專題10.3 二項式定理（原卷版）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練寶典（新高考專用）

第十章概率專題10.3二項式定理能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理，會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題．考點一通項公式的應(yīng)用考點二二項式系數(shù)與項的系數(shù)問題考點三二項式定理的綜合應(yīng)用1．二項式定理二項式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)二項展開式的通項Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示展開式的第k＋1項二項式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1，…，n)(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等．(2)增減性與最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時，中間的一項取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時，中間的兩項與相等，且同時取得最大值．(3)各二項式系數(shù)的和：(a＋b)n的展開式的各二項式系數(shù)的和為Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.常用結(jié)論1．Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.2．Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n).題型一通項公式的應(yīng)用1．的展開式中不含項，則實數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．2．若的展開式中第3項與第9項的系數(shù)相等，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為（

）A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項3．二項式的展開式為（

）A． B．C． D．4．二項式的展開式的第3項為（

）A． B． C． D．5．已知的二項式系數(shù)和為256，則的展開式中常數(shù)項為（

）A．1120 B． C．70 D．題型二二項式系數(shù)與項的系數(shù)問題6．設(shè)，已知的展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，且展開式中所有項的系數(shù)和為256，則中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．7．已知，，若，則該展開式各項的二項式系數(shù)和為（

）A．81 B．64 C．27 D．328．已知展開式的各項系數(shù)之和為，則展開式中的系數(shù)為（

）A．270 B． C．330 D．9．在的展開式中，所有的二項式系數(shù)之和為32，則所有系數(shù)之和為（

）A．1 B． C．0 D．3210．若的二項式系數(shù)之和為，則展開式中含的項是（）A． B． C． D．題型三二項式定理的綜合應(yīng)用11．習(xí)近平總書記在“十九大”報告中指出：堅定文化自信，推動社會主義文化繁榮興盛．“楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，最早在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)．歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晩近四百年．“楊輝三角”是中國數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就，激發(fā)起一批又一批數(shù)學(xué)愛好者的探究欲望．如圖，由“楊輝三角”，下列敘述正確的是（

）A．B．第2023行中從左往右第1013個數(shù)與第1014個數(shù)相等C．記第n行的第個數(shù)為，則D．第20行中第8個數(shù)與第9個數(shù)之比為12．設(shè)，則被除的余數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．813．已知，則下列描述正確的是

（

）A． B．除以5所得的余數(shù)是1C． D．14．二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓提出．二項式定理可以推廣到任意實數(shù)次冪，即廣義二項式定理：對于任意實數(shù)，，當(dāng)比較小的時候，取廣義二項式定理的展開式的前兩項可得：，并且的值越小，所得結(jié)果就越接近真實數(shù)據(jù)．用這個方法計算的近似值，可以這樣操作：，用這樣的方法，估計的近似值約為（

）15．中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究．設(shè)a，b，為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為．若，，則b的值可以是（

）A．2004 B．2005 C．2025 D．2026一、單選題1．二項式的展開式中，含項的系數(shù)是（

）A． B．462 C．792 D．2．已知二項式的展開式中僅有第項的二項式系數(shù)最大，則為（

）A． B． C． D．3．在的展開式中，含項的系數(shù)為（

）A． B．20 C． D．154．若的展開式中的系數(shù)為40，則（

）A．2 B． C．4 D．5．若的展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為16，則的展開式中的常數(shù)項為（

）A．6 B．8 C．28 D．566．在的展開式中，所有有理項的系數(shù)之和為（

）A．84 B．85 C．127 D．1287．的展開式中，的系數(shù)為（

）A．200 B．40 C．120 D．808．若，則下列計算錯誤的是（

）A． B．C． D．二、多選題9．關(guān)于二項式的展開式，下列結(jié)論正確的是（

）A．展開式所有項的系數(shù)和為 B．展開式二項式系數(shù)和為C．展開式中第5項為 D．展開式中不含常數(shù)項10．已知，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題11．設(shè)，則.12．的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則的展開式中所有項系數(shù)之和為.四、解答題13．已知，求下列各式的值：(1)；(2)；(3).14．閱讀材料，完成相應(yīng)任務(wù)：“賈憲三角”又稱“楊輝三角”，在歐洲則稱為“帕斯卡三角”如圖所示，它揭示了為非負(fù)數(shù)展開式的各項系數(shù)的規(guī)律．根據(jù)上述規(guī)律，完成下列問題：(1)直接寫出_____．(2)的展開式中項的系數(shù)是_____．(3)利用上述規(guī)律求的值，寫出過程．15．在二項式的展開式中，________________．給出下列條件：①所有項的二項式系數(shù)的和為64；②若展開式中第2項系數(shù)為12試在上面二個條件中選擇一個補充在上面的橫線上，并且完成下列問題：(1)求展開式的常數(shù)項；(2)求的展開式中的系數(shù)．16．中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會于2022年10月16日在北京召開．中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會是在全黨全國各族人民邁上全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家新征程、向第二個百年奮斗目標(biāo)