2023年湖南省安鄉(xiāng)縣高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知定義在R上的函數(shù)“X）滿足=且在（0,+◎上是增函數(shù)，不等式/（分+2）4/（—1）對(duì)于

xe[l,2]恒成立，則”的取值范圍是

D.[0,1]

x+y<2

2.若變量蒼兒滿足2x-3yV9,則八V的最大值為（)

x>0

81

A.3B.2C.—D.10

13

3.已知直三棱柱中ABC-AAG，NA3C=120°,AB=2,fiC=CC,=1,則異面直線Ag與BQ所成的角的

正弦值為（）.

A6RVio「而nV6

A.B.------C.------D.

2553

4.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與

一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，

在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1,4,8,14,23,36,54,則該數(shù)列的第19項(xiàng)為

（）（注：-+22+32+…+〃2=〃（〃+l）（2〃+D）

6

A.1624B.1024C.1198D.1560

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的"的值為（）

A.1B.2

C.3D.4

22

6.雙曲線三一二=/。>0,40，的離心率為由，則其漸近線方程為

ab'

A?y=±yj2xB?y=±yj3xC?y——XD?y=-t—y

7.若數(shù)列｛。"｝滿足q=15且3”e=34-2,則使4?4+|<0的人的值為（）

A.21B.22C.23D.24

13

8.已知a=logi213/,c=log”14,則a/,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.c>a>bC.h>c>aD.a>c>h

「一（力>）的左右焦點(diǎn)分別為片，

9.已知雙曲線C：5=1a>0OF2,尸為雙曲線C上一點(diǎn)，。為雙曲線C漸近

ab"

線上一點(diǎn)，P,。均位于第一象限，且2/=P/2，西?。尸2=0,則雙曲線C的離心率為（）

A.G—1B.V3+1C.713+2D.V13-2

10.已知正三棱錐A-BCD的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，其底面邊長(zhǎng)為4,E、F、G分別為側(cè)棱AB,AC,AD

的中點(diǎn).若。在三棱錐A-88內(nèi)，且三棱錐的體積是三棱錐體積的4倍，則此外接球的體積與

三棱錐O-EFG體積的比值為（）

A.6岳B.8百乃C.12岳D.24百萬

11.已知/為拋物線f=4y的準(zhǔn)線，拋物線上的點(diǎn)”至心的距離為4,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4,1）,貝的最小值是

（）

A.V17B.4C.2D.1+V17

2

12.已知￡,工是雙曲線。：「-產(chǎn)=1（”>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)6且垂直于X軸的直線與C相交于A,8兩點(diǎn)，

a

若|A用=0,則白AB6的內(nèi)切圓的半徑為（）

V3r2后n2百

A,也

3333

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.正方體—中，E是棱。2的中點(diǎn)，E是側(cè)面8QG上的動(dòng)點(diǎn)，且4尸//平面ABE,記用與產(chǎn)

的軌跡構(gòu)成的平面為a.

①三尸，使得

③a與平面CDQG所成銳二面角的正切值為2友；

④正方體的各個(gè)側(cè)面中，與a所成的銳二面角相等的側(cè)面共四個(gè).

其中正確命題的序號(hào)是.（寫出所有正確命題的序號(hào)）

r2V2

14.已知”，居分別是橢圓C：0+斗=1（a>h>0）的左、右焦點(diǎn)，過左焦點(diǎn)耳的直線與橢圓。交于A、B兩

ab

點(diǎn)，且M耳1=3|6耳|,|/回=忸可，則橢圓的離心率為.

15.《九章算術(shù)》中記載了“今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足。問人數(shù)、豕價(jià)各幾何？”.其意思是“若

干個(gè)人合買一頭豬，若每人出100,則會(huì)剩下100；若每人出90,則不多也不少。問人數(shù)、豬價(jià)各多少？”.設(shè)乂丁分別

為人數(shù)、豬價(jià)，則犬=—,丁=—.

