遷移到立體幾何中，屬于簡單題.

11.A

【分析】

結(jié)合已知曲線方程，引入?yún)?shù)方程，然后結(jié)合和角正弦公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

解：設(shè)P（x,y）則由）,=,3—'?可得田+/=1（”0），

令x=2cos。,y=GsinO,(0w[0,同，

.\AP=(x-l,y+2),通=(1,2),

AP-AB=x-l+2y+4=x+2y+3=2cos0+2百sin夕+3=4sin嶗卜3,

\-O<0<7T

666

--<sin[^+—j<1,

2I6j

.-.l<4sin++3<7,

【點睛】

本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及三角函數(shù)性質(zhì)的簡單應(yīng)用，參數(shù)方程的應(yīng)用是求解

本題的關(guān)鍵.

12.A

【分析】

先由條件①②，得到函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)；根據(jù)③求出函數(shù)/(X)在一個周期

[一2,2]上的表達(dá)式為〃x)=L，根據(jù)④得到彳4)(月的周期為:，其圖象可

由“X)的圖象壓縮為原來的L得到，作出(4)(X)的圖象，結(jié)合圖象，即可求出結(jié)果.

8

【詳解】

因為函數(shù)“X)是偶函數(shù)，由/(2+x)_〃2_x)=0得/(2+x)=/(2r)=/(x_2),

即〃x+4)=/(x)所以函數(shù)“X)是周期為4的周期函數(shù)；

若xe[-2,0],則xe[0,2]；

因為當(dāng)xe[0,2]時，/(x)=x,

所以一xe[0,2]時，f[-x)=-x,

因為函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，所以〃—x)=-x=/(x),

即/(x)=-x,xe[-2,0],

則函數(shù)/(X)在一個周期[一2,2]上的表達(dá)式為=L,

因為4)(x)=/(2"'.x)，〃eN*,

所以函數(shù)彳4)(6=〃8x),nwN*，

故/(4)(%)的周期為!，其圖象可由〃力的圖象壓縮為原來的)得到，

28

作出彳4)(X)的圖象如圖:

易知過M(-1,0)的直線/斜率存在，設(shè)過點(一1,0)的直線/的方程為y=Z(x+l),

則要使直線/與九)(x)的圖象在xe[0,2]上恰有8個交點，則0<k<%,

(7、k=^2=18

因為A2,所以"―7J”,故0<%<三.

14)-+111

故選：A.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：

求解本題的關(guān)鍵在于，根據(jù)條件，由函數(shù)基本性質(zhì)，得到加4)(x)的圖象，再由函數(shù)交點個

數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合的方法，即可求解.

13.y=101—16或y=x+2

【解析】

試題分析：設(shè)切點為儂意-勖瑣，/=融4-樂所以切線方程為

理T亥一軟球=窗殿-額>一球，即解=微點-期::一鬟點,又切線過(2,4),代入方程

得:噎-禽｛分解因式得：軀一顆噌-/：-期=0>即軀-竊*年#4=領(lǐng),解得

盤=堤或一：1當(dāng)肛：=魅時,切線方程為丁=10%—16；當(dāng)鼻=-：1時，y=x+2.所以正確答

案是y=10x-16或y=x+2.

考點：函數(shù)的切線方程.

14.2，+"

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出％,從而求出a=2""T,再利用等差數(shù)列的前〃項和公式即

可求解.

【詳解】

cu+2d+/+6d=224=3

由題意〈

e=9，解得d=2’

所以/=4+(〃-1)d=2〃+1,所以勿==2?”,

.(2+2.)

則々也也??…^,=22-24-26…-22n=22=2""

故答案為：2"“"一

15.—

2

【分析】

求出〃=2,設(shè)過點"(1,0)的直線方程為％=沖+1,將直線與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定

理可得X+%=4根，乂%=-4,根據(jù)向量可得一乂=3%,從而求出直線的傾斜角，即

求.

【詳解】

因為點在拋物線E：/=2*(〃>0)上，

所以4=2pxl,得p=2,所以；/=4尢，

設(shè)過點”(1,0)的直線方程為：x=my+l,

x=my+1.

所以jy2_4x'所以y-4沖一4=0,

設(shè)A(%,y),B(孫為)，

所以y+%=4根，yty2=-4.

又因為礪=3麗，所以一乂=3%，

所以/〃=土一->因為直線的斜率Z=tan。=土百，

3

由6?e(O,?),所以e=?或耳，所以sine=#.

故答案為：B

2

【點睛】

本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

208萬

16.-------

9

【分析】

找到三棱錐P-ABC外接球球心的位置，求得外接球的半徑，進(jìn)而求得三棱錐P-ABC外

接球的表面積.

