高等數(shù)學(xué)課件

矩陣2.1

矩陣的運(yùn)算

2.2

可逆矩陣矩陣乘積的行列式2.3

矩陣的分塊

宇宙之大，粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之迷、日用之繁，無(wú)處不用數(shù)學(xué)。

——

華羅庚2.1矩陣的運(yùn)算一、內(nèi)容分佈2.1.1認(rèn)識(shí)矩陣2.1.2矩陣的運(yùn)算2.1.3矩陣的運(yùn)算性質(zhì)2.1.4方陣的多項(xiàng)式2.1.5矩陣的轉(zhuǎn)置

二、教學(xué)目的

掌握矩陣的加法、乘法以及數(shù)與矩陣的乘法運(yùn)算法則及其基本性質(zhì)，並能熟練地對(duì)矩陣進(jìn)行運(yùn)算。掌握轉(zhuǎn)置矩陣及其運(yùn)算性質(zhì)。 掌握方陣的冪、方陣的多項(xiàng)式。三、重點(diǎn)、難點(diǎn)

矩陣的乘法運(yùn)算法則及其基本性質(zhì)，轉(zhuǎn)置矩陣及其運(yùn)算性質(zhì)。

2.1.1認(rèn)識(shí)矩陣稱(chēng)為F上

矩陣,簡(jiǎn)寫(xiě):

矩陣的產(chǎn)生有豐富的背景:線形方程組的係數(shù)矩陣…..,矩陣的應(yīng)用非常廣泛.

設(shè)F是數(shù)域,用F的元素排成的m行n列的數(shù)表

2.1.2矩陣的運(yùn)算定義1

(矩陣的數(shù)乘)給定數(shù)域F中的一個(gè)數(shù)k與矩陣A的乘積定義為

定義2（矩陣的加法）給定兩個(gè)

矩陣

A和B加法定義為:定義3（矩陣的乘法）給定一個(gè)

矩陣和一個(gè)

矩陣A和B的乘法定義為注意:相加的兩個(gè)矩陣必須同型,結(jié)果也同型;相乘的兩個(gè)矩陣必須:第一個(gè)的列數(shù)等於第二個(gè)的行數(shù),試問(wèn):結(jié)果的形狀?2.1.3矩陣的運(yùn)算性質(zhì)

矩陣和定義在矩陣上的運(yùn)算滿(mǎn)足如下運(yùn)算規(guī)律（其中A，B，C均為F上的矩陣，k，l為數(shù)域F中的數(shù)）(1)加法交換律

(2)加法結(jié)合律

(3)零矩陣

(4)負(fù)矩陣

(5)數(shù)乘結(jié)合律

(6)數(shù)乘分配律

(7)乘法結(jié)合律

(8)乘法分配律

注意:

矩陣的乘法不滿(mǎn)足交換律,

消去律:也不滿(mǎn)足.滿(mǎn)足:

的兩個(gè)矩陣稱(chēng)為可交換的.

2.1.4方陣的多項(xiàng)式單位矩陣:主對(duì)角線上全是1,其餘元素全是0的方陣稱(chēng)為單位矩陣,記為

或單位矩陣也可以記為

.它有如下性質(zhì):

方陣A的方冪:

規(guī)定:

設(shè)多項(xiàng)式

那麼,在多項(xiàng)式的等式中,用A代x可以作出形式相同的矩陣等式.2.1.5矩陣的轉(zhuǎn)置

設(shè)把矩陣的行與列互換之後，得到的矩陣稱(chēng)為矩陣

的轉(zhuǎn)置矩陣,

記為

或轉(zhuǎn)置有下麵的性質(zhì):(9)(10)(11)2.2可逆矩陣矩陣的乘積的行列式一、內(nèi)容分佈

2．2．1可逆矩陣的定義

2．2．2可逆矩陣的性質(zhì)

2．2．3初等矩陣的定義、性質(zhì)

2．2．4矩陣可逆的判別

2．2．5逆矩陣的求法

2．2．6矩陣乘積的行列式二、教學(xué)目的

1掌握逆矩陣的概念及矩陣可逆的判別

2掌握求逆矩陣的方法,尤其是能熟練利用矩陣的行初等變

換求逆矩陣。

3瞭解初等矩陣與初等變換的關(guān)係三、重點(diǎn)、難點(diǎn)

逆矩陣的求法矩陣可逆的判別2.2.1可逆矩陣的定義定義1A為F上n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=I稱(chēng)A為可逆矩陣（非奇異矩陣），B稱(chēng)為A的逆矩陣.例：A與B互為逆矩陣.注1有零行或零列的矩陣不可逆.

2.2.2可逆矩陣的性質(zhì)①A可逆，則A的逆矩陣唯一。證設(shè)B,C均為A的逆矩陣，則

AB=BA=I,AC=CA=IB=BI=BAC=（BA）C=IC=C

證注意到即得.證注意到

即得.④A可逆，則②A可逆，則可逆，且

由

有.證③A，B可逆，則AB也可逆，且.2.2.3初等矩陣的定義、性質(zhì)定義2

由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換所得的矩陣稱(chēng)為初等矩陣.n=4定理1

對(duì)A作初等行變換相當(dāng)於用同類(lèi)型的初等矩陣左乘A;對(duì)A作初等列變換相當(dāng)於用同類(lèi)型的初等矩陣右乘A。如1、交換A的i

，j行相當(dāng)於用.如2、把A的第i行乘以數(shù)k相當(dāng)於用.3、把A的第j

行乘以k後加到第i行相當(dāng)於用.即.定理2

初等矩陣可逆，且逆矩陣仍為初等矩陣.且引理1

，則.（初等變換不改變可逆性）.定理3

任一m×n矩陣A總可以通過(guò)初等變換化為證由定理2.1.2，A可通過(guò)行及列變換化為對(duì)（*）作第三種列變換即可化為2.2.4矩陣可逆的判別n階矩陣A可逆證明：①A可逆,則可逆，無(wú)零行，即.反之，若A→I，由I可逆知A可逆.②A→I，即I→A

即存在初等矩陣使注A可逆,則A可經(jīng)初等行變換化為I.③由①A→I，④2.2.5逆矩陣的求法①行初等變換法

A可逆，由，即存在初等矩陣，使即例1解：②公式法設(shè)令稱(chēng)

則由行列式的依行依列展開(kāi)公式，有即若A可逆，則|A|≠0，從而即

例2：

故例3：求矩陣的逆矩陣.解法一利用公式因?yàn)橛?jì)算每個(gè)元素的代數(shù)餘子式所以,解法二行初等變換法.所以例4

解矩陣方程其中解顯然A是可逆的.先求出再在原方程兩邊左乘得所以注：當(dāng)n>3時(shí)，求的計(jì)算量較大，因此公式（*）常用於理論的證明.2.2.6矩陣乘積的行列式引理2.2.6：n階矩陣A總可以通過(guò)第三種行和列的初等變換化為對(duì)角矩陣①若A的第一行、第一列元素不全為零，則總可使A的左上角的元素不為零.②若A的第一行，第一列元素全為零，則已具有的形式，同理，可以把化為繼續(xù)作第三種初等變換，則可將A化為對(duì)角形矩陣，且定理：設(shè)A，B為n階矩陣，則

|AB|=|A||B|證①若A為對(duì)角矩陣②對(duì)一般情形，由引理5.2.6，A可通過(guò)第三種變換化為對(duì)角矩陣，即存在初等矩陣使從而推廣

