2022年內(nèi)蒙古高考文科數(shù)學(xué)押題試卷及答案解析

2022年內(nèi)蒙古高考文科數(shù)學(xué)押題試卷

本試卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的市（縣、區(qū)）、學(xué)校、班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座

位號(hào)和考生號(hào)填寫在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼

粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)

的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不

能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng)，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案；

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)集合A={x|-2<x<4},B={2,3,4,5},則(CRA)DB=()

A.{2}B.{4,5}C.{3,4}D.{2,3}

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z（1+i）=3+2i,則z的共輾復(fù)數(shù)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.若1+七S。是（x-?）2<4成立的一個(gè)充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A.(-8,4]B.[1,4]C.(1,4)D.(1,4]

l-tan2a

4.若sin2a-cos2a=，則)

l+tan2a

1

A.-2B.-C.D.2-V3

2

5.函數(shù)y=（2，+2一工）歷㈤的圖像大致為（)

3：2.左上方綴五顆黃色正五角星，四顆小星環(huán)拱在一顆大星的右面，并各有一個(gè)角尖

正對(duì)大星的中心點(diǎn)，大、小五角星相似，其外接圓的直徑之比為3：1,相似圖形和相似

三角形性質(zhì)相同.若在該五星圖案內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)來自大五角星內(nèi)的概率為（）

第1頁共25頁

1939

A.-B.C.一D.—

510713

7.正方形A8C。中，P,。分別是邊BC,C￡>的中點(diǎn)，AP=xAC+yBQ,則x=()

11653

A.—B.C.一D.-

13562

2%+y>4

8.已知實(shí)數(shù)了，y滿足條件x-y>l,則z=x+2y的最小值為()

x—2y<2

4

A.一B.4C.2D.3

3

9.已知。>。>0,且。+8=1,則下列結(jié)論正確的是()

11

A.In(a-b)>0B.Va+VF>2C.ba>abD.-4-->4

ab

10.已知/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(-8,0)上單調(diào)遞減，若4=-log310,

4

b=Logi8,c=25,則f(a),/(/?),f(c)的大小關(guān)系為()

2

A./(〃)>/(c)>fCh)B./(a)>f(h)>/(c)

C.fCh)>/(?)>/(c)D./(c)>f(a)>f(h)

1

11.已知函數(shù)/(x)=sim+COSX,將y=/a)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的5倍(縱

坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=g(X)的圖像.若且g(XI)g(X2)=2,則陽-X2|

的最小值為()

71

A.-B.ITC.2nD.4ir

2

12.拋物線方程為y2=2px(p>0),任意過點(diǎn)M(1,0)且斜率不為0的直線和拋物線交

于點(diǎn)A,B,已知x軸上存在一點(diǎn)N(不同于點(diǎn)例)，且滿足NANM=NBNM,則點(diǎn)N的

坐標(biāo)為()

A.(-1,0)B.(-2,0)C.(-p,0)D.(-2p,0)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

x2y2

13.已知尸1,七是雙曲線"一七=1(。>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是其左頂點(diǎn).若雙

azbz

曲線上存在點(diǎn)尸滿足3眉=2P%I+P%2，則該雙曲線的離心率為.

14.在平行四邊形ABCQ中，NA=45°,AB=V2AD=2,現(xiàn)將平行四邊形ABC。沿對(duì)角

線2。折起，當(dāng)異面直線AZ)和8c所成的角為90°時(shí)，AC的長(zhǎng)為.

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c

15.如圖，△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c.已知4^^2=廿+死，則B=.

若線段AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)E,且BC=4,DE=V6.則ABCE的面積為.

，丫2fj2丫v0

16.若函數(shù)f(x)=的最小值為次,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

2x—2lnx+4+Q,x>0

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考

題，個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(-)必考題：

共60分。

17.(12分)第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2022年2月4日至2月20日在北京和張家

口舉行，冰壺比賽將在北京國(guó)家游泳中心“水立方”進(jìn)行，為了落實(shí)“綠色辦奧”的籌

辦理念，冰立方在“水冰轉(zhuǎn)換”中造就了“綠色節(jié)能”的冰壺場(chǎng)館.某研究機(jī)構(gòu)為了了

解大學(xué)生對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)的興趣，隨機(jī)從大學(xué)生中抽取了男、女各100人進(jìn)行調(diào)查.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，

對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)有興趣的男生與女生的人數(shù)比為4：3,男生有80人表示對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)感興趣.

