安徽省蚌埠市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

蚌埠市2022—2023學(xué)年度第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè)高二數(shù)學(xué)本試卷共150分，考試時(shí)間120分鐘.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線(xiàn)的傾斜角為，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得直線(xiàn)的斜率為，解方程即可得出答案.【詳解】已知直線(xiàn)的傾斜角為，則直線(xiàn)的斜率為，則.故選：B.2.在等差數(shù)列中，，則的值是（）A.36 B.48 C.72 D.24【答案】A【解析】【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)求得，再由即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，，則，所以.故選：A3.已知?jiǎng)又本€(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最大值為（）A. B.4 C.6 D.24【答案】C【解析】【分析】首先求點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用數(shù)形結(jié)合，求圓上點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值，即可求解面積的最大值.【詳解】由，整理為，令，解得，所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，圓的圓心，半徑，如圖，，直線(xiàn)的方程為，則圓心到直線(xiàn)的距離，則點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值為圓心到直線(xiàn)的距離，所以面積的最大值為.故選：C4.若數(shù)列滿(mǎn)足，且，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】令可得，再令可得數(shù)列是首項(xiàng)和公比為的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的前項(xiàng)和求解即可.【詳解】令，，令，則，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)和公比為的等比數(shù)列，所以.故選：A.5.在三棱錐中，為的中點(diǎn)，則等于（）A.-1 B.0 C.1 D.3【答案】C【解析】【分析】由題意可得，再由數(shù)量積的運(yùn)算律代入求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，，，因?yàn)椋?故選：C.6.已知雙曲線(xiàn)的離心率為，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求得，由此求得雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程.【詳解】離心率，則，所以漸近線(xiàn)方程為.故選：C7.已知橢圓的離心率為，左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)左焦點(diǎn)作直線(xiàn)與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，若為等腰三角形，則直線(xiàn)的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)離心率求出關(guān)系，根據(jù)等腰三角形和橢圓的定義求出答案.【詳解】設(shè)橢圓的焦距為，因?yàn)殡x心率為，所以，；因?yàn)闉榈妊切?，且在第一象限，所以，由橢圓的定義可得.設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，則，，；所以.故選：B.8.如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)分別是棱上動(dòng)點(diǎn)，,直線(xiàn)與平面所成的角為，則的面積的最小值是A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】以C為原點(diǎn)，以CD，CB，CC′為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則C（0，0，0），設(shè)P（0，a，0），Q（b，0，0），于是0＜a≤4，0＜b≤3．設(shè)平面PQC′的一個(gè)法向量為則令z=1，得a2b2≥2ab，解得ab≥8．

