6.1 冪函數(shù)8種常見考法歸類

6.1冪函數(shù)8種常見考法歸類1.冪函數(shù)的概念我們把形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù).2.冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1）冪函數(shù)的圖象在同一平面直角坐標(biāo)系中，冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\s\up12(eq\f(1,2))，y＝x－1的圖象如圖所示：（2）冪函數(shù)的性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up12(eq\f(1,2))y＝x－1定義域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)在(－∞，0]上是減函數(shù)，在[0，＋∞)上是增函數(shù)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)在[0，＋∞)上是增函數(shù)在(－∞，0)上是減函數(shù)，在(0，＋∞)上是減函數(shù)定點(diǎn)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)注：(1)當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)y＝xα具有如下性質(zhì)：①函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(0，0)，(1，1).②在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象隨x的增大而上升，即函數(shù)在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù).(2)當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)y＝xα具有的性質(zhì)為：①函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(1，1).②在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象隨x的增大而下降，函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù).3.對(duì)于形如（其中m∈N*，n∈Z，m與n互質(zhì)）的冪函數(shù)（1）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，f(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；（2）當(dāng)m，n都為奇數(shù)時(shí)，f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（3）當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，（或），是非奇非偶函數(shù)，圖象只在第一象限（或第一象限及原點(diǎn)處）判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xα(α為常數(shù))的形式，需滿足：①指數(shù)為常數(shù)，②底數(shù)為自變量，③xαy＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函數(shù)都不是冪函數(shù).反過(guò)來(lái)，若一個(gè)函數(shù)為冪函數(shù)，則該函數(shù)也必具有這一形式.注：求冪函數(shù)解析式時(shí)常用待定系數(shù)法，即設(shè)解析式為f(x)＝xα，根據(jù)條件求出α．5.作冪函數(shù)圖象的步驟如下：（1）先作出第一象限內(nèi)的圖象；（2）若冪函數(shù)的定義域?yàn)?0，+∞)或[0，+∞)，作圖已完成；若在(∞，0)或(∞，0]上也有意義，則應(yīng)先判斷函數(shù)的奇偶性如果為偶函數(shù)，則根據(jù)y軸對(duì)稱作出第二象限的圖象；如果為奇函數(shù)，則根據(jù)原點(diǎn)對(duì)稱作出第三象限的圖象.6.解決冪函數(shù)圖象問題應(yīng)把握的兩個(gè)原則(1)依據(jù)圖象高低判斷冪的指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：①在(0，1)上，冪的指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡(jiǎn)記為指大圖低)；②在(1，＋∞)上，冪的指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸(簡(jiǎn)記為指大圖高).(2)依據(jù)圖象確定冪的指數(shù)α與0，1的大小關(guān)系，即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象(類似于y＝x－1或y＝xeq\f(1,2)或y＝x3)來(lái)判斷.7.比較冪值大小的兩種基本方法8.冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用冪函數(shù)y＝xα中只有一個(gè)參數(shù)α，冪函數(shù)的所有性質(zhì)都與α的取值有關(guān)，故可由α確定冪函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，也可由這些性質(zhì)去限制α的取值.考點(diǎn)一冪函數(shù)的概念考點(diǎn)二冪函數(shù)定義域和值域問題考點(diǎn)三冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用考點(diǎn)四冪函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問題考點(diǎn)五由冪函數(shù)單調(diào)性比較大小考點(diǎn)六利用冪函數(shù)單調(diào)性解不等式考點(diǎn)七利用冪函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)考點(diǎn)八冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用考點(diǎn)一冪函數(shù)的概念1．【多選】（2023上·四川廣安·高一?？计谥校┫铝羞x項(xiàng)中哪些是冪函數(shù)（