16.如圖，在一個(gè)倒置的高為2的圓錐形容器中，裝有深度為〃的水，再放入一個(gè)半徑為1的不銹鋼制的實(shí)心半球后，

半球的大圓面、水面均與容器口相平，則〃的值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

IT

17.（12分）已知函數(shù)/（x）=sin（s+。）（。＞0,|例＜,）滿足下列3個(gè)條件中的2個(gè)條件：

①函數(shù)J'。）的周期為乃；

TT

②x=w是函數(shù)/（X）的對(duì)稱軸；

6

③/圖=0且在區(qū)間停3上單調(diào).

（I）請(qǐng)指出這二個(gè)條件，并求出函數(shù)/（X）的解析式；

71

（II）若xe0,-,求函數(shù)f（x）的值域.

18.（12分）如圖，。。的直徑A3的延長(zhǎng)線與弦CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P,E為。。上一點(diǎn)，AE=AC,DE交AB

于點(diǎn)F.求證：\PDF~^POC.

19.（12分）百年大計(jì)，教育為本.某校積極響應(yīng)教育部號(hào)召，不斷加大拔尖人才的培養(yǎng)力度，為清華、北大等排名前

十的名校輸送更多的人才.該校成立特長(zhǎng)班進(jìn)行專項(xiàng)培訓(xùn).據(jù)統(tǒng)計(jì)有如下表格.（其中x表示通過自主招生獲得降分資格

的學(xué)生人數(shù)，》表示被清華、北大等名校錄取的學(xué)生人數(shù)）

年份（屆）20142015201620172018

X4149555763

y8296108106123

（1）通過畫散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)x與）'之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求〉關(guān)于x的線性回歸方程；（保留兩位有效數(shù)字）

（2）若已知該校2019年通過自主招生獲得降分資格的學(xué)生人數(shù)為61人，預(yù)測(cè)2019年高考該?？既嗣５娜藬?shù)；

（3）若從2014年和2018年考人名校的學(xué)生中采用分層抽樣的方式抽取出5個(gè)人回校宣傳，在選取的5個(gè)人中再選取

2人進(jìn)行演講，求進(jìn)行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數(shù)x的分布列和期望.

Y.x^-nx-y

參考公式：B=R----------,d^y-bx

2-2

西-nx

Zi=\

55

參考數(shù)據(jù)：x=53?y=103,Z%)=27797,2x；=14325

/=1i=\

20.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平行于x軸的動(dòng)直線/交拋物線C：/=4x于點(diǎn)尸，點(diǎn)尸為C的焦點(diǎn).圓

心不在y軸上的圓M與直線/,PF,x軸都相切，設(shè)M的軌跡為曲線E.

（1）求曲線E的方程；

（2）若直線4與曲線E相切于點(diǎn)Q（s,f）,過。且垂直于4的直線為〃，直線4，4分別與7軸相交于點(diǎn)A，8當(dāng)線

段48的長(zhǎng)度最小時(shí)，求S的值.

21.（12分）設(shè)△49C的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為“、。、c.設(shè)S為AABC的面積，滿足S=￥（a2+c2—〃卜

⑴求8；

（2）若8=百，求2c的最大值.

x=1+cosa

22.（10分）已知在平面直角坐標(biāo)系X。），中，曲線。的參數(shù)方程為｛（。為參數(shù).0＜。＜2%）.以坐標(biāo)原點(diǎn)

y=sina

n

。為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為。=§（夕WR）,曲線C與直線/其中的一個(gè)交點(diǎn)

TT

為A,且點(diǎn)A極徑“產(chǎn)0?極角0S編＜5

（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程與點(diǎn)A的極坐標(biāo)；

（2）已知直線〃?的直角坐標(biāo)方程為x-6），=0,直線〃?與曲線。相交于點(diǎn)8（異于原點(diǎn)。），求AAO8的面積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

根據(jù)奇偶性定義和性質(zhì)可判斷出函數(shù)為偶函數(shù)且在（F,0）上是減函數(shù)，由此可將不等式化為TWor+2Kl；利用分

離變量法可得-三3WaW-上1，求得一二3的最大值和--1的最小值即可得到結(jié)果.

