函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是怎么算出來的2

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是怎么算出來的？一、微分的幾何意義設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo)，如圖一所示，直線MT為曲線在點M處的切線，

(微分)(增量)圖一微分的幾何意義所以

而PQ為曲線若曲線的弧長為

在M點處的切線MT上的縱坐標(biāo)的增量。當(dāng)自變量很小時，就可以用切線段上的增量來近似代替曲線段上的增量。

則有

上式稱為弧的微分公式，由圖可知：當(dāng)曲線上的N點無限地（想象力比知識重要?。┙咏麺點時，即

時，曲線的弧長為轉(zhuǎn)化為直線（切線MP）。此時，

根據(jù)導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)與積分的關(guān)系，由基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和積分公式，可以直接推出其微分和積分公式。(增量等于微分)

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)我們是這樣定義的： 設(shè)函數(shù)在點x0處及其近旁有定義，當(dāng)自變量

x在x0處有增量時，相應(yīng)地函數(shù)y有增量。如果 的極限存在，這個極限稱為函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)（或稱為變化率），記為：

如果極限不存在，就說函數(shù)y=f(x)在點x0處不可導(dǎo)。

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的三個步驟：

2.算比值：

1.求增量：

3.取極限：

例1

求函數(shù) (c

是常數(shù))的導(dǎo)數(shù)。解：（1）求增量：（2）

算比值：

（3）取極限：這就是說，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零求導(dǎo)舉例：二、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)怎樣計算呢？例2

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解:(1)求增量:(2)算比值:(3)取極限:同理可得:

例2

求正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：因為所以即(sinx)′=cosx同理可得：(cosx)′=-sinx采用類似的方法可以求得其他函數(shù)的導(dǎo)數(shù).如下表導(dǎo)數(shù)公式

微分公式

積分公式

（一）、定積分問題舉例1、求曲邊梯形的面積

xy=f(x)定積分是怎么計算出來的思想方法在區(qū)間[a,b]中任取若干分點：把曲邊梯形的底[a,b]分成n個小區(qū)間：過各分點作垂直于x軸的直線段，把整個曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，其中第i個小曲邊梯形的面積記為xy0y=f(x)（1）分割：將曲邊梯形分成許多細長條（2）取近似：將這些細長條近似地看作一個個小矩形xy0y=f(x)ξｉf(ξ)ｉ（3）求和：小矩形的面積之和是曲邊梯形面積的一個近似值。把n個小矩形的面積相加得和式它就是曲邊梯形面積A的近似值，即xy0y=f(x)ξｉf(ξ)ｉ（4）取極限：當(dāng)分割無限時，所有小矩形的面積之和的極限就是曲邊梯形面積A的精確值。分割越細，就越接近于曲邊梯形的面積A，當(dāng)可見，曲邊梯形的面積是一和式的極限xy0y=f(x)ξｉf(ξ)ｉ小區(qū)間長度最大值趨近于零，即0（表示這些小區(qū)間的長度最大者）時，和式的極限就是A，即取極限二、定積分的定義定義設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上有界，在[a，b]中任意插入若干個分點：分劃任取作和式近似求和記存在，且極限值I不依賴于的選取，也不依賴于[a，b]的分法，則稱I為f(x)在[a，b]上的定積分(簡稱積分)，記作,即其中：f(x)叫做被積函數(shù);

f(x)dx叫做被積表達式;x叫做積分變量;a叫做積分下限，b叫做積分上限;[a,b]叫做積分區(qū)間。如果f(x)在[a，b]上的定積分存在，也稱f(x)在[a，b]上可積。否則，稱f(x)在[a，b]上不可積。注：定積分的值只與被積函數(shù)以及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無關(guān)。即設(shè)在區(qū)間