慶陽市正寧縣2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)達(dá)標(biāo)卷(含答案)

絕密★啟用前慶陽市正寧縣2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)達(dá)標(biāo)卷考試范圍：八年級上冊(人教版)；考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1、答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2、請將答案正確填寫在答題卡上評卷人得分一、選擇題（共10題）1.（2021?重慶）如圖，在?ΔABC??和?ΔDCB??中，?∠ACB=∠DBC??，添加一個(gè)條件，不能證明?ΔABC??和?ΔDCB??全等的是?(???)??A.?∠ABC=∠DCB??B.?AB=DC??C.?AC=DB??D.?∠A=∠D??2.（內(nèi)蒙古赤峰市克什克騰旗萃英學(xué)校八年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷）下列圖形中，是正多邊形的是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.長方形D.正方形3.（2022年春?太原期中）下列各式中能用平方差公式計(jì)算的是（）A.（a+3b）（3a-b）B.（3a-b）（3a-b）C.（3a-b）（-3a+b）D.（3a-b）（3a+b）4.（天津市紅橋區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷）下列因式分解正確的是（）A.x2-xy+x=x（x-y）B.x2-2x+4=（x-1）2+3C.ax3-9=a（x+3）（x-3）D.a3-2a2b+ab2=a（a-b）25.（江蘇省揚(yáng)州市江都市宜陵中學(xué)七年級（下）第四周周練數(shù)學(xué)試卷）下面計(jì)算中，正確的是（）A.（-2mn）3=8m3n3B.（m+n）3（m+n）2=m5+n5C.-（a3b2）3=-a9b6D.（-a4b）2=a6b26.（《第16章分式》2022年江西省宜豐縣新莊中學(xué)單元測試卷）下列各方程中是分式方程的是（其中a、b、c均為常數(shù)）（）A.=2B.=5C.x+=c+D.=2-7.（2016?寧波模擬）（2016?寧波模擬）如圖，點(diǎn)C，D在AB同側(cè)，∠CAB=∠DBA，下列條件中不能判定△ABD≌△BAC的是（）A.∠D=∠CB.BD=ACC.∠CAD=∠DBCD.AD=BC8.（2021?長安區(qū)二模）如圖，?AB//CD??，點(diǎn)?E??在?BC??上，?DE=EC??，若?∠B=35°??，則?∠BED=(???)??A.?70°??B.?145°??C.?110°??D.?140°??9.（2021?宜昌）從前，古希臘一位莊園主把一塊邊長為?a??米?(a>6)??的正方形土地租給租戶張老漢，第二年，他對張老漢說：“我把這塊地的一邊增加6米，相鄰的另一邊減少6米，變成矩形土地繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”如果這樣，你覺得張老漢的租地面積會(huì)?(???)??A.沒有變化B.變大了C.變小了D.無法確定10.（浙江省杭州市蕭山區(qū)城區(qū)四校九年級（下）期初數(shù)學(xué)試卷）下列變形正確的是（）A.（-3a3）2=-9a5B.2x2y-2xy2=0C.-÷2ab=-D.（2x+y）（x-2y）=2x2-2y2評卷人得分二、填空題（共10題）11.已知a-1=b+c，則代數(shù)式a（a-b-c）-b（a-b-c）+c（b+c-a）=．12.（北京市東城區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷）（2020年秋?東城區(qū)期末）如圖，AB=AC，點(diǎn)E，點(diǎn)D分別在AC，AB上，要使△ABE≌△ACD，應(yīng)添加的條件是．（添加一個(gè)條件即可）13.（江蘇省徐州市沛縣八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷）分式與的最簡公分母是．14.（山西省大同一中八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷）若÷有意義，則x的取值范圍為．15.（2022年春?太原期中）（2022年春?太原期中）如圖是一張邊長為3cm的正方形紙片ABCD．現(xiàn)要利用這張正方形紙片剪出一個(gè)腰長為2cm的等腰三角形，要求等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與正方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合，另外兩個(gè)頂點(diǎn)都在正方形的邊上，則剪下的等腰三角形的面積為cm2．16.（江蘇省泰州市靖江外國語學(xué)校八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷）已知：坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)F（0，2），點(diǎn)P為(m，m2+1)．