XXXx

【詳解】

v/(x)=/(-x).■./(X)為定義在R上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于.y軸對(duì)稱

又“X)在(0,+8)上是增函數(shù).."(X)在(-8,0)上是減函數(shù)

,.,/(ax+2)</(-1).,.|av+2|<l,即-14方+2<1

31

?.?-14辦+2〈1對(duì)于工€［1,2］恒成立上在［1,2］上恒成立

xx

33

---<a<—\,即a的取值范圍為：--不一1

22

本題正確選項(xiàng)：A

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解函數(shù)不等式的問題，涉及到恒成立問題的求解；解題關(guān)鍵是能夠利用函數(shù)單

調(diào)性將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，從而利用分離變量法來處理恒成立問題.

2.D

【解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解最大值即可.

【詳解】

'x+y<2

解：畫出滿足條件2x-3y?9的平面區(qū)域，如圖示：

x>0

如圖點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,-3),8(3,-1),C(0,2),

目標(biāo)函數(shù)￡+產(chǎn)的幾何意義為，可行域內(nèi)點(diǎn)(x,y)與坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)的距離的平方，由圖可知3(3,-1)到原點(diǎn)的距離

最大，故(f+y2k=32+(-1)2=10.

故選：D

本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

3.C

【解析】

設(shè)M,N,尸分別為46,8瓦和8c的中點(diǎn)，得出的夾角為"N和NP夾角或其補(bǔ)角，根據(jù)中位線定理,

結(jié)合余弦定理求出和4WNP的余弦值再求其正弦值即可.

【詳解】

根據(jù)題意畫出圖形：

設(shè)M,N,P分別為AB,8片和BC的中點(diǎn),

則的夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角

可知MN=LAB、=NP=-BC.=—

2'2212

作BC中點(diǎn)Q,則APQM為直角三角形;

PQ=\,MQ=^AC

△A6C中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosZABC=4+1—2x2xlx7

：.AC=BMQ=W

在中，=J仞°2+pQ2=半

V10

丁

故選：C

【點(diǎn)睛】

此題考查異面直線夾角，關(guān)鍵點(diǎn)通過平移將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的夾角，屬于較易題目.

4.B

【解析】

根據(jù)高階等差數(shù)列的定義，求得等差數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和，利用累加法求得數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求

得。19,

【詳解】

依題意

ans1,4,8,14,23,36,54.........

兩兩作差得

b?：3,4,6,9,13,18,......

兩兩作差得

cn：1,2,3,4,59......

設(shè)該數(shù)列為｛%｝,令2=%+「為，設(shè)色｝的前〃項(xiàng)和為紇，又令q,二%—%設(shè)｛%｝的前〃項(xiàng)和為Q.

日八+n47r「c孔2+幾n(n-l)n21

易％—〃，C—------,進(jìn)而得H〃]=3+C=3H---------9所以=3H--------------------〃+o3,貝m(ilJ

“2H+1〃2222

與=四土等二12+3〃，所以4川=1+紇，所以《9=1024.

6

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查新定義數(shù)列的理解和運(yùn)用，考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中

檔題.

5.B

【解析】

列出循環(huán)的每一步，進(jìn)而可求得輸出的〃值.

【詳解】

根據(jù)程序框圖，執(zhí)行循環(huán)前：a=0,b=0,n=0,

執(zhí)行第一次循環(huán)時(shí)：。=1,b=2,所以：92+赤K40不成立.

繼續(xù)進(jìn)行循環(huán)，…，

當(dāng)a=4,Z?=8時(shí)，6?+2?=40成立，n-1,

由于a25不成立，執(zhí)行下一次循環(huán)，

a=5,6=10,52+。2440成立，n=2,成立，輸出的〃的值為2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)和條件結(jié)構(gòu)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題型.

