第08講-指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(講義版)

第08講-指數(shù)與指數(shù)函數(shù)考情分析1.通過對有理數(shù)指數(shù)冪aeq\f(m,n)(a>0，且a≠1；m，n為整數(shù)，且n>0)、實(shí)數(shù)指數(shù)冪ax(a>0，且a≠1；x∈R)含義的認(rèn)識(shí)，了解指數(shù)冪的拓展過程，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；2.通過具體實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念；3.能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).知識(shí)梳理1.根式(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).(2)性質(zhì)：(eq\r(n,a))n＝a(a使eq\r(n,a)有意義)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝a，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N+，且n>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N+，且n>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.(2)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.3.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是R，a是底數(shù).(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過定點(diǎn)(0，1)，即x＝0時(shí)，y＝1當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1當(dāng)x<0時(shí)，y>1；當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)[微點(diǎn)提醒]1.畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2.在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大.經(jīng)典例題考點(diǎn)一指數(shù)冪的運(yùn)算【例1-1】化簡下列各式：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(3,5)))eq\s\up12(0)＋2－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq\s\up6(－\f(1,2))－(0.01)0.5；(2)eq\f(\r(a3b2\r(3,ab2)),（a\f(1,4)b\f(1,2)）4a－\f(1,3)b\f(1,3))(a>0，b>0).【解析】(1)原式＝1＋eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up6(\f(1,2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)))eq\s\up6(\f(1,2))＝1＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)－eq\f(1,10)＝1＋eq\f(1,6)－eq\f(1,10)＝eq\f(16,15).(2)原式＝eq\f(（a3b2a\s\up6(\f(1,3))b\s\up6(\f(2,3))）\s\up6(\f(1,2)),ab2a－\f(1,3)b\s(\f(1,3)))＝aeq\f(3,2)＋eq\f(1,6)－1＋eq\f(1,3)b1＋eq\f(1,3)－2－eq\f(1,3)＝eq\f(a,b).【例1-2】化簡下列各式：(1)[(0.064eq\s\up6(\f(1,5)))－2.5]eq\s\up6(\f(2,3))－eq\r(3,3\f(3,8))－π0；(2)eq\f(5,6)aeq\f(1,3)·b－2·(－3a－eq\s\up6(\f(1,2))b－1)÷(4aeq\s\up6(\f(2,3))·b－3)eq\s\up6(\f(1,2)).解(1)原式＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(64,1000)))\s\up6(\f(1,5))))\s\up6(－\f(5,2))))eq\s\up6(\f(2,3))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))eq\s\up6(\f(1,3))－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,10)))\s\up12(3)))eq\s\up12(\f(1,5)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))×\f(2,3))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(3)))eq\s\up6(\f(1,3))－1＝eq\f(5,2)－eq\f(3,2)－1＝0.(2)原式＝－eq\f(5,2)a－eq\f(1,6)b－3÷(4aeq\s\up6(\f(2,3))·b－3)eq\s\up6(\f(1,2))＝－eq\f(5,4)a－eq\f(1,6)b－3÷(aeq\s\up6(\f(1,3))b－eq\s\up6(\f(2,3)))＝－eq\f(5,4)a－eq\s\up6(\f(1,2))·b－eq\s\up6(\f(2,3))＝－eq\f(5,4)·eq\f(1,\r(ab3))＝－eq\f(5\r(ab),4ab2).規(guī)律方法1.指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，但應(yīng)注意：(1)必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；(2)運(yùn)算的先后順序.2.當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù).3.運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例2-1】若函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________.解析(1)y＝(a－1)2x－eq\f(a,2)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))－2x，令2x－eq\f(1,2)＝0，得x＝－1，故函數(shù)y＝(a－1)2x－eq\f(a,2)恒過定點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))).(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y＝|2x－2|與y＝b的圖象，如圖所示.∴當(dāng)0<b<2時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，從而函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個(gè)零點(diǎn).∴b的取值范圍是(0，2).【例2-2】(1)函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A.a>1，b<0B.a>1，b>0C.0<a<1，b>0D.0<a<1，b<0【例2-3】若曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是________.解析(1)由f(x)＝ax－b的圖象可以觀察出，函數(shù)f(x)＝ax－b在定義域上單調(diào)遞減，所以0<a<1.函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象是在f(x)＝ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b<0.(2)畫出曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b的圖象如圖所示.由圖象得|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點(diǎn)，則b應(yīng)滿足的條件是b∈[－1，1].