）．A． B．C． D．【答案】AC【分析】由冪函數(shù)的定義依次判斷各項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)定義：一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù)，又，所以A項(xiàng)、C項(xiàng)正確.故選：AC.2．【多選】（2023上·陜西咸陽(yáng)·高一統(tǒng)考期中）下列函數(shù)為冪函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義求解.【詳解】根據(jù)冪函數(shù)的定義知，是冪函數(shù)，不是冪函數(shù).故選：BD3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）判斷下列函數(shù)是不是冪函數(shù)？(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【答案】(1)是(2)不是(3)不是(4)是(5)不是(6)不是【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義判斷．【詳解】（1）是冪函數(shù)，（2）不是冪函數(shù)，（3）不是冪函數(shù)；（4）是冪函數(shù)，（5）不是冪函數(shù)，（6）不是冪函數(shù)，4．（2023上·四川成都·高一四川省成都列五中學(xué)?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的值為（

）A．9 B．3 C． D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)求出，即可求出函數(shù)解析式，再代入計(jì)算可得.【詳解】設(shè)，則，所以，則，所以.故選：A5．（2023上·河南·高一校聯(lián)考期中）若冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入求解即可.【詳解】?jī)绾瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以，故.故選：D6．（2023上·新疆克孜勒蘇·高三統(tǒng)考期中）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值等于.【答案】/【分析】設(shè)冪函數(shù)，代入點(diǎn)計(jì)算，計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，則，故，即，.故答案為：7．（2023上·重慶·高一重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知冪函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先代入求出的值，即可得到函數(shù)解析式，再代入求值即可.【詳解】因?yàn)?，且，即，解得，所以，則.故選：A8．（2023上·河北邢臺(tái)·高一邢臺(tái)市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則.【答案】2【分析】根據(jù)冪函數(shù)的解析式和性質(zhì)，求的解析式進(jìn)而可得函數(shù)值【詳解】由題意得，則，由，得.故答案為：2.9．（2023上·河南南陽(yáng)·高一統(tǒng)考期中）冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則．【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義可求出的值，再由可求出的值，由此可得出的值.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，即，可得，則，又因?yàn)椋獾?，因此?故答案為：.10．（2023上·廣東湛江·高一統(tǒng)考期中）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第三象限，則．【答案】3【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及常見冪函數(shù)的圖象求解即可.【詳解】由題意，得，解得或．當(dāng)時(shí)，的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，不符合題意．當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)第三象限，符合題意．故答案為：3.考點(diǎn)二冪函數(shù)定義域和值域問題11．（2023上·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)的定義域?yàn)?，且，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義域得到不等式，結(jié)合求出，檢驗(yàn)后得到答案.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)的定義域?yàn)镽，故，解得，又，所以，檢驗(yàn)，時(shí)，，即，滿足題意．故選：C12．（2023上·湖南益陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】D【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得出關(guān)于的不等式組，由此可解得原函數(shù)的定義域.【詳解】因?yàn)?，則，可得，故函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D.13．（2023上·廣東廣州·高一廣州市第二中學(xué)校考期中）冪函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)出冪函數(shù)，代入點(diǎn)坐標(biāo)得到函數(shù)解析式，確定函數(shù)定義域，得到，解得答案.【詳解】設(shè)冪函數(shù)為，則，故，，則的定義域?yàn)?，故滿足，解得.故選：A14．（2023上·黑龍江綏化·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求使函數(shù)有意義的的取值范圍可得答案.【詳解】由已知解得，所以f(x)的定義域?yàn)椋蔬x：B．15．（2023上·上海靜安·高三上海市市西中學(xué)校考期中）函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【分析】定義域即使得式子有意義，列出不等式即可.【詳解】由，使得式子有意義，則，則定義域?yàn)?故答案為：16．（2023上·北京·高三北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的定義域是．【答案】【分析】利用具體函數(shù)定義域求法可令根號(hào)下的式子大于等于0，且分母不為0，解不等式即可求出定義域.【詳解】易知，要使式子有意義則需滿足；解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.17．（2023下·山東日照·高二?？计谀┮阎獌绾瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥渴紫惹髢绾瘮?shù)的解析式，再求函數(shù)的定義域，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的形式，求函數(shù)的定義域.【詳解】∵的圖象過(guò)點(diǎn)，∴，，應(yīng)該滿足：，即，∴的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋?8．（2023上·上海青浦·高一上海市青浦高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤魞绾瘮?shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的值.【答案】【分析】由冪函數(shù)的概念建立方程，再驗(yàn)證定義域是否為.