2023年廣東省廣州市廣雅高考全國統(tǒng)考預(yù)測密卷數(shù)學試卷含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.某地區(qū)高考改革，實行“3+2+1”模式，即“3”指語文、數(shù)學、外語三門必考科目，“1”指在物理、歷史兩門科目中

必選一門，“2”指在化學、生物、政治、地理以及除了必選一門以外的歷史或物理這五門學科中任意選擇兩門學科,

則一名學生的不同選科組合有()

A.8種B.12種C.16種D.20種

2.若直線y=-2x的傾斜角為a,則sin2a的值為()

44,43

A.-B.一一C.±-D.--

5555

3.已知函數(shù)f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且滿足/(幻=/(2-幻，當xe[0,l]時，/(x)=x,則函數(shù)

x+4

/*)=/(幻+丁『在區(qū)間上零點的個數(shù)為()

l-2x

A.9B.10C.18D.20

TT

4.已知函數(shù)/(x)=cos(2x+§),則下列結(jié)論錯誤的是()

A.函數(shù)/(x)的最小正周期為n

B.函數(shù)的圖象關(guān)于點后0卜稱

C.函數(shù)/(X)在g,-F上單調(diào)遞增

D.函數(shù)/(力的圖象可由y=sin2x的圖象向左平移展個單位長度得到

5.對兩個變量進行回歸分析，給出如下一組樣本數(shù)據(jù)：(0.675,7).989),(1.102,-0.010),(2.899,1.024),

(9.101,2.978),下列函數(shù)模型中擬合較好的是()

A.y=3xB.y3vC.y——(x—1)一D.y=logj

6.已知a,bGR,3+cii=h—(2tz—l)z,則()

A.h=3aB.b=6aC.b=9aD.b=12a

2..2

7,已知雙曲線「：二r一與=13>0,〃>0）的一條漸近線為/,圓C:（x—c）2+y2=4與/相切于點A，若入4￡6的

a~b~

面積為26,則雙曲線『的離心率為（）

A。n2石7x/21

A.2B.----C.—D.---

333

22

8.雙曲線與-4=l（a>0力>0）的右焦點為尸，過點尸且與X軸垂直的直線交兩漸近線于”,N兩點，與雙曲線的

ab

其中一個交點為尸，若麗=4的'+〃麗且/1〃=卷，則該雙曲線的離心率為（）

A3夜R572?5百n576

4121212

9.已知定點A3都在平面a內(nèi)，定點是a內(nèi)異于的動點，且PC_LAC,那么動點C在平面

a內(nèi)的軌跡是（）

A.圓，但要去掉兩個點B,橢圓，但要去掉兩個點

C.雙曲線，但要去掉兩個點D.拋物線，但要去掉兩個點

10.已知函數(shù)〃力的定義域為[0,2],則函數(shù)g（x）=/（2x）+后不的定義域為（）

A.[0,1]B.[0,2]

C.[1,2]D.[1,3]

222

11.已知雙曲線G：T-芯*=1與雙曲線。2：?-犬=1沒有公共點，則雙曲線G的離心率的取值范圍是（）

A.（1,百]B.[V3,+oo）C.（1,不]D.[6,+℃）

12.將函數(shù)/（%）=6sin2”cos2%向左平移弓個單位，得到g（x）的圖象，則g（x）滿足（）

A.圖象關(guān)于點（宏,。]對稱，在區(qū)間（0,（）上為增函數(shù)

B.函數(shù)最大值為2,圖象關(guān)于點[三,（）[對稱

7T7171

C.圖象關(guān)于直線x=w對稱，在—上的最小值為1

6|_125_

D.最小正周期為乃，g（x）=l在04有兩個根

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.曲線y=ev(x2+2)在點(0,2)處的切線方程為.

14.數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，數(shù)列出｝的前〃項和為北，滿足q=2,3s“=(〃+機)a.(〃wN*,機wR),且

。的,="+1.若任意〃€4，444“一7；成立，則實數(shù)2的取值范圍為.