（1）點(diǎn)P一定在（填：x軸上方或y軸右側(cè)）（2）記P到x軸距離為d1，點(diǎn)P與點(diǎn)F的距離為d2，證明：不論m取何值，總有d1=d2；（3）若點(diǎn)Q為坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，直接寫出使△PFQ為等邊三角形的Q點(diǎn)坐標(biāo)．17.（2022年貴州省黔南州惠水縣斷杉中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試卷（一）（））上海將在2022年舉辦世博會(huì)．黃浦江邊大幅宣傳畫上的“2010”如圖所示．從對岸看，它在水中倒影所顯示的數(shù)是．18.某自然數(shù)的最大的兩個(gè)約數(shù)之和為306，則這樣的自然數(shù)有：．19.（2021?福建）如圖，?AD??是?ΔABC??的角平分線．若?∠B=90°??，?BD=3??，則點(diǎn)?D??到20.（云南省保山市騰沖四中八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷）（2012秋?騰沖縣校級期中）小明從平面鏡子中看到鏡子對面鐘表的像如圖所示，這時(shí)的實(shí)際時(shí)間應(yīng)是．評卷人得分三、解答題（共7題）21.（2021?長沙模擬）計(jì)算：?|-122.（2020年秋?富順縣校級月考）已知x+=5，求：①x2+；②（x-）2．23.在正方形ABCD中，點(diǎn)F是對角線AC上任意一點(diǎn)，EF⊥BF交邊AD于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)BE．求∠EBF．24.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-ax+a+5=0．（1）無論a取任何值，該方程的根不可能為x=x0，寫出x0的值，并證明．（2）若a為正整數(shù)，且該方程存在正整數(shù)解，求所有正整數(shù)a的值．25.（江蘇省宿遷市宿豫區(qū)七年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷）用四塊完全相同的小長方形拼成的一個(gè)“回形”正方形．（1）用不同代數(shù)式表示圖中的陰影部分的面積，你能得到怎樣的等式，試用乘法公式說明這個(gè)等式成立；（2）利用（1）中的結(jié)論計(jì)算：a+b=2，ab=，求a-b；（3）根據(jù)（1）中的結(jié)論，直接寫出x+和x-之間的關(guān)系；若x2-3x+1=0，分別求出x+和（x-）2的值．26.（2022年四川省成都市錦江區(qū)中考數(shù)學(xué)一診試卷）如圖：已知在△ABC中，AB=AC，D為BC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F．（1）BE、CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（2）若∠A=90°，求證：四邊形DFAE是正方形．27.（組卷網(wǎng)合作校特供（帶解析）4）【題文】等邊△ABC的邊長為2，P是BC邊上的任一點(diǎn)（與B、C不重合），連接AP，以AP為邊向兩側(cè)作等邊△APD和等邊△APE，分別與邊AB、AC交于點(diǎn)M、N（如圖1）。（1）求證：AM=AN；（2）設(shè)BP=x。①若，BM=，求x的值；②記四邊形ADPE與△ABC重疊部分的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式以及S的最小值；③連接DE，分別與邊AB、AC交于點(diǎn)G、H（如圖2），當(dāng)x取何值時(shí)，∠BAD=150？并判斷此時(shí)以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是什么特殊三角形，請說明理由。參考答案及解析一、選擇題1.【答案】解：在?ΔABC??和?ΔDCB??中，?∵∠ACB=∠DBC??，?BC=BC??，?A??：當(dāng)?∠ABC=∠DCB??時(shí)，?ΔABC?ΔDCB(ASA)??，故?A??能證明；?B??：當(dāng)?AB=DC??時(shí)，不能證明兩三角形全等，故?B??不能證明；?C??：當(dāng)?AC=DB??時(shí)，?ΔABC?ΔDCB(SAS)??，故?C??能證明；?D??：當(dāng)?∠A=∠D??時(shí)，?ΔABC?ΔDCB(AAS)??，故?D??能證明；故選：?B??．【解析】根據(jù)證明三角形全等的條件?AAS??，?SAS??，?ASA??，?SSS??逐一驗(yàn)證選項(xiàng)即可．本題主要考查三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．2.【答案】【解答】解：正方形四個(gè)角相等，四條邊都相等，故選：D．【解析】【分析】根據(jù)正多邊形的定義；各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形可得答案．3.