【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得，或.當(dāng)時(shí)，，即，定義域?yàn)?，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，即，定義域?yàn)?，故不滿足題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的值為.19．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）（1）函數(shù)的定義域是，值域是；（2）函數(shù)的定義域是，值域是；（3）函數(shù)的定義域是，值域是；（4）函數(shù)的定義域是，值域是．【答案】【分析】（1）（2）（3）（4）將分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化成根式形式，依據(jù)根式有意義求定義域．【詳解】（1）的定義域?yàn)?，因?yàn)椋?，所以值域?yàn)椋?）由，得，所以定義域?yàn)?，由，得，所以值域?yàn)椋?）由，得，所以定義域?yàn)?，因?yàn)椋?，所以值域?yàn)椋?），由，得，所以定義域?yàn)?，因?yàn)椋?，則，所以值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?，，，，，，?0．（2023·上海·高一專題練習(xí)）研究下列函數(shù)的定義域、值域、對(duì)稱性，并作出其大致圖象.(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析；(3)答案見解析；(4)答案見解析.【分析】將冪函數(shù)化為根式的形式，分析其定義域和值域，由奇偶性的定義判斷其奇偶性，由指數(shù)的正負(fù)結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)先判斷出函數(shù)在第一象限內(nèi)的單調(diào)性，再根據(jù)奇偶性得出單調(diào)區(qū)間，作出其大致圖象.【詳解】（1），設(shè)，定義域：；因?yàn)?，所以值域?yàn)?，顯然，為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱；在中，，為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2），設(shè)，定義域：；由，所以值域：；由，所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；在中，，為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.（3），設(shè)，定義域：，值域：；由，所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；在中，，為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增.（4），設(shè)，由得定義域：，值域：；因?yàn)槎x域：，所以非奇非偶函數(shù)，圖象不具備對(duì)稱性；在中，，定義域?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增.21．（2023上·湖北襄陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，值域?yàn)榈氖牵?/p>

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、冪函數(shù)的性質(zhì)、以及基本不等式可直接求得選項(xiàng)中各函數(shù)的值域進(jìn)行判斷即可.【詳解】由已知值域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；時(shí)，等號(hào)成立，所以的值域是，B錯(cuò)誤；因?yàn)槎x域?yàn)?，，函?shù)值域?yàn)?，故C正確；，，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：C.22．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)，其中，則其值域?yàn)?【答案】/【分析】利用換元法將函數(shù)化為，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則.因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：23．（2023下·上海嘉定·高三上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】判斷單調(diào)遞增，討論或，根據(jù)分段函數(shù)的值域可得且，解不等式即可求解.【詳解】由函數(shù)單調(diào)遞增，①當(dāng)時(shí)，若，有，而，此時(shí)函數(shù)的值域不是；②當(dāng)時(shí)，若，有，而，若函數(shù)的值域?yàn)?，必有，可得．則實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：24．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）（1）使用五點(diǎn)作圖法，在圖中畫出的圖象，并注明定義域．（2）求函數(shù)的值域．【答案】（1）作圖見解析，定義域?yàn)?；?）.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式，求出圖象上的五個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)即可畫出圖象，觀察解析式即可得出定義域；（2）設(shè)，從而有，即可得出的值域.【詳解】解：（1）由于，則，，，所以過(guò)點(diǎn)，故的圖象，如圖所示，函數(shù)的定義域?yàn)?；?）由題可知，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的值域?yàn)椋键c(diǎn)三冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用25．（2023上·上海嘉定·高一校考期中）圖中、、為三個(gè)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，則解析式中指數(shù)的值依次可以是（

）A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、3【答案】D【分析】利用特值驗(yàn)證即可區(qū)分出三個(gè)冪函數(shù)圖象分別對(duì)應(yīng)的指數(shù)a的值.【詳解】在題給坐標(biāo)系中，作直線，分別交曲線于A、B、C三點(diǎn)則，又則點(diǎn)A在冪函數(shù)圖像上，點(diǎn)B在冪函數(shù)圖像上，點(diǎn)C在冪函數(shù)圖像上，則曲線對(duì)應(yīng)的指數(shù)分別為故選：D26．（2023上·廣東廣州·高一廣州空港實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┫聢D給出個(gè)冪函數(shù)的圖象，則圖象與函數(shù)大致對(duì)應(yīng)的是（

