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熱點(diǎn)(七)解三角形1.(解三角形解的個(gè)數(shù)問(wèn)題)在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,則此三角形的解的情況是()A.有一解B.有兩解C.無(wú)解D.有解但解的個(gè)數(shù)不確定2.(解三角形求面積)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2eq\r(3),則△ABC的面積為()A.4eq\r(3)B.4eq\r(2)C.2eq\r(3)D.2eq\r(2)3.(解三角形判斷三角形形狀)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若eq\f(c,b)<cosA,則△ABC為()A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等邊三角形4.(解三角形求角)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且acosC-(eq\r(2)b-c)cosA=0,則角A的大小為()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2)D.eq\f(3π,4)5.(解三角形求面積最值)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若eq\f(2a-c,b)=eq\f(cosC,cosB),b=4,則△ABC的面積的最大值為()A.4eq\r(3)B.2eq\r(3)C.2D.eq\r(3)[答題區(qū)]題號(hào)12345答案6.[2023·東北三校第二次聯(lián)合模擬考試](解三角形求邊)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為eq\r(15),b-c=2,cosA=eq\f(1,4),則a的值為_(kāi)_______.7.[2023·開(kāi)封一模](解三角形應(yīng)用)平面四邊形ABCD中,BC⊥CD,∠B=eq\f(3π,4),AB=3eq\r(2),AD=2eq\r(10),若AC=3eq\r(5),則CD=________.8.(解三角形應(yīng)用求高)如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600m后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD=________m.9.[2023·成都市第二次診斷性檢測(cè)](和三角形面積有關(guān)的問(wèn)題)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,(eq\r(2)b-a)cosC=ccosA.(1)求角C的大?。?2)若a=eq\r(2),c(acosB-bcosA)=b2,求△ABC的面積.10.(解三角形綜合)已知△ABC的面積為S,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\f(3,2)S.(1)求cosA的值;(2)若a,b,c成等差數(shù)列,求sinC的值.熱點(diǎn)(七)解三角形1.C由eq\f(b,sinB)=eq\f(c,sinC),得sinB=eq\f(bsinC,c)=eq\f(40×\f(\r(3),2),20)=eq\r(3)>1.∴角B不存在,即滿足條件的三角形不存在,故選C.2.C由余弦定理,得(2eq\r(3))2=AB2+42-2×4×ABcos60°,化簡(jiǎn)為AB2-4AB+4=0,解得AB=2,所以S△ABC=eq\f(1,2)AC·AB·sinA=eq\f(1,2)×4×2×eq\f(\r(3),2)=2eq\r(3),故選C.3.A由eq\f(c,b)<cosA,得eq\f(sinC,sinB)<cosA,所以sinC<sinBcosA,即sin(A+B)<sinBcosA,所以sinAcosB<0,因?yàn)樵谌切沃衧inA>0,所以cosB<0,所以B為鈍角,所以△ABC為鈍角三角形,故選A.4.A∵acosC-(eq\r(2)b-c)cosA=0,∴由正弦定理,得sinAcosC+sinCcosA=eq\r(2)sinBcosA,即sinB=eq\r(2)sinBcosA.∵sinB≠0,∴cosA=eq\f(\r(2),2).∵0<A<π,∴A=eq\f(π,4).故選A.5.A因?yàn)樵凇鰽BC中,eq\f(2a-c,b)=eq\f(cosC,cosB),所以(2a-c)cosB=bcosC,所以(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,所以2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA,所以cosB=eq\f(1,2),即B=eq\f(π,3),由余弦定理可得16=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac,所以ac≤16,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào),所以△ABC的面積S=eq\f(1,2)acsinB=eq\f(\r(3),4)ac≤4eq\r(3).6.答案:4解析:因?yàn)锳∈(0,π),cosA=eq\f(1,4),所以sinA=eq\r(1-cos2A)=eq\f(\r(15),4),又S△ABC=eq\f(1,2)bcsinA=eq\r(15),所以bc=8,結(jié)合b-c=2,解得b=4,c=2.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a2=16+4-2×8×eq\f(1,4)=16,故a=4.7.答案:1或5解析:記∠ACB=α,∠ACD=β,則α+β=eq\f(π,2),在△ABC中,由正弦定理eq\f(AC,sinB)=eq\f(AB,sinα),得sinα=eq\f(\r(5),5),∴cosβ=sinα=eq\f(\r(5),5).在△ACD中,由余弦定理得cosβ=eq\f(45+CD2-40,6\r(5)·CD)=eq\f(\r(5),5),解得CD=1或CD=5.8.答案:100eq\r(6)解析:在△ABC中,∵∠BAC=30°,∠CBA=105°,∴∠ACB=45°.又∵AB=600m,∴由正弦定理eq\f(BC,sin∠BAC)=eq\f(AB,sin∠BCA),得BC=300eq\r(2)m.在Rt△BCD中,∠DBC=30°,BC=300eq\r(2)m,tan∠DBC=eq\f(DC,BC)=eq\f(\r(3),3),∴DC=100eq\r(6)m.9.解析:(1)由已知及正弦定理,得eq\r(2)sinBcosC-sinAcosC=sinCcosA,∴eq\r(2)sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C).∵A+C=π-B,∴sin(A+C)=sinB,∴eq\r(2)sinBcosC=sinB.又sinB≠0,∴cosC=eq\f(\r(2),2).∵C∈(0,π),∴C=eq\f(π,4).(2)由已知及余弦定理,得ac·eq\f(a2+c2-b2,2ac)-bc·eq\f(b2+c2-a2,2bc)=b2,化簡(jiǎn)得a2=2b2,∵a=eq\r(2),∴b=1.∴△ABC的面積S△ABC=eq\f(1,2)absinC=eq\f(1,2)×eq\r(2)×1×eq\f(\r(2),2)=eq\f(1,2).10.解析:(1)由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\f(3,2)S,得bccosA=eq\f(3,2)×eq\f(1,2)bcsinA,即sinA=eq\f(4,3)cosA,代入sin2A+cos2A=1,整理得cos2A=eq\f(9,25),由sinA=eq\f(4,3)cosA,知cosA>0,所以cosA=eq\f(3,5).(2)由a,b,c成等差數(shù)列,可得2b=a+c,結(jié)合正弦定理可得2sinB=sinA+sinC,即2sin(A+C)=sinA+sinC,所以2sinAcosC+2cosAsinC=sinA+sinC,①將cosA=eq\f(3,5),sinA=eq\f(
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