復(fù)數(shù)的概念教學(xué)

PAGEPAGEPAGE7課題：《復(fù)數(shù)的概念》課型：新授課 教材：上海教育出版社高中二年級(jí)第二學(xué)期(試用本)教學(xué)目標(biāo)：了解引進(jìn)復(fù)數(shù)的必要性，理解復(fù)數(shù)的基本概念，理解虛數(shù)單位.掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)法表示及其分類，掌握復(fù)數(shù)相等的充要條件.體會(huì)實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾在數(shù)學(xué)擴(kuò)充過(guò)程中的作用，感受人類理性思維在數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程的作用以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系.教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念，虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的分類和復(fù)數(shù)相等.教學(xué)難點(diǎn)：實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系的過(guò)程的理解，復(fù)數(shù)的概念的理解.教學(xué)方法：四動(dòng)策略：?jiǎn)栴}驅(qū)動(dòng)，學(xué)生主動(dòng)，教師引動(dòng)，多元互動(dòng)的教學(xué)策略.教學(xué)手段：多媒體輔助教學(xué)，幻燈片.教學(xué)過(guò)程：（一）引導(dǎo)學(xué)生回顧數(shù)系的變化發(fā)展過(guò)程數(shù)的概念是從實(shí)踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的.早在人類社會(huì)初期，人們?cè)卺鳙C、采集果實(shí)等勞動(dòng)中，由于計(jì)數(shù)的需要，就產(chǎn)生了1，2，3等數(shù)以及表示“沒(méi)有”的數(shù)0.自然數(shù)的全體構(gòu)成自然數(shù)集.為了表示各種具有相反意義的量以及滿足記數(shù)的需要，人們又引進(jìn)了負(fù)數(shù).把自然數(shù)集與負(fù)整數(shù)集合并在一起，構(gòu)成整數(shù)集.進(jìn)一步為了解決測(cè)量、分配中遇到的將某些量進(jìn)行等分的問(wèn)題，人們進(jìn)一步引進(jìn)了分?jǐn)?shù)；這樣就把數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集.有些量與量之間的比值，例如用正方形的邊長(zhǎng)去度量它的對(duì)角線所得的結(jié)果，有時(shí)無(wú)法用有理數(shù)表示，人們又引進(jìn)了無(wú)理數(shù).有理數(shù)集與無(wú)理數(shù)集構(gòu)成實(shí)數(shù)集.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)講解數(shù)系擴(kuò)充的歷程，引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程的興趣，積極主動(dòng)地投入到學(xué)習(xí)中.設(shè)置問(wèn)題情境，探究實(shí)踐問(wèn)題1回顧從自然數(shù)到實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程.每一次擴(kuò)充的主要原因是什么？每一次擴(kuò)充遵循哪些擴(kuò)充規(guī)律？師：數(shù)系的擴(kuò)充是生產(chǎn)實(shí)際的需要，也是數(shù)學(xué)學(xué)科自身發(fā)展的需要.數(shù)學(xué)擴(kuò)充的規(guī)律，一、引入新數(shù)，二、原有的運(yùn)算律在新數(shù)系中仍然成立，三、新數(shù)系解決了原數(shù)系提出的矛盾.設(shè)計(jì)意圖：教師提出問(wèn)題，學(xué)生思考回答，不足之處教師補(bǔ)充說(shuō)明，師生共同歸納總結(jié)得出結(jié)論.聯(lián)系舊知識(shí)，為實(shí)數(shù)系到復(fù)數(shù)系的擴(kuò)充做鋪墊.問(wèn)題2如何求方程的解？師：請(qǐng)同學(xué)們類比引進(jìn)，就可以解決方程在有理數(shù)集中無(wú)解的問(wèn)題，怎么解決負(fù)數(shù)在實(shí)數(shù)集中不能開(kāi)平方的問(wèn)題？同學(xué)們可以再次類比，大膽猜測(cè).生：如果我們承認(rèn)負(fù)數(shù)可以開(kāi)平方，那么這個(gè)問(wèn)題就解決了.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)類比，使學(xué)生了解擴(kuò)充數(shù)系要從引入新數(shù)開(kāi)始.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，沒(méi)有一個(gè)實(shí)數(shù)的平方會(huì)等于負(fù)數(shù)．解決這一問(wèn)題，其本質(zhì)就是解決一個(gè)什么問(wèn)題呢？組織學(xué)生討論，引導(dǎo)學(xué)生研究，最后得出結(jié)論：最根本的問(wèn)題就是要解決的開(kāi)平方問(wèn)題．即一個(gè)什么樣的數(shù)，它的平方會(huì)等于．問(wèn)題3引入的新數(shù)是個(gè)什么數(shù)呢？它有什么特征？引入虛數(shù)單位的概念：，強(qiáng)調(diào)不同于任何實(shí)數(shù)，它是一種新的數(shù).