6.A

【解析】

分析：根據(jù)離心率得a,c關(guān)系，進(jìn)而得a,b關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果.

222

、45crIfc-a7br

詳解：e=~=,3,?*—=—:-=e-1=3-1=2,??—=[2,

aaaa

因?yàn)闈u近線方程為r=±1,所以漸近線方程為v=±區(qū)，選A.

a

2222

點(diǎn)睛：已知雙曲線方程：.'=>0戌漸近線方程：=0=^=i

aydVa

7.C

【解析】

222247

因?yàn)?。向一見二一§，所以?｝是等差數(shù)列，且公差1=一了4=15,貝!=—§幾十7，所

2472454547、

以由題設(shè)4?磯<0可得（一；〃+￡）（—（+三）<（）=￡<〃<?,貝!1〃=23,應(yīng)選答案C.

【解析】

由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)易得。最小，利用作差法，結(jié)合對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的性質(zhì)即可比較。和C的大小關(guān)

系，進(jìn)而得解.

【詳解】

13

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知（）</,=（竺<1,

U3J

由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知a=log]213>l,c=log1314>l,所以人最小;

而由對(duì)數(shù)換底公式化簡(jiǎn)可得a-c=logl213-log1314

Igl3_lgl4

lgl2lgl3

*13-Igl2-lgl4

Igl2-lgl3

2

由基本不等式可知[g12.Igl4V-(Igl2+lgl4),代入上式可得

Ig213—lgl2.lgl4〉電13./(lgl2+lgl4)

Igl2-lgl3Igl2-lgl3

/1A

lg213--lgl68

【2J

Igl2-lgl3

1A,1、

Igl3+-lgl68-Igl3--lgl68

2JI27

Igl2-lgl3

_(lgl3+lgV168)-(lgl3-lg^68)0

Igl2-lgl3

所以a>c,

綜上可知a>c>/?,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)變形，對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，作差法比較大小，屬于中檔題.

9.D

【解析】

22

由雙曲線的方程5-與=1的左右焦點(diǎn)分別為耳，6，P為雙曲線C上的一點(diǎn)，。為雙曲線C的漸近線上的一點(diǎn)，

a~b~

且P,Q都位于第一象限，且2萬=即1斯?至：=0,

可知P為。鳥的三等分點(diǎn)，且月，

點(diǎn)。在直線法-歐=0上，并且［0。=。，則。3加，F(xiàn)2（C,0）,

設(shè)「（%，%）,則2（%-a,%一3=（c一國(guó),一））,

耕由2a+c2bD/2a+c2b

解得x=-y-，y=T，即P（一^，?。?/p>

代入雙曲線的方程可得Q"+eV一L=1,解得e=￡=JT5-2,故選D.

4a24a

點(diǎn)睛：本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，離心率的求法，考查了轉(zhuǎn)化思想以及運(yùn)算能力，雙曲線的離心率是雙曲線最重

要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：①求出。，。，代入公式e=￡；②只需要

a

根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,4c的齊次式，轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式），

即可得e（e的取值范圍）.

10.D

【解析】

如圖，平面截球。所得截面的圖形為圓面，計(jì)算A〃=4O”，由勾股定理解得/?=逐，此外接球的體積為

生四萬，三棱錐O—EFG體積為亞，得到答案.

33

【詳解】

如圖，平面截球。所得截面的圖形為圓面.

正三棱錐4-6。中，過A作底面的垂線A”，垂足為H,與平面EFG交點(diǎn)記為K,連接“＞、HD.

依題意匕.BC/,=4%.B。，所以A”=4OH,設(shè)球的半徑為R,

在RSOHD中,OD=R,HD=-BC=^-，OH^-OA^-,

3333

由勾股定理：竽+（專），解得R=指，此外接球的體積為2476

----------71

3

由于平面EFGH平面BCD,所以AHJ_平面EFG,

球心。到平面EFG的距離為KO,

則KO=OA-KA=QA-LA"=R_2R=6=2!5,

2333

所以三棱錐O—EFG體積為，x，x走X42X，6=YZ,

34433

所以此外接球的體積與三棱錐O-EFG體積比值為24G萬.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三棱錐的外接球問題，三棱錐體積，球體積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.