(1)完成列聯(lián)表，并分別估計(jì)男、女大學(xué)生對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)感興趣的概率：

(2)能否有99%的把握認(rèn)為男、女大學(xué)生對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)的興趣有差異？

感興趣沒興趣

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男生80

女生

2

附.片=_____n(Qdfc)______

叫-A(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)?

P(片2k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.(12分)已知S”為數(shù)列｛〃〃｝的前n項(xiàng)和，且4〃>0,a〃~+2a〃=4S〃+3,bn=a2n-1,Cn=

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3n.

(1)求｛〃”｝的通項(xiàng)公式；

(2)為數(shù)列｛加｝與｛Cn｝的所有公共項(xiàng)按從小到大的順序組成新數(shù)列｛辦｝，求｛辦｝的前10

項(xiàng)的和.

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19.(12分)如圖，正三棱柱ABC-AiBiCi的底面邊長(zhǎng)為2,A4i=V2.

(1)求證:A1B1B1C；

(2)若點(diǎn)M在線段48上，且AiM=2M8,求三棱錐Bi-4CM的體積.

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20.(12分)如圖，A(-V2,0),B分別是橢圓C：—+—=1(a>*>0)的左頂點(diǎn)和上

a2b2

頂點(diǎn)，圓O經(jīng)過點(diǎn)8,P為橢圓C上一點(diǎn)，過A且與AP垂直的直線交圓0于兩點(diǎn)C,

D.若點(diǎn)e)在橢圓C上，其中e為橢圓C的離心率.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求△PC。面積的最大值.

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21.(12分)已知函數(shù)/(x)=ax-/+2,其中aWO.

(I)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)是否存在“6R,對(duì)任意xi曰0,1],總存在X2日0,1],使得『(8)+f(x2)=4成

立？若存在，求出實(shí)數(shù)”的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的

第一題計(jì)分。做答時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑。［選修4-4：坐標(biāo)

系與參數(shù)方程］

22.(10分)以直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線

4TTT

Ci的極坐標(biāo)方程為。=彘，點(diǎn)M為曲線Ci上的動(dòng)點(diǎn)，OM=kOP(k>0),且滿足0M?

晶=16,點(diǎn)P的軌跡為曲線C2.

(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2,g),點(diǎn)B在曲線C2上，求△A8O面積的最大值.

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［選修4-5：不等式選講］

23.已知函數(shù)g(x)=|x|,f(x)=g(3x+3)-g(2x-2),若實(shí)數(shù)“，6滿足。2+方2=2.

(1)求不等式/(x)的解集；

(2)證明：對(duì)于任意x€R,都有+6.

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2022年內(nèi)蒙古高考文科數(shù)學(xué)押題試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)集合4=0-2cx<4},B={2,3,4,5},則(CRA)CB=()

A.{2}B.{4,5}C.{3,4}D.{2,3}

解：VA={A1-2<x<4},=-2或x24},

：B={2,3,4,5},

(CRA)CB={4,5},

故選：B.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=3+2i,則z的共朝復(fù)數(shù)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解：?:z(1+!)=3+2/

.3+2i(3+2i)(l-i)51.

??z-1+T-(l+i)(l-i)~2~2L,

.*.z=|+

5i

，則z的共加復(fù)數(shù)5對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(5，-)在第一象限.

故選：A.

3.若1+工W0是G-。)2<4成立的一個(gè)充分不必要條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(-8,4]B.[1,4]C.(1,4)D.(1,4]

解：*/14-2~0^x6(2,3],(x-a)2V4d￡(a-2,a+2),

(ci—2V2

根據(jù)題意可知(2,3立(a-2,a+2),",解得(1,4].

(I乙J

故選：D.

)1_,l-tan2a

4.右sin2a-co9s2a=亍r1則-----=()

2l+tan2a

111f—

A.—B.—C.一己D.2—V3

225

解：因?yàn)閟in2a-cos2a=

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?,l-tan2a一行2acos2a-sin2a1

則--------=——cosa=-------------=——,

2222

l+tana1,sinacosa+sina2

cos2a

故選：A.

