2022年北京科技大學高考臨考沖刺數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.如圖，正四面體P—ABC的體積為V,底面積為S,。是高的中點，過。的平面a與棱Q4、PB、PC分

別交于。、E、F,設三棱錐P-D石尸的體積為治,截面三角形。防的面積為S0,則（）

A.V<8^,S44soB.V48%,S>4S0

C.V>8^),S44soD.VN8%,SN4so

2.某四棱錐的三視圖如圖所示，記S為此棱錐所有棱的長度的集合，則（）.

正（主）視圖例（左）視圖

俯視圖

A.20龜S，且2JJ史SB.2a任S，且

C.272eS>且2退代SD.272eS)且

3.下圖為一個正四面體的側(cè)面展開圖，G為B尸的中點，則在原正四面體中，直線EG與直線8C所成角的余弦值為

()

V376

V3

4,若函數(shù)/（x）=|lnH滿足/（。）=/"），且0<a<b,則牝止心的最小值是（）

4。+2。

A.0B.1C.|D.2>/2

5.在A43C中，D為BC中點,且荏=g應5,^BE^AAB+^AC,貝!M+〃=（）

213

A.1B.一一C.一一D.一一

334

6.阿波羅尼斯（約公元前262~190年）證明過這樣的命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)上（左>0/H1）的點的軌

跡是圓.后人將這個圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點A，3間的距離為2,動點P與A，B的距離之比為注，當P,A，

2

B不共線時，AE43的面積的最大值是（）

A.2A/2B.V2C.D.—

33

7,函數(shù)/（力=爐一/+》的圖象在點（1,/。））處的切線為/,貝！J/在），軸上的截距為（）

A.-1B.1C.-2D.2

8.函數(shù)f（x）=叫"的大致圖象為（）

e

9.已知等差數(shù)列｛凡｝的公差為-2,前〃項和為S“，6,a2,%為某三角形的三邊長，且該三角形有一個內(nèi)角為120。,

若S.4S,“對任意的〃eN*恒成立，貝!I實數(shù)〃?=().

A.6B.5C.4D.3

10.已知｛《,｝為等差數(shù)列，若4=24+1，4=24+7,則%=()

A.1B.2C.3D.6

2

11.已知y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x>()時，/(X)=X+――3.若XW0,則/(x)W0的解集是()

x

A.[-2,-1]B.(-oo,-2]u[-1,0]

C.(^o,-2]u[-l,0)D.(7,-2)。(-1,0]

12.如圖所示的莖葉圖為高三某班5()名學生的化學考試成績，算法框圖中輸入的q,%a3,…，%。為莖葉圖中

的學生成績，則輸出的〃?，〃分別是()

43678

501233689

6001344667889

70122456667889S

80024569

9016S

A.加=38,〃=12B.m=26fn=12

C.陽=12,〃=12D.機=24,7t=10

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.定義min{4,》}=<；’：：,已知/(x)=e*---,g(x)=(x-l)(〃zx+2M-，”-1),若

/?(x)=min{/(x),g(x)}恰好有3個零點，則實數(shù)加的取值范圍是.

14.定義在R上的偶函數(shù)“X)滿足/(e+x)=/(e-x),且“0)=0,當xe(義e］時，的(x)=lnx.已知方程

“x)=(sin7C的圖象向右平移。個

----X在區(qū)間［-e,3e］上所有的實數(shù)根之和為3ea.將函數(shù)g(x)=3sii??x)+l

2e

單位長度，得到函數(shù)〃(x)的圖象，則。=,耳8)=.

15.如圖是一個算法流程圖，若輸出的實數(shù))'的值為-1，則輸入的實數(shù)x的值為.

r^"]

-

/輸入X/

2,x>0

16.若函數(shù)/(x)=2八，則使得不等式/(/(。))>0成立的。的取值范圍為_______.

一,尤<0

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)某職稱晉級評定機構(gòu)對參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績進行了統(tǒng)計，繪制了頻率分布直方圖(如

圖所示)，規(guī)定80分及以上者晉級成功，否則晉級失敗.

晉級成功晉級失敗合計

男16

女50

合計

(1)求圖中”的值；

(2)根據(jù)已知條件完成下面2x2列聯(lián)表，并判斷能否有85%的把握認為“晉級成功”與性別有關(guān)？

(3)將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機抽取4人進行約談，記這4人中晉級失敗的人數(shù)為X,求X

的分布列與數(shù)學期望E(X).

