5.6函數(shù)y=Asin(ωxφ)課件-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

5.6函數(shù)y=Asin(ωx+φ)（本課需兩課時）yxO11復(fù)習(xí)引入1.怎樣用五點法作出正弦函數(shù)y=sinx在[0，2π]的圖象？2.問題：筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌輸工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用.明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理。假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都作勻速圓周運動．你能用一個合適的函數(shù)模型來刻畫盛水筒（視為質(zhì)點）距離水面的相對高度與時間的關(guān)系嗎?因筒車上盛水筒的運動具有周期性，可考慮用三角函數(shù)模型刻畫其運動規(guī)律．設(shè)經(jīng)過ts后，盛水筒M(視為質(zhì)點)從點P0逆時針運動到點P.則問題中與變量t和H相關(guān)的量：思考:如圖,將筒車抽象為圓，盛水筒抽象為圓上的點P，經(jīng)過時t后，盛水筒距離水面的高度H與哪些量有關(guān)？它們之間有怎樣的關(guān)系呢？筒車轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離

h，筒車的半徑

r，筒車轉(zhuǎn)動的角速度ω，盛水筒的初始位置P0及其對應(yīng)的初始角φ.函數(shù)②就是要建立的數(shù)學(xué)模型，只要將它的性質(zhì)研究清楚，就能把握盛水筒的運動規(guī)律了.由于h為常量，我們可以只研究函數(shù)①的性質(zhì).

我們以O(shè)為原點，以與水平面平行的直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系.設(shè)t=0時，盛水筒位于P0，以O(shè)x為始邊，OP0為終邊的角為φ，經(jīng)過

ts后運動到點P(x,y).于是，以O(shè)x為始邊，OP為終邊的角為ωt＋φ，并且有y＝rsin(ωt＋φ).①

所以盛水筒距離水面的高度H與時間t的關(guān)系是

H＝rsin(ωt＋φ)＋h.②前面我們利用三角函數(shù)的知識建立了一個形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0,ω>0)的函數(shù)，那么這個函數(shù)的圖象是什么樣子的呢？它又有些什么性質(zhì)呢?顯然，這個函數(shù)由參數(shù)A，ω，φ所確定．因此只要研究了這些參數(shù)的意義，知道了它們的變化對函數(shù)圖象的影響，就可以把握這個函數(shù)的性質(zhì).新知探究函數(shù)周期是____.①列表②描點、連線試用“五點法”畫出該函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象.探究1：φ對函數(shù)y＝sin(x＋φ)圖象的影響思考1：比較函數(shù)與的圖象的形狀和位置，你有什么發(fā)現(xiàn)？函數(shù)的圖象，可以看作是把函數(shù)圖象上所有的點向____平移_____個單位長度而得到的.π2πoyx左1-1所有的點向左(

>0)或向右(

<0)平移|

|

個單位結(jié)論1:函數(shù)y=sin(x+

)(

0)的圖象可以看作是把y=sinx的圖象上所有的點向左(當(dāng)

>0時)或向右(當(dāng)

<0時)平行移動|

|個單位而得到的.y=sinxy=sin(x+

)

的變化引起圖象位置發(fā)生變化(左加右減)平移變換練習(xí)探究2：

ω(ω>0)對函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)圖象的影響函數(shù)周期是____.用“五點法”畫出該函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象.①列表②描點、連線π2πoyx思考2：比較函數(shù)與的圖象的形狀和位置，你有什么發(fā)現(xiàn)？

1-1函數(shù)的圖象，可以看作是把的圖象上所有的點橫坐標(biāo)____到原來的___倍(縱坐標(biāo)____)而得到的.縮短不變用同樣的方法我們可以作出函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象，比較它與函數(shù)的圖象的形狀和位置，你又有什么發(fā)現(xiàn)？

函數(shù)的圖象，可以看作是把的圖象上所有的點橫坐標(biāo)_____到原來的_____倍（縱坐標(biāo)_____）而得到的.π2πoyx3π伸長2不變周期變換y=sinxy=sin

x縱坐標(biāo)不變

決定函數(shù)的周期結(jié)論2:函數(shù)

y=sin(

x+

)(>0)

的圖象可以看作是把

y=sin(x+

)

的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短(當(dāng)

>1時)或伸長(當(dāng)0<

<1時)到原來的

倍(縱坐標(biāo)不變)而得到的.所有的點橫坐標(biāo)縮短(

>1)或伸長(0<

<1)

倍探究3：A(A>0)對函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的影響

類比前面的研究過程，請同學(xué)們組內(nèi)交流討論A(A>0)對函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的影響如何研究.

