立體幾何與空間向量專項練習

高二（上）數(shù)學立體幾何與空間向量模塊卷試卷滿分150分考試時間120分鐘一．選擇題（共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．）已知，，，，，，，，，若，則的坐標是（）A．，， B．，，

C．，， D．，，如圖，正方形與矩形所在平面互相垂直，，，在上，且平面，則點的坐標為 （）A．，1，

B．，，

C．，，

D．，，現(xiàn)有同底等高的圓錐和圓柱，已知圓柱的軸截面是邊長為的正方形，則圓錐的側(cè)面積為（）A． B． C． D．在平行六面體中，，，，是的中點，用，，表示為 （）A． B． C． D．已知空間四個點，，，，，，，3，，，1，在同個平面內(nèi)，則實數(shù) （）A．1 B． C．0 D．如圖所示，已知正三棱柱的所有棱長均為1，則三棱錐的體積為（）A．

B．

C．

D．已知三棱柱的6個頂點都在球的球面上，若，，，，則球的半徑為 （）A． B． C． D．設(shè)，，向量，1，，，，，，，，且，，則 （）A． B． C．3 D．4二．多選題（共4小題，每小題5分，共20分．不選、錯選得0分，漏選得2分）已知為直線的方向向量，，分別為平面，的法向量，不重合），那么下列選項中，正確的是 （）A． B．

C． D．已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，有下列命題正確 （）A．若，，則

B．若，，則

C．若，，，則 D．若，，，則在長方體中，，，，以為原點，以，，分別為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標系，則下列說法正確的是（）A．，，

B．異面直線與所成角的余弦值為

C．平面的一個法向量為，，

D．二面角的余弦值為如圖，在直三棱柱中，，，已知與分別為和的中點，和分別為線段和上的動點（不包括端點），若，則線段的長度的平方可以取的值為 （）A．

B．

C．

D．1三．填空題（共4小題，每小題5分，共20分．）工匠準備將一塊棱長為4的正方體木頭切削成一個球，則該球的表面積的最大值為__________．如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，且，則直線與平面所成角為__________．在△中，，，沿中線折起，使，連，所得四面體的體積為，則此四面體內(nèi)切球的表面積為__________．如圖，在正四棱錐中，，點為的中點，．若，則實數(shù)__________．

（14題）（16題）四．解答題（共6小題，第17題10分，其余每題12分，共70分．）已知，，，，2，，，0，，．

（1）求實數(shù)的值；

（2）若，求實數(shù)的值．

如圖，直三棱柱中，，，且，分別是，的中點．

（1）求證：平面；

（2）求證：平面．

如圖，在四棱錐中，，，，底面為正方形，，分別為，的中點．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

如圖，在直三棱柱中，，，，點是的中點．

（1）求異面直線與所成角的余弦值；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．如圖，平行四邊形的邊所在的直線與菱形所在的平面垂直，且，．

（1）求證：平面平面；

（2）若，_____，求二面角的余弦值．從①，②這兩個條件中任選一個填入上面的橫線上，并解答問題．

如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面，，分別為，中點，．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在棱上是否存在一點，使平面？若存在，指出點的位置；若不存在，說明理由．

高二（上）數(shù)學_立體幾何與空間向量模塊卷參考答案與試題解析選擇題1．設(shè)點坐標為，，，則，，又，7，，，，則的坐標是，，故選：．2．設(shè)，交于點，連結(jié)正方形與矩形所在平面互相垂直，，在上，且平面，又，是平行四邊形是的中點，0，，故選：．3．由題意知，圓錐的高和底面直徑都為2則圓錐的母線長所以圓錐的側(cè)面積故選：．4．如圖示結(jié)合圖象得故選：．5．空間四個點，，，，，，，3，，，1，在同個平面內(nèi)，，，，，4，，，，，且，，，，，，，，解得，，故選：．6．正三棱柱的所有棱長均為1三棱錐的體積等于的體積，也等于的體積取的中點，則由正三棱柱的性質(zhì)可知，面三棱錐的體積故選：．7．因為三棱柱的6個頂點都在球的球面上若，，，所以三棱柱的底面是直角三角形，側(cè)棱與底面垂直，側(cè)面，經(jīng)過球的球心，球的直徑是其對角線的長因為，，，所以球的半徑為故選：．8．設(shè)，，向量，1，，，，，，，且，，解得，，1，，，，，故選：．多選題9．為直線的方向向量，，分別為平面，的法向量，不重合）則，，，或因此正確故選：．10．若，則與無公共點，又，則與無公共點，可得，故正確若，，則或，故錯誤若，，則，又，所以，故正確若，，或，又，所以與平行、相交或異面，故錯誤故選：．11．對于，，2，，，0，，，，，故正確對于，，0，，，0，，，0，，，，設(shè)異面直線與所成角為則異面直線與所成角的余弦值為，故錯誤對于，，2，，，0，，，2，設(shè)平面的一個法向量為，，則，取，得平面的一個法向量為，，，故正確對于，平面的一個法向量為，，平面的一個法向量為，1，二面角的余弦值為，又因為二面角為銳角，故正確故選：．12．以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系則，0，，，1，，，0，設(shè)，，則，0，，，，，，，，，，，，當時，線段長度的最小值是又時，線段長度的最大值是1而不包括端點，故不能取線段的長度的平方的取值范圍是，故選：．填空題13．由題意可知可切削的最大的球為該正方體的內(nèi)切球此時該球的半徑，表面積故答案為：．14．連接交于點因為平面，底面是正方形所以，，因此平面故平面連接，則即是直線與平面所成角又因，所以，所以，所以故答案為：．15．可知，面四面體的體積，得，所以四面體的表面積為設(shè)內(nèi)切球的半徑為，由，得內(nèi)切球的表面積為故答案為：．16．連接，交于以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系設(shè)，則，0，，，，，0，，，0，，，，，，，設(shè)，，則，，，，，，，，，，，解得實數(shù)故答案為：4．四．解答題17．（1），，，，2，，0，，0，，可設(shè)，，0，，0，，解得實數(shù)的值為2（2），，，，，解得18．（1）如圖，連接，交于，連接則為的中點，因為為的中點所以為△的中位線，所以又平面，平面所以平面（2）因為，為的中點，所以因為為直棱柱，所以平面，平面所以所以平面因為平面所以因為△，，所以，即因為所以平面19．（1）證明：，分別為，的中點又平面平面（2）如圖建立空間直角坐標系，設(shè)則，2，，，2，，，0，，，0，，，0，，，設(shè)平面的法向量為，則，可取設(shè)直線與平面所成角為，則20．（1）在直三棱柱中，，，，點是的中點以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，0，，，0，，，2，，，1，，0，，，，設(shè)異面直線與所成角為則異面直線與所成角的余弦值為（2），1，，，2，設(shè)平面的法向量，，則，取，得，，平面的法向量，1，設(shè)平面與平面的夾角為則平面與平面的夾角的余弦值為：21．（1）證明：，是等邊三角形，為中點，故，平面，，平面平面，平面平面（2）選①解：由（1）知平面，平面，平面平面，平面，平面平面又平面平面，平面平面，平面，是二面角的平面角，，，二面角的余弦值為選②解：由（1）得平面，平面，平面平面，平面，平面平面又平面平面平面平面，平面，，即為二面角的平面角，，，二面角的余弦值為22．（1）作的中點，連接，在中，，為中點平面，平面平面同理可證明平面平面，平面，平面平面平面平面（2）作垂直于，作，連接，做中點，連接為中點側(cè)面底面，