）A．①，②，③，④B．①，②，③，④C．①，②，③，④D．①，②，④，④【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式判斷圖像性質(zhì)，即可判斷圖像.【詳解】?jī)绾瘮?shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，在上單調(diào)遞增，對(duì)應(yīng)圖像①；冪函數(shù)的定義域?yàn)?，且為偶函?shù)，在上單調(diào)遞增，對(duì)應(yīng)圖像②；冪函數(shù)的定義域?yàn)?，為非奇非偶函?shù)，在上單調(diào)遞增，對(duì)應(yīng)圖像③；冪函數(shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，在上單調(diào)遞減，對(duì)應(yīng)圖像④；故選：A.27．（2023上·四川成都·高一?？计谥校┤魞绾瘮?shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的圖像可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】函數(shù)，代入圖像經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，求得的值，分析函數(shù)性質(zhì)，選擇函數(shù)圖像.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，因?yàn)閳D像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，則此冪函數(shù)的表達(dá)式為．冪函數(shù)，函數(shù)定義域?yàn)?，在上單調(diào)遞減，，函數(shù)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于軸對(duì)稱，只有D選項(xiàng)符合.故選：D28．（2023上·浙江·高一校聯(lián)考期中）冪函數(shù)（）的大致圖像是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】由冪函數(shù)的定義域和單調(diào)性判斷圖像形狀.【詳解】∵時(shí)，為偶數(shù)且大于0，∴的定義域?yàn)?，且在定義域上單調(diào)遞增．只有B選項(xiàng)符合條件.答案：B．29．（2023上·上海青浦·高一統(tǒng)考期末）冪函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】首先求出函數(shù)的定義域，即可判斷函數(shù)的奇偶性，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得解.【詳解】?jī)绾瘮?shù)定義域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，又當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，故符合題意的只有C.故選：C30．（2023上·浙江·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】判斷出的奇偶性，結(jié)合冪函數(shù)的圖象得到答案.【詳解】的定義域?yàn)镽，又，故為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合冪函數(shù)的圖象可知，C正確.故選：C31．【多選】（2023上·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學(xué)校考期中）在同一坐標(biāo)系下，函數(shù)與在其定義域內(nèi)的圖像可能是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)冪函數(shù)以及一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】若，則直線和函數(shù)均為上的單調(diào)遞減函數(shù)，故可排除CD；當(dāng)，此時(shí)，滿足圖象B,若，則直線和函數(shù)均為上的單調(diào)遞增函數(shù)，比如時(shí)，此時(shí)A選項(xiàng)中的圖象滿足，故選：AB32．（2023上·山東青島·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系中的圖象不可能為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用二次函數(shù)的圖象得出的正負(fù)，結(jié)合冪函數(shù)特點(diǎn)可得答案.【詳解】對(duì)于A，二次函數(shù)開口向下，所以，此時(shí)與圖中符合；對(duì)于B，二次函數(shù)開口向上，所以，此時(shí)在為增函數(shù)，不符合；對(duì)于C，二次函數(shù)開口向上，所以，此時(shí)在為增函數(shù)，符合；對(duì)于D，二次函數(shù)開口向上，所以，此時(shí)在為增函數(shù)，符合；故選：B.33．（2023上·江西南昌·高一南昌大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)的圖像與坐標(biāo)軸沒有公共點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由冪函數(shù)的定義得出的值，結(jié)合的圖像與坐標(biāo)軸沒有公共點(diǎn)，確定，代值計(jì)算即可得出答案．【詳解】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以，即，解得或，則或，又因?yàn)榈膱D像與坐標(biāo)軸沒有公共點(diǎn)，所以，則，故選：C．34．（2023上·上海黃浦·高一格致中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)是冪函數(shù)，且函數(shù)圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)，可列式，計(jì)算得m的值，驗(yàn)證后即得答案.【詳解】由題意函數(shù)是冪函數(shù)，故，即，解得或，當(dāng)時(shí)，為反比例函數(shù)，函數(shù)圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，符合題意；當(dāng)時(shí)，，其圖象經(jīng)過(guò)第二象限，不符合題意；故，故答案為：235．（2023上·上?！じ咭簧虾Ｊ械诙袑W(xué)?？计谥校﹥绾瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱，且與x軸、y軸均無(wú)交點(diǎn)，求m的值.【答案】或或.【分析】由冪函數(shù)與x軸、y軸均無(wú)交點(diǎn)得，再根據(jù)求出的值，結(jié)合冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)分類驗(yàn)證是否滿足題意即可.【詳解】由冪函數(shù)的圖像與x軸、y軸均無(wú)交點(diǎn)，得，解得，又，所以.當(dāng)或時(shí)，，定義域?yàn)?