【答案】【解答】解：A、不符合兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，不能用平方差公式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、原式=（3a-b）2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、原式=-（3a-b）2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、符合平方差公式，故本選項(xiàng)正確．故選D．【解析】【分析】根據(jù)平方差公式對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一計(jì)算即可．4.【答案】【解答】解：A、原式=x（x-y+1），錯(cuò)誤；B、原式不能分解，錯(cuò)誤；C、原式不能分解，錯(cuò)誤；D、原式=a（a2-2ab+b2）=a（a-b）2，正確，故選D【解析】【分析】原式各項(xiàng)分解得到結(jié)果，即可做出判斷．5.【答案】【解答】解：A、（-2mn）3=-8m3n3，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、（m+n）3（m+n）2=（m+n）5，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、-（a3b2）3=-a9b6，正確；D、（-a4b）2=a8b2，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【解析】【分析】分別利用積的乘方運(yùn)算法則和同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則化簡求出答案．6.【答案】【解答】解：A、分母沒有未知數(shù)；B、分母也沒有未知數(shù)；C、分母中含有未知數(shù)x，符合條件；D、a，b都是常數(shù)，不是分式方程．綜上所述，故選C．【解析】【分析】分式方程是指分母中含有未知數(shù)的方程，據(jù)此判斷即可．7.【答案】【解答】解：A、添加條件∠D=∠C，還有已知條件∠CAB=∠DBA，BC=BC，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABD≌△BAC，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、添加條件BD=AC，還有已知條件∠CAB=∠DBA，BC=BC，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABD≌△BAC，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵∠CAB=∠DBA，∠CAD=∠DBC，∴∠DAB=∠CBA，還有已知條件∠CAB=∠DBA，BC=BC，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABD≌△BAC，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、添加條件∠D=∠C，還有已知條件∠CAB=∠DBA，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△BAC，故本選項(xiàng)正確；故選D．【解析】【分析】根據(jù)圖形知道隱含條件BC=BC，根據(jù)全等三角形的判定定理逐個(gè)判斷即可．8.【答案】解：?∵AB//CD??，?∠B=35°??，?∴∠C=∠B=35°??，又?∵DE=CE??，?∴∠EDC=∠C??，?∴∠BED=2∠C=70°??，故選：?A??．【解析】先由?AB//CD??，得?∠C=∠B=35°??，?DE=CE??，得?∠EDC=∠C??，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求得答案即可．此題考查的知識點(diǎn)是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出?∠C??的度數(shù)．9.【答案】解：矩形的面積為?(a+6)(a-6)?=a?∴??矩形的面積比正方形的面積??a2故選：?C??．【解析】矩形的長為?(a+6)??米，矩形的寬為?(a-6)??米，矩形的面積為?(a+6)(a-6)??，根據(jù)平方差公式即可得出答案．本題考查了平方差公式的幾何背景，列出矩形的面積的代數(shù)式，根據(jù)平方差公式計(jì)算是解題的關(guān)鍵．10.【答案】【解答】解：A、原式=9a6，錯(cuò)誤；B、原式不能合并，錯(cuò)誤；C、原式=-，正確；D、原式=2x2-4xy+xy-2y2=2x2-3xy-2y2，錯(cuò)誤．故選C．【解析】【分析】原式各項(xiàng)計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷．二、填空題11.【答案】【解答】解：∵a-1=b+c，∴a-b-c=1，∴a（a-b-c）-b（a-b-c）+c（b+c-a）（a-b-c）（a-b-c）=a-b-c=1．故答案為：1．【解析】【分析】直接將已知變形得出a-b-c=1，再利用提取公因式法分解因式得出答案．12.【答案】【解答】解：∵AB=AC，∠BAE=∠DAC，∴當(dāng)添加∠B=∠C時(shí)，可利用“ASA”判斷△ABE≌△ACD．故答案為∠B=∠C．【解析】【分析】根據(jù)“ASA”進(jìn)行添加條件．13.