11.B

【解析】

設(shè)拋物線焦點(diǎn)為尸，由題意利用拋物線的定義可得，當(dāng)尸,用，尸共線時(shí)，+4取得最小值，由此求得答案.

【詳解】

解：拋物線焦點(diǎn)?(0,1),準(zhǔn)線y=-l,

過M作交/于點(diǎn)N,連接FM

由拋物線定義|MV|=|“目=△,

:.\MP\+d=\MP\+\MF\>\PF\=^=4,

當(dāng)且僅當(dāng)只M，尸三點(diǎn)共線時(shí)，取“=”號(hào)，

.?.|陰+△的最小值為4.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

12.B

【解析】

設(shè)左焦點(diǎn)耳的坐標(biāo)，由A5的弦長(zhǎng)可得a的值，進(jìn)而可得雙曲線的方程，及左右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形48g

的面積，再由三角形被內(nèi)切圓的圓心分割3個(gè)三角形的面積之和可得內(nèi)切圓的半徑.

【詳解】

由雙曲線的方程可設(shè)左焦點(diǎn)耳(一。,0),由題意可得AB=—=42

a9

由b=1,可得Cl-J29

所以雙曲線的方程為：--/=]

2-

所以耳（一百,0）,名（百,0）,

所以S.ABF2=gAB-FR=g6.-26=^

三角形A8&的周長(zhǎng)為0=43+48+36=43+（24+4￡）+（24+3片）=4"+2鈣=4&+2及=60

設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r,所以三角形的面積S=!-C/=2-60"=30r,

所以3>j2r-\/6,

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查求雙曲線的方程和雙曲線的性質(zhì)及三角形的面積的求法，內(nèi)切圓的半徑與三角形長(zhǎng)周長(zhǎng)的一半之積等于三角

形的面積可得半徑的應(yīng)用，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.①@③④

【解析】

取CO中點(diǎn)G,G。中點(diǎn)/，CG中點(diǎn)N冼利用中位線的性質(zhì)判斷點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段MN,平面B]MN即為平面

a，畫出圖形，再依次判斷:①利用等腰三角形的性質(zhì)即可判斷;②直線BF與直線所成角即為直線BF與直線

所成角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,進(jìn)而求解;③由MN//EG飄F為MN中點(diǎn)，則MN±C.F,MN187，則ZB,FC,即為a

與平面CDD￡所成的銳二面角，進(jìn)而求解；④由平行的性質(zhì)及圖形判斷即可.

【詳解】

B

取CD中點(diǎn)G,連接EG,則EG//CQ,所以EG〃4B,所以平面AtBE即為平面\BGE,

取CQ中點(diǎn)M,CG中點(diǎn)N,連接B]M,B】N,MN,則易證得B.M〃BG,B、NHA、E,

所以平面用MN〃平面ABGE,所以點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段MN,平面與MN即為平面a.

①取F為MN中點(diǎn)，因?yàn)椤髋cMN是等腰三角形，所以B.FLMN，又因?yàn)镸N//C。，所以B.F±CD,，故①正確；

②直線BF與直線8C所成角即為直線BF與直線耳G所成角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,當(dāng)點(diǎn)F為MN中點(diǎn)時(shí)，直線

與直線B,C,所成角最小，此時(shí)6尸=1,tanNC4F=%=也；

24G4

當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)M或盡N重合時(shí)，直線87與直線8C所成角最大，此時(shí)tanZC,B,F=1,

所以直線BiF與直線BC所成角的正切值的取值范圍是[曰,g],②正確；

③a與平面CDD.C,的交線為EG,且MN//EG邀F為MN中點(diǎn)，則MN±C.F,MN±BR：.ZBtFC,即為a與平

面CDD￡所成的銳二面角,tan/耳/&=照=2起，所以③正確；

④正方體—的各個(gè)側(cè)面中，平面ABC。,平面平面8CC內(nèi)，平面A。，A與平面a所成的角

相等,所以④正確.