15.如圖，棱長為2的正方體ABC?！狝BCR中，點M,N,E分別為棱的中點，以A為圓心，1為半

徑，分別在面和面A8QD內(nèi)作弧MN和NE,并將兩弧各五等分，分點依次為MR、丹、〃、A、N

以及N、&、。3、。4、E.一只螞蟻欲從點6出發(fā)，沿正方體的表面爬行至。4,則其爬行的最短距離為

.參考數(shù)據(jù)：cos9°=0.9877；cos18°=0.9511；cos27°=0.8910)

16.在AABC中，點。在邊AB上，且￡認=28方，設(shè)=CB=h>則而=(用5，5表示)

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，已知四棱錐尸一43C。的底面是等腰梯形，AD//BC,AD=2,BC=4,ZABC=60°,/\PAD

為等邊三角形，且點尸在底面A3CD上的射影為AO的中點G,點E在線段上，且CE:所=1:3.

(1)求證：￡>￡_!_平面PAD.

(2)求二面角A-PC-。的余弦值.

x=2costzl\=x

18.(12分)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為.(a為參數(shù)，將曲線C經(jīng)過伸縮變換「

y=sina[y,=2y

后得到曲線G?在以原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線/的極坐標方程為pcose+psin。-5=0.

（i）說明曲線G是哪一種曲線，并將曲線G的方程化為極坐標方程;

1T

（2）已知點M是曲線G上的任意一點，又直線/上有兩點E和P，且|￡/|=5,又點E的極角為萬，點P的極角

為銳角.求：

①點F的極角；

②AEMF面積的取值范圍.

19.（12分）如圖，。是在AABC邊AC上的一點，ABCD面積是△480面積的2倍，NCBD=2NABD=28.

（I）若，=7，求吧4的值；

6sinC

（II）若BC=4,AB=2y/2?求邊AC的長.

20.（12分）如圖所示,三棱柱ABC-4用G中，，平面ABC,點D,E分別在線段AA1，CG上，且AO=；441，

DE!/AC,尸是線段AB的中點.

（I）求證:EF〃平面B?D；

（II）若AB=AC,=3AB,求直線BC與平面qOE所成角的正弦值.

22

21.（12分）橢圓E:=+當=1（。＞。＞1）的左、右焦點分別為大，工，橢圓E上兩動點P,。使得四邊形P￡QE為

ah~

平行四邊形，且平行四邊形PF.QF,的周長和最大面積分別為8和2g.

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）設(shè)直線「人與橢圓E的另一交點為當點￡在以線段為直徑的圓上時，求直線2月的方程.

22.（10分）等差數(shù)列｛為｝的前〃項和為S“，已知%+%=18,56=36.

（I）求數(shù)列｛《,｝的通項公式及前"項和為S”；

1

(H)設(shè)7；為數(shù)列〈的前〃項的和，求證：T”<1.

￡+〃.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

分兩類進行討論：物理和歷史只選一門；物理和歷史都選，分別求出兩種情況對應(yīng)的組合數(shù)，即可求出結(jié)果.

【詳解】

若一名學生只選物理和歷史中的一門，則有=12種組合；

若一名學生物理和歷史都選，則有C：=4種組合；

因此共有12+4=16種組合.

故選C

【點睛】

本題主要考查兩個計數(shù)原理，熟記其計數(shù)原理的概念，即可求出結(jié)果，屬于?？碱}型.

2.B

【解析】

根據(jù)題意可得：tana=-2,所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后,

將tana=-2代入計算即可求出值.

【詳解】

由于直線y=-2x的傾斜角為a,所以tana=-2,

.c.2sinacosa2tana-2x24

貝|]sin2a=2sinacosa=——；-------；—=；-----=----；~-=——

sin-a+cos-atarTa+1(-2)+15

故答案選B

【點睛】

本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系，熟練掌握公式是

解本題的關(guān)鍵.

3.B

【解析】

x+4

由已知可得函數(shù)/(X)的周期與對稱軸，函數(shù)尸(X)=/(x)+-----在區(qū)間［-9,10］上零點的個數(shù)等價于函數(shù)/(X)

1-2%

x+4

與g(x)=一工^圖象在［-9,10］上交點的個數(shù)，作出函數(shù)7■(*)與g(x)的圖象如圖，數(shù)形結(jié)合即可得到答案.

1-2%

【詳解】

Y+4v-U4

函數(shù)尸G)=/(x)+--在區(qū)間［-9,10］上零點的個數(shù)等價于函數(shù)/(￡)與g(x)=---圖象在［-9,10］上交

l-2xl-2x

點的個數(shù)，

由/(x)=f(2-x),得函數(shù)/(x)圖象關(guān)于x=l對稱，

V/(x)為偶函數(shù)，取x=x+2,可得/(x+2)=/(-x)=/(x),得函數(shù)周期為2.