/公上八,2n{ad-bc）~廿上,,、

（參考公式：k=,其中及一a+Z?+c+d）

（。+b）（c+d）（a+c）（b+d）

P（K2>k）

n0.400.250.150.100.050.025

k。0.7801.3232.0722.7063.8415.024

18.（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，ABCD,AB=BC=2,CD=AD=近，ZA5C=120°.

(I)證明：BDSC；

(II)若/是PO中點，與平面Q46所成的角的正弦值為逑，求R4的長.

10

19.(12分)如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=0,AF=1,M是線段EF的

求證：(1)AM〃平面BDE；

(2)AMJ_平面BDF.

20.(12分)山東省2020年高考將實施新的高考改革方案.考生的高考總成績將由3門統(tǒng)一高考科目成績和自主選擇的

3門普通高中學業(yè)水平等級考試科目成績組成，總分為750分.其中，統(tǒng)一高考科目為語文、數(shù)學、外語，自主選擇的

3門普通高中學業(yè)水平等級考試科目是從物理、化學、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目，語、

數(shù)、外三科各占150分，選考科目成績采用“賦分制”，即原始分數(shù)不直接用，而是按照學生分數(shù)在本科目考試的排名

來劃分等級并以此打分得到最后得分.根據(jù)高考綜合改革方案,將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為二、

---------+-------+------共8個等級。參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為：%、-"、％%、F券、

24%、16%'3”?等級考試科目成績計入考生總成績時，將二至二等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，

分別轉(zhuǎn)換到91-100、81-90、71-80,61-70、51-60、41-50.31-40、21-30八個分數(shù)區(qū)間，得到考生的等級成績.

舉例說明.

某同學化學學科原始分為65分，該學科二十等級的原始分分布區(qū)間為58?69,則該同學化學學科的原始成績屬二十等

級.而二+等級的轉(zhuǎn)換分區(qū)間為61?70,那么該同學化學學科的轉(zhuǎn)換分為：

設該同學化學科的轉(zhuǎn)換等級分為一，一一，求得一?

—"-力_I一一—?]

65-58一口-67

四舍五入后該同學化學學科賦分成績?yōu)?7.

（1）某校高一年級共2000人，為給高一學生合理選科提供依據(jù)，對六個選考科目進行測試，其中物理考試原始成績

基本服從正態(tài)分布二~二（601

（i）若小明同學在這次考試中物理原始分為84分，等級為二+，其所在原始分分布區(qū)間為82?93,求小明轉(zhuǎn)換后的

物理成績；

（ii）求物理原始分在區(qū)間8,的人數(shù)；

（2）按高考改革方案，若從全省考生中隨機抽取4人，記二表示這4人中等級成績在區(qū)間區(qū)上80?的人數(shù)，求二的分布

列和數(shù)學期望.

（附：若隨機變量二~匚（二二;y貝!?二（二-Z<Z<Z+~）=0.682'二（二一2二〈二〈匚+2二）=0.954'

二（二一3二〈匚〈匚+3二）=0.997）

21.（12分）如圖，在三棱柱A3C-A與G中，已知四邊形MG。為矩形，M=6,A8=AC=4,

ABAC=ZBAA,=60°,NA/C的角平分線AQ交CQ于。.

A

(1)求證:平面BAD，平面MG。；

(2)求二面角A-Bq—A的余弦值.

22.(10分)已知數(shù)列｛4｝滿足q=l,a,,=2a,i+2〃-l(〃N2),數(shù)列也｝滿足2=%+2〃+3.

(I)求證數(shù)列也｝是等比數(shù)列；

(H)求數(shù)列｛q｝的前〃項和S,,.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

設A3=2,取b'與8c重合時的情況，計算出S0以及%的值，利用排除法可得出正確選項.

【詳解】

如圖所示，利用排除法，取即與5c重合時的情況.

不妨設AB=2,延長MO到N,使得PN//AM.

PD1

?;PO=OH,:.PN=MH,-.AH=2MH,AM^3MH^3PN,則一=—,

AD3

由余弦定理得BO?=AB2+AD2-2AB.AZ）cosM=22+[a]-2x2x-xi=—,

3⑴224

DM^^BD2-BM2=-,S=-x2x-=-,

2°0222

又S=Vx2?=百，，-^=￡=26>1,

當平面。瓦7/平面ABC時，S=4Sa,.-.5<450,排除B、D選項;

E且PO1-1〃“…8V,c,

因為=—，?'?%=—V，此時，=2>1,

AD34V

當平面DEFH平面ABC時,8%=V,.?.8%NV,排除C選項.

