2023-2024學年浙江省杭州市建蘭中學九年級上學期12月月考數(shù)學試題(含解析)

2023學年九年級學力調(diào)研問卷（2023.12）數(shù)學試題卷一、選擇題：本大題有10個小題，每小題3分，共30分．1．下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．已知，則下列說法錯誤的是（

）A． B． C． D．3．如圖，已知，，那么下列結(jié)論中，正確的是（

）A． B． C． D．4．在一個不透明的口袋中裝有4個白球和若干個紅球，它們除顏色外其他完全相同，通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在附近，則口袋中紅球可能有（

）A．8個 B．12個 C．16個 D．20個5．將拋物線向右平移個單位,再向下平移個單位后,得到的拋物線解析式為（

）A． B．C． D．6．如圖,轉(zhuǎn)盤的紅,黃,藍,紫四個扇形區(qū)域的圓心角分別記為．自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤,則下面說法錯誤的是（

）

A．若,則指針落在紅色區(qū)域的概率大于B．若,則指針落在紅色區(qū)域的概率大于落在黃色區(qū)域的概率C．若,則指針落在紅色或藍色區(qū)域的概率和為D．若,則指針落在紅色或黃色區(qū)域的概率和小于7．如圖，已知是的直徑，半徑，點在劣弧上（不與點，點重合），與交于點，設，則（

）A． B．C． D．8．在平面直角坐標系中，已知點，點在第一象限內(nèi)，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2024次旋轉(zhuǎn)后，點的坐標為（

）A． B． C． D．9．與自變量的部分對應值如下，已知有且僅有一組值錯誤（其中均為常數(shù)）．…012………甲同學發(fā)現(xiàn)當時，是方程的一個根；乙同學發(fā)現(xiàn)當時，則．下列說法正確的是（

）A．甲對乙錯 B．甲錯乙對 C．甲乙都錯 D．甲乙都對10．我國偉大的數(shù)學家劉徽于公元263年攥《九章算術(shù)注》中指出，“周三徑一”不是圓周率值，實際上是圓內(nèi)接正六邊形周長和直徑的比值（如圖1）．劉徽發(fā)現(xiàn)，圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時，多邊形的周長就無限逼近圓周長，從而創(chuàng)立“割圓術(shù)”，為計算圓周率建立起相當嚴密的理論和完善的算法．如圖2，六邊形是圓內(nèi)接正六邊形，把每段弧二等分，可以作出一個圓內(nèi)接正十二邊形，點為的中點，連結(jié)交于點，若，則的長為（

）A． B． C． D．二、填空題：本大題有6個小題，每小題4分，共24分．11．頂點在函數(shù)的圖象上，請寫出一個滿足條件的二次函數(shù)表達式．12．一個可以自由轉(zhuǎn)動的兩色轉(zhuǎn)盤，其中白色扇形和紅色扇形的圓心角分別為和，若讓轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)動一次，則指針落在紅色區(qū)域的概率是．13．在半徑為5cm的圓中，兩條平行弦的長度分別為6cm和8cm，則這兩條弦之間的距離為．14．球從地面豎直向上彈起時的速度為10米秒，經(jīng)過（秒）時球距離地面的高度（米）適用公式，那么球從彈起后又回到地面所經(jīng)過的總路程是．15．如圖，小楊將一個三角板放在⊙O上，使三角板的一直角邊經(jīng)過圓心O，測得AC＝5cm，AB＝3cm，則⊙O的半徑長為．16．如圖是一張矩形紙片，在上任意取一點，將沿折疊，若點恰好落在對角線上的點處，．三、解答題：本大題有8個小題，共66分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．設二次函數(shù)（是實數(shù)）．甲求得當時，；當時，；乙求得當時，．若甲求得的結(jié)果都正確，你認為乙求得的結(jié)果正確嗎？說明理由．18．一個不透明的袋中裝有2個紅球、1個白球，這些球除顏色外，沒有任何其他區(qū)別．有如下兩個活動：活動1：從袋中隨機摸出一個球，記錄下顏色，然后從袋中剩余的球中再隨機摸出一個球，摸出的兩個球都是紅球的概率記為；活動2：從袋中隨機摸出一個球，記錄下顏色，然后把這個球放回袋中并搖勻，重新從袋中隨機摸出一個球，兩次摸出的球都是紅球的概率記為．請你猜想，的大小關系，并用畫樹狀圖或列表的方法列出所有可能的結(jié)果，驗證你的猜想．19．已知：如圖，作ABC的外接圓，在AB上方作弦AD使AD＝BC連接CD，并求證：CDAB（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫做法）20．如圖，以的一邊為直徑作交于點，，與邊的交點恰好為的中點，連結(jié)．(1)求證：．(2)若，求弧的長．21．現(xiàn)有一塊直角三角形木板，它的兩條直角邊分別為3米和4米．計劃對它進行加工，要剪裁出一個正方形且四個頂點都在三角形的邊上，請你利用學過的知識，畫圖設計出符合要求的所有方案，并求出各方案中剪裁出的正方形邊長．22．已知二次函數(shù)，其中．(1)若該二次函數(shù)圖象開口向下，當時，二次函數(shù)圖象的最高點為，最低點為，點的縱坐標為5，求點和點的坐標；(2)在二次函數(shù)圖象上任取兩點，當時，總有，求的取值范圍．23．某課外科技活動小組研制了一種航模飛機．通過實驗，收集了飛機相對于出發(fā)點的飛行水平距離（單位：）以、飛行高度（單位：）隨飛行時間（單位：）變化的數(shù)據(jù)如下表．飛行時間02468…飛行水平距離010203040…飛行高度022405464…探究發(fā)現(xiàn)：與，與之間的數(shù)量關系可以用我們已學過的函數(shù)來描述．直接寫出關于的函數(shù)解析式和關于的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）．問題解決：如圖，活動小組在水平安全線上處設置一個高度可以變化的發(fā)射平臺試飛該航模飛機．根據(jù)上面的探究發(fā)現(xiàn)解決下列問題．