又：當xC［0,1］時，/(x)=x,且/(x)為偶函數(shù)，.,.當xG［-1,0］時，f(x)=-x,

/、x+4x+419

g(x)=------=-----=—H-------,

1-2%2%-124x-2

作出函數(shù)/(x)與g(x)的圖象如圖：

由圖可知，兩函數(shù)圖象共10個交點，

+4

即函數(shù)尸(x)=f(X)+丁丁在區(qū)間上零點的個數(shù)為10.

1-2%

故選：B.

【點睛】

本題考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題.

4.D

【解析】

.JI'JI

由丁=一可判斷選項A；當了=:時，2x+-=—可判斷選項B：利用整體換元法可判斷選項C；

0)1232

y=sin2[x+]J=cos[2x-gj#/(x)可判斷選項D.

【詳解】

由題知/(xNcos^x+g],最小正周期7=§=兀，所以A正確；當》=看時,

ITTT一無

2x+-=-,所以B正確；當xe2.XH--G,所以C正確；由.丫=$皿21

323

的圖象向左平移4個單位，得＞=5也2x+2=sin2x+==sin2彳+￡-三

12v12)\6)\23

cos(2龍-1卜/'(X),所以D錯誤.

故選：D.

【點睛】

本題考查余弦型函數(shù)的性質(zhì)，涉及到周期性、對稱性、單調(diào)性以及圖象變換后的解析式等知識，是一道中檔題.

5.D

【解析】

作出四個函數(shù)的圖象及給出的四個點，觀察這四個點在靠近哪個曲線.

【詳解】

如圖，作出A,B,c,D中四個函數(shù)圖象，同時描出題中的四個點，它們在曲線y=log3%的兩側(cè)，與其他三個曲線

都離得很遠，因此D是正確選項，

故選：D.

【點睛】

本題考查回歸分析，擬合曲線包含或靠近樣本數(shù)據(jù)的點越多，說明擬合效果好.

6.C

【解析】

兩復(fù)數(shù)相等，實部與虛部對應(yīng)相等.

【詳解】

由3+ai=b—(2a—l)i,

(3=。

得a=l-2a即“=-,b=l?

3

.,.b=9a.

故選：C.

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

7.D

【解析】

由圓C:(x—cy+y2=4與/相切可知，圓心C(c,O)至”的距離為2,即。=2.又&卅2=2￡^=仍=26，由

此求出。的值，利用離心率公式，求出e.

【詳解】

由題意得b=2,SSAF<F2=ab=273,

“3.后考

故選：D.

【點睛】

本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與圓相切的性質(zhì)，離心率的求法，屬于中檔題.

8.D

【解析】

再利用OP=AOM+〃麗，求出點P(丸+一〃)],

根據(jù)已知得本題首先求出直線與雙曲線漸近線的交點,

c6

因為點尸在雙曲線上，及6=一，代入整理及得4/切=1,又已知力=一，即可求出離心率.

a25

【詳解】

由題意可知N[C,be

,代入麗=九麗+〃兩得：/JH2+XZ)C,(2-/Z)^L

2

代入雙曲線方程0*2y=1整理得：4e?辦=1,又因為即可得到6=基

a2512

故選：D.

【點睛】

本題主要考查的是雙曲線的簡單幾何性質(zhì)和向量的坐標運算，離心率問題關(guān)鍵尋求關(guān)于。，b,c的方程或不等式，

由此計算雙曲線的離心率或范圍，屬于中檔題.

9.A

【解析】

根據(jù)題意可得AC_L8C,即知C在以4〃為直徑的圓上.

【詳解】

?/PB±a,ACua>

：.PB±AC,

又PC_LAC,PBcPC=P,

:.AC1平面PBC,又BCu平面PBC

:.AC1BC,

故C在以AB為直徑的圓上，

又。是a內(nèi)異于A8的動點，

所以C的軌跡是圓，但要去掉兩個點A,B

故選：A

【點睛】

本題主要考查了線面垂直、線線垂直的判定，圓的性質(zhì)，軌跡問題，屬于中檔題.

10.A

【解析】

0<2x<2

試題分析：由題意，得｛。,解得OWxWl,故選A.

8-2v>0

考點：函數(shù)的定義域.

11.C

【解析】

先求得的漸近線方程，根據(jù)G，02沒有公共點，判斷出G漸近線斜率的取值范圍，由此求得G離心率的取值范圍.