故選：A.

【點睛】

本題考查平行線分線段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱錐的體積計算公式、排除法，考查了空間想象能力、

推理能力與計算能力，屬于難題.

2.D

【解析】

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，根據(jù)三視圖的長度，進一步求出個各棱長.

【詳解】

根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：該幾何體為四棱錐體，

如圖所示：

所以：AB=BC=CD=AD=DE=2,

AE=CE=2五,BE=7（2A/2）2+22=2^3?

故選：D.

【點睛】

本題考查三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換，主要考查運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.C

【解析】

將正四面體的展開圖還原為空間幾何體，AD口三點重合，記作。，取DC中點”，連接￡G,E”,G〃，NEGH即

為EG與直線8c所成的角，表示出三角形EGH的三條邊長，用余弦定理即可求得cosNEG”.

【詳解】

將展開的正四面體折疊，可得原正四面體如下圖所示，其中A0,尸三點重合，記作。：

ML玲

則G為BO中點，取。。中點”，連接EG,EH,GH,設正四面體的棱長均為明

由中位線定理可得G////BC且G"=L8C='a,

22

所以ZEGH即為EG與直線8C所成的角，

由余弦定理可得c"GH=更第產(chǎn)

321232

-aH—a—ci昌

444一03

,61F

2x—a,—a

22

所以直線EG與直線8C所成角的余弦值為走

6

故選：C.

【點睛】

本題考查了空間幾何體中異面直線的夾角，將展開圖折疊成空間幾何體，余弦定理解三角形的應用，屬于中檔題.

4.A

【解析】

由推導出b=L且0<a<l，將所求代數(shù)式變形為4、+"-4=絲也一,利用基本不等式

77a4a+2b22a+b

求得2。+8的取值范圍，再利用函數(shù)的單調(diào)性可得出其最小值.

【詳解】

函數(shù)/'(x)=|lnx|滿足f^a)=f(b),.,.(ina)2=(lnb)2,即(ina-ln力)(lna+lnA)=O,

?.-0<a<b,lna<lnZ?,lna+ln》=O,即ln(aZ?)=O=而=1,

/.\=ab>cr>則0<a<1,

由基本不等式得20+。=20+,22/2心'=2&,當且僅當a=,時，等號成立.

a\a2

4a2+/-4_(2a+b)2-4ab-4_(2。+〃『-8_2a+04

?4a+2Z?2(2a+b)2(2a+b)22a+b

由于函數(shù)y=在區(qū)間［2立同上為增函數(shù)，

L4/72+-42\114

所以，當2a+b=2近時，今取得最小值工

4a+2。22V2

故選：A.

【點睛】

本題考查代數(shù)式最值的計算，涉及對數(shù)運算性質(zhì)、基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性的應用，考查計算能力，屬于中等題.

【解析】

選取向量而，比為基底，由向量線性運算，求出麗，即可求得結(jié)果.

【詳解】

BE=AE-AB=-AD-AB,AD=-（AB+AC）,

32

BE=--AB+-AC=AAB+uAC,

66

,512

故選：B

【點睛】

本題考查了平面向量的線性運算，平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

6.A

【解析】

根據(jù)平面內(nèi)兩定點A,B間的距離為2,動點P與A,8的距離之比為亞，利用直接法求得軌跡，然后利用數(shù)形結(jié)

合求解.

【詳解】

如圖所示:

、/、/、/、J-/加

設A(—1,0),3(1,0),尸(x,y),則/-,一=-,

+y22

化簡得(x+3『+y2=8,

當點P到AB(x軸)距離最大時，的面積最大，

二APAB面積的最大值是-x2x272=2x/2.

2

故選：A.

【點睛】

本題主要考查軌跡的求法和圓的應用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.

7.A

【解析】

求出函數(shù)在x=1處的導數(shù)后可得曲線在(1,/(1))處的切線方程，從而可求切線的縱截距.

【詳解】

f(x)=3x2-2x+l,故/⑴=2,

所以曲線y=/(x)在(1,/(1))處的切線方程為：y=2(x7)+/'⑴=2x7.