5.函數(shù)y=（2斗2））的圖像大致為（）

y

解：函數(shù))，=(2X+2'X)ln\x\,因?yàn)閒(-x)=(2，+2F)/川7|=/(x),函數(shù)是偶函數(shù)，

排除￡>；xE(0,1)時(shí)，y=(2x+2-Jf)ln\x\<0,

排除選項(xiàng)A,C,

故選：B.

6.中華人民共和國(guó)國(guó)旗是五星紅旗，旗面為紅色，中國(guó)國(guó)旗尺寸不是統(tǒng)一的，長(zhǎng)寬比例為

3：2.左上方綴五顆黃色正五角星，四顆小星環(huán)拱在一顆大星的右面，并各有一個(gè)角尖

正對(duì)大星的中心點(diǎn)，大、小五角星相似，其外接圓的直徑之比為3：1,相似圖形和相似

三角形性質(zhì)相同.若在該五星圖案內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)來自大五角星內(nèi)的概率為()

1939

A.一B.—C.-D.—

510713

解：相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積之比等于邊長(zhǎng)比的平方，

;相似圖形和相似三角形性質(zhì)相同，大小五角星外接圓的直徑之比為3：1,

大小五角星的面積之比為9：1,

設(shè)大五角星的面積為9”，則小五角星的面積為m

則五星圖案的面積之和為9a+4“=13a,

9a9

則在該五星圖案內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)來自大五角星內(nèi)的概率為h=—,

故選：D.

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7.正方形A8CD中，P,。分別是邊BC,C。的中點(diǎn)，AP=xAC+yBQ,則x=()

解：在正方形A8CZ)中，P,。分別是邊BC,CQ的中點(diǎn),

???/C=48+40,4P=48+%0,BQ=+ADf

U：AP=xAC^-yBQ,

**?AP=x(AB4-AD)+y(-=(x-]/)"8+(x+y)AD,

.卜一?=1.fx=I

??j[，.?j[，

[x^y=2b=-3

故選：c.

2%+y>4

8.已知實(shí)數(shù)1,y滿足條件卜一yNl,則z=x+2y的最小值為()

x-2y<2

4

A.-B.4C.2D.3

3

2%4-y>4

解：由約束條件％—yNl寫出可行域如圖，

X-2y<2

化z=x+2y為y=-*+自由圖可知，當(dāng)直線＞=-*+*過A(2,0)時(shí)，直線在)，軸上

的截距最小，Z有最小值等于z=2+2xo=2.

11

A.In(a-b)>0B.y/a+Vb>2C.ba>abD.一+一>4

ab

第13頁共25頁

9

解:：a>b>Of且。+人=1,

11

A-<a<\,0</?<4，：.0<a-b<l

229

：.lnCa-b)V歷1=0,故4錯(cuò)誤，

令a=0.6,力=0.4,則仿+乃=VU石+VUNvi+l=2,故8錯(cuò)誤，

令/(無)=竽，(0<x<l),

則，(x)=胃竺〉0,

故/(x)在(0,1)遞增，故

故hlna>alnh,故"0b>lnha,

故》>巴故C錯(cuò)誤，

'：a>b>0,

11a+ba+bhlha,,一A

，一+-=——+——=24--+^a>2+2--^=4,故。正確，

ababab7ab小

故選：D.

10.已知/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(-8,0)上單調(diào)遞減，若。=-k)g310,

4

b=log?c=25,則/(〃)，f(/?),f(c)的大小關(guān)系為()

2

A.f(a)>f(c)>f(Z?)B.f(67)>/(Z?)>/(c)

C./⑹>f(a)>f(c)D./(c)>f(a)>fCh)

解：由/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(-8,0)上單調(diào)遞減，

可得f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

f(a)=/(-〃)=/(log310),f(b)=/(-〃)=f(log28)=f(3),

4

因?yàn)?Vlog310<3,1<25<2,

4

所以/(25)<f(log310)<y(3),即f(c)</(a)<f(/?),

故選：C.

1

11.已知函數(shù)/(x)=sim+COW,將y=/a)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的5倍(縱

坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=g(X)的圖像.若且g(XI)g(X2)=2,則陽-X2|

的最小值為()

71

A.—B.ITC.2nD.4ir

2

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解：\\f(x)=V2sin(x+與)，

:.g(x)=V2sin(21+左)，

，g(X)的周期為TT,且g(X)max=V2>g(X)min=,

,:g(Xl)，g(X2)=2,

:?g(xi)=g(x2)=&或8(xi)=g(x2)=-V2,

所以|X1F|=71+2%I,%€N,所以|xiF|〃疝2=71,

故選：B.