虛數(shù)單位和實(shí)數(shù)之間仍能進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，加法和乘法都滿足交換律、結(jié)合律，以及乘法對(duì)加法滿足分配律.因此，把實(shí)數(shù)與相加，結(jié)果記作：；把實(shí)數(shù)與相乘，結(jié)果記作：；把實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)和相乘的結(jié)果相加，結(jié)果記作：.思考的結(jié)果是什么？首先，可得.問(wèn)題4和0能不能比較大?。糠醋C法，顯然，若：1、當(dāng)時(shí)，；2、當(dāng)時(shí)，同理可得矛盾.（課后自己完成）所以不管還是都會(huì)得出矛盾.新課講解，例題鞏固思考：請(qǐng)同學(xué)們寫(xiě)出一些實(shí)數(shù)和虛數(shù)的組合形式？生：，，.師：總結(jié)學(xué)生回答，給出復(fù)數(shù)的一般形式.復(fù)數(shù)的定義：形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中叫做虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母表示.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：復(fù)數(shù)通常用字母表示，即，其中叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，記作；叫復(fù)數(shù)的虛部，記作.問(wèn)題5數(shù)系擴(kuò)充后，復(fù)數(shù)集和實(shí)數(shù)集之間有什么關(guān)系？復(fù)數(shù)有哪些特殊的形式？復(fù)數(shù)集如何進(jìn)行分類？實(shí)數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集.復(fù)數(shù)分類：特別地，()當(dāng)且僅當(dāng).設(shè)計(jì)意圖：搞清楚復(fù)數(shù)系與實(shí)數(shù)系之間的關(guān)系以及復(fù)數(shù)的分類，深化學(xué)生對(duì)擴(kuò)充后新數(shù)集的理解.師：復(fù)數(shù)是我們目前接觸到最大數(shù)集，這也體現(xiàn)了從小學(xué)到初中再到高中，我們的認(rèn)知領(lǐng)域在逐漸擴(kuò)大，大家以后讀了大學(xué)還可能接觸到四元數(shù)，有興趣多的同學(xué)可以上網(wǎng)百度一下.例題講解：下列數(shù)中，哪些是復(fù)數(shù)，哪些是實(shí)數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)？并分別指出這些復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部各是什么？， ，，，），設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的結(jié)構(gòu)，清楚復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.已知，實(shí)數(shù)取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)是：(1)實(shí)數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？分析：因?yàn)椋?，都是?shí)數(shù)，由復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的條件可以確定的值.解：(1)當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)；當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)是虛數(shù)；當(dāng)，且，即時(shí)，復(fù)數(shù)是純虛數(shù).變式、已知，復(fù)數(shù)，當(dāng)為何值時(shí)，是純虛數(shù)；(2)是實(shí)數(shù).解：(1)當(dāng)，且，即時(shí)，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)；當(dāng)，且，即時(shí)，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù).設(shè)計(jì)意圖：鞏固復(fù)數(shù)的基本概念，讓學(xué)生在變化中認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的結(jié)構(gòu)，將求復(fù)數(shù)值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為用實(shí)數(shù)方程或不等式求解的問(wèn)題.問(wèn)題6兩個(gè)復(fù)數(shù)與相等的充要條件是什么？其中，.生：當(dāng)且僅當(dāng).師：很好，那為什么呢？復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則仍然保持，即，左邊是實(shí)數(shù)，右邊也必須為實(shí)數(shù)，只能.因而，.設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生自我探索復(fù)數(shù)相等的條件，并進(jìn)行證明，加深對(duì)復(fù)數(shù)本質(zhì)的理解.例3、已知，（1）已知，求與.（2）若，求與.解：（1）由已知可得：，解得：.（2）由已知可得：，解得：.設(shè)計(jì)意圖：理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義，并會(huì)利用其列方程，求解.