2024屆甘肅省會(huì)寧縣第四中學(xué)高三第二次(5月)檢查數(shù)學(xué)試題_第1頁(yè)
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2024屆甘肅省會(huì)寧縣第四中學(xué)高三第二次(5月)檢查數(shù)學(xué)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖,正方體中,,,,分別為棱、、、的中點(diǎn),則下列各直線中,不與平面平行的是()A.直線 B.直線 C.直線 D.直線2.已知雙曲線的焦距是虛軸長(zhǎng)的2倍,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.3.若函數(shù)f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)滿足f(1)=,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]4.在直角梯形中,,,,,點(diǎn)為上一點(diǎn),且,當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí),()A. B.2 C. D.5.函數(shù)的大致圖象為A. B.C. D.6.一個(gè)超級(jí)斐波那契數(shù)列是一列具有以下性質(zhì)的正整數(shù):從第三項(xiàng)起,每一項(xiàng)都等于前面所有項(xiàng)之和(例如:1,3,4,8,16…).則首項(xiàng)為2,某一項(xiàng)為2020的超級(jí)斐波那契數(shù)列的個(gè)數(shù)為()A.3 B.4 C.5 D.67.已知集合,,則()A. B.C. D.8.設(shè),,則()A. B.C. D.9.復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則()A.i B.﹣2i C.2i D.﹣i10.已知,如圖是求的近似值的一個(gè)程序框圖,則圖中空白框中應(yīng)填入A. B.C. D.11.若滿足約束條件則的最大值為()A.10 B.8 C.5 D.312.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B.3 C. D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),若關(guān)于的方程在定義域上有四個(gè)不同的解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.14.已知關(guān)于的不等式對(duì)于任意恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)________.15.已知是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,則不等式的解集用區(qū)間表示為_(kāi)_________.16.已知,,求____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知矩陣,.求矩陣;求矩陣的特征值.18.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),解不等式;(2)設(shè),且當(dāng)時(shí),不等式有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)近幾年一種新奇水果深受廣大消費(fèi)者的喜愛(ài),一位農(nóng)戶發(fā)揮聰明才智,把這種露天種植的新奇水果搬到了大棚里,收到了很好的經(jīng)濟(jì)效益.根據(jù)資料顯示,產(chǎn)出的新奇水果的箱數(shù)x(單位:十箱)與成本y(單位:千元)的關(guān)系如下:x13412y51.522.58y與x可用回歸方程(其中,為常數(shù))進(jìn)行模擬.(Ⅰ)若該農(nóng)戶產(chǎn)出的該新奇水果的價(jià)格為150元/箱,試預(yù)測(cè)該新奇水果100箱的利潤(rùn)是多少元.|.(Ⅱ)據(jù)統(tǒng)計(jì),10月份的連續(xù)11天中該農(nóng)戶每天為甲地配送的該新奇水果的箱數(shù)的頻率分布直方圖如圖所示.(i)若從箱數(shù)在內(nèi)的天數(shù)中隨機(jī)抽取2天,估計(jì)恰有1天的水果箱數(shù)在內(nèi)的概率;(ⅱ)求這11天該農(nóng)戶每天為甲地配送的該新奇水果的箱數(shù)的平均值.(每組用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)參考數(shù)據(jù)與公式:設(shè),則0.541.81.530.45線性回歸直線中,,.20.(12分)定義:若數(shù)列滿足所有的項(xiàng)均由構(gòu)成且其中有個(gè),有個(gè),則稱為“﹣數(shù)列”.(1)為“﹣數(shù)列”中的任意三項(xiàng),則使得的取法有多少種?(2)為“﹣數(shù)列”中的任意三項(xiàng),則存在多少正整數(shù)對(duì)使得且的概率為.21.(12分)管道清潔棒是通過(guò)在管道內(nèi)釋放清潔劑來(lái)清潔管道內(nèi)壁的工具,現(xiàn)欲用清潔棒清潔一個(gè)如圖1所示的圓管直角彎頭的內(nèi)壁,其縱截面如圖2所示,一根長(zhǎng)度為的清潔棒在彎頭內(nèi)恰好處于位置(圖中給出的數(shù)據(jù)是圓管內(nèi)壁直徑大小,).(1)請(qǐng)用角表示清潔棒的長(zhǎng);(2)若想讓清潔棒通過(guò)該彎頭,清潔下一段圓管,求能通過(guò)該彎頭的清潔棒的最大長(zhǎng)度.22.(10分)如圖,四棱錐的底面ABCD是正方形,為等邊三角形,M,N分別是AB,AD的中點(diǎn),且平面平面ABCD.(1)證明:平面PNB;(2)問(wèn)棱PA上是否存在一點(diǎn)E,使平面DEM,求的值