相當(dāng)於對(duì)作第三種行初等變換.故定理

A，B為m×n及n×p階矩陣，則秩（AB）≤秩A，秩（AB）≤秩B.特別當(dāng)A可逆時(shí)，秩（AB）=秩B.推論：

例5

A可逆，則存在n階可逆矩陣P，Q，使

PAQ=I證：A可逆，則一、內(nèi)容分佈

2.3.1分塊矩陣的概念

2.3.2分塊矩陣的運(yùn)算

2.3.3特殊的分塊矩陣二、教學(xué)目的

1掌握分塊矩陣的概念及分塊矩陣的運(yùn)算2掌握分塊準(zhǔn)對(duì)角,分塊三角陣,分塊次對(duì)角等特殊的分塊矩陣及相關(guān)公式三、重點(diǎn)、難點(diǎn)

利用矩陣的分塊作乘法運(yùn)算及如何利用分塊矩陣解題

2.3分塊矩陣

在行列式中任意取定了行.由這行元素所組成的一切級(jí)子式與它們的代數(shù)餘子式的乘積的和等於行列式.復(fù)習(xí):拉普拉斯(Laplace)定理一、分塊矩陣的概念定義

將矩陣用若干縱橫直線分成若干個(gè)小塊，每一小塊稱(chēng)為矩陣的子塊(或子陣),以子塊為元素形成的矩陣稱(chēng)為分塊矩陣。1.線性運(yùn)算

（加法與數(shù)乘）二.分塊矩陣的運(yùn)算2.乘法運(yùn)算符合乘法的要求例1

設(shè)為了求乘積AB，我們可以對(duì)A，B如下地分塊這裏I是二階單位矩陣，O是二階零矩陣.按照分塊矩陣的乘法，我們有這裏3.轉(zhuǎn)置運(yùn)算1.準(zhǔn)對(duì)角陣則三.特殊的分塊陣求A的行列式及逆。解

將矩陣分塊例22.分塊三角陣證明:解：將矩陣分塊例3解：將矩陣分塊例33.分塊次對(duì)角陣小結(jié):一.分塊矩陣的概念將矩陣用若干縱橫直線分成若干個(gè)小塊，每一小塊稱(chēng)為矩陣的子塊(或子陣),以子塊為元素形成的矩陣稱(chēng)為分塊矩陣。注意：分塊矩陣是以子塊為元素形成的矩陣，且子塊也是矩陣。作用：①簡(jiǎn)化高階矩陣運(yùn)算②簡(jiǎn)化運(yùn)算的表達(dá)形式二.分塊矩陣的運(yùn)算:1.線性運(yùn)算2.乘法運(yùn)算將矩陣的子塊視為元素時(shí)，矩陣應(yīng)符合運(yùn)算的要求相應(yīng)的子塊間也應(yīng)符合運(yùn)算的要求3.轉(zhuǎn)置運(yùn)算.注意：大塊小塊一起轉(zhuǎn)三.特殊的分塊矩陣準(zhǔn)對(duì)角,分塊三角陣分塊次對(duì)角一些重要公式

線性方程組3.1消元法3.2矩陣的秩線性方程組可解的判別法3.3線性方程組的公式解3.4結(jié)式和判別式偉大的數(shù)學(xué)家，諸如阿基米得、牛頓和高斯等，都把理論和應(yīng)用視為同等重要而緊密相關(guān)?！巳R因（KleinF，1849－1925）3.1消元法1.內(nèi)容分佈

3.1.1線性方程組的初等變換

3.1.2矩陣的初等變換階梯形矩陣

3.1.3線性方程組有解的判別2.教學(xué)目的:會(huì)用消元法解線性方程組3.重點(diǎn)難點(diǎn):線性方程組的消元解法

前一章中我們只討論了這樣的線性方程組，這種方程組有相等個(gè)數(shù)的方程和未知量，並且方程組的係數(shù)行列式不等於零，在這一章我們要討論一般的線性方程組：在實(shí)際的解線性方程組時(shí)，比較方便的方法是消元法.

（1）例1

解線性方程組：從第一和第三個(gè)方程分別減去第二個(gè)方程的1/2倍和2倍，來(lái)消去這兩個(gè)方程中的未知量（2）得到：為了計(jì)算的方便，把第一個(gè)方程乘以-2後，與第二個(gè)方程交換，得：把第二個(gè)方程的2倍加到第三個(gè)方程，消去後一方程中的未知量

，得到現(xiàn)在很容易求出方程組（2）的解.從第一個(gè)方程減去第三個(gè)方程的3倍，再?gòu)牡诙€(gè)方程減去第三個(gè)方程，得再?gòu)牡谝粋€(gè)方程減去第二個(gè)方程的5/3倍，得：這樣我們就求出方程組的解.①交換兩個(gè)方程的位置；②用一個(gè)不等於零的數(shù)某一個(gè)方程；③用一個(gè)數(shù)乘某一個(gè)方程後加到另一個(gè)方程.3.1.1線性方程組的初等變換線性方程的初等變換：對(duì)方程組施行下麵三種變換：這三種變換叫作線性方程組的初等變換.定理3.1.1

初等變換把一個(gè)線性方程組變?yōu)橐粋€(gè)與它同解的線性方程組線性方程組的（1）的係數(shù)可以排成下麵的一個(gè)表：而利用（1）的係數(shù)和常數(shù)項(xiàng)又可以排成下表：（3）（4）

3.1.2矩陣的初等變換定義1

由st個(gè)數(shù)排成一個(gè)s行t列的表

叫做一個(gè)s行t列（或s×t）的矩陣，

叫做這個(gè)矩陣的元素.

注意：矩陣和行列式在形式上有些類(lèi)似，但有完全不同的意義，一個(gè)行列式是一些數(shù)的代數(shù)和，而一個(gè)矩陣僅僅是一個(gè)表.

矩陣（3）和（4）分別叫作線性方程組（1）的系數(shù)矩陣和增廣矩陣.一個(gè)線性方程組的增廣矩陣顯然完全代表這個(gè)方程組.

定義2

矩陣的行（列）初等變換指的是對(duì)一個(gè)矩陣施行的下列變換：3)用某一數(shù)乘矩陣的某一行（列）後加到另一行（列），即用某一數(shù)乘矩陣的某一行（列）的每一個(gè)元素後加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上.1)交換矩陣的兩行（列）2)用一個(gè)不等於零的數(shù)乘矩陣的某一行（列），即用一個(gè)不等於零的數(shù)乘矩陣的某一行（列）的每一個(gè)元素；顯然，對(duì)一個(gè)線性方程組施行一個(gè)初等變換，相當(dāng)於對(duì)它的增廣矩陣施行一個(gè)對(duì)應(yīng)的行初等變換，而化簡(jiǎn)線性方程組相當(dāng)於用行初等變換化簡(jiǎn)它的增廣矩陣.因此我們將要通過(guò)化簡(jiǎn)矩陣來(lái)討論化簡(jiǎn)方程組的問(wèn)題.下我們給出一種方法，就一個(gè)線性方程組的增廣矩陣來(lái)解這個(gè)線性方程組，而不必每次把未知量寫(xiě)出.

在對(duì)於一個(gè)線性方程組施行初等變換時(shí)，我們的目的是消去未知量，也就是說(shuō)，把方程組的左端化簡(jiǎn).因此我們先來(lái)研究，利用三種行初等變換來(lái)化簡(jiǎn)一個(gè)線性方程組的係數(shù)矩陣的問(wèn)題.在此，為了敘述的方便，除了行初等變換外，還允許交換矩陣的兩列，即允許施行第一種列初等變換.後一種初等變換相當(dāng)於交換方程組中未知量的位置，這不影響對(duì)方程組的研究.在例1中，我們?cè)逊匠探M（2）的係數(shù)矩陣

先化為

然後，進(jìn)一步化為

定理3.1.2

設(shè)A是一個(gè)m行n列的矩陣：通過(guò)行初等變換和第一種列初等變換能把A化為以下形式：(5)這裏*表示矩陣的元素，但不同位置上的*表示的元素未必相同.證若是矩陣A的元素都等於零，那麼A已有（5）的形式進(jìn)而化為以下形式，

（6）

乘第一行，然後由其餘各行分別減去第一行的適當(dāng)倍數(shù)，矩陣A化為設(shè)某一不等於零，必要時(shí)交換矩陣的行和列，可以使這個(gè)元素位在矩陣的左上角.若B中，除第一行外，其餘各行的元素都是零，

那麼B已有（5）的形式.設(shè)B的後m

–1行中有一個(gè)元素b

不為零，把b

換到第二行第二列的交點(diǎn)位置，然後用上面同樣的方法，可把B化為如此繼續(xù)下去，最後可以得出一個(gè)形如（5）的矩陣.