令x=0,則丁=-1,故切線的縱截距為—1.

故選：A.

【點睛】

本題考查導數(shù)的幾何意義以及直線的截距，注意直線的縱截距指直線與y軸交點的縱坐標，因此截距有正有負，本題

屬于基礎(chǔ)題.

8.A

【解析】

利用特殊點的坐標代入，排除掉C,D；再由/(-；)<1判斷A選項正確.

【詳解】

111|11|

/(-1.1)=--^,-<0>排除掉C,D；

e

2~2

e2

InV2<InVe=-,&<2,

2

，/(一；)-y[e\n42<1.

故選：A.

【點睛】

本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問題，代入特殊點，采用排除法求解是解決這類問題的一種常用方法，

屬于中檔題.

9.C

【解析】

若S“<S,”對任意的〃eN*恒成立，則s,“為S”的最大值，所以由已知，只需求出S“取得最大值時的〃即可.

【詳解】

由已知，at>a2>a3>0,又三角形有一個內(nèi)角為120°,所以=a；，

22

ai=(a,-2)+(a,-4)+(at-2)(a1-4),解得q=7或4=2(舍),

故S“=7〃+*二DX(_2)=-/+8〃，當〃=4時，S“取得最大值，所以加=4.

故選：C.

【點睛】

本題考查等差數(shù)列前〃項和的最值問題，考查學生的計算能力，是一道基礎(chǔ)題.

10.B

【解析】

利用等差數(shù)列的通項公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出

【詳解】

V{an}為等差數(shù)列,a2=2a3+l,a4=2a3+7,

31+d=2（a1+2d）+l

，，，

［al+3d=2（al+2d）+7

解得a〕=-10,d=3,

:.a5=a,+4d=-10+11=1.

故選：B.

【點睛】

本題考查等差數(shù)列通項公式求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

11.B

【解析】

利用函數(shù)奇偶性可求得/（X）在X<0時的解析式和/（0）,進而構(gòu)造出不等式求得結(jié)果.

【詳解】

???/（X）為定義在R上的奇函數(shù)，

2

當x<0時，—x>0,/（―x）=—x----3?

2

,?,/（X）為奇函數(shù)，二/（x）=-/（一力=x+—+3（x<0）,

x<0

由’2得：xW—2或-lWx<0；

x+-+3<0

綜上所述：若x<0,則〃x）W0的解集為1,0卜

故選：B.

【點睛】

本題考查函數(shù)奇偶性的應用，涉及到利用函數(shù)奇偶性求解對稱區(qū)間的解析式；易錯點是忽略奇函數(shù)在x=0處有意義

時，/（0）=0的情況.

12.B

【解析】

試題分析：由程序框圖可知，框圖統(tǒng)計的是成績不小于80和成績不小于60且小于80的人數(shù)，由莖葉圖可知，成績不

小于80的有12個，成績不小于60且小于80的有26個，故〃2=26,〃=12.

考點：程序框圖、莖葉圖.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.上變］u］也/

【解析】

根據(jù)題意，分類討論求解，當〃z<0時，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)/(力=6,-l無零點，不合題意；當/篦>0時,

m

令=-=0,得x=—lnm,令g(x)=(x-l)［mx+2nr-m-l)=0,得x=］或

x=-=1+1_2//J,再分當工+1-2m>1,工+1-2m<1兩種情況討論求解.

mmmm

【詳解】

由題意得：當加<0時，/'(x)=eX-L在X軸上方，且為增函數(shù)，無零點，

m

g(x)=(x-l)(mX+2M至多有兩個零點，不合題意；

當相>0時，令=_■-=0,得x=—lnm,令g(x)=(%-l)-m-l)=0,得x=］或

m

2m2-m-\1i.

x=-------=——Fl-2m,

mm

如圖所示:

要有3個零點，則—lnm<l,解得!〈/<e；

m2e2

當，+1-2祖<1時，即加〉也時，要有3個零點，則—In/〃〈工+1—2加，

m2m

令f(fn\=—+\-2m+In7?i,

m

J1)-7

2m——+一

_l__lhrr一機+1(4,―^<o'

rw=2+m2irT2

(r\

所以/(租)在—,+00是減函數(shù)，又/⑴=0,

<>

要使"根)>0,則須加<1,所以理<Z?<1.

【點睛】

本題主要考查二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的圖象和分段函數(shù)的零點問題，還考查了分類討論的思想和運算求解的能力，利用

導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，屬于中檔題.