故答案為:①@③④

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與平面的空間位置關(guān)系，考查異面直線成角，二面角，考查空間想象能力與轉(zhuǎn)化思想.

14.叵

5

【解析】

設(shè)忸制=左，則|前|=3左,|回=|愿|=4左,由忸周+忸閭=|明|+|A閭=2a知,5Z=2a,|A閭=2%，作

BC1AF2，垂足為C,則C為4名的中點(diǎn)，在R/AA8C和AAEK中分別求出cosNBA鳥，進(jìn)而求出c,k的關(guān)系式，即可

求出橢圓的離心率.

【詳解】

如圖，設(shè)|%|=3則|納|=3左,|明=忸閭=4%，

由橢圓定義知跖|+忸用=|A￡|+|伍|=2a,

因?yàn)殁钪?忸瑪|=5%，所以5左=2a,|伍|=2左,

作8C_LAE，垂足為C,則C為4外的中點(diǎn),

在Rt^ABC中，因?yàn)閆BCA=90°,

國(guó)

所以AC2

cosZBAC2=左

XB4k4

在中，由余弦定理可得,

AAF,F2

|A娟2+|整「―忻封J

cosZFAF

l22河|4閭一4

即（3%）2+（2Z）-JL解得”巫3

2x32x2女42

V10,一

c2卜回

所以橢圓的離心率為e

a5^5

T

故答案為:典

5

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的離心率和直線與橢圓的位置關(guān)系;利用橢圓的定義,結(jié)合焦點(diǎn)三角形和余弦定理是求解本題的關(guān)鍵;屬于

中檔題、常考題型.

15.10900

【解析】

由題意列出方程組，求解即可.

【詳解】

lOOx-y=100

由題意可得｛2.八，解得x=10,y=900.

90x-y=0

故答案為10900

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二元一次方程組的解法，用消元法來求解即可，屬于基礎(chǔ)題型.

16.正

【解析】

由已知可得到圓錐的底面半徑，再由圓錐的體積等于半球的體積與水的體積之和即可建立方程.

【詳解】

設(shè)圓錐的底面半徑為廣，體積為V,半球的體積為匕，水(小圓錐)的體積為匕，如圖

丫五,4

則OA=r,OC=l,O3=2,BE=/?,所以ED=專,2xr=V777xl，解得產(chǎn)=§，

所以V=工萬/x2=號(hào)■乃，V.=—7T,V-,=—7rx(—)2xh=—7ih\

39132329

Q91

由丫=匕+匕，得萬+乃川,解得力=蚯.

故答案為：啦

【點(diǎn)睛】

本題考查圓錐的體積、球的體積的計(jì)算，考查學(xué)生空間想象能力與計(jì)算能力，是一道中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(I)只有①②成立，/(x)=sin(2x+￡)；(II).

【解析】

(I)依次討論①②成立，①③成立，②③成立，計(jì)算得到只有①②成立，得到答案.

7TTTTTJ7T

(n>得到上得到函數(shù)值域.

3666

【詳解】

/T、,/^一32jlA.cq71(0.71.7t71(0,“

(I)由①可得，—=乃=>。=2；由②得：----\-(p=k7r-\—=(p=卜兀A--------------,keZ、

co6226

.7VCD7UC0rT、兀兀7124、24c

由③得，----\r(p=m7T=>(p=mn--------,meZ,—N-----=—=>—>—=>0<69<3；

442263693

若①②成立，則啰=2,°=￡，/(x)=sin(2x+?J,

7777)7T

若①?成立，則9=相萬----=m兀------，meZ,不合題意，

42

若②③成立，則％萬+三一處=/"萬一處=3=120—攵)-626,in,keZ,

264

與③中的0＜啰＜3矛盾，所以②③不成立，

所以只有①②成立，/(x)=sin12x+2J.