【詳解】

2222

雙曲線。2：亍--=1的漸近線方程為尸±2了，由于雙曲線G：三-齊=1與雙曲線。2匕--=1沒有公共點，

b

所以雙曲線G的漸近線的斜率巳＜2,所以雙曲線G的離心率

a

故選：c

【點睛】

本小題主要考查雙曲線的漸近線，考查雙曲線離心率的取值范圍的求法，屬于基礎(chǔ)題.

12.C

【解析】

由輔助角公式化簡三角函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)圖象平移變換即可求得g(x)的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即

可判斷各選項.

【詳解】

函數(shù)/(x)=Gsin2x-cos2x，

貝！|/(x)=2sin[2x—Vj,

將/(x)=2sin2x-菅向左平移己個單位,

6

K兀2sin(2x+。

可得g(x)=2sin2X+—

66

由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，g(x)的對稱中心滿足2x+^=0#eZ,解得尤=-C+紅/eZ,所以A、B選項中

6122

的對稱中心錯誤

對于C,g(x)的對稱軸滿足2x+9=巳+2版■，0Z,解得x=2+版"MwZ,所以圖象關(guān)于直線x=g對稱；當

6266

兀715萬jr\jrrr

X€—時，2x+—e—y―,由正弦函數(shù)性質(zhì)可知2sin2x+"1,2],所以在-上的最小值為1,

12363,66o6)12J

所以C正確;

--1/X

2萬業(yè)八萬717jr1j7r127萬r71

對于D,最小正周期為一=乃，當0,—,2x+—e—，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，2sin2x+—=1

246|_63」<6J

時僅有一個解為x=0,所以D錯誤;

綜上可知，正確的為C,

故選：C.

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)式的化簡，三角函數(shù)圖象平移變換，正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.y=2x+2

【解析】

對函數(shù)求導，得出在(0,2)處的一階導數(shù)值，即得出所求切線的斜率，再運用直線的點斜式求出切線的方程.

【詳解】

a〃x)=e，(x2+2),：r(x)=eX(x2+2x+2),所以((0)=2,又?.?_/■(())=2,二所求切線方程為y—2=2x,即

y-2x+2.

故答案為：y—2x+2.

【點睛】

本題考查運用函數(shù)的導函數(shù)求函數(shù)在切點處的切線方程，關(guān)鍵在于求出在切點處的導函數(shù)值就是切線的斜率，屬于基

礎(chǔ)題.

14.2<-

2

【解析】

a?〃+1

當〃..2時，a〃=S「Se，可得到j(luò)=—T，再用累乘法求出再求出"，根據(jù)定義求出，，再借助單調(diào)性求

a,i"T

解.

【詳解】

解：當n=1時，3S,=(l+m)a,=3?,,則加=2,3s“=(〃+2)?！?，

當〃..2時,3S“_]=5+1)%,

...34=(〃+2)/-5+1)%,

an_〃+1

a,i〃T

a.345nn+1

---n=2x-x-x-...-----?----=〃(〃+1),

123n—2n—\

.〃+lI

:也=——an=-n

■■-T2n-T?=-L+_L-+...+J-..1(當且僅當〃=1時等號成立),

〃+1〃+22n2

故答案為：（一?

【點睛】

本題主要考查已知s“求得，累乘法，主要考查計算能力，屬于中檔題.

15.1.7820

【解析】

根據(jù)空間位置關(guān)系，將平面旋轉(zhuǎn)后使得各點在同一平面內(nèi)，結(jié)合角的關(guān)系即可求得兩點間距離的三角函數(shù)表達式.根據(jù)

所給參考數(shù)據(jù)即可得解.

【詳解】

棱長為2的正方體ABC。-AMGA中，點分別為棱AA，A3,A。的中點，以A為圓心，1為半徑，分別在

面ABB}4和面ABCD內(nèi)作弧和NE.

將平面ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)至與平面AB44共面的位置，如下圖所示：

1QA°

則N6AQ=^-x8=144。，所以怩@=2sin72°；

將平面ABC。繞A￡）旋轉(zhuǎn)至與平面A。。A共面的位置，將繞AA旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置，如下

圖所示:

則N6A24=—X2+9O=126°>所以圖a=2sin63。；

因為sin63'<sin72?且由誘導公式可得sin63。=cos27r

所以最短距離為出=2sin63°=2x0.8910=1.7820,

故答案為：1.7820.