【答案】【解答】解：分式與的最簡公分母是6x2y2；故答案為：6x2y2．【解析】【分析】確定最簡公分母的方法是：（1）取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；（2）凡單獨(dú)出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡公分母的一個(gè)因式；（3）同底數(shù)冪取次數(shù)最高的，得到的因式的積就是最簡公分母．14.【答案】【解答】解：由若÷有意義，得x-2≠0，x-3≠0，x-4≠0，解得x≠2，x≠3且x≠4；故答案為：x≠2，x≠3且x≠4．【解析】【分析】根據(jù)分式分母不為零分式有意義，可得答案．15.【答案】【解答】解：①如圖，角的頂點(diǎn)是正方形的頂點(diǎn)，AC=AB=2cm，則剪下的等腰三角形的面積為：×2×2=2（cm2）；②頂角的頂點(diǎn)在正方形的邊上，∵AB=BC=2，∴BD=1．在直角△BCD中，由勾股定理得到CD==（cm），則剪下的等腰三角形的面積為：×2×=（cm2）．綜上所述，剪下的等腰三角形的面積為2cm2或cm2．故答案是：2或．【解析】【分析】分類討論：頂角的頂點(diǎn)是正方形的頂點(diǎn)，頂角的頂點(diǎn)在正方形的邊上，根據(jù)勾股定理，可得答案．16.【答案】【解答】（1）解：∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m2+1），又∵m2+1＞0，∴點(diǎn)P在x軸的上方．故答案為x軸的上方．（2）證明：∵P的坐標(biāo)為（m，m2+1）；∴d1=m2+1，P到點(diǎn)F（0，2）的距離為d2====m2+1∴d1=d2．（3）解：①當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上時(shí)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（m，0）．由題意可知：（m2+1）=2，解得m=±2，∴點(diǎn)Q（2，0）或（-2，0）．②當(dāng)點(diǎn)Q在y軸上點(diǎn)P的下方時(shí)，由題意：m2+1=2[2-（m2+1]，解得m=±，此時(shí)點(diǎn)Q（0，），當(dāng)點(diǎn)Q在y軸上點(diǎn)P的上方時(shí)，由題意：m2+1=2[（m2+1）-2]，解得m=±2，此時(shí)點(diǎn)Q（0，6），綜上所述點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，0）或（-2，0）或（0，）和（0，6）．【解析】【分析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)P的縱坐標(biāo)是非負(fù)數(shù)，由此可確定點(diǎn)P的位置．（2）求出d1與d2即可判定．（3）分兩種情形討論：：①當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上時(shí)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（m，0）．由題意可知：（m2+1）=2，解方程即可．②當(dāng)點(diǎn)Q在y軸上點(diǎn)P的下方時(shí)，由題意可知：m2+1=2[2-（m2+1]，解方程即可，當(dāng)點(diǎn)Q在y軸上點(diǎn)P的上方時(shí)，由題意可知：m2+1=2[（m2+1）-2]，解方程即可．17.【答案】【答案】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)求解，在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱．【解析】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，題中所顯示的數(shù)與5010成軸對稱，所以它在水中倒影所顯示的數(shù)是5010．18.【答案】【解答】解：306的約數(shù)有1、2、3、6、9、17、18、34、51、102、153、306．另一個(gè)數(shù)相應(yīng)為305、304、303、300、297、289、288、272、255、204、153、0．∴其第二大約數(shù)是61而不是1；其第二大約數(shù)是152不是2；其第二大約數(shù)是101而不是3；其第二大約數(shù)是150而不是6；其第二大約數(shù)是99而不是9；其第二大約數(shù)是17；其第二大約數(shù)是144而不是18；其第二大約數(shù)是136而不是34；其第二大約數(shù)是51；其第二大約數(shù)是102；其第二大約數(shù)是51而不是153；其第二大約數(shù)是153，而不是0；153、0不符合題意．故答案為289、255、204．【解析】【分析】一個(gè)數(shù)的最大約數(shù)是它本身，另一個(gè)約數(shù)肯定是最大約數(shù)的約數(shù)，那也肯定是306的約數(shù)，找出306的所有約數(shù)，一一分析排除即可．19.【答案】解：如圖，過點(diǎn)?D??作?DE⊥AC??于?E??，?∵AD??是?ΔABC??的角平分線．?∠B=90°??，?DE⊥AC??，?∴DE=BD=3?∴??點(diǎn)?D??到?AC??