湖北省部分市州2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期元月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

湖北省部分市州2023年元月高三年級(jí)聯(lián)合調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)z滿足（其中i為虛數(shù)單位），則（）A.1 B.2 C. D.5【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求得，進(jìn)而求得.【詳解】，所以.故選：C2已知集合，，則集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求函數(shù)的定義域求得集合，由此對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】，對(duì)于函數(shù)，由解得，所以.所以，，或，，所以D選項(xiàng)符合.故選：D3.有一組樣本數(shù)據(jù)：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9.則關(guān)于該組數(shù)據(jù)的下列數(shù)字特征中，數(shù)值最大的為（）A.平均數(shù) B.第50百分位數(shù) C.極差 D.眾數(shù)【答案】A【解析】【分析】分別求出平均數(shù)、第50百分位數(shù)、極差、眾數(shù)，即可得到答案【詳解】平均數(shù)為；，則第50百分位數(shù)為；極差為；眾數(shù)為故平均數(shù)最大故選：A.4.已知，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】判斷的范圍，求得的值，利用二倍角公式，即可求得答案【詳解】由題意，則，由可得，即有，即，，解得，故選：C5.已知函數(shù)則函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分段求出函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得答案.【詳解】當(dāng)，即時(shí)，，，令，得，令，得，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由此得A和C和D不正確；當(dāng)，即時(shí)，，，令，得，令，得，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由此得B正確；故選：B6.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用，求出數(shù)列的遞推關(guān)系，從而得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后由求和公式計(jì)算．【詳解】，時(shí)，，相減得，∴，又，，所以從第二項(xiàng)項(xiàng)開始成等比數(shù)列，時(shí)，，，故選：D．7.已知，分別為雙曲線：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線漸近線上一點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】由題可得，然后利用二倍角公式結(jié)合條件可得，然后根據(jù)離心率公式即得.【詳解】因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，，所以，又，，所以，所以.故選：B.8.在三棱錐中，，，設(shè)側(cè)面與底面的夾角為，若三棱錐的體積為，則當(dāng)該三棱錐外接球表面積取最小值時(shí)，（）A. B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】通過計(jì)算推出為的外接圓的直徑，到平面的距離為，設(shè)的中點(diǎn)為，則為的外接圓的圓心，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，半徑為，根據(jù)以及求出的最小值及取最小值時(shí)，有平面，再取的中點(diǎn)，連，，則可得，計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，所以為的外接圓的直徑，設(shè)的中點(diǎn)為，則為的外接圓的圓心，因?yàn)椋O(shè)到平面的距離為，則，所以，當(dāng)該三棱錐外接球表面積取最小值時(shí)，半徑最小，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，半徑為，則平面，若點(diǎn)和點(diǎn)在平面的同側(cè)，如圖：則，即，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)，在中，，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)，若點(diǎn)和點(diǎn)在平面的異側(cè)，則，所以，若與重合時(shí)，，不合題意，綜上所述：的最小值為，且當(dāng)時(shí)，三點(diǎn)共線，此時(shí)平面，取的中點(diǎn)，連，，則，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以是?cè)面與底面的夾角，即，因?yàn)?，，所?故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖所示，在邊長(zhǎng)1為的正六邊形ABCDEF中，下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由正六邊形性質(zhì)，結(jié)合向量線性運(yùn)算及數(shù)量積的幾何表示即可判斷.【詳解】由正六邊形性質(zhì)可知，正六邊形ABCDEF對(duì)邊平行且相等，對(duì)角線交于O將正六邊形分成六個(gè)全等正三角形.對(duì)A，，A錯(cuò)；對(duì)B，，B對(duì)；對(duì)C，，C對(duì)；對(duì)D，，，，D錯(cuò).故選：BC10.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則下列關(guān)系式中可能成立的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】將化為，設(shè)，得，，，利用函數(shù)，，的圖象可求出答案.【詳解】由可知，，所以，設(shè)，則，，，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)，，的圖象，由圖可知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)C正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)B正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)A正確.