12.拋物線方程為V=2px(p>0),任意過點(diǎn)M(1,0)且斜率不為0的直線和拋物線交

于點(diǎn)A,B,已知x軸上存在一點(diǎn)N(不同于點(diǎn)M),且滿足NANM=N8NM,則點(diǎn)N的

坐標(biāo)為()

A.(-1,0)B.(-2,0)C.(-/?,0)D.(-2〃,0)

解：???直線過點(diǎn)M(1,0)且斜率不為0,

?,?設(shè)該直線方程為l=，2+1,

當(dāng)機(jī)#0時(shí)，聯(lián)立｛“2化簡(jiǎn)整理可得，y1-2pmy-2p=0,〃>0,

A=(-2pm)2-4X1X(-2p)=4p2wt2+8p>0恒成立，

設(shè)A(xi,yi),B(犬2,”)，N(?w,0),

則yi+y2=2刖W(wǎng)O,)"”=一2p，

丁4ANM=4BNM,

yiy2

?/力一八日nn日口'式"2一式。)+、2(%1一%。)n

??KAN+KB/V—0fBp--------+----------=0,B|J-------------------------------=0,

一%ox2-x0(x1-x0)(x2-x0)

y\x2+yix\-xo(yi+”)=0,貝ijyi(myi+1)+y2(znyi+1)-xo(yi+y2)=0,

即2〃7yly2+(yi+y2)-xo(yi+.y2)=0,

.?.X=+1=2,(-2p)+1=-2+1=-1,即N(-1,0),

°yT+y22mp

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，A,8兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，顯然恒成立，

綜上所述，N(-1,0).

故選：A.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

x2y2

13.已知尸1,放是雙曲線f?-9=1Q>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是其左頂點(diǎn).若雙

第15頁共25頁

曲線上存在點(diǎn)尸滿足3PA=2Pzi+PF2,則該雙曲線的離心率為3.

解：令尸(x,y),又A(-a,0),F\(-c,0),Fl(c,0),則3(-a-x,-y)=2

(-c-x,-y)+(c-x,-y),

(-3a-3x,-3y)—(.-c-3x,-3y),故-3a-3x=-c-3x>

e=-=3.

a

故答案為：3.

14.在平行四邊形ABC。中，ZA=45°,AB=@。=2,現(xiàn)將平行四邊形ABCD沿對(duì)角

線折起，當(dāng)異面直線A。和8c所成的角為90°時(shí)，AC的長(zhǎng)為_傳_.

A

解：VZA=45°,AB=V2AD=2,

：.BD2^AB2+AD2-2ABMD.cos45°=2,

：.BD=V2,：.BDLAD,J.BDLBC,

"：CBLAD,CBLBD,ADQBD=D,

：.CBJ_平面ABD,又BOu平面ABD,

：.CB±BD,

又,：BC=AD=五,BD=V2,."0=2,

\'AD±BD,ADLBC,BDCBC=B,

；.AD_L平面BCD,又COu平面BCD,

：.ADLCD,

：.AC=y/AD2+CD2=J(V2)2+22=V6,

故答案為：V6.

第16頁共25頁

c

A

7T

15.如圖，ZVIBC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是。，b,c.已知a2+c2=〃2+ac,則8=一.

-3-

若線段AC的垂直平分線交A3于點(diǎn)E,且BC=4,DE=V6.則△3CE的面積為2^3.

c°s8=a2壕廬，而/+/=房+農(nóng),

1

所以cosB=2,

又OVBVm

貝11B=小

CEBC7叵

在ABCE中，設(shè)NCEB=8,則一丁=-可得CE=

sin—sinOsinu

3

又AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)。，交A3于點(diǎn)E,則/EC4=NE4c=去

一一eDEy[2sind，，口6V2

所以sin-=—=------,可得cos-=一

2CE222

而ovevir,故'=一,

24

所以CE=2百，BE=2,

故△BCE的面積為5=ic￡?BE=2V3.

故答案為：p2V3.

IO；：；：?。的最小值為/'則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是旁

16.若函數(shù)/(%)=

3L.