（1）若發(fā)射平臺相對于安全線的高度為0m，求飛機落到安全線時飛行的水平距離；（2）在安全線上設置回收區(qū)域．若飛機落到內(nèi)（不包括端點），求發(fā)射平臺相對于安全線的高度的變化范圍．24．如圖，的半徑為1，直徑的夾角，點是弧上一點，連接分別交于點．(1)若，求證：．(2)當點在弧上運動時，①猜想：線段與有怎樣的數(shù)量關系，并給出證明．②求證：．

參考答案與解析

1．B【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，一般地，形如（a，b，c為常數(shù)，）的函數(shù)叫做二次函數(shù)．根據(jù)二次函數(shù)的定義逐項分析即可．【詳解】解：A．是正比例函數(shù)，故不符合題意；B．是二次函數(shù)，故符合題意；C．不是二次函數(shù)，故不符合題意；D．是一次函數(shù)，故不符合題意；故選：B．2．C【分析】設，則，代入各項驗證即可．【詳解】解：設，則，A、，說法正確，不符合題意；B、，說法正確，不符合題意；C、，，即，說法錯誤，符合題意；D、，，即，說法正確，不符合題意；故選：C【點睛】本題考查的是比例的基本性質(zhì)，掌握“設參數(shù)的方法解決比例問題”是解本題的關鍵.3．A【分析】本題考查平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理求解．解題關鍵是掌握：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．【詳解】解：∵，，∴，故A選項正確；，故B選項錯誤；的值無法確定，故C選項錯誤；的值無法確定，故D選項錯誤；故選A．4．C【分析】此題主要考查了利用頻率估計概率，掌握大量反復試驗下頻率穩(wěn)定值即概率是解題關鍵．由摸到白球的頻率穩(wěn)定在附近得出口袋中得到白色球的概率，進而求出紅球個數(shù)即可．【詳解】解：設袋中紅球的個數(shù)為x，根據(jù)題意，得：，解得，經(jīng)檢驗是分式方程的解，口袋中紅球可能有16個，故選：C．5．D【分析】本題考查二次函數(shù)圖像及性質(zhì)-平移問題．熟背“左加右減,上加下減”即可選出本題答案．【詳解】解:∵二次函數(shù)向右平移個單位,再向下平移個單位,∴平移后的解析式為,即,故選:D．6．C【分析】本題考查概率公式,熟練掌握概率公式是解題的關鍵．【詳解】解:∵,∴,∴A選項正確;∵,∴,∴B選項正確;∵,∴,∴,∴C選項不正確;∵,∴,∴落在紅色或黃色區(qū)域的概率和小于,∴D選項正確．故選:C．7．B【分析】本題考查的是直角三角形中兩銳角互余，圓周角定理的應用；本題先求解結(jié)合垂直的含義可得，再利用圓周角定理可得，結(jié)合角的和差運算可得結(jié)論；熟記圓周角定理是解本題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴∴，∴故選B．8．D【分析】本題考查點的規(guī)律探究．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，所對的直角邊是斜邊的一半以及勾股定理，是解題的關鍵．先求出的長，進而求出B點的坐標，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出點B的坐標規(guī)律，每6次一個循環(huán)，進而求出第2024次旋轉(zhuǎn)后，點B的坐標即可．【詳解】解：如圖，在中，，，，，由勾股定理得，，，，，，由題意，可得：，6次一個循環(huán)，，∴第2024次旋轉(zhuǎn)后，點B的坐標為，故選：D．9．D【分析】本題考查一元二次方程的解，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分兩種情況求得函數(shù)的對稱軸，根據(jù)函數(shù)的對稱性和對稱軸公式即可判斷．【詳解】解：由二次函數(shù)與自變量x的部分對應值表可知：當時，都是，當時，和，符合題意，∴由拋物線的對稱性可知：函數(shù)圖象的對稱軸是直線，∴點關于對稱軸是對稱點為，∴是方程的一個根；當時，和，符合題意，∴由拋物線的對稱性可知：函數(shù)圖象的對稱軸是y軸，，，∴甲乙都對．故選：D．10．