形如（5）的矩陣可以進(jìn)一步化為形如（6）的矩陣是

顯然的.只要把由第一，第二，…，第r

–1行分別減去第r行的適當(dāng)倍數(shù)，再由第一，第二，…，第r–2行分別減去第r

–1行的適當(dāng)倍數(shù)，等等.3.1.3用消元法解線性方程組考察方程組（1）的增廣矩陣（4）.由定理4.1.2，我們可以對(duì)（1）的係數(shù)矩陣（3）施行一些初等變換而把它化為矩陣（6）.對(duì)增廣矩陣（4）施行同樣的初等變換，那麼（4）化為以下形式的矩陣：(7)與（7）相當(dāng)?shù)木€性方程組是（8）

由於方程組（8）可以由方程組（1）通過(guò)方程組的初等變換以及交換未知量的位置而得到，所以由定理4.1.1，方程組（8）與方程組（1）同解.因此，要解方程組（1），只需解方程組（8）.但方程組（8）是否有解以及有怎樣的解都容易看出.

這裏是1，2，…，n的一個(gè)全排列.情形1，

這時(shí)方程組（8）無(wú)解，因?yàn)樗尼醡–r個(gè)方程中至少有一個(gè)無(wú)解.因此方程組（1）也無(wú)解.

不全為零，情形2，當(dāng)r=n時(shí)，方程組（9）有唯一解，就是這也是方程組（1）的唯一解.全為零，這時(shí)方程組（8）方程組

同解.

(9)當(dāng)r<n時(shí)，方程組（9）可以改寫(xiě)成

(10)於是，給予未知量以任意一組數(shù)值，就得到（9）的一個(gè)解：這也是（1）的一個(gè)解.由於可以任意選取，用這一方法可以得到（1）的無(wú)窮多解.另一方面，由於（9）的任一解都必須滿(mǎn)足（10），所以（9）的全部解，亦即（1）的全部解都可以用以上方法得出.我們把未知量叫做自由未知量，而把（10）叫做方程組（1）的一般解.

例2

解線性方程組這樣，線性方程組（1）有沒(méi)有解，以及有怎樣的解，都可以從矩陣（7）看出.因此，我們完全可以就方程組（9）的增廣矩陣來(lái)解這個(gè)方程組.

施行行初等變換，並且注意，我們是要把其中所含的係數(shù)矩陣先化為（5），再化為（6）的形式.由第一和第二行分別減去第三行的5倍和2倍，然後把第三行換到第一行的位置，得

解：對(duì)增廣矩陣由第二行減去第三行的2倍，得

雖然我們還沒(méi)有把增廣矩陣化成（5）的形式，但已可看出，相當(dāng)於最後矩陣的線性方程組中的一個(gè)方程是

0=5所以原方程無(wú)解.例3

解線性方程組

解：這裏的增廣矩陣是繼續(xù)施行行初等變換，這一矩陣可以化為這個(gè)矩陣本質(zhì)上已有（5）的形式，這一點(diǎn)只要交換矩陣的第二和第三兩列就可以看出.進(jìn)一步由第一行減去第二行的三倍，得出相當(dāng)於（6）型的矩陣把第一行的適當(dāng)倍數(shù)加到其他各行，得對(duì)應(yīng)的線性方程組是把移到右邊，作為自由未知數(shù)，得原方程組的一般解：3.2矩陣的秩線性方程組可解的判別法1.內(nèi)容分佈3.2.1k階子式、矩陣秩的定義用初等變換求矩

陣的秩3.2.2線性方程組可解的判別法2.教學(xué)目的:1)理解矩陣秩的定義2)會(huì)用初等變換求矩陣的秩3)會(huì)用消元法解線性方程組3.重點(diǎn)難點(diǎn):矩陣秩的定義線性方程組的可解的判別法3.2.1k階子式、矩陣秩的定義用初等變換求矩陣的秩

在上一節(jié)課講述了用消元法來(lái)解線性方程組：(1)這個(gè)方法在實(shí)際解方程組是比較方便的，但是我們還有幾個(gè)問(wèn)題沒(méi)解決。簡(jiǎn)化為以下形式一個(gè)矩陣（甲）利用初等變換把方程組（1）的係數(shù)矩陣（2）（3）並且看到，在矩陣（3）中出現(xiàn)的整數(shù)r在討論中佔(zhàn)有重要的地位.但是我們對(duì)這個(gè)整數(shù)還沒(méi)有什麼瞭解.r和係數(shù)矩陣（2）究竟有什麼關(guān)係？它是由係數(shù)矩陣（2）所唯一決定的，還是依賴(lài)於所用的初等變換？因?yàn)槲覀兛梢杂貌煌某醯茸儞Q，把係數(shù)矩陣（2）化為形如（3）的矩陣.（乙）方程組（1）有解時(shí)，它的係數(shù)應(yīng)該滿(mǎn)足什麼條件？（丙）我們沒(méi)有得出，用方程組的係數(shù)和常數(shù)項(xiàng)來(lái)表示解的公式，而解的公式在理論上有重要的意義.矩陣的秩利用一個(gè)矩陣的元素可以構(gòu)成一系列的行列式..位於這些行列交點(diǎn)處的元素（不改變?cè)叵鄬?duì)的位置）所構(gòu)成的k

階行列式叫作這個(gè)矩陣的一個(gè)k階子式.我們看一看，在矩陣（3）中出現(xiàn)的整數(shù)r和這個(gè)矩陣的子式之間有些什麼關(guān)係.假定r>0.這時(shí)，矩陣（3）含有一個(gè)r階的子式：定義1

在一個(gè)s行t列的矩陣中，任取k行k列定義2

一個(gè)矩陣中不等於零的子式的最大階數(shù)叫做這個(gè)矩陣的秩.若一個(gè)矩陣沒(méi)有不等於零的子式，就認(rèn)為這個(gè)矩陣的秩是零.

按照定義，一個(gè)矩陣的秩的不能超過(guò)這個(gè)矩陣的行的個(gè)數(shù)，也不能超過(guò)它的列的個(gè)數(shù).一個(gè)矩陣A的秩用秩A來(lái)表示.

顯然，只有當(dāng)一個(gè)矩陣的元素都為零是，這個(gè)矩陣的秩才能是零.這個(gè)子式不等於零.但矩陣（3）不含階數(shù)高於r的不等於零的子式.這是因?yàn)?；在r=m或r=n時(shí)，矩陣（3）根本不含階數(shù)高於r的子式；而當(dāng)r<m，r<n時(shí)，矩陣（3）的任何一個(gè)階數(shù)高於r的了式都至少含有一個(gè)元素全為零的行，因而必然等於零.這樣，r等於矩陣（3）中的不等於零的子式的最大階數(shù).

證明我們先說(shuō)明以下事實(shí)：若是對(duì)一個(gè)矩陣A施行某一行或列的初等變換而等到矩陣B，那麼對(duì)B施行同一種初等變換又可以得到A.事實(shí)上，若是交換A的第i行與第j行而得到B，那麼交換B的第i行與第j列就得到A；若是把A的第i行乘以一不等於零的數(shù)a而得到B，那麼將B的第i行乘以1/a就又可以得到A；若是把A的第j行乘以數(shù)k加到第i行得到B，那麼B的第j行乘以–k加到第i行就得到A.列的初等變換的情形顯然完全一樣.現(xiàn)在我們就用第三種行初等變換來(lái)證明定理.定理3.2.1

初等變換不改變矩陣的秩.