第17頁共25頁

當(dāng)〃VO時(shí)，f(x)的最小值為0,不可能是〃之，.??此時(shí)不成立，

故〃》0,止匕時(shí)當(dāng)xWO時(shí)，f(x)=(x-a)2的最小值是/(0)=〃2,

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=2-，27),

則當(dāng)x>l時(shí)，，(x)>0,函數(shù)/(x)為增函數(shù)，

當(dāng)0<x<l時(shí)，f(x)<0,函數(shù)f(x)為減函數(shù)，則當(dāng)x=l時(shí)，f(x)取得極小值/

(1)=2+4+4=6+〃，

要使/(X)的最小值為則Jw6+a,即a?-〃-6W0,得-2W〃W3,此時(shí)0<aW3,

綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0,3],

故答案為：[0,3].

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考

題，個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：

共60分。

17.(12分)第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2022年2月4日至2月20日在北京和張家

口舉行，冰壺比賽將在北京國(guó)家游泳中心“水立方”進(jìn)行，為了落實(shí)“綠色辦奧”的籌

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辦理念，冰立方在“水冰轉(zhuǎn)換”中造就了“綠色節(jié)能”的冰壺場(chǎng)館.某研究機(jī)構(gòu)為了了

解大學(xué)生對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)的興趣，隨機(jī)從大學(xué)生中抽取了男、女各100人進(jìn)行調(diào)查.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，

對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)有興趣的男生與女生的人數(shù)比為4：3,男生有80人表示對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)感興趣.

(1)完成列聯(lián)表，并分別估計(jì)男、女大學(xué)生對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)感興趣的概率；

(2)能否有99%的把握認(rèn)為男、女大學(xué)生對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)的興趣有差異？

感興趣沒興趣

男生80

女生

2

附.n(ad-bc)

明,(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

尸(片女)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解：(1)對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)有興趣的男生與女生的人數(shù)比為4：3,男生有80人表示對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)

感興趣，

所以女生有60人對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)感興趣,

感興趣沒興趣

男生8020

女生6040

男大學(xué)生中對(duì)冰壺活動(dòng)感興趣的比率為血=。8

女大學(xué)生中對(duì)冰壺活動(dòng)感興趣的比率為血=0.6,

故男大學(xué)生中對(duì)冰壺活動(dòng)感興趣的概率的估計(jì)值為0.8,女大學(xué)生中對(duì)冰壺活動(dòng)感興趣的

概率的估計(jì)值為0.6.

2

200x(80x40-60x20)/

(2)?：K2?9.524>6.635,

100x100x140x60

???有99%的把握認(rèn)為男、女大學(xué)生對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)的興趣有差異.

18.(12分)已知S”為數(shù)列｛〃"｝的刖"項(xiàng)和,且。">0,a"?+2""=4S"+3,bn-a2n-1?Cn=

3n.

(1)求｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)為數(shù)列｛為｝與｛5｝的所有公共項(xiàng)按從小到大的順序組成新數(shù)列｛為｝,求｛為｝的前10

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項(xiàng)的和.

解：(1)由W+2Q九=4S九+3,可知W+T+2冊(cè)+1=4Sn+i+3,

兩式相減得W+i-Q需+2(c1n+i-an)=4an+1,

即(如+1+。八)(Cln+1-Cln)=2(Cln+1^~Cln),

因?yàn)?〃>0,則67/7+1?！?2,

又a：+2al=4sl+3,ar>0,

解得41=3,

即｛斯｝是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，

所以｛〃“｝的通項(xiàng)公式〃〃=3+2(〃-1)=2幾+1.

(2)由(1)知,bn=4n-1f數(shù)列｛加｝與｛Cn｝的公共項(xiàng)滿足加=Ck,

即4九一1=3/c,k==n+

九一1

而k,〃EN*,于是得口一=m—l(mGN*),

即〃=3m-2,此時(shí)&=4〃z-3,/wGN*,

因此，b3ni-2=C4m-3=12m-9,

即為=12〃-9,數(shù)列｛為｝是以3為首項(xiàng)，12為公差的等差數(shù)列，

1n\zQ

令｛d”｝的前n項(xiàng)和為Tn,則A。=10x3+箋x12=570,

所以｛"”｝的前10項(xiàng)的和為570.

19.(12分)如圖，正三棱柱ABC-A向。的底面邊長(zhǎng)為2,A4i=V2.