，即函?shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，滿足題意；當(dāng)或時(shí)，，即，設(shè)，由，故其圖象不關(guān)于軸對(duì)稱，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，即，定義域?yàn)椋O(shè)，則，故是偶函數(shù)，則圖象關(guān)于軸對(duì)稱，滿足題意.綜上所述，或或.考點(diǎn)四冪函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問題36．（2023下·山西朔州·高一?？茧A段練習(xí)）冪函數(shù)（是常數(shù)）的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可確定答案.【詳解】由題意可知當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)值與取何值無(wú)關(guān)，故冪函數(shù)（是常數(shù)）的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故選：B37．（2023上·廣東東莞·高一校考期中）函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)．【答案】【分析】利用求得正確答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以定點(diǎn)為.故答案為：38．（2023上·上海靜安·高一上海市市西中學(xué)?？计谥校┎徽搶?shí)數(shù)取何值，函數(shù)恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是．【答案】【分析】根據(jù)，即可知恒過(guò)定點(diǎn).【詳解】因?yàn)?，故?dāng)，即時(shí)，，即函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn).故答案為：.39．（2023上·福建莆田·高一校考期中）已知函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，其中，，則的最小值為.【答案】4【分析】求出函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，得到，使用基本不等式求的最小值.【詳解】函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，所以,因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，的最小值為4.故答案為：4考點(diǎn)五由冪函數(shù)單調(diào)性比較大小40．（2023上·北京·高一北京十四中校考期中）設(shè)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，以及函數(shù)的單調(diào)性，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，可得，所以A不正確；對(duì)于B中，由，因?yàn)?，則，但符號(hào)不確定，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，例如，可得，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以D正確.故選：D.41．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大小：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)(2)(3)【分析】利用冪函數(shù)的單調(diào)性，比較函數(shù)值的大小.【詳解】（1），可看作冪函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值．該函數(shù)在上遞增，由于底數(shù)，所以．（2），可看作冪函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值．該函數(shù)在上遞增，由于底數(shù)，所以．（3），可看作冪函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值．該函數(shù)在上遞減，由于底數(shù)，所以．42．（2023上·重慶·高一西南大學(xué)附中?？计谥校┮阎?，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用冪函數(shù)的單調(diào)性判定即可．【詳解】由單調(diào)遞增，則可知，由單調(diào)遞增，又，可得所以．故選：C．43．（2023上·廣東佛山·高一佛山市南海區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若，，，則a、b、c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用冪函數(shù)在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，即可判斷的大小.【詳解】因?yàn)?，，，又在第一象限?nèi)是增函數(shù)，，所以，即.故選：D.44．（2023上·云南昆明·高一云南師大附中校考期中）已知冪函數(shù)且，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及，比較出大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，所?故選：C.考點(diǎn)六利用冪函數(shù)單調(diào)性解不等式45．（2023上·新疆·高一新疆實(shí)驗(yàn)校考期中）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則的取值范圍為（

）A． B． C．D．【答案】D【分析】先將點(diǎn)代入，解得，再利用冪函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可知，，解得，，故，其定義域?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，所以，所以由，得，所以，所以或，解得，或．故的取值范圍為．故選：D．46．（2023上·陜西西安·高一陜西師大附中?？计谥校┮阎瘮?shù)，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)，首先得出的單調(diào)性與奇偶性，然后將條件表達(dá)式等價(jià)轉(zhuǎn)換即可得解.【詳解】令，因?yàn)榈亩x域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以是上的奇函數(shù)，注意到冪函數(shù)都是上的增函數(shù)，所以是上的增函數(shù)，而，所以，解得，綜上所述，的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性與奇偶性解不等式.47．（2023·上海·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)，若，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性和定義域求參數(shù)取值范圍【詳解】解：冪函數(shù)，所以定義域?yàn)榍以诙x域上單調(diào)遞減，所以需滿足，解得，故答案為：．48．