【點睛】

本題考查了空間幾何體中最短距離的求法，注意將空間幾何體展開至同一平面內(nèi)求解的方法，三角函數(shù)誘導公式的應(yīng)

用，綜合性強，屬于難題.

1-2

16.—a+—br

33

【解析】

結(jié)合圖形及向量的線性運算將加轉(zhuǎn)化為用向量CA,CB表示，即可得到結(jié)果.

【詳解】

在\CAD中麗=5+而，因為=2BD，

—-—?2—?

所以CO=CA+-AB,又因為荏=礪一函，

所以前=c4+-麗=8+—（至一逐）=±瓦+=-M+-B.

333333

]_2-

故答案為：—a+—h

33

【點睛】

本題主要考查三角形中向量的線性運算，關(guān)鍵是利用已知向量為基底，將未知向量通過幾何條件向基底轉(zhuǎn)化.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)證明見解析(2)返

13

【解析】

(1)由等腰梯形的性質(zhì)可證得4),由射影可得PG_L平面ABC。,進而求證；

(2)取的中點居連接GF,以G為原點,G4所在直線為x軸,G產(chǎn)所在直線為j軸,GP所在直線為z軸，建立空間直

角坐標系,分別求得平面APC與平面DPC的法向量，再利用數(shù)量積求解即可.

【詳解】

(1)在等腰梯形ABC。中，

???點E在線段上，且CE:￡8=1:3,

，點E為8c上靠近C點的四等分點，

；AD=2,BC=4,CE=1,

???DE1AD,

???點P在底面A3CD上的射影為的中點G連接PG,

.?.PGL平面ABCD,

;DEu平面ABCD,:.PG1DE.

又ADcPG=G,ADu平面PAD,PGu平面PAD,

..Z)E_L平面PAO.

(2)取8C的中點F,連接GF,以G為原點,G4所在直線為x軸,G戶所在直線為y軸,GP所在直線為z軸，建立空間直

角坐標系，如圖所示，

由（1）易知,DE工CB,CE=1,

又ZABC=ZDCB=60P,.-.DE=GF=6

\AD=2,△B4￡>為等邊三角形,PG=6

則G(0,0,0),A(l,0,0),￡>(-1,0,0),P(0,0,回C(-2,6,()),

uuiulmr~LlutJ1r------?r~

..AC=(-3,6,0),AP=(-1,0,V3),oc=(-1,6,0),OP=(L0,43),

設(shè)平面APC的法向量為沅=(王，)1,Z1),

7

in-AC=0-3%1+>/3j]=0

即《

m-AP=0-％+>/3Z]——0

令h=G，則弘=3,Z]=l,：.m=(5/3,3,1),

設(shè)平面DPC的法向量為/?=(x2,y2,z2),

n,DC-0—X-,+%=0

則<_八，即<-r,

n-DP^O+5/3z2=0

令=g,則%=1/2=7=(G,1,-1),

設(shè)平面APC與平面DPC的夾角為，，則

8,”修沖」3+37_病

|/n|-|n|VT3X>/513

二二面角A-PC—。的余弦值為叵.

13

【點睛】

本題考查線面垂直的證明，考查空間向量法求二面角，考查運算能力與空間想象能力.

18.(1)曲線G為圓心在原點，半徑為2的圓.C1的極坐標方程為2=2(2)①三②一1一-5,-^-+5

844

【解析】

(1)求得曲線c伸縮變換后所得G的參數(shù)方程，消參后求得G的普通方程，判斷出G對應(yīng)的曲線，并將C的普通

方程轉(zhuǎn)化為極坐標方程.

(2)

①將E的極角代入直線/的極坐標方程，由此求得點E的極徑，判斷出為等腰三角形，求得直線/的普通方程,

7TSTT

由此求得/FEO=—,進而求得NR?E=—,從而求得點尸的極角.

48

②解法一：利用曲線C,的參數(shù)方程，求得曲線G上的點M到直線1的距離d的表達式，結(jié)合三角函數(shù)的知識求得d的

最小值和最大值，由此求得面積的取值范圍.

解法二：根據(jù)曲線G表示的曲線，利用圓的幾何性質(zhì)求得圓G上的點到直線/的距離的最大值和最小值，進而求得

面積的取值范圍.

【詳解】

(1)因為曲線C的參數(shù)方程為｛.(a為參數(shù))，

y=sin。

%,=x,fx,=2cosa,

因為c則曲線G的參數(shù)方程c.

J=2y[yt=2sin?