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

充分利用正方體的幾何特征,利用線面平行的判定定理,根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù),判斷B的正誤.根據(jù)與相交,判斷C的正誤.根據(jù),判斷D的正誤.【題目詳解】在正方體中,因?yàn)?,所以平面,故A正確.因?yàn)椋?,所以平面故B正確.因?yàn)?,所以平面,故D正確.因?yàn)榕c相交,所以與平面相交,故C錯(cuò)誤.故選:C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正方體的幾何特征,線面平行的判定定理,還考查了推理論證的能力,屬中檔題.2、A【解題分析】

根據(jù)雙曲線的焦距是虛軸長(zhǎng)的2倍,可得出,結(jié)合,得出,即可求出雙曲線的漸近線方程.【題目詳解】解:由雙曲線可知,焦點(diǎn)在軸上,則雙曲線的漸近線方程為:,由于焦距是虛軸長(zhǎng)的2倍,可得:,∴,即:,,所以雙曲線的漸近線方程為:.故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),以及雙曲線的漸近線方程.3、B【解題分析】由f(1)=得a2=,∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上單調(diào)遞減,在[2,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)在(-∞,2]上單調(diào)遞增,在[2,+∞)上單調(diào)遞減,故選B.4、B【解題分析】

由題,可求出,所以,根據(jù)共線定理,設(shè),利用向量三角形法則求出,結(jié)合題給,得出,進(jìn)而得出,最后利用二次函數(shù)求出的最大值,即可求出.【題目詳解】由題意,直角梯形中,,,,,可求得,所以·∵點(diǎn)在線段上,設(shè),則,即,又因?yàn)樗裕?,?dāng)時(shí),等號(hào)成立.所以.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量線性運(yùn)算中的加法運(yùn)算、向量共線定理,以及運(yùn)用二次函數(shù)求最值,考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.5、A【解題分析】

因?yàn)?,所以函?shù)是偶函數(shù),排除B、D,又,排除C,故選A.6、A【解題分析】

根據(jù)定義,表示出數(shù)列的通項(xiàng)并等于2020.結(jié)合的正整數(shù)性質(zhì)即可確定解的個(gè)數(shù).【題目詳解】由題意可知首項(xiàng)為2,設(shè)第二項(xiàng)為,則第三項(xiàng)為,第四項(xiàng)為,第五項(xiàng)為第n項(xiàng)為且,則,因?yàn)?,?dāng)?shù)闹悼梢詾椋患从?個(gè)這種超級(jí)斐波那契數(shù)列,故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)列新定義的應(yīng)用,注意自變量的取值范圍,對(duì)題意理解要準(zhǔn)確,屬于中檔題.7、A【解題分析】

根據(jù)對(duì)數(shù)性質(zhì)可知,再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解.【題目詳解】∵,集合,∴由交集運(yùn)算可得.故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查由對(duì)數(shù)的性質(zhì)比較大小,集合交集的簡(jiǎn)單運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】

由不等式的性質(zhì)及換底公式即可得解.【題目詳解】解:因?yàn)?,,則,且,所以,,又,即,則,即,故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了不等式的性質(zhì)及換底公式,屬基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】

復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則實(shí)部為0,虛部不為0,求出,即得.【題目詳解】∵為純虛數(shù),∴,解得..故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的分類,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】