並且A的秩是r.我們證明，B的秩也是r.先證明，B的秩不超過(guò)r.設(shè)矩陣B有s階子式D，而s>r.那麼有三種可能的情形:D不含第i行的元素，這時(shí)D也是矩陣A的一個(gè)s階子式，而s大於A的秩r

，因此D=0.

設(shè)把一矩陣的第j行乘以k加到第i行而得到矩陣B：因?yàn)獒嵋恍辛惺绞蔷仃嘇的一個(gè)s階子式.

②D含第i行的元素，也含第j行的元素.這時(shí)，由命題3.3.10這裏由於是矩陣A的一個(gè)s階的子式，而

與A的一個(gè)s階子式最多差一個(gè)符號(hào)，所以這兩個(gè)行列式都等於零，從而D=0.

D含第i行的元素，但不含第j行的元素，這時(shí)但我們也可以對(duì)矩陣B施行第三種行初等變換而得到矩陣A.因此，也有因此，在矩陣B有階數(shù)大於r的子式的情形，B的任何這樣的子式都等於零，而B(niǎo)的秩也不超過(guò)r.這樣，在任何情形，都有這樣，我們也就證明了，秩A=秩B

，即第三種行初等變換不改變矩陣的秩.對(duì)於其他的初等變換來(lái)說(shuō)，我們可以完全類(lèi)似地證明定理成立.這樣，我們就解決了前面的第一個(gè)問(wèn)題（甲）.定理3.2.1給了一種方法，不必計(jì)算一個(gè)矩陣A的子式就能求出A的秩來(lái).我們只需利用初等變換把A化成4.1中（5）型的矩陣，然後數(shù)一數(shù)，在化得的矩陣有幾個(gè)含有非零的元素的行.這樣，問(wèn)題（乙）也就容易解決.3.2.2線性方程組可解的判別法表示方程組（1）的增廣矩陣：證定理3.2.2

（線性方程組可解的判別法）線性方程組（1）有解的充分且必要條件是：它的係數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩.那麼的前n

列作成的矩陣A就是（1）的係數(shù)矩陣.利用定理3.1.2所指出的那種初等變換把化為並且用B表示的前n列作成的矩陣.那麼由定理3.2.1得：（4）

故定理得證.

現(xiàn)在設(shè)線性方程組（1）有解.那麼或者r=m，或者r<m

，而，這兩種情形都有秩.於是由（4）得，.反過(guò)來(lái)，設(shè)，那麼由（4）得，的秩也是r

，由此得，或者r=m

，或者r<m

而，因而方程組（1）有解.

定理3.2.3

設(shè)線性方程組的係數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩，那麼當(dāng)r

等於方程組所含的未知量的個(gè)數(shù)n時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)r<n

時(shí)，方程組有無(wú)窮多解.1.內(nèi)容分佈

3.3.1線性方程組的公式解

3.3.2齊次線性方程組及其非零解的概念

3.3.3齊次線性方程組有非零解的條件2.教學(xué)目的1)會(huì)用公式解法解線性方程組2)掌握齊次線性方程組有非零解的充要條件3.重點(diǎn)難點(diǎn)齊次線性方程組有非零解的充要條件3.3線性方程組的公式解3.3.1線性方程組的公式解例1

考察線性方程組

(1)(2)考慮線性方程組我們把這三個(gè)方程依次用來(lái)表示，

那麼在這三個(gè)方程間有以下關(guān)係：這就是說(shuō)，第三個(gè)方程是前兩個(gè)方程的結(jié)果。因此由中學(xué)代數(shù)知道，第三個(gè)方程可以舍去，亦即方程組和由它的前兩個(gè)方程所組成的方程組同解。來(lái)表示。若是在這m個(gè)方程中，某一個(gè)方程t個(gè)方程,使關(guān)係式同樣，把方程組（1）的m個(gè)方程依次用是其他的結(jié)果，也就是說(shuō)，若是存在t個(gè)數(shù)成立,那麼我們可以在方程組（1）中舍去方程而把方程組（1）化簡(jiǎn)。

定理3.3.1

設(shè)方程組（1）有解，它的係數(shù)矩陣A和增廣矩陣的共同秩是，那麼可以在（1）的m個(gè)方程中選出r個(gè)方程，使得剩下的m–r個(gè)方程中的每一個(gè)都是這r個(gè)方程的結(jié)果，因而解方程組（1）可以歸結(jié)為解由這r個(gè)方程所組成的線性方程組。

證由於方程組（1）的係數(shù)矩陣A的秩是r，所以A至少含有一個(gè)r階子式。為了敘述方便，

不妨假定D位在A的左上角，因而也位在增廣矩陣:的左上角：

現(xiàn)在我們證明，方程組（1）的後m-r個(gè)方程中的每一個(gè)都是（1）的前r個(gè)方程

(3)的結(jié)果.看（1）的後m-r個(gè)方程中的任一個(gè)，例如第個(gè)方程

我們需要證明，存在r個(gè)數(shù)，使得亦即使(4)為此我們先把看作是未知量，而來(lái)證明線性方程組（4）有解,方程組（4）的增廣矩陣是而的前r列作成（4）的係數(shù)矩陣B，我們要計(jì)算矩陣B和的秩。注意，的列剛好是方程組（1）的增廣矩陣的某些行。這樣，矩陣的左上角的

r階子式剛好是子式D的轉(zhuǎn)置行列式，因而不等於零：由於也是矩陣B的子式，所以矩陣B和的秩都至少是r，另一方面，矩陣的任一個(gè)r+1階子式都是的某一個(gè)r+1階子式的轉(zhuǎn)置行列式。由於的秩是r，所以的所有r+1階子式都等於零，由此得

必然等於零。但沒(méi)有階數(shù)高於r+1的子式，所以B和的秩都是r，而方程組（4）有解。這樣我們就證明了，方程組（1）的後m-r個(gè)方程都是（1）的前r個(gè)方程的結(jié)果，而解方程組（1）歸結(jié)為解方程組（3）。

假定方程組（1）滿(mǎn)足定理3.3.1的條件，於是由定理3.3.1，解方程組（1），只需解方程組（3）。我們分別看的情形。方程組（1）的公式解：

若是，那麼(3)就是方程個(gè)數(shù)等於未知量個(gè)數(shù)的一個(gè)線性方程組，並且它的係數(shù)行列式,所以(3)有唯一解，這個(gè)解可由克拉默規(guī)則給出，這個(gè)解也是方程組(1)的唯一解。

現(xiàn)在設(shè),這時(shí)方程組(3)的前r個(gè)未知量的係數(shù)所構(gòu)成的行列式，在方程組（3）中把含未知量的項(xiàng)移到右邊，方程組（3）可以寫(xiě)成：(3’)暫時(shí)假定是數(shù)，那麼（3’）變成r個(gè)未知量的r個(gè)方程。用克拉默規(guī)則解出得(5)這裏

把（5）中的行列式展開(kāi)，（5）可以寫(xiě)成(6)這裏都是可以由方程組（1）的係數(shù)和常數(shù)項(xiàng)表示的數(shù)。現(xiàn)仍舊把（6）中看成未知量，那麼（6）是一個(gè)線性方程組，從以上的討論容易看出，方程組（6）與方程組（3’）同解，因而和方程組（1）同解。正如用消元法解線性方程組的情形一樣，方程組（6）給出方程組（1）的一般解，而是自由未知量，要求方程組（1）的一個(gè)解，只需給予自由未知量任意一組數(shù)值，然後由（6）算出未知量的對(duì)應(yīng)值，並且（1）的所有解都可以這樣得到。

由於（6）的係數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都可以由方程組（1）的係數(shù)和常數(shù)項(xiàng)表出，所以（6）或它的前身（5）都給出求方程組（1）的解的公式。