所以G的普通方程為x；+＞；=4.所以曲線G為圓心在原點，半徑為2的圓.

所以G的極坐標方程為夕2=4,即0=2.

(2)①點E的極角為2,代入直線/的極坐標方程。cose+psin。-5=0得點￡

2

極徑為2=5,且|￡/|=5,所以AEOb為等腰三角形，

又直線/的普通方程為x+y-5=0,

7T577

又點F的極角為銳角,所以二，所以“。八不，

所以點尸的極角為彳TT——37r=豆7t.

288

②解法1：直線/的普通方程為I+〉-5=0.

曲線G上的點M到直線/的距離

25/2sina+工-5

12cosa+2sina-5|14J

d=----6----=----6----

當sin[a+7j=l,即a=2Z?+?(kcZ)時,

JWrtZ："亙IiLI2V2—5I55/2

d取到最小值為----產(chǎn)~-=---------2

722

37r

當sin[a+引=-1,即a=2)br——(ZcZ)時,

4

IWrrXilI-2\/2—5|5V2

d取到最大值為--三=~'=1一+2.

V22

解法2：直線/的普通方程為x+y—5=0.

因為圓G的半徑為2,且圓心到直線I的距離d==還

V22

因為還〉2,所以圓G與直線/相離.

2

所以圓G上的點M到直線I的距離最大值為a+r=迪+2,

2

最小值為“一廠=還一2.

2

【點睛】

本小題考查坐標變換，極徑與極角；直線，圓的極坐標方程，圓的參數(shù)方程，直線的極坐標方程與普通方程，點到直

線的距離等.考查數(shù)學運算能力，包括運算原理的理解與應(yīng)用、運算方法的選擇與優(yōu)化、運算結(jié)果的檢驗與改進等.也兼

考了數(shù)學抽象素養(yǎng)、邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象等核心素養(yǎng).

以⑴黑岑―=2西

【解析】

(I)利用三角形面積公式以及SABS=2SMB。并結(jié)合正弦定理:絲=孚7,可得結(jié)果.

sinCsinA

(n)根據(jù)SABCD=2SMBO,可得。，然后使用余弦定理AC2=AB2+BC2—24s.i6csinNABC，可得結(jié)果.

【詳解】

TT

(I)ZCBD=2ZABD=-所以

39

17t17t

-BCBDsin-^2x-ABBDsm-

2326

g、dC2sinA2273

所以——=7=>----=,=----

AB>/3sinC63

(II)-BC-BDsin20=2x^-AB-BDsinO,

22

所以4x2sincos。=2x20sin3=>cos0=>

2

n37r

所以。=一，AABC=3O=—

449

所以AC?=16+8-2x4x2血=40,

所以邊AC=2j而.

【點睛】

本題考查三角形面積公式，正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，關(guān)鍵在于識記公式，屬中檔題.

20.(I)證明見詳解；(II)典.

5

【解析】

(I)取耳。中點為G,根據(jù)幾何關(guān)系，求證四邊形尸GGE為平行四邊形，即可由線線平行推證線面平行；

(II)以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得直線的方向向量和平面的法向量，即可求得線面角的正弦值.

【詳解】

(I)取用。的中點G,連接GG,FG.如下圖所示:

因為尸，G分別是線段A3和4。的中點，

所以FG是梯形AO旦8的中位線，所以FG//AD.

又ADHCC、,所以FG〃Cq.

因為A0〃CG，DEIIAC,

所以四邊形ADE■。為平行四邊形，所以AD=CE.

所以GE=gcG，F(xiàn)G==|CC,=C,￡.

所以四邊形尸GGE為平行四邊形，所以EF//C。.

又EE?平面4G。，。0匚平面用弓。，

所以EF〃平面BC。.

(U)因為A5J_AC,且A4_L平面AB。，

故可以A為原點，AB的方向為x軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系,

如下圖所示：

不妨設(shè)AB=AC=1,則44,=3,

所以C(O,O,1),5(1,0,0),4(130),0(0,1,0),￡(0,1,1).

所以冊=(-1,0,1),瓦萬=(-1,-2,0),詼=(0,0,1).

設(shè)平面B}DE的法向量為n=(x,y,z),

x+2y=0,

則L八所以

n-DE=Qz=0.

可取”=(2,—1,0).

設(shè)直線與平面BQE所成的角為6,

則sm”阜印=巫

V5x5/25

故可得直線BC與平