1.為方便起見，不妨探究y=Asinx與y=sinx的圖象關(guān)系.提示：2.作函數(shù)、與的圖象，比較它們形狀和位置關(guān)系.2sinxsinxx作下列函數(shù)圖象:xO1-1y2-2函數(shù)、與的圖象間的變化關(guān)系.xO1-1y2-2振幅變換y=sin(

x+

)y=Asin(

x+

)所有的點縱坐標(biāo)伸長(A>1)或縮短(0<A<1)A倍橫坐標(biāo)不變結(jié)論三:函數(shù)y=Asin(

x+

)

(A>0且A1)的圖象可以看作是把y=sin(

x+

)

的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長(當(dāng)A>1時)或縮短(當(dāng)0<A<1時)到原來的A倍(橫坐標(biāo)不變)而得到的.A的大小決定這個函數(shù)的最大(小)值.y=Asin(

x+

)，xR的值域是[－A,A]，最大值是A，最小值是－A.C練習(xí)BCDC練習(xí)解:(1)列表典型例題(2)描點：(3)連線：xyo3-3例1.(2)如何由變換得的圖象？典型例題2πxyπO3-3方法1:(按先平移后變周期的順序變換)函數(shù)y=sinx

y=sin(x+)的圖象（3）橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍y=3sin(2x+)的圖象y=sin(2x+)的圖象（1）向左平移縱坐標(biāo)不變（2）橫坐標(biāo)縮短到原來的倍2πxyπO3-3方法2:(按先變周期后平移順序變換)（3）橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍y=3sin(2x+)的圖象y=sin(2x+)的圖象（1）橫坐標(biāo)縮短到原來的倍縱坐標(biāo)不變（2）向左平移

函數(shù)y=sinx

y=sin2x的圖象y=sinxy=sin(x+

)y=sin(

x+

)縱坐標(biāo)伸長A>1(縮短0<A<1)到原來的A倍y=Asin(

x+

)y=sinxy=Asin(

x+

)方法總結(jié):向左

>0(向右

<0)方法1:按先平移后變周期的順序變換平移|

|個單位縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)縮短

>1(伸長0<<1)到原來的

倍y=sinxy=sin

x縱坐標(biāo)伸長A>1(縮短0<A<1)到原來的A倍y=Asin(

x+

)y=sinxy=Asin(

x+

)縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)不變方法2:按先變周期后平移順序變換向左

>0(向右

<0)平移|

|/

個單位方法總結(jié):橫坐標(biāo)縮短

>1(伸長0<<1)到原來的倍典型例題求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)解析式的方法若設(shè)所求解析式為y＝Asin(ωx＋φ)，則在觀察函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上，可按以下規(guī)律來確定A，ω，φ.(1)由函數(shù)圖象上的最大值、最小值來確定|A|.(3)確定函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)中φ的值的兩種方法：①代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時A，ω已知，最好是代入圖象與x軸的交點)求解(此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)．(2)由函數(shù)圖象與x軸的交點確定T，由T＝，確定ω.感悟提升②五點對應(yīng)法：確定φ值時，往往以尋找“五點法”中的第一個零點(－，0)作為突破口．

“五點”的ωx＋φ的值具體如下：“第一點”(即圖象上升時與x軸的交點)為ωx＋φ＝0；“第二點”(即圖象的“峰點”)為ωx＋φ＝；“第三點”(即圖象下降時與x軸的交點)為ωx＋φ＝π；“第四點”(即圖象的“谷點”)為ωx＋φ＝；“第五點”為ωx＋φ＝2π.

選擇的點要認(rèn)清其屬“五點法”中的哪一位置點，并能正確代入列式，求得φ.鞏固練習(xí)新知探究例3.如圖，摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．某摩天輪最高點距地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m，設(shè)置有48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周大約需要30min．（1）游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動tmin后離地面的高度為Hm，求在轉(zhuǎn)動一周的過程中，H關(guān)于t的函數(shù)解析式；（2）求游客甲在開始轉(zhuǎn)動5min后離地面的高度；（3）若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差的最大值（精確到0.1）．典型例題

解：如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點P，以軸心O為原點，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．（1）設(shè)t＝0min時，游客甲位于點P（0，－55），根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要30min，以O(shè)P為終邊的角為

；新知探究可知座艙轉(zhuǎn)動的角速度約為rad／min，由題意可得

（2）當(dāng)t＝5時，（3）甲、乙兩人的位置分別用點A，B表示，則

．經(jīng)過tmin后甲距離地面的高度為點B相對于點A始終落后

rad，此時乙距離地面的高度為

新知探究