考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【例3－1】(1)下列各式比較大小正確的是()A.1.72.5>1.73 B.0.6－1>0.62C.0.8－0.1>1.250.2 D.1.70.3<0.93.1(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)－7，x<0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)<1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【解析】(1)A中，∵函數(shù)y＝1.7x在R上是增函數(shù)，2.5<3，∴1.72.5<1.73，錯(cuò)誤；B中，∵y＝0.6x在R上是減函數(shù)，－1<2，∴0.6－1>0.62，正確；C中，∵(0.8)－1＝1.25，∴問題轉(zhuǎn)化為比較1.250.1與1.250.2的大小.∵y＝1.25x在R上是增函數(shù)，0.1<0.2，∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，錯(cuò)誤；D中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1，錯(cuò)誤.(2)當(dāng)a<0時(shí)，原不等式化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)－7<1，則2－a<8，解之得a>－3，所以－3<a<0.當(dāng)a≥0時(shí)，則eq\r(a)<1，0≤a<1.綜上知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－3，1).答案(1)B(2)(－3，1)【例3－2】(1)已知函數(shù)f(x)＝2|2x－m|(m為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增加的，則m的取值范圍是______.(2)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(ax2＋2x＋3)的值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,9)))，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________.【解析】(1)令t＝|2x－m|，則t＝|2x－m|在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，＋∞))上是增加的，在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(m,2)))上是減少的.而y＝2t在R上是增加的，所以要使函數(shù)f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上是增加的，則有eq\f(m,2)≤2，即m≤4，所以m的取值范圍是(－∞，4].(2)令g(x)＝ax2＋2x＋3，由于f(x)的值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,9)))，所以g(x)的值域是[2，＋∞).因此有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,\f(12a－4,4a)＝2，))解得a＝1，這時(shí)g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x2＋2x＋3).由于g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－1]，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－1].【例3－3】如果函數(shù)y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在區(qū)間[－1，1]上的最大值是14，則a的值為________.【解析】令ax＝t，則y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.當(dāng)a>1時(shí)，因?yàn)閤∈[－1，1]，所以t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))，又函數(shù)y＝(t＋1)2－2在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))上單調(diào)遞增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(負(fù)值舍去).當(dāng)0<a<1時(shí)，因?yàn)閤∈[－1，1]，所以t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))，又函數(shù)y＝(t＋1)2－2在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))上單調(diào)遞增，則ymax＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋1))eq\s\up12(2)－2＝14，解得a＝eq\f(1,3)(負(fù)值舍去).綜上，a＝3或a＝eq\f(1,3).答案3或eq\f(1,3)規(guī)律方法1.比較指數(shù)式的大小的方法是：(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大?。?2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大小.2.求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.易錯(cuò)警示在研究指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，當(dāng)?shù)讛?shù)a與“1”的大小關(guān)系不確定時(shí)，要分類討論.[方法技巧]1.根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的實(shí)質(zhì)是相同的，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以互化，通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行根式的化簡運(yùn)算.2.判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題，可以先通過令x＝1得到底數(shù)的值再進(jìn)行比較.3.指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a的大小，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)分0<a<1和a>1兩種情況分類討論.4.對與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的問題，要弄清楚復(fù)合函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成，并且一定要注意函數(shù)的定義域.5.對可化為a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助換元法解題，但應(yīng)注意換元后“新元”的范圍.課時(shí)作業(yè)1．（2020·榆林市第二中學(xué)高三零模（文））設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．2．（2020·四川省成都七中高一月考）設(shè)且則函數(shù)與在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B．C． D．3．（2020·九臺(tái)市第四中學(xué)高一期末）若，，則的值為（）A． B． C． D．4．（2020·天水市第一中學(xué)高二月考（文））已知函數(shù)是定義在的周期為2的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A．1 B．4 C．2 D．325．（2020·廣西壯族自治區(qū)平桂高中高一期末）函數(shù)恒過定點(diǎn)（）A． B． C． D．6．（2020·陜西省西安一中高二期中（文））若指數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值之和為，則的值為（）A． B． C． D．7．（2020·甘肅省甘谷第一中學(xué)高二開學(xué)考試（理）