例2

已知線性方程組的係數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩都是2，並且行列式(7)求解這個(gè)方程組的公式，並求出一個(gè)解。由定理3.3.1，解方程組（7）只需解前兩個(gè)方程，把作為自由未知量，移到右邊，得用克拉默規(guī)則解出得即：令，我們就得到方程組的一個(gè)解：用公式來(lái)求數(shù)字線性方程組的解是比較麻煩的，因?yàn)樾枰?jì)算許多行列式。因此在實(shí)際求線性方程組的解的時(shí)候，一般總是用消元法。但是在數(shù)學(xué)問(wèn)題中遇到線性方程組時(shí)，常常不需要真正求出它們的解，而是需要對(duì)它們進(jìn)行討論，在這種情況下，我們有時(shí)要用到（5）式或（6）式。3.3.2齊次線性方程組及其非零解的概念定義若是一個(gè)線性方程組的常數(shù)項(xiàng)都等於零，那麼這個(gè)方程組叫做一個(gè)齊次線性方程組.我們來(lái)看一個(gè)齊次線性方程組(8)

這個(gè)方程組永遠(yuǎn)有解：顯然就是方程組（8）的一個(gè)解，這個(gè)解叫做零解。如果方程組（8）還有其他解，那麼這些解就叫作非零解。齊次線性方程組永遠(yuǎn)有解.3.3.3齊次線性方程組有非零解的條件定理3.3.2

一個(gè)齊次線性方程組有非零解的充分且必要條件是：它的係數(shù)矩陣的秩r小於它的未知量的個(gè)數(shù)n。證當(dāng)時(shí)，方程組只有唯一解，它只能是零解。當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解，因而它除零解

外，必然還有非零解。

推論3.3.3

含有n個(gè)未知量n個(gè)方程的齊次線性方程組有非零解的充分且必要條件是：方程組的係數(shù)行列式等於零。

因?yàn)樵谶@一種情況，方程組係數(shù)行列式等於零就是說(shuō)，方程組的係數(shù)矩陣的秩小於n.

推論3.3.4

若在一個(gè)齊次線性方程組中，方程的個(gè)數(shù)m小於未知量的個(gè)數(shù)n，那麼這個(gè)方程組一定有解。因?yàn)樵谶@一情況，方程組的係數(shù)矩陣的秩r不能超過(guò)m，因而一定小於n.

1.內(nèi)容分佈

3.4.1結(jié)式與多項(xiàng)式的公根

3.4.2多項(xiàng)式的判別式2.教學(xué)目的:

瞭解多項(xiàng)式有公根的判別瞭解多項(xiàng)式的判別式的定義3.重點(diǎn)難點(diǎn):

多項(xiàng)式有公根的判別3.4結(jié)式和判別式3.4.1結(jié)式與多項(xiàng)式的公根

假設(shè)在C內(nèi)有公根依次用乘第一個(gè)等式,用乘第二個(gè)等式,我們得到以下個(gè)等式:這就表明,是一個(gè)含有個(gè)未知量,個(gè)方程的齊次線性方程組的非零解,因此係數(shù)行列式:必須等於零.

行列式D叫做多項(xiàng)式的結(jié)式,並且用符號(hào)

來(lái)表示.

結(jié)式不但有公根時(shí)等於零,而且當(dāng)時(shí)顯然也等於零.於是就得到

定理3.4.1

如果多項(xiàng)式

定理3.4.2

設(shè)

(i)如果而的全部根,那麼(1)有公根,或者,那麼它們的結(jié)式等於零.

是複數(shù)域C上多項(xiàng)式.是它們的結(jié)式.(ii)如果,而的全部根,那麼(2)證我們對(duì)m作數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明公式(1)。先看m=1的情形，這時(shí)的根是。而把行列式的第一列乘以加到第二列上，再把新的第二列乘以加到第三列上，…，最後，把新的第n列乘以加到第n+1列上，這時(shí)行列式中元素都被消去，而最後一行的元素依次等於因此假設(shè)當(dāng)時(shí)公式（1）成立。我們看的情形，這時(shí)令的全部根。那麼

這裏是一個(gè)k次多項(xiàng)式，它的根是比較的係數(shù)，我們有

因此把行列式的第一列乘以加到第二列上，再把新的第二列乘以加到第三列上，……，最後,把第n+k列乘以加到第n+k+1列上，並且注到我們得到把這個(gè)行列式依最後一列展開(kāi)，我們有

再依次把第n+2行乘以加到第n+1行，把第n+3行乘以加到第n+2行，……最後，把第n+k+1行乘以

加到第n+k行，於是這裏是位於最後的行列式左上角的n+k階行列式，它恰是多項(xiàng)式的結(jié)式，因此由歸納法的假設(shè)，於是公式（1）被證明。

容易看出，通過(guò)適當(dāng)對(duì)調(diào)行列式D的行，可以得到（3）

因此，如果而是的全部根，那麼由（1）可得（2）。定理3.4.3

如果多項(xiàng)式的結(jié)式等於零，那麼或者它們的最高次項(xiàng)係數(shù)都等於零，或者這兩個(gè)多項(xiàng)式有公根。證設(shè)，如果，那麼由（1），一定有某一，從而是的一個(gè)公根，如果那麼由（2）也可以推出有公根。

例1

多項(xiàng)式的結(jié)式是如果。以乘第一行加到第三行，然後按第一列展開(kāi)，得如果，同樣的計(jì)算也可以得到上面的等式。當(dāng)

時(shí)，上面的展開(kāi)式的右端等於零，不論在任何情形，上面的展開(kāi)式都成立。例如，沒(méi)有公根，因?yàn)檫@時(shí)。

如果，那麼

，從而有公根。實(shí)際上，5是這兩個(gè)多項(xiàng)式的公根。

現(xiàn)在利用結(jié)式來(lái)討論兩個(gè)二元多項(xiàng)式的公共零點(diǎn)問(wèn)題。

設(shè)是兩個(gè)複係數(shù)二元多項(xiàng)式，我們按x的降冪寫(xiě)出這兩個(gè)多項(xiàng)式：把分別看成f中和g中的係數(shù)，然後求出f

和g的結(jié)式，記作

，是y的一個(gè)多項(xiàng)式：如果多項(xiàng)式有公共零點(diǎn)，那麼以代替中的文字y，所得到的一元多項(xiàng)式有公根，由定理4.4.1，它們的結(jié)式，這就是說(shuō)，是多項(xiàng)式的一個(gè)根。反過(guò)來(lái)，如果結(jié)式有根，那麼以

代替多項(xiàng)式中的文字y，我們得到x的多項(xiàng)式的結(jié)式，因而由定理4.4.3，或者或者有公根。這樣，求兩個(gè)未知量?jī)蓚€(gè)方程的公共解可以歸結(jié)為求一個(gè)未知量的一個(gè)方程的根，也就是說(shuō)，可以用從兩個(gè)方程中消去一個(gè)未知量，所以這個(gè)過(guò)程通常叫做未知量的消去法。例2

求方程組（4）

的解。我們要消去未知量x，先把多項(xiàng)式f與g寫(xiě)成以下形式：解：求出f與g的結(jié)式這個(gè)結(jié)式有根。以代替中的文字y，所得的關(guān)於x的多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)係數(shù)都不等於零，所以對(duì)於每一，都可以得出方程組（4）的解。實(shí)際上，以代替y，我們得到這兩個(gè)多項(xiàng)式有公根，所以是方程組（4）的一個(gè)解，另一方面，以代替y，所得的多項(xiàng)式有公根，所以也是方程組（4）的一個(gè)解，因此，方程組（4）有兩個(gè)解：;；3.4.2多項(xiàng)式的判別式

最後，我們介紹一下多項(xiàng)式的判別式的概念，並且指出判別式與結(jié)式之間的關(guān)係。設(shè)