B【分析】設正六邊形的外接圓的圓心為O，連接，則，所以圓心O在上，由點G為的中點，得，可求得，由是等邊三角形，得，則，所以，則，作交于點I，則，所以，則，于是得，再證明，得，則，于是得到問題的答案．【詳解】解：如圖2，設正六邊形的外接圓的圓心為O，連接，，，∴圓心O在上，∵點G為的中點，，，，，是等邊三角形，，，，，作交于點I，則，，，，，，，∴，∴，故選：B．【點睛】此題重點考查正多邊形與圓、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．11．（答案不唯一）【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，寫出一個頂點在原點的二次函數(shù)表達式即可．【詳解】解：∵函數(shù)的圖象過原點，∴當頂點為原點時，二次函數(shù)表達式為（答案不唯一）．故答案為：（答案不唯一）．12．【分析】本題考查了幾何概率的求法，根據(jù)概率的求法，用紅色區(qū)域的圓心角度數(shù)除以即可解答．【詳解】解：∵白色扇形和紅色扇形的圓心角分別為和，∴若讓轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)動一次，則指針落在紅色區(qū)域的概率是：．故答案為：．13．1cm或7cm【詳解】兩條平行的弦可能在圓心的同旁或兩旁，應分兩種情況進行討論圓心到兩條弦的距離分別為d1==4cm，d2==3cm．故兩條弦之間的距離d=d1-d2=1cm或d=d1+d2=7cm14．##10米【分析】本題考查二次函數(shù)的應用，把函數(shù)解析式化為頂點式，由函數(shù)性質(zhì)求出小球的最大高度，從而得出結(jié)論．【詳解】解：，，∴當時，h有最大值，最大值是5，∴球距離地面的最大高度是，∴球從彈起后又回到地面所經(jīng)過的總路程是故答案為：．15．3.4cm．【分析】作OH⊥BC于H，如圖，則CH＝BH，先利用勾股定理計算出BC＝，則CH＝，再證明Rt△COH∽Rt△CBA，然后利用相似比計算OC即可．【詳解】解：連接BC，作OH⊥BC于H，則CH＝BH，在Rt△ACB中，BC＝，∴CH＝BC＝，∵∠OCH＝∠BCA，∴Rt△COH∽Rt△CBA，∴，即，解得，OC＝3.4．故答案為：3.4cm．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了垂徑定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．16．##【分析】本題主要考查了矩形與折疊問題，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，設交于F，由矩形的性質(zhì)可得，，利用勾股定理求出，設，則，由折疊的性質(zhì)可得，里面面積法求出，則，證明，得到，即，解方程即可得到答案．【詳解】解：設交于F，∵四邊形是矩形，∴，，∴，設，∴，由折疊的性質(zhì)可得，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解，∴，故答案為：．17．不正確，理由見解析【分析】本題考查了二次函數(shù)交點式的解析式，求二次函數(shù)的函數(shù)值．靈活求解二次函數(shù)的解析式是解題的關鍵．由甲正確，可求二次函數(shù)交點式的解析式為，將代入，求函數(shù)值，然后進行判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，，是二次函數(shù)與軸的交點坐標，∴二次函數(shù)解析式為，將代入得，，∵，∴乙的結(jié)果不正確．18．，驗證過程見解析【分析】首先根據(jù)題意分別根據(jù)列表法列出兩個活動所有情況，再利用概率公式即可求得答案．【詳解】活動1：紅球1紅球2白球紅球1（紅1，紅2）（紅1，白）紅球2（紅2，紅1）（紅2，白）白球（白，紅1）（白，紅2）∵共有6種等可能的結(jié)果，摸到兩個紅球的有2種情況，∴摸出的兩個球都是紅球的概率記為活動2：紅球1紅球2白球紅球1（紅1，紅1）（紅1，紅2）（紅1，白）紅球2（紅2，紅1）（紅2，紅2）（紅2，白）白球（白，紅1）（白，紅2）（白，白）∵共有9種等可能的結(jié)果，摸到兩個紅球的有4種情況，∴摸出的兩個球都是紅球的概率記為∴【點睛】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．