∴當(dāng)ab=8時(shí)，S△PQC=4，棱錐C′-PQC的體積最小，

∵直線(xiàn)CC′與平面PQC′所成的角為30°，∴C到平面PQC′的距離d=2∵VC′-PQC=VC-PQC′，故選B點(diǎn)睛：本題考查了線(xiàn)面角的計(jì)算，空間向量的應(yīng)用，基本不等式，對(duì)于三棱錐的體積往往進(jìn)行等積轉(zhuǎn)化,可以求對(duì)應(yīng)的三角形的面積.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則點(diǎn)在圓外B.圓與軸相切C.若圓截軸所得弦長(zhǎng)為，則D.點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最大距離和最小距離的乘積為【答案】AD【解析】【分析】利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；求出圓心到軸的距離，可判斷B選項(xiàng)；利用弦長(zhǎng)的一半、弦心距以及圓的半徑三者滿(mǎn)足勾股定理求出的值，可判斷C選項(xiàng)；對(duì)原點(diǎn)在圓上、圓外進(jìn)行分類(lèi)討論，求出點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最大距離和最小距離，可判斷D選項(xiàng).【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，對(duì)于A選項(xiàng)，若，則有，即點(diǎn)在圓外，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)閳A心到軸的距離為，而與的大小關(guān)系不確定，所以，圓與軸不一定相切，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若圓截軸所得弦長(zhǎng)為，則，解得，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最大距離為，點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最小距離為，則；當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)在圓外，且，所以，點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最大距離為，最小距離為，則點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最大距離和最小距離的乘積為.綜上所述，點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最大距離和最小距離的乘積為，D對(duì).故選：AD.10.如圖，在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（）A.B.平面平面C.平面D.異面直線(xiàn)與所成角的余弦值是【答案】BCD【解析】【分析】由題意可得出，可判斷A；因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，所以平面平面可判斷B；由線(xiàn)面平行的判定定理可判斷C；由異面直線(xiàn)所成角可判斷D.【詳解】對(duì)于A，連接，易證，因?yàn)槠矫?，而平面，所以，所以在中，與不垂直，所以不垂直，故A不正確；對(duì)于B，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以四點(diǎn)共面，所以平面平面，故B正確；對(duì)于C，連接，易證，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以平面，平面，所以平面，故C正確；對(duì)于D，連接，易知，異面直線(xiàn)與所成角即直線(xiàn)與所成角，即，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，所以，所以，所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值是，故D正確.故選：BCD11.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.最大 B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式推導(dǎo)出，，即可判斷A、B、C，利用特殊值判斷D.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，，故C錯(cuò)誤；所以，且，故B正確；所以，則單調(diào)遞減，且，所以最大，故A正確，令，，則，，則，故D錯(cuò)誤.故選：AB12.已知拋物線(xiàn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于軸的光線(xiàn)從點(diǎn)射入，經(jīng)過(guò)上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)上的另一點(diǎn)反射后，沿直線(xiàn)射出，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，延長(zhǎng)交的準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)可知，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)平行于軸，由此可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷各選項(xiàng)的真假．【詳解】如圖所示：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)且軸，故，故直線(xiàn)，化簡(jiǎn)得，由消去并化簡(jiǎn)得，所以，，故A錯(cuò)誤；又,故，B，故，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，故為等腰三角形，所以，而，故，即，故C正確；直線(xiàn)，由得，，故，所以三點(diǎn)共線(xiàn)，故D正確．故選：CD．三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，若與垂直，則___________.【答案】##【解析】【分析】由向量垂直可得，即可求出.【詳解】因?yàn)?，所以，，因?yàn)榕c垂直，所以，解得.故答案為：.14.若圓被直線(xiàn)平分，則圓的半徑為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)條件確定圓心在直線(xiàn)上，代入求后，即可求圓的半徑.【詳解】若圓被直線(xiàn)平分，則直線(xiàn)過(guò)圓心，圓的圓心為，即，解得：，則圓，則圓的半徑為.故答案為：15.正多面體也稱(chēng)柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體?正六面體?正八面體?正十二面體?正二十面體.已知一個(gè)正八面體的棱長(zhǎng)都是2（如圖），分別為棱的中點(diǎn)，則__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意得到，，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】由題意，可得，，又由正八面體的棱長(zhǎng)都是，且各個(gè)面都是等邊三角形，在中，由，可得，所以，所以.故答案為：.16.已知數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿(mǎn)足.若，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則_______.【答案】【解析】【分析】利用將變?yōu)?，整理發(fā)現(xiàn)數(shù)列{}為等差數(shù)列，求出，進(jìn)一步可以求出，再將，代入，發(fā)現(xiàn)可以裂項(xiàng)求的前99項(xiàng)和．【詳解】當(dāng)時(shí)，符合，當(dāng)時(shí)，符合，【點(diǎn)睛】一般公式的使用是將變?yōu)?，而本題是將變?yōu)?，給后面的整理帶來(lái)方便．先求，再求，再求，一切都順其自然．四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出說(shuō)明文字?演算式?證明步驟.17.已知直線(xiàn)和直線(xiàn).（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）0或2（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩直線(xiàn)垂直的公式，即可求解；（2）根據(jù)兩直線(xiàn)平行，，求解，再代回直線(xiàn)驗(yàn)證.【小問(wèn)1詳解】若，則，解得或2；【小問(wèn)2詳解】若，則，解得或1.時(shí)，，滿(mǎn)足，時(shí)，，此時(shí)與重合，所以.18.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，其前項(xiàng)和為，且是2與的等比中項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若是數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)即可得，在由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式代入化簡(jiǎn)可求出，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由裂項(xiàng)相消法求和即可；【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，即，解得，，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】，.19.在三棱錐中，平面，平面平面.（1）證明：平面；（2）若為中點(diǎn)，求向量與夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由線(xiàn)面垂直和面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理證明即可；（2）由，求出，，由空間向量夾角的公式代入求解即可.【小問(wèn)1詳解】證明：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，平面平面，平面平面平面，平面，又平面.平面平面.平面平面.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，設(shè)，則.為中點(diǎn)，，與夾角的余弦值為.20.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，解方程求出，即可求出的通項(xiàng)公式；（2）求出，再由錯(cuò)位相減法求和即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，即，解得（舍）或.【小問(wèn)2詳解】，，相減得：，，所以21.如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，二面角的大小為，是中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）先利用線(xiàn)線(xiàn)平行證明線(xiàn)面平行，再證面面平行，最后由面面平行證明線(xiàn)面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，利用向量法求解二面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連接，因?yàn)橹苯翘菪沃?，，且，所以四邊形是平行四邊形，平面平面，平?又是中點(diǎn)平面平面，平面，又平面，平面平面，平面平面.【小問(wèn)2詳解】連接，由知：，由（1）知：且，，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方向分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，從而，設(shè)平面的法向量為，即，令，得，易知平面的一個(gè)法向量為，，由題意知，二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.22.已知分別為雙曲線(xiàn)