【詳解】

依題意，三角形ABC是等邊三角形，設(shè)其外心為。一線段的中點設(shè)為則

CO21AB,且。?在線段CO2上、黑=2.

三角形RLB是以P為直角頂點的直角三角形，所以其外心為。2.過。2在三角形PAB內(nèi)作

O.D1AB.

所以/CO2。是二面角P-AB-。的平面角，所以/。。2。=120°.

設(shè)外接球球心為。，則平面ABC,。。2，平面行5,所以。a_LCC、

oo1

2O2D,

所以NOQC=30°.

在三角形OCO2中，CO,=|cO2=|x2V3=^>GO?=；C02=；x2>/5=孚,

tanNOO,C==—^OO.

00231

所以外接球的半徑R=OC="G+co：

所以外接球的表面積為4萬a=4女生=型包.

99

208乃

故答案為:

9

【點睛】

本小題主要考查幾何體外接球的有關(guān)計算，屬于中檔題.

17.(1)A=工；(2)-"+2,6—1.

6I2,

【分析】

(1)由正弦定理化簡等式整理可得sinB=2sinBcosA,又sinBwO,可求cosA=3,

2

結(jié)合/為內(nèi)角即可求得/的值;

(2)由三角函數(shù)恒等變換化簡已知可得6sin8-9-1,A=工可求5=工的范圍,

\6766

從而可求sin18--5

P1,即可得解.

【詳解】

(1)由正弦定理可得，V3sinAcosC=2sinBcosA-VBsinCcos/l?

從而可得，^sin(A+C)=2sinBcosA,

即sinB=2sin3cosA,又8為三角形的內(nèi)角,

所以sinBwO,于是COSA=Y3,

2

TT

又力為三角形內(nèi)角，因此，A=一.

6

(2),/cos^^--B^-2sin2y=sinB+cosC-1=sinB+cos^-^--B^-l

sinS+cos—cos5+sin—sinfi-1

66

3.A6

--smB------

22

由A=%可知，

6

因此，V3sinf5-^Vle-立市7

故cos]：-B)-2sin2]■的取值范圍為,V3-1

18.(I)證明見解析；(II)一立.

7

【分析】

(I)根據(jù)線段中點的性質(zhì)、平行四邊形形的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定

理和判定定理、平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；

(II)連結(jié)PE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可以證明出PF_L底面

ABCD,這樣可以建立以可，F(xiàn)B，麗分別為x,丁，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)

系，根據(jù)空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

(I)?.?BC//DF

二四邊形8C"是平行四邊形

:.BF//CD.

又〈CD上AD,;.BFA.AD.

又?.?面面ABC。，面PADD面ABCQ=AD,

BFu面ABC。

.?.3/_1_面94￡)

旦Bbu面BE尸

二平面龐產(chǎn)_L平面PA。.

(II)連結(jié)PF，?.?/%=「￡>，F(xiàn)為AO中點，.-.PF±AD

又PFu平面P4D，平面%D,平面ABCD,

平面PA。n平面ABCD=A。，

.?.Pb_L底面ABC。，

又BF工AD,以麗，麗，而分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

尸(0,01),。(一1,1,0),取平面ABC。的法向量1=(0,0,1)，定=(—l,l,T)，B(0,1,0),

土=」困」_V3

t=V6

.,.川0,0,司，E

設(shè)平面EBF的法向量%=(x,y,z),

n,■FE=-—x+—y+^-z=0

???<-222，令z=l，

%?麗=y=0

x=V6-n2=(76,0,1).

設(shè)二面角上一BE—A的平面角為。

■,■lC0S^=FTn=^

\m7

又。為鈍角，；.cose=-也，即二面角￡一即一A的余弦值為一立.

77

【點睛】

本題考查了證明面面垂直，考查了面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查了利用空間

向量夾角公式求二面角的平面角，考查了推理論證能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

19.(1)列聯(lián)表見解析，沒有超過90%的把握認(rèn)為“停車是否超過6小時”與性別有關(guān)；(2)

(i)分布列見解析，E(X)=14.65；(ii)P管22)=備

【分析】

(1)先根據(jù)頻數(shù)分布表填寫2x2列聯(lián)表,再將數(shù)據(jù)代入K2公式求解即可；

(2)(i)X的可取值為5,8,11,15,19,30,根據(jù)頻數(shù)分布表分別求得概率,進(jìn)而得到分布列,

并求得期望；(ii)先求得2(X〉14.65)=|,則4~8(3,1),進(jìn)而求得概率即可

【詳解】

100+100+200

(1)由題,不超過6小時的頻率為=0.4,則100輛車中有40輛不超過6

1000

小時,60輛超過6小時,

貝IJ2x2歹U聯(lián)表如下：

男女合計

不超過6小時103040

6小時以上204060

合計3070100

根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得y=l°°x(2°x30-10x40)=50?0.794<2.706