由于中正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)交替出現(xiàn),根據(jù)可排除選項(xiàng)A、B;執(zhí)行第一次循環(huán):,①若圖中空白框中填入,則,②若圖中空白框中填入,則,此時(shí)不成立,;執(zhí)行第二次循環(huán):由①②均可得,③若圖中空白框中填入,則,④若圖中空白框中填入,則,此時(shí)不成立,;執(zhí)行第三次循環(huán):由③可得,符合題意,由④可得,不符合題意,所以圖中空白框中應(yīng)填入,故選C.11、D【解題分析】

畫(huà)出可行域,將化為,通過(guò)平移即可判斷出最優(yōu)解,代入到目標(biāo)函數(shù),即可求出最值.【題目詳解】解:由約束條件作出可行域如圖,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式,.由圖可知當(dāng)直線過(guò)時(shí),直線在軸上的截距最大,有最大值為3.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線性規(guī)劃問(wèn)題.一般第一步畫(huà)出可行域,然后將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式,在可行域內(nèi)通過(guò)平移找到最優(yōu)解,將最優(yōu)解帶回到目標(biāo)函數(shù)即可求出最值.注意畫(huà)可行域時(shí),邊界線的虛實(shí)問(wèn)題.12、C【解題分析】

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體,該幾何體為由一個(gè)三棱柱體,切去一個(gè)三棱錐體,由柱體、椎體的體積公式進(jìn)一步求出幾何體的體積.【題目詳解】解:根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為:該幾何體為由一個(gè)三棱柱體,切去一個(gè)三棱錐體,如圖所示:故:.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了由三視圖求幾何體的體積、需熟記柱體、椎體的體積公式,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】

由題意可在定義域上有四個(gè)不同的解等價(jià)于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),運(yùn)用參變分離和構(gòu)造函數(shù),進(jìn)而借助導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性與極值,畫(huà)出函數(shù)圖象,即可得到所求范圍.【題目詳解】已知定義在上的函數(shù)若在定義域上有四個(gè)不同的解等價(jià)于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)與函數(shù)f(x)=lnx-x(x>0)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),聯(lián)立可得有兩個(gè)解,即可設(shè),則,進(jìn)而且不恒為零,可得在單調(diào)遞增.由可得時(shí),單調(diào)遞減;時(shí),單調(diào)遞增,即在處取得極小值且為作出的圖象,可得時(shí),有兩個(gè)解.故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查利用利用導(dǎo)數(shù)解決方程的根的問(wèn)題,還考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用,屬于難題.14、【解題分析】

先將不等式對(duì)于任意恒成立,轉(zhuǎn)化為任意恒成立,設(shè),求出在內(nèi)的最小值,即可求出的取值范圍.【題目詳解】解:由題可知,不等式對(duì)于任意恒成立,即,又因?yàn)椋?,?duì)任意恒成立,設(shè),其中,由不等式,可得:,則,當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,又因?yàn)樵趦?nèi)有解,,則,即:,所以實(shí)數(shù)的取值范圍:.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式恒成立問(wèn)題,利用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù),通過(guò)求新函數(shù)的最值求出參數(shù)范圍,考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.15、【解題分析】設(shè),則,由題意可得故當(dāng)時(shí),由不等式,可得,或求得,或故答案為(16、【解題分析】

求出向量的坐標(biāo),然后利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可計(jì)算出結(jié)果.【題目詳解】,,,因此,.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、;,.【解題分析】

由題意,可得,利用矩陣的知識(shí)求解即可.矩陣的特征多項(xiàng)式為,令,求出矩陣的特征值.【題目詳解】設(shè)矩陣,則,所以,解得,,,,所以矩陣;矩陣的特征多項(xiàng)式為,令,解得,,即矩陣的兩個(gè)特征值為,.【題目點(diǎn)撥】本題考查矩陣的知識(shí)點(diǎn),屬于??碱}.18、(1);(2).【解題分析】

