2023-2024學(xué)年福建省福州市平潭第一中學(xué)八年級(jí)上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題（含解析）

平潭一中2023-2024學(xué)年第一學(xué)期八年級(jí)12月適應(yīng)性練習(xí)數(shù)學(xué)試卷（完卷時(shí)間：120分鐘總分：150分）一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1．如果三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和5，則第三邊L的取值范圍是（）.A． B． C． D．2．根據(jù)中國(guó)疾控中心“國(guó)家流感中心”發(fā)布的最新流感監(jiān)測(cè)周報(bào)，2023年第8周，南、北方省份流感病毒檢測(cè)陽(yáng)性率繼續(xù)上升，以甲流為主、亞型流感病毒共同流行．因此，生活中我們還是要做好防護(hù)、勤洗手，外出帶好口罩．據(jù)了解，甲型流感病毒的直徑大約是，這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法可表示為（

）A． B． C． D．3．下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．4．如圖，已知，添加下列條件還不能判定的是（

）

A． B． C． D．5．若把分式中的和都擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，那么分式的值（

）A．?dāng)U大到原來(lái)的4倍 B．?dāng)U大到原來(lái)的2倍C．縮小到原來(lái)的 D．不變6．下列各式中從左到右的變形，是因式分解的是（）A． B．C． D．7．已知，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．88．《九章算術(shù)》中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件用慢馬送到900里外的城市，需要的時(shí)間比規(guī)定時(shí)間多一天，如果用快馬送，所需的時(shí)間比規(guī)定時(shí)間少3天，已知快馬的速度是慢馬的2倍，求規(guī)定時(shí)間．設(shè)規(guī)定時(shí)間為x天，則可列方程為（

）A． B．C． D．9．如圖，陰影部分是在邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形后所得到的圖形，將陰影部分通過(guò)割、拼，形成新的圖形．給出下列2種割拼方法，其中能夠驗(yàn)證平方差公式的是（

）

A．① B．② C．①② D．①②都不能10．如圖，在中，，，，，如果點(diǎn)D，E分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值是（）

A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分．11．要使分式有意義，則應(yīng)滿足的條件是．12．分式與的最簡(jiǎn)公分母是．13．若，，則的值為．14．如圖，在中，，線段的垂直平分線分別交于點(diǎn)D、E、連接、若，則的長(zhǎng)為.

15．多項(xiàng)式的最小值為．16．若關(guān)于的分式方程有負(fù)整數(shù)解，則整數(shù)的值是．三、解答題：本題共9小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．18．分解因式：(1)；(2)．19．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．20．解分式方程：21．如圖，點(diǎn)E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠A＝∠D＝90°．求證：∠B＝∠C．22．為加快公共領(lǐng)域充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，某停車場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)買A、B兩種型號(hào)的充電樁．已知A型充電樁比B型充電樁的單價(jià)少萬(wàn)元，且用18萬(wàn)元購(gòu)買A型充電樁與用24萬(wàn)元購(gòu)買B型充電樁的數(shù)量相等，求A、B兩種型號(hào)充電樁的單價(jià)各是多少萬(wàn)元？23．如圖，已知中，．

(1)請(qǐng)用基本尺規(guī)作圖：作的角平分線交于點(diǎn)D，在上取一點(diǎn)E，使，連接．（不寫作法，不下結(jié)論，保留作圖痕跡）；(2)在（1）所作的圖形中，求證：24．如果兩個(gè)分式與的和為常數(shù)，且為正整數(shù)，則稱與互為“和整分式”，常數(shù)稱為“和整值”．如分式，，，則與互為“和整分式”，“和整值”．(1)已知分式，互為“和整分式”，則其“和整值”的值為_________；(2)已知分式，，與互為“和整分式”，且“和整值”，若為正整數(shù)，分式的值為正整數(shù)．①求所代表的代數(shù)式；②求的值；(3)在（2）的條件下，已知分式，，且，若該關(guān)于的方程無(wú)解，求實(shí)數(shù)的值．25．如圖所示，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且，滿足．