重點需要注意球放回與不放回的區(qū)別．19．見解析【分析】如圖，分別作AB，AC的垂直平分線交于點O，然后以O為圓心，OA長為半徑畫圓，則圓O即為所求，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理，即可證得圓O為ABC的外接圓，然后根據(jù)AD＝BC，可得∠ACD=∠BAC，從而得到CD∥AB．【詳解】解：如圖，分別作AB，AC的垂直平分線交于點O，然后以O為圓心，OA長為半徑畫圓，則圓O即為所求，理由：連結(jié)OC、OB，∵作AB，AC的垂直平分線交于點O，∴OA=OB，OA=OC，∴以O為圓心，OA長為半徑的圓過點B、點C，即圓O為ABC的外接圓，∵AD＝BC，∴弧AD=弧BC，∴∠ACD=∠BAC，∴CD∥AB．【點睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)定理，尺規(guī)作圖，熟練掌握圓的基本性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)定理，尺規(guī)作圖的作法是解題的關鍵．20．(1)見解析(2)【分析】（1）由，可得，由圓內(nèi)接四邊形，可求得，進而可證；（2）由題意知，是的中位線，則，，，根據(jù)，求的值，然后根據(jù)弧長公式求弧長即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，由題意知，四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵點為的中點，為的中點，∴是的中位線，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴半徑為，∴，∴弧的長為．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，中位線，三角形內(nèi)角和定理，弧長等知識．熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，中位線，三角形內(nèi)角和定理，弧長公式是解題的關鍵．21．作圖見解析，正方形邊長為或【分析】由題意知，如圖1，2是所有符合要求的方案；①圖1中，設正方形的邊長為，根據(jù)，列方程求解即可；②圖2中，設正方形的邊長為，根據(jù)，求得，根據(jù)，求得，根據(jù)，列方程計算求解即可．【詳解】解：由題意知，如圖1，2是所有符合要求的方案；①圖1中，是直角三角形，四邊形是正方形，，∴，設正方形的邊長為，由正方形的性質(zhì)可得，，，∴，，∴，∴，解得，，∴正方形的邊長為；②圖2中，是直角三角形，四邊形是正方形，，由勾股定理得，，∴，，設正方形的邊長為，由正方形的性質(zhì)可得，，，∴，∵，∴，解得，∵，∴，解得，，∵，∴，解得，，∴正方形的邊長為；綜上所述，共有兩種情況，正方形的邊長為或．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，正切，正弦，余弦．熟練掌握正方形的性質(zhì)，利用三角函數(shù)表示邊長的關系是解題的關鍵．22．(1)，(2)當時，；當時，【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關鍵．（1）由題意知二次函數(shù)的對稱軸為直線，當時，函數(shù)的最高點為頂點，最低點在處取到，則，代入求得，則，然后將代入，計算求解，可得點坐標；（2）由題意知，分，，兩種情況，結(jié)合圖象求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴二次函數(shù)的對稱軸為直線，∵二次函數(shù)圖象開口向下，∴當時，由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，函數(shù)的最高點為頂點，最低點在處取到，∴，將代入得，，解得，，∴，當時，，∴；（2）解：由題意知，分，，兩種情況求解；①當時，如圖1，∵當時，總有，∴，解得，；②當時，如圖2，∵當時，總有，∴，解得，；綜上所述，當時，；當時，．23．探索發(fā)現(xiàn)：；問題解決：（1）；（2）大于且小于【分析】探究發(fā)現(xiàn)：根據(jù)待定系數(shù)法求解即