30x70x60x4063

所以沒有超過90%的把握認(rèn)為“停車是否超過6小時”與性別有關(guān)

(2)(i)由題意知:X的可取值為5,8,11,15,19,30,則

P（X=5）4，P（X=8）4,P（X=ll）q,P（X=15）q,

71

P"=19）=）,P（X=30）=與

所以X的分布列為:

X58ii151930

I

P（x）117I

ToTo552020

x-+8x—+llx-+15xl+19x—+30x—=14.65

E(X)=5

1010552020

=工+與+與=3，所以4~8

（ii）由題意得P(X>14.65)

520205

3

3x"烏81

所以P(4>2)=月傳=2)+P(J=3)=C；

255125125

【點睛】

本題考查獨(dú)立性檢驗的應(yīng)用，考查二項分布,考查離散型分布列及期望,考查數(shù)據(jù)處理能力與

運(yùn)算能力

2

20.（1）?+/=］；⑵Q,2及］

【分析】

1h21

（1）由匕-&=一：可得—勺=一上，再把已知點的坐標(biāo)代入后列出關(guān)于的方程組求解

2

4a4

可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵設(shè)直線PQ的方程為＞="（%＞0）,求出點A,C到直線PQ的距離4，4在，再由

直線與橢圓相交的弦長公式求得弦長|PQ|，表示出四邊形面積為左的函數(shù)，由函數(shù)性質(zhì)可

得取值范圍.

【詳解】

（1）設(shè)P（毛,為），則

為丫?！?/p>

2

毛+QxQ-aXg-a

又可+\=lny：="（a：*）,所以快=「=一①

a~h-aa4

13

又由橢圓C過點1,得②

2

由①②得。=2,b=\,故橢圓方程為三+丁=1.

4

（2）A（-2,0）,C（0,—1）,設(shè)直線尸Q的方程為丁=丘（2＞。），則點A,C到直線P,

J2k,1

。的距離分別為4=/,1&=~7^=.

y/k2+\"2+1

y=kx,

’22k、'所以闕=21”卜篙

又由《/2得產(chǎn)

丁)'1+1J—+1,

四邊形APQC的面積

S=+Q|(4+4)=￥^=2l+4k+4k2

2

2，1+4Kl+4k2

由，+4%e[4,+oo）得Se僅,2&].

k

故四邊形APCQ面積的取值范圍是（2,2血].

【點睛】

本題考查求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓相交的面積問題.解題時列出關(guān)于的方程組

是求方程的關(guān)鍵.直線與橢圓相交問題可設(shè)出直線方程為y="/>0),把面積用火表示,

然后由函數(shù)性質(zhì)得出取值范圍.

21.⑴當(dāng)—l<a<0時:/'(X)在(0,一?)上單調(diào)遞增，在卜等,+8)上單調(diào)遞減;

當(dāng)aNO時，尸(力在(0,+")上單調(diào)遞增；

(2)證明見解析.

【分析】

(1)先求導(dǎo)得/'(x)=a(lnx+l)-qJ,再分一1<。<0和?！?討論即可得/'(x)的

單調(diào)性；

⑵令函數(shù)g(x)=/(x)+x-二，則g<x)=/'(x)+l,結(jié)合(1)得在(0,+8)上g'(x)

單調(diào)遞增，g'⑴=0,進(jìn)而得在(0,1)上g(x)單調(diào)遞減，在(1，位)上g(x)單調(diào)遞增，再

結(jié)合g(l)<0,g(e)>0得％>，，x2<e,故x+eAz+g.

【詳解】

解：⑴/，(x)=a(lnx+l)一史±xe(0,+oo),

,a)一+”

XXX

若一1<。<0,

令/"(X)>0解得0<X<,即/'(X)在(o,-"1］單調(diào)遞增；

令/"(X)<0解得X>-號!■時，即/'(x)在‘等，+°°)上單調(diào)遞減.

若“20,易得當(dāng)％>0時，r(x)>0,即/'(X)在(0,+8)單調(diào)遞增.

故當(dāng)一1<。<0時，/'(X)在［o,—上單調(diào)遞增，在(一誓,+s］上單調(diào)遞減；當(dāng)

a20時，/'(x)在(O,+。)上單調(diào)遞增.

(2)令g(x)=/(x)+x-7則g'(x)=/'(x)+l.

由(1)知在(0,+8)上g'(x)單調(diào)遞增.

又g'⑴=/''⑴+1=0,所以在(0,1)上,g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減;在(1，內(nèi))上,

g1x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

⑴a/八131)人21八

又gL=——+(a+l)+----=