(1)_________，_________；(2)如圖1，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且于點(diǎn)，交于點(diǎn)，試求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在軸正半軸上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，式子的值是否發(fā)生改變？如發(fā)生改變求出該式子的值的變化范圍；若不改變，求出該式子的值．答案與解析1．B【分析】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，即可求得第三邊的取值范圍．【詳解】解：由三角形三邊關(guān)系可得：，即．故選：B．2．D【分析】絕對(duì)值小于1的數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，與絕對(duì)值大于1數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定解答．【詳解】解：．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．3．B【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則、積的乘方、完全平方公式、合并同類項(xiàng)分別進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A．,故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C．，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D．，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：B．4．A【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法逐項(xiàng)判斷即得答案．【詳解】解：，，，條件為邊邊角，不能證明，故A符合題意；，，，條件為邊角邊，能證明，故B不符合題意；，，，條件為角角邊，能證明，故C不符合題意；，，，條件為邊角邊，能證明，故D不符合題意，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．5．D【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)約分．【詳解】解：把分式中的和都擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，即，故選：D．6．A【分析】根據(jù)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，可得答案．【詳解】解：A、，故該選項(xiàng)符合題意；B、，沒(méi)把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；C、，沒(méi)把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式（含有分式），不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；D、是整式的乘法，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于能否正確應(yīng)用分解因式的定義來(lái)判斷．7．C【分析】根據(jù)完全平方公式得到，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵，∴，即，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解決此題的關(guān)鍵．8．A【分析】根據(jù)時(shí)間=路程÷速度，列出分式方程計(jì)算即可．【詳解】根據(jù)題意，得：，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．9．C【分析】分別在兩個(gè)圖形中表示出陰影部分的面積，繼而可得出驗(yàn)證公式，即可得到答案．【詳解】解：在圖①中，左邊的圖形中陰影部分的面積為：，右邊圖形中的陰影部分的面積為：，故可得：，可驗(yàn)證平方差公式，符合題意；在圖②中，左邊的圖形中陰影部分的面積為：，右邊圖形中的陰影部分的面積為：，故可得：，可驗(yàn)證平方差公式，符合題意；故能夠驗(yàn)證平方差公式的是：①②，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式，運(yùn)用不同方法表示陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵．10．B【分析】如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，則，,故，由此推出當(dāng)、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，，最小值即為的長(zhǎng)，當(dāng)最小時(shí)，即滿足，故根據(jù)三角形的面積即可求得的最小值．【詳解】解：作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)，交于點(diǎn)D，連接，如圖：