的距離為?3故答案為?3【解析】由角平分線的性質(zhì)可求?DE=BD=320.【答案】【解答】解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，題中所顯示的時(shí)刻成軸對稱，所以此時(shí)實(shí)際時(shí)刻為9：45．故答案為：9：45．【解析】【分析】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)求解，在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱．三、解答題21.【答案】解：原式?=1?=1?=-1【解析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)分別化簡得出答案．此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．22.【答案】【解答】解：①因?yàn)閤+=5，所以(x+)2=x2+2+=25，可得：x2+=23；②因?yàn)閤+=5，所以(x+)2=x2+2+=25，可得：(x-)2=x2+-2=23-2=21．【解析】【分析】①把已知等式兩邊平方，利用完全平方公式化簡解答即可；②利用完全平方公式化簡解答即可．23.【答案】【解答】解：如圖作FM⊥AD，F(xiàn)N⊥AB垂足分別為M、N．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠FAM=∠FAN=45°，∴FM=FN，∵∠NAM=∠AMF=∠ANF=90°，∴∠NFM=∠BFE=90°，∴∠BNF=∠EFM，在△FME和△FNB中，，∴△FME≌△FNB，∴FB=FE，∴∠BFE=90°，∴∠EBF=45°．【解析】【分析】作FM⊥AD，F(xiàn)N⊥AB垂足分別為M、N，先證明△FME≌△FNB得BF=EF即可解決問題．24.【答案】【解答】（1）答：x0=1．證明：當(dāng)x=1時(shí)，左邊=1-a+a+5=6，右邊=0，∴左邊≠右邊．∴該方程的根不可能為x=1．（2）解：△=（-a）2-4×1×（a+5）=a2-4a-20=（a-2）2-24．∵方程有正整數(shù)解，∴可設(shè)△=（a-2）2-24=t2（t為正整數(shù)），∴（a-2）2-t2=24．∴（a-2+t）（a-2-t）=24．∵a和t都是正整數(shù)，∴a-2+t和a-2-t同奇同偶，都是非負(fù)整數(shù)，且a-2+t＞a-2-t，∴或．解得：或．∴滿足條件的正整數(shù)a的值有9或7．【解析】【分析】（1）當(dāng)x=1時(shí)，無論a取任何值，等式的左邊的值都是定值6，顯然等式不成立．（2）由條件可知根的判別式是完全平方數(shù)，故可設(shè)△=（a-2）2-24=t2（t為正整數(shù)），即（a-2+t）（a-2-t）=24．由a和t都是正整數(shù)可得a-2+t和a-2-t同奇同偶，都是非負(fù)整數(shù)，且a-2+t＞a-2-t，故a-2+t和a-2-t分別為12、2或6、4，然后解方程組就可求出所有正整數(shù)a的值．25.【答案】【解答】解：（1）陰影部分的面積為：4ab或（a+b）2-（a-b）2，得到等式：4ab=（a+b）2-（a-b）2，說明：（a+b）2-（a-b）2=a2+2ab+b2-（a2-2ab+b2）=a2+2ab+b2-a2+2ab-b2=4ab．（2）（a-b）2=（a+b）2-4ab=()2-4×2=-8=，∴a-b=±．（3）根據(jù)（1）中的結(jié)論，可得：(x-)2=(x+)2-4，∵x2-3x+1=0，方程兩邊都除以x得：x-3+=0，∴x+=3，∴(x-)2=(x+)2-4=32-4=5．【解析】【分析】（1）根據(jù)陰影部分的面積=4個(gè)小長方形的面積=大正方形的面積-小正方形的面積，利用完全平方公式，即可解答；（2）根據(jù)完全平方公式解答；（3）根據(jù)完全平分公式解答．26.【答案】【解答】（1）答：BE=CF．證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD．在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD．∴BE=CF．（2）解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°．又∵∠A=90°，∴四邊形DFAE為矩形．∵△BED≌△CFD．∴DE=DF．∴四邊形DFAE為正方形．【解析】【分析】（1）證明△BED≌△CFD，由全等三角形的性質(zhì)可知BE=CF；（2）首先證明四邊形DFAE為矩形，然后由△BED≌△CFD可知DE=DF，從而可證明四邊形DFAE為正方形．27.【答案】【答案】（1）見解析（2）①②③直角三角形見解析【解析】【解析】（1）由△ABC、△APD和△APE都是等邊三角形可得邊角的相等關(guān)系，從而用ASA證明。（2）①由△BPM∽△CAP，根據(jù)對應(yīng)邊成比例得等式，解方程即可。②應(yīng)用全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)和勾股定理相關(guān)知識求得，用x的代數(shù)式表示S，用二次函數(shù)的最值原理求出S的最小值。③由∠BAD=150得到四邊形ADPE是菱形，應(yīng)用相關(guān)知識求解。求出DG、G