……………

是複數(shù)域C上一個(gè)n（n>1）次多項(xiàng)式，

令的全部根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）。乘積叫做多項(xiàng)式的判別式（這裏Π表示求積的符號(hào)）。由判別式的定義很容易看出，多項(xiàng)式有重根的充分且必要條件是它的判別式等於零。

由定理2.5.2容易推出，多項(xiàng)式有重根必要且只要與它的導(dǎo)數(shù)有公根，因?yàn)?，所以由定?.4.1和3.4.3，有重根必要且只要與的結(jié)式，由此可見(jiàn)，的判別式與結(jié)式

之間有密切的關(guān)係，下麵我們將導(dǎo)出這個(gè)關(guān)係，根據(jù)定理4.4.2，公式（1），我們有在C[x]裏，求導(dǎo)數(shù)，我們有所以這樣，

………………

在這個(gè)乘積裏，對(duì)於任意i和j（i>j）都出現(xiàn)兩個(gè)因式：

和，它們的乘積等於，由於滿(mǎn)足條件的指標(biāo)i和j一共有對(duì)，所以D是多項(xiàng)式的判別式

從表示的行列式的第一列顯然可以提出因數(shù)，因此多項(xiàng)式的判別式D可以表成由係數(shù)

所組成的一個(gè)行列式，因而是的多項(xiàng)式。於是

所以判別式是

例3

求二次多項(xiàng)式的判別式。先求出

解:

多項(xiàng)式

4.1一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算4.2多項(xiàng)式的整除性4.3多項(xiàng)式的最大公因式4.4多項(xiàng)式的分解4.5重因式4.6多項(xiàng)式函數(shù)多項(xiàng)式的根4.7複數(shù)和實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式4.8有理數(shù)域上多項(xiàng)式4.9多元多項(xiàng)式4.10對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式代數(shù)是搞清楚世界上數(shù)量關(guān)係的工具。――懷特黑德（1961－1947）當(dāng)數(shù)學(xué)家導(dǎo)出方程式和公式，如同看到雕像、美麗的風(fēng)景，聽(tīng)到優(yōu)美的曲調(diào)等等一樣而得到充分的快樂(lè)。--柯普寧(前蘇聯(lián)哲學(xué)家)快樂(lè)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，優(yōu)雅地欣賞數(shù)學(xué)。――匿名者

4.1一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算一、內(nèi)容分佈4.1.4多項(xiàng)式的運(yùn)算二、教學(xué)目的

掌握一元多項(xiàng)式的定義,有關(guān)概念和基本運(yùn)算性質(zhì).三、重點(diǎn)、難點(diǎn)

一元多項(xiàng)式的定義，多項(xiàng)式的乘法，多項(xiàng)式的運(yùn)算性質(zhì)。4.1.1認(rèn)識(shí)多項(xiàng)式4.1.2相等多項(xiàng)式4.1.3多項(xiàng)式的次數(shù)4.1.5多項(xiàng)式加法和乘法的運(yùn)算規(guī)則4.1.6多項(xiàng)式的運(yùn)算性質(zhì)4.1.1認(rèn)識(shí)多項(xiàng)式多項(xiàng)式令R是一個(gè)含有數(shù)1的數(shù)環(huán).R上一個(gè)文字x的多項(xiàng)式或一元多項(xiàng)式指的是形式運(yùn)算式

這裏n是非負(fù)整數(shù)而

都是R中的數(shù).

一元多項(xiàng)式常用符號(hào)

來(lái)表示.

注1：在多項(xiàng)式(1)中,叫做零次項(xiàng)或常數(shù)項(xiàng),叫做i次項(xiàng),

叫做i次項(xiàng)的係數(shù).

2：在一個(gè)多項(xiàng)式中，可以任意添上或去掉一些系數(shù)為零的項(xiàng)；若是某一個(gè)i次項(xiàng)的係數(shù)是1，那麼這個(gè)係數(shù)可以省略不寫(xiě)。4.1.2相等多項(xiàng)式

定義若是數(shù)環(huán)R上兩個(gè)一元多項(xiàng)式,f(x)和g(x)有完全相同的項(xiàng),或者只差一些係數(shù)為零的項(xiàng),那麼f(x)和g(x)就說(shuō)是相等.

f(x)=g(x)4.1.3多項(xiàng)式的次數(shù)叫做多項(xiàng)式

的最高次項(xiàng),非負(fù)整數(shù)n叫做多項(xiàng)式

的次數(shù).記作注：係數(shù)全為零的多項(xiàng)式?jīng)]有次數(shù),這個(gè)多項(xiàng)式叫做零多項(xiàng)式，記為0.

4.1.4多項(xiàng)式的運(yùn)算

多項(xiàng)式的加法

給定數(shù)環(huán)R上兩個(gè)多項(xiàng)式且m≤n,f(x)和g(x)的加法定義為這裏當(dāng)m<n

時(shí)，多項(xiàng)式的乘法

給定數(shù)環(huán)R上兩個(gè)多項(xiàng)式f(x)和g(x)的乘法定義為這裏多項(xiàng)式的減法

4.1.5多項(xiàng)式加法和乘法的運(yùn)算規(guī)則

（1）加法交換律:（2）加法結(jié)合律:

（3）乘法交換律:（4）乘法結(jié)合律:（5）乘法對(duì)加法的分配律:

注意：要把一個(gè)多項(xiàng)式按“降冪”書(shū)寫(xiě)當(dāng)

時(shí)，

叫做多項(xiàng)式的首項(xiàng).4.1.6多項(xiàng)式的運(yùn)算性質(zhì)

定理是數(shù)環(huán)R上兩個(gè)多項(xiàng)式,並且.那麼

（i）當(dāng)

時(shí),

（ii）

證:

且

那麼（1）

（2）

由（1），的次數(shù)顯然不超過(guò)n，另一方面，，所以由(2)得的次數(shù)是n+m.推論2

證

由得

。但

所以由推論1必有,即

證若是

中有一個(gè)是零多項(xiàng)式，那麼由多項(xiàng).若是

那麼由上面定理的證明得式乘法定義得

或推論1

當(dāng)

是什麼數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式

（1）是零多項(xiàng)式？（2）是零次多項(xiàng)式？例4.2多項(xiàng)式的整除性一、內(nèi)容分佈4.2.1多項(xiàng)式的整除概念4.2.2多項(xiàng)式整除性的一些基本性質(zhì)4.2.3多項(xiàng)式的帶餘除法定理4.2.4係數(shù)所在範(fàn)圍對(duì)整除性的影響

二、教學(xué)目的

1．掌握一元多項(xiàng)式整除的概念及其性質(zhì)。2．熟練運(yùn)用帶餘除法。三、重點(diǎn)、難點(diǎn)

多項(xiàng)式的整除概念，帶餘除法定理4.2.1多項(xiàng)式的整除概念設(shè)F是一個(gè)數(shù)域.F[x]是F上一元多項(xiàng)式環(huán).