（2023上·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考期中）若冪函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則滿足不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)所過(guò)點(diǎn)得到為偶函數(shù)，在第一象限過(guò)，從而求出解析式，根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性得到不等式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】?jī)绾瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，∴為偶函數(shù)，在第一象限過(guò)；當(dāng)，設(shè)，則，解得；∴冪函數(shù)，由于，故在上單調(diào)遞增，不等式，平方得，解得；所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：49．（2023上·湖北荊州·高一荊州中學(xué)校考期中）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則a的取值范圍為.【答案】【分析】利用冪函數(shù)的定義及單調(diào)性，求出參數(shù)，再借助單調(diào)性解不等式即得.【詳解】?jī)绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則，解得，不等式化為，顯然函數(shù)在R上單調(diào)遞增，因此，解得，所以a的取值范圍為.故答案為：50．（2023上·遼寧大連·高三大連八中校考期中）已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且，則a的取值范圍是．【答案】【導(dǎo)語(yǔ)】先求出冪函數(shù)的表達(dá)式，再用增減性即可【詳解】因?yàn)榈膱D象過(guò)點(diǎn)所以，解得所以在定義域上遞減故解得故答案為：51．（2023上·浙江杭州·高一校聯(lián)考期中）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且在上是減函數(shù)，求滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)確定，進(jìn)而利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式即可求解.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且在上是減函數(shù)，，則，當(dāng)時(shí)是奇函數(shù)，不滿足題意，，時(shí)是偶函數(shù)且在上是減函數(shù)，，滿足題意，根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且在上是減函數(shù)，可得在上是增函數(shù)，由可知定義域?yàn)?，由，可得，所以，即，解得或，故答案?.考點(diǎn)七利用冪函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)52．（2023上·廣東惠州·高一?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)是上的增函數(shù)，則的值為.【答案】3【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義與性質(zhì)，即可求出的值．【詳解】由題意，是冪函數(shù)，，解得或，又是R上的增函數(shù)，.故答案為：3.53．（2023上·四川成都·高一校聯(lián)考期中）已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則．【答案】【分析】利用冪函數(shù)的定義及單調(diào)性求解即得.【詳解】由冪函數(shù)的定義知，，即，解得或，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意，所以.故答案為：54．（2023上·河北滄州·高一統(tǒng)考期中）若冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù).【答案】6【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義及性質(zhì)求解即可.【詳解】由函數(shù)為冪函數(shù)可知，，解得或，因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，所以.故答案為：655．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤艉瘮?shù)是冪函數(shù)，且在是單調(diào)遞減，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義以及單調(diào)性可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，即可得出實(shí)數(shù)的值，可得出函數(shù)的解析式，代值計(jì)算可得的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，且在是單調(diào)遞減，則，解得，則，故.故選：B.56．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高一湖南師大附中?？计谥校┤艉瘮?shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)解析式知函數(shù)在上單調(diào)遞減，建立不等關(guān)系解出即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)，由在上不可能單調(diào)遞增，則函數(shù)在上不可能單調(diào)遞增，故在R上單調(diào)遞減，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：D.考點(diǎn)八冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用57．（2023上·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期中）若冪函數(shù)是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則的值可以是（只要寫一個(gè)即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)條件得到可取負(fù)奇數(shù)，進(jìn)而可得答案.【詳解】?jī)绾瘮?shù)是奇函數(shù)，可取為奇數(shù)，在上單調(diào)遞減，可取為負(fù)數(shù)，故可取負(fù)奇數(shù).故答案為：.58．【多選】（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考期中）已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn) B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)的值