故選：ABC11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.是的一個(gè)周期B.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C.在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4D.的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)周期函數(shù)的定義，驗(yàn)證可知A正確；根據(jù)中心對(duì)稱的定義，驗(yàn)證可知B正確；由，解方程求出零點(diǎn)可知C不正確；由，通過換元，設(shè)，化為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其值域，可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋允堑囊粋€(gè)周期，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C，由，得或，，得或，，由及得或或，所以或或，由及得或或或或，所以或或或或，所以在區(qū)間上的零點(diǎn)為，，，，，共5個(gè)，故C不正確；對(duì)于D，，所以，設(shè)，，則，令，得，令，得，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為，或時(shí)，取得最小值為，所以，所以，所以的最大值為，故D正確；故選：ABD12.已知正方體的棱長(zhǎng)為3，P為正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，.則下列說法正確的是（）A.當(dāng)點(diǎn)P在側(cè)面（含邊界）內(nèi)時(shí)，為定值B.當(dāng)點(diǎn)P在側(cè)面（含邊界）內(nèi)時(shí)，直線與直線所成角的大小為C.當(dāng)點(diǎn)P在側(cè)面（含邊界）內(nèi)時(shí)，對(duì)任意點(diǎn)P，總存在點(diǎn)Q，使得D.點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)選項(xiàng)A，易證得，即可求出的值；對(duì)選項(xiàng)B，易知直線與直線所成角為，求出，即可得出答案；對(duì)選項(xiàng)，通過關(guān)系建立方程，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，得到關(guān)于的一元二次方程，再通過判別式即可判斷出對(duì)任意點(diǎn)，總存在點(diǎn)，便得；對(duì)于選項(xiàng)D，點(diǎn)P的軌跡一部分是在面三個(gè)面內(nèi)以為半徑，圓心角為的三段弧，另一部分是在面三個(gè)面內(nèi)以為半徑，圓心角為的三段弧，求解即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)镻在側(cè)面（含邊界）內(nèi)，由正方體的性質(zhì)知，平面，平面，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，點(diǎn)P在側(cè)面（含邊界）內(nèi)，由正方體的性質(zhì)知，平面，平面，所以，直線與直線所成角為，所以，直線與直線所成角的大小為，故B不正確；對(duì)于C，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，可得：，，，，，，，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則有：（）解得：，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以，則，若，則有：，，又則有：又，則有：，故對(duì)任意點(diǎn)，總存在點(diǎn)，便得，故選項(xiàng)正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，如圖2，點(diǎn)P的軌跡一部分是在面三個(gè)面內(nèi)以為半徑，圓心角為的三段弧，另一部分是在面三個(gè)面內(nèi)以為半徑，圓心角為的三段弧；所以此時(shí)點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度為，故D選項(xiàng)正確；故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為________.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)乘法分配律以及二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.【詳解】二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式為，令，解得；令，則無自然數(shù)解.所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：14.已知紅箱內(nèi)有5個(gè)紅球、3個(gè)白球，白箱內(nèi)有3個(gè)紅球、5個(gè)白球.第一次從紅箱內(nèi)取出一球，觀察顏色后放回原處；第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)再取出一球，則第二次取到紅球的概率為________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)全概率公式求得正確答案.【詳解】依題意，第二次取到紅球的概率為.故答案為：15.過拋物線焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為，，點(diǎn)P在拋物線的準(zhǔn)線上.若AP是的角平分線，則點(diǎn)P到直線l的距離為______.【答案】5【解析】【分析】連，，根據(jù)拋物線的定義以及，證明，從而推出和，可得就是點(diǎn)P到直線l的距離，再根據(jù)，推出，結(jié)合，可得.【詳解】如圖，連，，由拋物線的定義可知，，又，，所以，所以，，即，所以就是點(diǎn)P到直線l的距離，因，，，所以，所以，所以，又，所以.故點(diǎn)P到直線l的距離為.故答案為：16.已知關(guān)于的不等式恒成立，則的最大值為________.【答案】【解析】【分析】令，若時(shí)，，不符合題意；若時(shí)，，不符合題意；若時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值為，則關(guān)于的不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為，再令，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值為，則得，由此可得結(jié)果.