定義1

，如果存在

，使得

，則稱(chēng)整除，記為

，此時(shí)稱(chēng)

是的因式，否則稱(chēng)不能整除，記為

4.2.2多項(xiàng)式整除性的一些基本性質(zhì)（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

4.2.3多項(xiàng)式的帶餘除法定理定理

，且

，則存在使得這裏，或者並且滿(mǎn)足上述條件的

只有一對(duì)。注1：

分別稱(chēng)為

所得的商式和餘式注2：

證：

先證定理的前一部分.（i）若

,或

.則可以?。╥i）若,且

按降冪書(shū)寫(xiě):這裏,並且，並記有以下性質(zhì)：或者

若是.則對(duì)重複上面的過(guò)程。如此進(jìn)行，我們得出一列多項(xiàng)式：使得而由於多項(xiàng)式的次數(shù)是遞降的,故存在k使，於是便給出了所說(shuō)的表示。現(xiàn)在證明定理的後一部分．假設(shè)f

(x)有兩種符合定理中要求的表示法：那麼上式右邊或者為零，或者次數(shù)小於而左邊或者是零，或者次數(shù)不小於因此必須兩邊均為零，從而4.2.4係數(shù)所在範(fàn)圍對(duì)整除性的影響是兩個(gè)數(shù)域，並且，那麼多項(xiàng)式環(huán)含有多項(xiàng)式環(huán)F[x]．因此Ｆ上的一個(gè)多項(xiàng)式也是上的一個(gè)多項(xiàng)式．，則如果在F[x]裏不能整除，那麼在裏

也不能整除事實(shí)上，若，那麼由於在F[x]裏不能整除不能等於0．因此在裏

顯然仍不能整除假定，那麼在Ｆ[x]裏，以下等式成立：並且．但是F[x]的多項(xiàng)式都是的多項(xiàng)式，因而在裏，這一等式仍然成立．於是由的唯一性得出，在裏也不能整除例1確定m

，使例2設(shè)適合什麼條件時(shí)，整除。問(wèn)4.3多項(xiàng)式的最大公因式一.內(nèi)容分佈

4.3.1多項(xiàng)式公因式,最大公因式,互素概念4.3.2用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公因式.二.教學(xué)目的

1.掌握最大公因式,互素概念.2.熟練掌握輾轉(zhuǎn)相除法3.會(huì)應(yīng)用互素的性質(zhì)證明整除問(wèn)題三.重點(diǎn),難點(diǎn)

輾轉(zhuǎn)相除法求最大公因式.證明整除問(wèn)題令和是F[x]的兩個(gè)多項(xiàng)式，若是F[x]的一個(gè)多項(xiàng)式同時(shí)整除和，那麼叫做

與的一個(gè)公因式.定義2

設(shè)是多項(xiàng)式與的一個(gè)公因式.若是能被與的每一個(gè)公因式整除,那麼叫做

與的一個(gè)最大公因式.定義1

的任意兩個(gè)多項(xiàng)式與一定有最大公因式.除一個(gè)零次因式外,與的最大公因式是唯一確定的,這就是說(shuō)，若是與的一個(gè)最大公因式，那麼數(shù)域F的任何一個(gè)不為零的數(shù)c與的乘積，而且當(dāng)與不全為零多項(xiàng)式時(shí)，只有這樣的乘積是與的最大公因式.定理4.3.1解：對(duì)施行輾轉(zhuǎn)相除法.為了避免分?jǐn)?shù)係數(shù)，在做除法時(shí)，可以用F的一個(gè)不等於零的數(shù)乘被除式或除式.而且不僅在每一次除法開(kāi)始時(shí)可以這樣做，就是在進(jìn)行除法的過(guò)程中也可以這樣做.這樣商式自然會(huì)受到影響，但每次求得的餘式與正確的餘式只能差一個(gè)零次因式.這對(duì)求最大公因式來(lái)說(shuō)是沒(méi)有什麼關(guān)係的.令F是有理數(shù)域.求F[x]的多項(xiàng)式的最大公因式.例1把先乘以2，再用來(lái)除：乘以2這樣，得到第一餘式把g(x)乘以3，再用來(lái)除：乘以3約去公因數(shù)56後，得出第二餘式再以除.計(jì)算結(jié)果被整除所以就是與的最大公因式：定理4.3.2

若是的多項(xiàng)式與的最大公因式，那麼在裏可以求得多項(xiàng)式與，使以下等式成立:例2

令F是有理數(shù)域.求出的多項(xiàng)式的最大公因式以及滿(mǎn)足等式的多項(xiàng)式與.對(duì)與施行輾轉(zhuǎn)相除法.但是現(xiàn)在不允許用一個(gè)零次多項(xiàng)式乘被除式或除式.因?yàn)樵谇蠖囗?xiàng)式

與時(shí)，不僅要用到餘式，同時(shí)也要用到商式.施行除法的結(jié)果，我們得到以下一串等式：由此得出，是與的最大公因式，而定理4.3.3

的兩個(gè)多項(xiàng)式與互素的充分且必要條件是：在中可以求得多項(xiàng)式與，使如果的兩個(gè)多項(xiàng)式除零次多項(xiàng)式外不再有其他的公因式，我們就說(shuō)，這兩個(gè)多項(xiàng)式互素.定義3從這個(gè)定理我們可以推出關(guān)於互素多項(xiàng)式的以下重要事實(shí).若多項(xiàng)式和都與多項(xiàng)式互素，也與互素.那麼乘積2.若多項(xiàng)式整除多項(xiàng)式與的乘積，而與互素.那麼一定整除3.若多項(xiàng)式與都整除多項(xiàng)式，而與互素.那麼乘積也整除4.4多項(xiàng)式的分解

一.內(nèi)容分佈

4.4.1不可約多項(xiàng)式的概念及性質(zhì)4.4.2唯一因式分解定理二.教學(xué)目的

1.掌握不可約多項(xiàng)式及性質(zhì)2.掌握唯一因式分解定理,會(huì)用兩個(gè)多項(xiàng)式的典型分解求出最大公因式3.掌握求典型分解式三.重點(diǎn).難點(diǎn)

唯一因式分解定理,用典型分解求出最大公因式定義

令是的一個(gè)次數(shù)大於零的多項(xiàng)式.若是在中只有平凡因式，就說(shuō)是在數(shù)域F上（或在中）不可約.若除平凡因式外，在中還有其他因式，就說(shuō)是在F上（或在中）可約.這個(gè)定義的條件也可以用另一種形式來(lái)敘述

若多項(xiàng)式有一個(gè)非平凡因式而，那麼與的次數(shù)顯然都小於的次數(shù).反之，若能寫(xiě)成兩個(gè)這樣的多項(xiàng)式的乘積，那麼有非平凡因式.因此我們可以說(shuō)：如果的一個(gè)次多項(xiàng)能夠分解成中兩個(gè)次數(shù)都小於n的多項(xiàng)式與的積：（1）那麼在F上可約.若是在中的任一個(gè)形如（1）的分解式總含有一個(gè)零次因式，那麼在F上不可約.（a）如果多項(xiàng)式不可約，那麼F中任一不為零的元素c與的乘積也不可約.（b）設(shè)p(x)是一個(gè)不可約多項(xiàng)式而f(x)是一個(gè)任意多項(xiàng)式，那麼p(x)或者與f(x)互素，或者p(x)整除f(x).（c）如果多項(xiàng)式f(x)與g(x)的乘積能被不可約多項(xiàng)式p(x)整除，那麼至少有一個(gè)因式被p(x)整除.性質(zhì)（c）很容易推廣到任意s（s≥2)個(gè)多項(xiàng)式的乘積的情形.我們有（）如果多項(xiàng)式的乘積能被不可約多項(xiàng)式p(x)整除，那麼至少有一個(gè)因式被p(x)整除.此處是F的不為零的元素.即，如果不計(jì)零次因式的差異，多項(xiàng)式f(x)分解成不可約因式乘積的分解式是唯一的.F[x]的每一個(gè)n(n>0)次多項(xiàng)式f(x)都可以分解成F[x]的不可約多項(xiàng)式的乘積.定理4.4.1令f(x)是F[x]的一個(gè)次數(shù)大於零的多項(xiàng)式，並且此處定理4.4.2例在有理數(shù)域上分解多項(xiàng)式

為不可約因式的乘積.容易看出（2）

一次因式x+1自然在有理數(shù)域上不可約.我們證明，二次因式也在有理數(shù)域上不可約.不然的話(huà),

將能寫(xiě)成有理數(shù)域上兩個(gè)次數(shù)小於2的因式

的乘積，因此將能寫(xiě)成（3）的形式，這裏a和b是有理數(shù).把等式（3）的右端乘開(kāi)，並且比較兩端的係數(shù)，將得a+b=0,ab=-b，由此將得.這與a是有理數(shù)的假定矛盾.這樣，（2）給出多項(xiàng)式的一個(gè)不可約因式分解.我們還可以如下證明在有理數(shù)域上不可約.如果（3）式成立，那麼它也給出的實(shí)數(shù)域上的一個(gè)不可約因式分解.但在實(shí)數(shù)域上因此由唯一分解定理就得出的矛盾.4.5重因式一.內(nèi)容分佈

4.5.1重因式概念4.5.2沒(méi)有重因式的判斷二.教學(xué)目的

1.掌握重因式概念,多項(xiàng)式的K階導(dǎo)數(shù)概念.