檢測(cè)學(xué)生是否會(huì)利用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件，解決復(fù)數(shù)的求值問(wèn)題.一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說(shuō)相等或不相等，而不能比較大小，后面我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的幾何意義后大家會(huì)明白.兩個(gè)不全是實(shí)數(shù)的復(fù)數(shù)不可以比較大小，只有相等與不相等之分.（四）課堂小結(jié)通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？試從知識(shí)、方法，數(shù)學(xué)思想等方面談?wù)?生：知識(shí)方面，實(shí)數(shù)系到復(fù)數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程，復(fù)數(shù)的基本概念，兩復(fù)數(shù)相等的條件，兩個(gè)不全是實(shí)數(shù)的復(fù)數(shù)不可以比較大小，思想方法，類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，經(jīng)驗(yàn)，學(xué)習(xí)過(guò)程中注重知識(shí)間的聯(lián)系，實(shí)數(shù)系到復(fù)數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程是通過(guò)類比有理數(shù)系到實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充.師：分別是分析、代數(shù)、幾何中三個(gè)極其重要的量.由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)各個(gè)分支之間是存在緊密聯(lián)系的.是數(shù)學(xué)中的五朵金花，它們?cè)谕粋€(gè)公式中綻放，體會(huì)到數(shù)學(xué)的美.是兩個(gè)重要的超越數(shù)(即不是任何有理系數(shù)代數(shù)方程的根)；分別是虛數(shù)單位和自然數(shù)單位；是任何數(shù)域（所謂數(shù)域是指對(duì)四則運(yùn)算封閉的數(shù)集）都包含的兩個(gè)數(shù)；是數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的兩個(gè)符號(hào).等號(hào)“”在數(shù)學(xué)中表示可以相互替代；在物理學(xué)中，表示相互轉(zhuǎn)換；在計(jì)算機(jī)語(yǔ)言中則表示賦值.有了加法運(yùn)算，通過(guò)它就可以構(gòu)造出減法、乘法、除法等豐富的運(yùn)算；由通過(guò)四則運(yùn)算，可以構(gòu)造出有理數(shù)，進(jìn)一步可構(gòu)造出實(shí)數(shù)；利用虛數(shù)單位,通過(guò)簡(jiǎn)單的二次擴(kuò)張，則可以獲得最大的復(fù)數(shù)數(shù)域.的出現(xiàn)，導(dǎo)致了管轄時(shí)空結(jié)構(gòu)的相對(duì)論和支配物質(zhì)規(guī)律的量子力學(xué)的發(fā)現(xiàn).而且可以預(yù)言，這兩種理論的最終統(tǒng)一，需要借助復(fù)數(shù).正因?yàn)槿绱松衿?，偉大?shù)學(xué)家歐拉的墓碑上刻的就是這個(gè)公式.課后作業(yè)作業(yè)：導(dǎo)學(xué)案和課后作業(yè)復(fù)數(shù)第一課時(shí)思考：數(shù)學(xué)家高斯已經(jīng)給出復(fù)數(shù)的幾何意義，那么請(qǐng)大家回去思考復(fù)數(shù)的幾何意義是什么呢？我們知道兩個(gè)非實(shí)數(shù)的復(fù)數(shù)無(wú)法比較大小，那么如何構(gòu)造與復(fù)數(shù)相關(guān)的量，讓它們能夠比較大??？設(shè)計(jì)意圖：鞏固所學(xué)內(nèi)容，強(qiáng)化訓(xùn)練.讓學(xué)生獨(dú)立思考，為了后續(xù)課程的學(xué)習(xí)做鋪墊.教案設(shè)計(jì)說(shuō)明：教材分析陳省身先生曾說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有復(fù)數(shù)，便沒(méi)有電磁學(xué)，便沒(méi)有量子力學(xué)，便沒(méi)有近代文明.”復(fù)數(shù)的概念，是中學(xué)階段數(shù)學(xué)的又一次擴(kuò)充，引入復(fù)數(shù)以后，這不僅可以使學(xué)生對(duì)于數(shù)的概念有一個(gè)初步的、完整的認(rèn)識(shí)，也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ).復(fù)數(shù)的引入，實(shí)現(xiàn)了中學(xué)階段數(shù)學(xué)的最后一次擴(kuò)充，同時(shí)復(fù)數(shù)作為一種新的數(shù)學(xué)語(yǔ)言也為我們今后用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題提供了新的工具和方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，一方面讓學(xué)生回憶數(shù)系擴(kuò)充的過(guò)程，體會(huì)虛數(shù)引入的必要性和合理性，另一方面，讓學(xué)生理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，掌握復(fù)數(shù)相等的充要條件，為今后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，因此，本節(jié)課具有承前啟后的作用，也是本章的重點(diǎn)內(nèi)容之一.二、學(xué)情分析學(xué)生來(lái)自寶山