(1)通過(guò)分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào),進(jìn)而解不等式組求得結(jié)果;(2)將不等式整理為,根據(jù)能成立思想可知,由此構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【題目詳解】(1)當(dāng)時(shí),可化為,由,解得;由,解得;由,解得.綜上所述:所以原不等式的解集為.(2),,,,有解,,即,又,,實(shí)數(shù)的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題考查絕對(duì)值不等式的求解、根據(jù)不等式有解求解參數(shù)范圍的問(wèn)題;關(guān)鍵是明確對(duì)于不等式能成立的問(wèn)題,通過(guò)分離變量的方式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為所求參數(shù)與函數(shù)最值之間的比較問(wèn)題.19、(Ⅰ)1131;(Ⅱ)(i);(ⅱ)125箱【解題分析】

(Ⅰ)根據(jù)參考數(shù)據(jù)得到和,代入得到回歸直線方程,,再代入求成本,最后代入利潤(rùn)公式;(Ⅱ)(?。┦紫确謩e計(jì)算水果箱數(shù)在和內(nèi)的天數(shù),再用編號(hào)列舉基本事件的方法求概率;(ⅱ)根據(jù)頻率分布直方圖直接計(jì)算結(jié)果.【題目詳解】(Ⅰ)根據(jù)題意,,所以,所以.又,所以.所以時(shí),(千元),即該新奇水果100箱的成本為8314元,故該新奇水果100箱的利潤(rùn).(Ⅱ)(i)根據(jù)頻率分布直方圖,可知水果箱數(shù)在內(nèi)的天數(shù)為設(shè)這兩天分別為a,b,水果箱數(shù)在內(nèi)的天數(shù)為,設(shè)這四天分別為A,B,C,D,所以隨機(jī)抽取2天的基本結(jié)果為,,,,,,,,,,,,,,,共15種.滿足恰有1天的水果箱數(shù)在內(nèi)的結(jié)果為,,,,,,,,共8種,所以估計(jì)恰有1天的水果箱數(shù)在內(nèi)的概率為.(ⅱ)這11天該農(nóng)戶每天為甲地配送的該新奇水果的箱數(shù)的平均值為(箱).【題目點(diǎn)撥】本題考查考查回歸直線方程,統(tǒng)計(jì),概率,均值的綜合問(wèn)題,意在考查分析數(shù)據(jù),應(yīng)用數(shù)據(jù),解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題型.20、(1)16;(2)115.【解題分析】

(1)易得使得的情況只有“”,“”兩種,再根據(jù)組合的方法求解兩種情況分別的情況數(shù)再求和即可.(2)易得“”共有種,“”共有種.再根據(jù)古典概型的方法可知,利用組合數(shù)的計(jì)算公式可得,當(dāng)時(shí)根據(jù)題意有,共個(gè);當(dāng)時(shí)求得,再根據(jù)換元根據(jù)整除的方法求解滿足的正整數(shù)對(duì)即可.【題目詳解】解:(1)三個(gè)數(shù)乘積為有兩種情況:“”,“”,其中“”共有:種,“”共有:種,利用分類計(jì)數(shù)原理得:為“﹣數(shù)列”中的任意三項(xiàng),則使得的取法有:種.(2)與(1)同理,“”共有種,“”共有種,而在“﹣數(shù)列”中任取三項(xiàng)共有種,根據(jù)古典概型有:,再根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算公式能得到:,時(shí),應(yīng)滿足,,共個(gè),時(shí),應(yīng)滿足,視為常數(shù),可解得,,根據(jù)可知,,,,根據(jù)可知,,(否則),下設(shè),則由于為正整數(shù)知必為正整數(shù),,,化簡(jiǎn)上式關(guān)系式可以知道:,均為偶數(shù),設(shè),則,由于中必存在偶數(shù),只需中存在數(shù)為的倍數(shù)即可,,.檢驗(yàn):符合題意,共有個(gè),綜上所述:共有個(gè)數(shù)對(duì)符合題意.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了排列組合的基本方法,同時(shí)也考查了組合數(shù)的運(yùn)算以及整數(shù)的分析方法等,需要根據(jù)題意21、(

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