TTTVTTS771

(II)由題意得，—=>—W2xd—<—=>—Wf(x)1

366629

所以函數(shù)/(X)的值域?yàn)?

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)的周期，對(duì)稱軸，單調(diào)性，值域，表達(dá)式，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.

18.證明見解析

【解析】

根據(jù)相似三角形的判定定理，已知兩個(gè)三角形有公共角NP,題中未給出線段比例關(guān)系，故可根據(jù)判定定理一需找到另外

一組相等角，結(jié)合平面幾何的知識(shí)證得NPFD=Z0CP即可.

【詳解】

證明：?.?A￡=AC,所以NCDE=NAOC,

又因?yàn)閆CDE=ZP+ZPFD,ZAOC=ZP+ZPCO,

所以NPFD=N0CP.

在AP。產(chǎn)與APOC中，ZP=NP，ZPFD=ZOCP,

故"DFMPOC.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面幾何中同弧所對(duì)的圓心角與圓周角的關(guān)系、相似三角形的判定定理;考查邏輯推理能力和數(shù)形結(jié)合思想;

分析圖形，找出角與角之間的關(guān)系是證明本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.

19.(1)y=1.79x+8.02；(2)117人；(3)分布列見解析，=g

【解析】

(1)首先求得；和y,再代入公式即可列方程，由此求得y關(guān)于X的線性回歸方程;

(2)根據(jù)回歸直線方程計(jì)算公式，計(jì)算可得人數(shù)；

(3)和被選中的人數(shù)分別為2和3,利用超幾何分布分布列的計(jì)算公式，計(jì)算出自的分布列，并求得數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

^x^-nx-y

7797-5x53x103251

(1)由題5二國(guó)^----------*1.79,

X""'2-214325—5x53z140

Xxi-nx

1=]

4=103—1.792x53=8.02

所以線性回歸方程為9=L79X+8.02

(若第一問求出4=103-1.79x53=8.13$=1.79x+8.13.)

(2)當(dāng)％=61時(shí),y=1.79x61+8.02?117

所以預(yù)測(cè)2019年高考該?？既朊５娜藬?shù)約為117人

(3)由題知和被選中的人數(shù)分別為2和3,進(jìn)行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數(shù)J的所有可能取值為0,1,2

尸便=°)咯4,-)=等=|，%=與咯亮

。的分布列為

012

133

P

W510

1QX

Ef=0x—+lx-+2x—=-

105105

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查平均數(shù)有關(guān)計(jì)算，考查回歸直線方程的計(jì)算，考查期望的計(jì)算，考查超幾何分布和數(shù)據(jù)處理能力，屬

于中檔題.

20.(1)/=x-\,(尸0)⑵19；心.

【解析】

⑴根據(jù)題意設(shè)M("Z,〃)，可得尸尸的方程2〃(x-l)-y(〃2—l)=0,根據(jù)距離即可求出;

（2）點(diǎn)。處的切線4的斜率存在，由對(duì)稱性不妨設(shè)7>0,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和斜率公式,,并構(gòu)造函數(shù)，利

用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值.

【詳解】

（1）因?yàn)閽佄锞€c的方程為y2=4x,所以尸的坐標(biāo)為（1,0）,

設(shè)因?yàn)閳AM與x軸、直線/都相切，/平行于x軸，

所以圓M的半徑為同，點(diǎn)P（/,2〃），

則直線尸產(chǎn)的方程為之=吃二L,即2〃（x———］）=o,

2nn~-1''

-ill

所以?'力二|〃|,又m，〃聲0,

J（2〃『+（"2—1）2

所以12/7?—n~—1|=/?"+1,即〃2+1=0，

所以E的方程為^=%一1,（y/0）,

⑵設(shè)。（戶+1,。，4（0,yj,B（0,%），

由（1）知，點(diǎn)。處的切線4的斜率存在，由對(duì)稱性不妨設(shè)/>0,

1.t—y.11t—vrr-----

由