則，∴．即的最小值為．∵，，，，∴，∵，∴，即的最小值為9.6．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題，垂線段的性質(zhì)，根據(jù)三角形的面積求高等，熟練掌握以上性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．11．【分析】本題考查分式有意義的條件，分母不等于零即可．【詳解】解：依題意得：，解得；故答案為：．12．【分析】本題考查的是最簡(jiǎn)公分母，熟知當(dāng)各分母都是單項(xiàng)式時(shí)，最簡(jiǎn)公分母就是“各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫在積里”是解答此題的關(guān)鍵。由題意直接根據(jù)最簡(jiǎn)公分母的定義，即可得出答案．【詳解】解：分式的分母，都是單項(xiàng)式，分式與的最簡(jiǎn)公分母是，故答案為：．13．【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法以及冪的乘方的運(yùn)算，直接利用同底數(shù)冪的乘法以及冪的乘方的運(yùn)算將原式變形為，代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，故答案為：．14．4【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，求得，即可求出答案．【詳解】解：∵，∴，∵線段的垂直平分線分別交于點(diǎn)D、E，∴，∴，∴，∵，∴，故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟記線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．【分析】先利用分組分解法和配方法進(jìn)行因式分解，再根據(jù)平方的非負(fù)性即可求解．【詳解】解：，∵，，∴，∴當(dāng)時(shí)，原式最小值為；，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解和平方的非負(fù)性，熟練掌握完全平方公式和配方法是解題的關(guān)鍵．16．5或6或8【分析】本題考查的是解分式方程，根據(jù)分式方程的解為正整數(shù)求解字母系數(shù)的值，正確分析各個(gè)限制性的條件，理解題意是解題的關(guān)鍵．先解分式方程，當(dāng)時(shí)，可得，再根據(jù)為負(fù)整數(shù)，且，為整數(shù)，逐一分析可得答案.【詳解】解：，，，當(dāng)時(shí)，，為負(fù)整數(shù)，且，為整數(shù)，是4的負(fù)因數(shù)，或或，解得：或6或8，當(dāng)時(shí)，分式方程無(wú)解．故答案為：5或6或8．17．(1)(2)(3)3(4)【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，分式的混合運(yùn)算．（1）先乘方，再計(jì)算除法，最后計(jì)算加減即可求解；（2）根據(jù)乘法公式計(jì)算即可求解；（3）根據(jù)同分母分式的減法計(jì)算即可求解；（4）先乘方，再根據(jù)單項(xiàng)式的除法法則計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．18．(1)(2)【分析】本題主要考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法，準(zhǔn)確計(jì)算．（1）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式；（2）先提公因式，然后再用完全平方公式分解因式．【詳解】（1）解：；（2）解：．19．，【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，先根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則將式子化簡(jiǎn)，再代入進(jìn)行計(jì)算即可，熟練掌握分式的混合運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，將代入得，原式．20．x=1【分析】分式有意義，則，先去分母，方程兩邊同乘以，轉(zhuǎn)化為解一元一次方程，最后檢驗(yàn)即可．【詳解】解：x-3+(x-2)=-3x+x=-3+3+22x=2x=1檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，左邊=3=右邊∴x=1是原方程的解【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，其中涉及分式有意義的條件、一元一次方程等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．21．見解析【分析】先證BF=CE，再證Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵BE=FC，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，∵∠A=∠D=90°，∴△ABF和△DCE都是直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中，，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），∴∠B=∠C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明Rt△ABF≌Rt△DCE是解題的關(guān)鍵．22．型充電樁的單價(jià)為萬(wàn)元，型充電樁的單價(jià)為萬(wàn)元．【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)型充電樁的單價(jià)為萬(wàn)元，則型充電樁的單價(jià)萬(wàn)元，利用數(shù)量總價(jià)單價(jià)，結(jié)合用18萬(wàn)元購(gòu)買型充電樁與用24萬(wàn)元購(gòu)買型充電樁的數(shù)量相等，可列出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，可得出型充電樁的單價(jià)，再將其代入中，即可求出型充電樁的單價(jià)．【詳解】解：設(shè)型充電樁的單價(jià)為萬(wàn)元，則型充電樁的單價(jià)萬(wàn)元，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，且符合題意，．答：型充電樁的單價(jià)為萬(wàn)元，型充電樁的單價(jià)為萬(wàn)元．23．(1)圖見詳解(2)見詳解【分析】（1）以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別、交于兩點(diǎn)，再以這兩點(diǎn)為圓心，大于這兩點(diǎn)之間距離的一半為半徑畫弧，交于一點(diǎn)，然后連接點(diǎn)A和這一點(diǎn)，最后以點(diǎn)A為圓心，為半徑畫弧，進(jìn)而問(wèn)題可求解；（2）根據(jù)證明，推出，，再證明，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：圖形如圖所示：

（2）證明：平分，，在與中，，，，，．且，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查作圖基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．24．(1)(2)①；②的值為1(3)的值為：1或【分析】本題考查的是新定義運(yùn)算的理解，分式的加減運(yùn)算，分式方程的解法，分式方程無(wú)解問(wèn)題，理解題意是解本題的關(guān)鍵．(1)根據(jù)定義求解即可；（2）①先求解，結(jié)合新定義可得，從而可得答案；②由，且分式D的值為正整數(shù)t且x為正整數(shù)，可得或，從而可得答案；（3）由題意可得：，可得，整理得：，由方程無(wú)解，可得或方程有增根，再分兩種情況求解即可．【詳解】（1）解：分式，互為“和整分式”，，其“和整值”的值為2；（2）①，，，

與互為“和整分式”，且“和整值”，，；

②，且分式的值為正整數(shù)且為正整數(shù)，或，或，

為正整數(shù)，（舍去），則的值為1；（3）由題意可得：，

，，，整理得：，

當(dāng)，解得：，方程無(wú)解，當(dāng)，方程無(wú)解，則有增根，將代入得，，解