(1)求證:AiBlBiC；

(2)若點(diǎn)M在線段48上，且求三棱錐ACM的體積.

Aip---------------

B

(1)證明：取A8中點(diǎn)。，連接CD,Bi。，則CD_LA8,

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Ai，i

Bi

因?yàn)槠矫鍭BBiAi，平面ABC,平面AB814n平面ABC=AB,

所以CQ_L面A8B14,因?yàn)?Bu面A8B1A],

所以CDA.A\B,

J21_42

因?yàn)閠cm/BAiBi-2~^tan乙BB]D&=T'

所以=

所以又BiDCCD=D,CD1A1B,

所以AiB_L平面BCD,又BiCu平面BCD,

所以AiB_LBiC.

(2)解：由題可得：Sf]Bc=zSgiMC，

f

所以VglTiCM=2^C-A1B1B又點(diǎn)C到平面A\B\B的距禺為

三角形A\B\B的面積為]x2xV2=V2,

所以匕；_力逮述=1xV2xV3=卓，

r-r-i..2\/62傷

所以r41T1CM=WX手=-g-?

2\[6

故三棱錐Bi-A\CM的體積為丁.

工2y2

20.(12分)如圖，A(-V2,0),B分別是橢圓C：—+77=1Ca>b>0)的左頂點(diǎn)和上

azbz

頂點(diǎn)，圓。經(jīng)過點(diǎn)B,P為橢圓C上一點(diǎn)，過A且與AP垂直的直線交圓。于兩點(diǎn)C,

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D.若點(diǎn)M(l,e)在橢圓C上，其中e為橢圓C的離心率.

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求△/＜1￡＞面積的最大值.

16匕2、

解：（1）由題意可知，—+—=L所以-7=b2—e2=1—e2,所以Z?2=l,

a2b2a2

由〃2=2,

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：y+y2=1；

(2)設(shè)直線4P的方程：x=my-V2,直線AC的方程：y=-m(%+V^),

聯(lián)立方程組卜一企，消去尤，整理得(而+2)y2-2y[2my=0,

+2yz-2=0

2屈如,42^-2）

解得力＞

m2+2,Xp~m2+2，

又。到直線AC的距離距離d=是辿VI,則且加不0,于是|CC|=

Jm2+1

又|研=珠群+.+需廠嘿至I

2&|刑』-而’X阿m|x》薪<[x刎2+g二加2

從而,SMCD=*x|CD|x\AP\

m2+2m2+2~m2+2

V3

丁

當(dāng)且僅當(dāng)3m2=2-2機(jī)2,即血2=,，(滿足-IV/nVl,且加工0),

綜上可知，△PCD的面積的最大值為4.

21.(12分已知函數(shù)/(x)=ax-^+2,其中a#0.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)是否存在a€R,對(duì)任意xi6[0,1],總存在近日0,1],使得/(X1)+/-(X2)=4成

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立？若存在，求出實(shí)數(shù)〃的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【解答】解：(1)由/(X)=四-/+2,得/(X)

當(dāng)”<0時(shí)，對(duì)任意x€R,/(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)a>0時(shí)，令/(%)=0,解得：x=lna,

當(dāng)(-8,/na)時(shí)，f(x)>0,當(dāng)xW(Ina,+°°)時(shí)，f(x)<0,

故/(x)在(-8,i〃a)單調(diào)遞增，在(Ina,+°°)上單調(diào)遞減，

綜上：當(dāng)。<0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)a>0時(shí)，/(x)在(-8,ina)單調(diào)遞增，在(加“，+oo)上單調(diào)遞減；

(2)存在滿足條件的實(shí)數(shù)”，且實(shí)數(shù)。的值為e+1,

理由如下：

①當(dāng)“W1且aWO時(shí)，由(1)知：f(x)在［0,1］上單調(diào)遞減，

貝1］時(shí)，f(x)max=f(0)=1,

則/(xi)+f(X2)^2f(0)=2<4,

故此時(shí)不滿足題意；

②當(dāng)l<a〈e時(shí)，由(1)知：在［0,/M上，f(x)遞增，在(癡，1］上，f(x)單調(diào)遞

減，

則當(dāng)x€［0,1］時(shí)，f(x)max=fUna)—alna-a+2,

當(dāng)xi=0時(shí)，對(duì)任意X2曰0,1］