14.24

【解析】

根據(jù)函數(shù)"X)為偶函數(shù)且/(e+x)=/(e—x),所以的周期為2e,/(x)=1sinf￡xj的實數(shù)根是函數(shù)

/(x)和函數(shù)y=gsin［看x)的圖象的交點的橫坐標，在平面直角坐標系中畫出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)的對稱性可得所

有實數(shù)根的和為6e,從而可得參數(shù)"的值，最后求出函數(shù)〃(x)的解析式，代入求值即可.

【詳解】

解：因為因為)為偶函數(shù)且"e+x)=/(e-x),所以/(x)的周期為2e.因為xe(O,e］時,/(x)=lnx,所以可作

出“X)在區(qū)間［一e,3e］上的圖象，而方程/(x)=；sin［5x］的實數(shù)根是函數(shù)/(x)和函數(shù)y=的圖象

的交點的橫坐標，結(jié)合函數(shù)/(X)和函數(shù)y=；sin(￡x)在區(qū)間［-e,3e］上的簡圖，可知兩個函數(shù)的圖象在區(qū)間

[-e,3e]上有六個交點.由圖象的對稱性可知，此六個交點的橫坐標之和為6e,所以6e=3ea,故a=2.

3nx5

因為g（x）=3sin2+1——cos——+一,

H222

35371%；故/?（）（）

所以人（工）=_jcos夕一）+—=—cos+.8=Tcos4%+g=4.

22

【點睛】

本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性的應用，函數(shù)方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.

1

15.——

4

【解析】

根據(jù)程序框圖得到程序功能，結(jié)合分段函數(shù)進行計算即可.

【詳解】

log,（2x+l）,x<0

解：程序的功能是計算y=）',

|2x,x>0

若輸出的實數(shù)y的值為一1,

則當xWO時，由1082（2%+1）=-1得》=-；,

當x>0時，由2"=-1，此時無解.

故答案為：一：.

4

【點睛】

本題主要考查程序框圖的識別和判斷，理解程序功能是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

16.[O,-HX）

【解析】

分。<（）兩種情況代入討論即可求解.

【詳解】

2,x>0

/(x)=<2八，

一,x<0

5

當aZO時，/(/(。))=〃2)=2>0,,aNO符合；

當〃<0時，/.(/(a))=/(T)=a<0,.?.a<0不滿足/(/(。))>0.

故答案為：［0,+8)

【點睛】

本題主要考查了分段函數(shù)的計算，考查了分類討論的思想.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)4=0.005;(2)列聯(lián)表見解析，有超過85%的把握認為“晉級成功”與性別有關(guān)；(3)分布列見解析，E(X)=3

【解析】

(1)由頻率和為1,列出方程求。的值；

(2)由頻率分布直方圖求出晉級成功的頻率，計算晉級成功的人數(shù)，

填寫2x2列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論；

(3)由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率，將頻率視為概率，

知隨機變量X服從二項分布，計算對應的概率值，寫出分布列，計算數(shù)學期望.

【詳解】

解：(1)由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1,

可知(2a+0.020+0.030+0.040)xlO=l,

解得a-0.005；

(2)由頻率分布直方圖知，晉級成功的頻率為0.2()+0.05=0.25,

所以晉級成功的人數(shù)為100x0.25=25(人)，

填表如下：

晉級成功晉級失敗合計

男163450

女94150

合計2575100

假設“晉級成功”與性別無關(guān),

根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得2

K=l0°xa6x4-9)-?2.613>2.072，

25x75x50x50

所以有超過85%的把握認為“晉級成功”與性別有關(guān)；

(3)由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率為1-0.25=0.75,

將頻率視為概率，

則從本次考試的所有人員中，隨機抽取1人進行約談，這人晉級失敗的概率為0.75,

所以X可視為服從二項分布，即X?3

P(X=?=嗚1J(左=0,1,2,3,4),

/Q

故p(X=0)=C：-

14J

54

P(X=2)=%冏256

108

256

81

256

所以X的分布列為:

X01234

1125410881

P(X=k)

256256256256256

數(shù)學期望為E(X)=4x3=3.或(E(x)=-!-x0+-^-xl+*x2+&x3+-^-x4=3).