【詳解】令，則，若時(shí)，，不符合題意；若時(shí)，，不符合題意；若時(shí)，令，得，令，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，因?yàn)殛P(guān)于的不等式恒成立，所以，因?yàn)椋?，令，則，令，則，所以在上為減函數(shù)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，所以，所以的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明.證明過程及演算步驟.17.已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，且.（1）求邊b的值；（2）若D為邊BC的中點(diǎn)，，求的面積.【答案】（1）4（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理，找到邊關(guān)系求解.(2)根據(jù)余弦定理，求出，再根據(jù)面積公式求解.【小問1詳解】因，由正弦定理得：，且，所以.【小問2詳解】延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，滿足，連接EB，EC，在中，由余弦定理得：，因，，代入上式整理得：，所以所以.18.已知數(shù)列中，對(duì)任意的，都有.（1）若為等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，又，可得，，于是可求得的值，即可得的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)，可得數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1公差為4的等差數(shù)列，再對(duì)項(xiàng)數(shù)分奇偶討論，結(jié)合等差數(shù)列求和公式，即可數(shù)列的前n項(xiàng)和.【小問1詳解】解：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，設(shè)公差為d，又，可得：，，所以，解得：，，所以的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】解：由條件，可得：，兩式相減得：，因?yàn)?，又，所以，所以?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1公差為4的等差數(shù)列.所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，.綜上：.19.如圖所示，在四棱錐中，，，，.（1）證明：；（2）求直線BC與平面PCD所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過構(gòu)造線面垂直的方法來證得.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線BC與平面PCD所成角的正弦值進(jìn)而求得其余弦值.【小問1詳解】連接BD，設(shè)BD的中點(diǎn)為O，連接OA，OP.因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，又平面，所以平面OAP，因?yàn)槠矫鍻AP，所以.【小問2詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所以，又平面，所以平面ABCD.，，所以.如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OP所在直線分別為x軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，，平面PCD的法向量分別為，所以，即，取，則，設(shè)與平面PCD所成的角為，則則直線BC與平面PCD的夾角余弦值為.20.2022年11月21日.第22屆世界杯在卡塔爾開幕.小組賽階段，已知某小組有甲、乙、丙、丁四支球隊(duì)，這四支球隊(duì)之間進(jìn)行單循環(huán)比賽（每支球隊(duì)均與另外三支球隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)比賽）；每場(chǎng)比賽勝者積3分，負(fù)者積0分；若出現(xiàn)平局，則比賽雙方各積1分.若每場(chǎng)比賽中，一支球隊(duì)勝對(duì)手或負(fù)對(duì)手的概率均為，出現(xiàn)平局的概率為.（1）求甲隊(duì)在參加兩場(chǎng)比賽后積分的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）小組賽結(jié)束后，求四支球隊(duì)積分均相同的概率.【答案】（1）分布列見解析，（2）【解析】【分析】（1）甲隊(duì)參加兩場(chǎng)比賽后積分的取值為0，1，2，3，4，6，求出取每個(gè)值的概率后，可得分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）根據(jù)題意分析，可得要使四支球隊(duì)積分相同，則每只球隊(duì)總積分為3分或者4分，然后分2種情況求出概率，再相加可得解.【小問1詳解】甲隊(duì)參加兩場(chǎng)比賽后積分的取值為0，1，2，3，4，6，則，，，，，，所以隨機(jī)變量X的分布列為：012346隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：.【小問2詳解】由于小組賽共打6場(chǎng)比賽，每場(chǎng)比賽兩個(gè)球隊(duì)共積2分或者3分；6場(chǎng)比賽總積分的所有情況為12分，13分，14分，15分，16分，17分，18分共7種情況，要使四支球隊(duì)積分相同，則總積分被4整除，所以每只球隊(duì)總積分為3分或者4分.若每支球隊(duì)得3分：則6場(chǎng)比賽都出現(xiàn)平局，其概率為：；若每支球隊(duì)得4分：則每支球隊(duì)3場(chǎng)比賽結(jié)果均為1勝1平1負(fù)，其概率為：﹒所以四支球隊(duì)積分相同的概率為.21.已知，為橢圓：的左、右焦點(diǎn).點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)，.（1）求橢圓的方程；（2）點(diǎn)為直線上一點(diǎn)（且不在軸上），過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，連接交軸于點(diǎn).設(shè)，的面積分別為，，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由已