2.掌握有無(wú)重因式判斷的充要條件.三.重點(diǎn)難點(diǎn)

重因式概念及用一階導(dǎo)數(shù)判斷多項(xiàng)式有無(wú)重因式.

根據(jù)以上定義不難直接驗(yàn)證，關(guān)於和與積的導(dǎo)數(shù)公式仍然成立：（1）（2）（3）F[x]的多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)或一階導(dǎo)數(shù)指的是F[x]的多項(xiàng)式一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作，的導(dǎo)數(shù)叫做的三階導(dǎo)數(shù)，記作，等等.的k階導(dǎo)數(shù)也記作.定義設(shè)p(x)是多項(xiàng)式f(x)的一個(gè)k(k≥1)重因式.那麼p(x)是f(x)的導(dǎo)數(shù)的一個(gè)k-1重因式.定理4.5.1多項(xiàng)式f(x)沒(méi)有重因式的充分且必要條件是f

(x)與它的導(dǎo)數(shù)互素.定理4.5.24.6多項(xiàng)式函數(shù)多項(xiàng)式的根

一.內(nèi)容分佈

4.6.1多項(xiàng)式的根概念4.6.2綜合除法二.教學(xué)目的

1.掌握多項(xiàng)式函數(shù)多項(xiàng)式的根的概念2.掌握餘式定理及運(yùn)用綜合除法3.熟悉理解拉格朗日插值公式三.重點(diǎn)、難點(diǎn)

綜合除法，拉格朗日插值公式設(shè)給定R[x]的一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)數(shù)c∈R.那麼在的表示式裏,把x用c來(lái)代替,就得到R的一個(gè)數(shù)這個(gè)數(shù)叫當(dāng)x=c時(shí)f(x)的值,並且用f(c)來(lái)表示.這樣,對(duì)於R的每一個(gè)數(shù)c,就有R中唯一確定的數(shù)

f(c)與它對(duì)應(yīng).於是就得到R到R的一個(gè)映射.這個(gè)映射是由多項(xiàng)式f(x)所確定的,叫做R上一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù).綜合除法

,並且設(shè)(1)其中比較等式(1)中兩端同次項(xiàng)的係數(shù),我們得到設(shè)用x–c

除f(x)所得的餘式等於當(dāng)x=c時(shí)f(x)的值f(c).定理4.6.1由此得出這樣,欲求係數(shù),只要把前一係數(shù)乘以c再加上對(duì)應(yīng)係數(shù),而餘式的r

也可以按照類(lèi)似的規(guī)律求出.因此按照下所指出的演算法就可以很快地陸續(xù)求出商式的係數(shù)和餘式:表中的加號(hào)通常略去不寫(xiě).例1

用x

+3除作綜合除法:所以商式是而餘式是定理4.6.2

數(shù)c是多項(xiàng)式f(x)的根的充分且必要條件是f(x)能x–c能整除.定理4.6.3

設(shè)f(x)是R[x]中一個(gè)n≥0次多項(xiàng)式.那麼f(x)在R中至多有n個(gè)不同的根.令f(x)是R

[x]的一個(gè)多項(xiàng)式而c的R的一個(gè)數(shù).若是當(dāng)x

=

c時(shí)f(x)的值f(c)

=

0,那麼c叫做f(x)在數(shù)環(huán)R中的一個(gè)根.定義證如果f(x)是零次多項(xiàng)式,那麼f(x)是R中一個(gè)不等於零的數(shù),所以沒(méi)有根.因此定理對(duì)於n=0成立.於是我們可以對(duì)n作數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明這一定理.設(shè)c∈R是f(x)的一個(gè)根.那麼

f(x)=(x–c)g(x)這裏g(x)∈R[x]是一個(gè)n–1次多項(xiàng)式.如果d∈R是f(x)另一個(gè)根,d≠c那麼

0=f(d)=(d–c)g(d)因?yàn)閐–c≠0,所以g(d)=0.因?yàn)間(x)的次數(shù)是n–1,由歸納法假設(shè),g(x)在R內(nèi)至多有n–1個(gè)不同的根.因此f(x)在R中至多有n個(gè)不同的根.

令

u(x)=f(x)–g(x)若f(x)≠g(x),換一句話(huà)說(shuō),u(x)≠0,那麼u(x)是一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式,並且R中有n+1個(gè)或更多的根.這與定理4.6.3矛盾.證設(shè)f(x)與g(x)是R[x]的兩個(gè)多項(xiàng)式,它們的次數(shù)都不大於n.若是以R中n+1個(gè)或更多的不同的數(shù)來(lái)代替x時(shí),每次所得f(x)與g(x)的值都相等,那麼

f(x)=g(x).定理4.6.4證設(shè)f(x)=g(x)那麼它們有完全相同的項(xiàng),因而對(duì)R的任何c都有f(c)=g(c)這就是說(shuō),f(x)和g(x)所確定的函數(shù)相等.反過(guò)來(lái)設(shè)f(x)和g(x)所確定的函數(shù)相等.令

u(x)=f(x)–g(x)那麼對(duì)R的任何c都有u(c)=f(c)–g(c)=0這就是說(shuō),R中的每一個(gè)數(shù)都是多項(xiàng)式u(x)的根.但R有無(wú)窮多個(gè)數(shù),因此u(x)有無(wú)窮多個(gè)根.根據(jù)定理2.6.3只有零多項(xiàng)式才有這個(gè)性質(zhì).因此有

u(x)=f(x)–g(x)=0,f(x)=g(x).

R[x]的兩個(gè)多項(xiàng)式f(x)與g(x)相等,當(dāng)且僅當(dāng)它們所定義的R上的多項(xiàng)式函數(shù)相等.定理4.6.5這個(gè)公式叫做拉格朗日(Lagrange)插值公式.給了一個(gè)數(shù)環(huán)R裏n+1個(gè)互不相同的數(shù)以及任意n+1個(gè)不全為0的數(shù)後,至多存在R[x]的一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式f(x)能使

如果R還是一個(gè)數(shù)域,那麼這樣一個(gè)多項(xiàng)式是存在的,因?yàn)槿菀卓闯?由以下公式給出的多項(xiàng)式f(x)就具有上述性質(zhì):拉格朗日(Lagrange)插值公式由拉格朗日插值公式得求次數(shù)小於3的多項(xiàng)式f(x)使例24.7複數(shù)和實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式一.內(nèi)容分佈4.7.1代數(shù)基本定理4.7.2實(shí)係數(shù)多項(xiàng)式分解定理二.教學(xué)目的1.理解代數(shù)基本定理、重根2.掌握實(shí)係數(shù)多項(xiàng)式的性質(zhì)三.重點(diǎn)、難點(diǎn)代數(shù)基本定理,根與係數(shù)關(guān)係.實(shí)係數(shù)多項(xiàng)式性質(zhì).證設(shè)f(x)是一個(gè)次多項(xiàng)式,那麼由定理4.7.1,它在複數(shù)域C中有一個(gè)根因此在C[x]中這裏是C上的一個(gè)n–1次多項(xiàng)式.若n–1>0,那麼在C中有一個(gè)根因而在C[x]中任何n