4256256256256256

【點睛】

本題考查了頻率分布直方圖和離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的應用問題，屬于中檔題.若離散型隨機變量

X~B(n,p),則E(X)=叩,D(x)=叩(1-p).

18.(I)見解析；(II)V6

【解析】

(I)取4。的中點。，連接。氏。力，由AB=3C,49=。。，得&。,。三點共線，且AC_LB。，又BO_LR4,

再利用線面垂直的判定定理證明.

(II)設B4=x,則PB=G+4,P￡>=Jf+7,在底面ABC。中，80=3,在△「瓶中，由余弦定理得：

PB2=BM-+PM2-2-BM-PM-cosdMB，在4DBM中，由余弦定理得

DB2=BM2+DM2-2-BM-DM-cosN〃姐，兩式相加求得"=f1上，再過。作。H，54,則ZW，

DH

平面Q46,即點。到平面的距離，由"是PO中點，得到“到平面PA6的距離——，然后根據(jù)3M與平面

2

RW所成的角的正弦值為上后求解.

10

【詳解】

(I)取AC的中點。，連接。8,。力，

由4B=BC,AD=CD,得8,0,。三點共線，

且ACLBO,又BDtPA,ACryPA=A,

所以BD_L平面P4C,

所以BD上PC.

(II)設PA=x,PB=G+4,PD=G+7,

在底面ABC。中，BD=3,

在△夫瓶中，由余弦定理得：PB2=BM?+PM2-2.BM.PM-cos4PMB，

在ADBM中，由余弦定理得加2=BM2+DM2_2.BM.DM-cos/DMB，

兩式相加得：DB2+PB2=IBM2+2DM?，

過。作E>〃_L84,則。〃_L平面Q48,

即點。到平面PAB的距離DH=BD-sin60°=

2

因為知是「。中點，所以為M到平面加？的距離力'=也=3叵

24

因為BM與平面PA6所成的角的正弦值為史,

10

373

h'才

即sina

BM/+19I。

解得x=V6.

【點睛】

本題主要考查線面垂直的判定定理，線面角的應用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象運算求解的能力，屬于中檔

題.

19.(1)見解析(2)見解析

【解析】

(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，設ACCBD=N,連結(jié)NE.

0,1),A(72>V2>0),M學

近四八一

-'-NE=F，F(xiàn)，1，=「2尸25

：.NE=AM且NE與AM不共線?，NE〃AM.

VNEu平面BDE,AMZ平面BDE,...AM〃平面BDE.

(2)由(1)知詢'=

FT7'

,:,0,0),F(0,血，1),ADF=(0,夜，1),

,兩?歷=0，.,.AMLDF.同理AMJLBF.又DFCBF=F，.?.AM_L平面BDF.

20.(1)(i)83.;(ii)272.(2)見解析.

【解析】

(1)根據(jù)原始分數(shù)分布區(qū)間及轉(zhuǎn)換分區(qū)間，結(jié)合所給示例，即可求得小明轉(zhuǎn)換后的物理成績；根據(jù)正態(tài)分布滿足

二(60.jp)，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性即可求得「二8，：內(nèi)的概率，根據(jù)總?cè)藬?shù)即可求得在該區(qū)間的人數(shù)。

(2)根據(jù)各等級人數(shù)所占比例可知在區(qū)間［6乙80］內(nèi)的概率為,由二項分布即可求得二的分布列及各情況下的概率，結(jié)

合數(shù)學期望的公式即可求解。

【詳解】

(1)(i)設小明轉(zhuǎn)換后的物理等級分為二，

_90-二'

=-6；—Z-S1

求得二x82.64,

小明轉(zhuǎn)換后的物理成績?yōu)?3分；

(ii)因為物理考試原始分基本服從正態(tài)分布二仿0,二：)，

所以二(72<Z<54)=二(60<Z<S4)-二(60<二<72)

=<匚(36<L<84］-\"{48<匚<72)

XX

=；(0.954-0.682)

=0.136-

所以物理原始分在區(qū)間8,:的人數(shù)為］000x0,^6=：-：(人)；

(2)由題意得，隨機抽取1人，其等級成績在區(qū)間［口,80］內(nèi)的概率為:，

隨機抽取4人，則，八.

口二㈤

二(二=。)=(9'=第二(二=，)=二片目=當

口(口=2)=已?伊.伊=券'□(□=3)=W?(步針=券’

口仁=旬=針=奈

二的分布列為

□01234

□812162169616

625777625三