2023年廣東省廣州市廣雅高考全國統(tǒng)考預(yù)測(cè)密卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.某地區(qū)高考改革，實(shí)行“3+2+1”模式，即“3”指語文、數(shù)學(xué)、外語三門必考科目，“1”指在物理、歷史兩門科目中

必選一門，“2”指在化學(xué)、生物、政治、地理以及除了必選一門以外的歷史或物理這五門學(xué)科中任意選擇兩門學(xué)科,

則一名學(xué)生的不同選科組合有()

A.8種B.12種C.16種D.20種

2.若直線y=-2x的傾斜角為a,則sin2a的值為()

44,43

A.-B.一一C.±-D.--

5555

3.已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且滿足/(幻=/(2-幻，當(dāng)xe[0,l]時(shí)，/(x)=x,則函數(shù)

x+4

/*)=/(幻+丁『在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

l-2x

A.9B.10C.18D.20

TT

4.已知函數(shù)/(x)=cos(2x+§),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.函數(shù)/(x)的最小正周期為n

B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)后0卜稱

C.函數(shù)/(X)在g,-F上單調(diào)遞增

D.函數(shù)/(力的圖象可由y=sin2x的圖象向左平移展個(gè)單位長度得到

5.對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行回歸分析，給出如下一組樣本數(shù)據(jù)：(0.675,7).989),(1.102,-0.010),(2.899,1.024),

(9.101,2.978),下列函數(shù)模型中擬合較好的是()

A.y=3xB.y3vC.y——(x—1)一D.y=logj

6.已知a,bGR,3+cii=h—(2tz—l)z,則()

A.h=3aB.b=6aC.b=9aD.b=12a

2..2

7,已知雙曲線「：二r一與=13>0,〃>0）的一條漸近線為/,圓C:（x—c）2+y2=4與/相切于點(diǎn)A，若入4￡6的

a~b~

面積為26,則雙曲線『的離心率為（）

A。n2石7x/21

A.2B.----C.—D.---

333

22

8.雙曲線與-4=l（a>0力>0）的右焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸且與X軸垂直的直線交兩漸近線于”,N兩點(diǎn)，與雙曲線的

ab

其中一個(gè)交點(diǎn)為尸，若麗=4的'+〃麗且/1〃=卷，則該雙曲線的離心率為（）

A3夜R572?5百n576

4121212

9.已知定點(diǎn)A3都在平面a內(nèi)，定點(diǎn)是a內(nèi)異于的動(dòng)點(diǎn)，且PC_LAC,那么動(dòng)點(diǎn)C在平面

a內(nèi)的軌跡是（）

A.圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)B,橢圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)

C.雙曲線，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)D.拋物線，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)

10.已知函數(shù)〃力的定義域?yàn)閇0,2],則函數(shù)g（x）=/（2x）+后不的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[0,1]B.[0,2]

C.[1,2]D.[1,3]

222

11.已知雙曲線G：T-芯*=1與雙曲線。2：?-犬=1沒有公共點(diǎn)，則雙曲線G的離心率的取值范圍是（）

A.（1,百]B.[V3,+oo）C.（1,不]D.[6,+℃）

12.將函數(shù)/（%）=6sin2”cos2%向左平移弓個(gè)單位，得到g（x）的圖象，則g（x）滿足（）

A.圖象關(guān)于點(diǎn)（宏,。]對(duì)稱，在區(qū)間（0,（）上為增函數(shù)

B.函數(shù)最大值為2,圖象關(guān)于點(diǎn)[三,（）[對(duì)稱

7T7171

C.圖象關(guān)于直線x=w對(duì)稱，在—上的最小值為1

6|_125_

D.最小正周期為乃，g（x）=l在04有兩個(gè)根

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.曲線y=ev(x2+2)在點(diǎn)(0,2)處的切線方程為.

14.數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和為北，滿足q=2,3s“=(〃+機(jī))a.(〃wN*,機(jī)wR),且

。的,="+1.若任意〃€4，444“一7；成立，則實(shí)數(shù)2的取值范圍為.

15.如圖，棱長為2的正方體ABC?！狝BCR中，點(diǎn)M,N,E分別為棱的中點(diǎn)，以A為圓心，1為半

徑，分別在面和面A8QD內(nèi)作弧MN和NE,并將兩弧各五等分，分點(diǎn)依次為MR、丹、〃、A、N

以及N、&、。3、。4、E.一只螞蟻欲從點(diǎn)6出發(fā)，沿正方體的表面爬行至。4,則其爬行的最短距離為

.參考數(shù)據(jù)：cos9°=0.9877；cos18°=0.9511；cos27°=0.8910)

16.在AABC中，點(diǎn)。在邊AB上，且￡認(rèn)=28方，設(shè)=CB=h>則而=(用5，5表示)

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，已知四棱錐尸一43C。的底面是等腰梯形，AD//BC,AD=2,BC=4,ZABC=60°,/\PAD

為等邊三角形，且點(diǎn)尸在底面A3CD上的射影為AO的中點(diǎn)G,點(diǎn)E在線段上，且CE:所=1:3.

(1)求證：￡>￡_!_平面PAD.

(2)求二面角A-PC-。的余弦值.

x=2costzl\=x

18.(12分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為.(a為參數(shù)，將曲線C經(jīng)過伸縮變換「

y=sina[y,=2y

后得到曲線G?在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線/的極坐標(biāo)方程為pcose+psin。-5=0.

（i）說明曲線G是哪一種曲線，并將曲線G的方程化為極坐標(biāo)方程;

1T

（2）已知點(diǎn)M是曲線G上的任意一點(diǎn)，又直線/上有兩點(diǎn)E和P，且|￡/|=5,又點(diǎn)E的極角為萬，點(diǎn)P的極角

為銳角.求：

①點(diǎn)F的極角；

②AEMF面積的取值范圍.

19.（12分）如圖，。是在AABC邊AC上的一點(diǎn)，ABCD面積是△480面積的2倍，NCBD=2NABD=28.

（I）若，=7，求吧4的值；

6sinC

（II）若BC=4,AB=2y/2?求邊AC的長.

20.（12分）如圖所示,三棱柱ABC-4用G中，，平面ABC,點(diǎn)D,E分別在線段AA1，CG上，且AO=；441，

DE!/AC,尸是線段AB的中點(diǎn).

（I）求證:EF〃平面B?D；

（II）若AB=AC,=3AB,求直線BC與平面qOE所成角的正弦值.

22

21.（12分）橢圓E:=+當(dāng)=1（。＞。＞1）的左、右焦點(diǎn)分別為大，工，橢圓E上兩動(dòng)點(diǎn)P,。使得四邊形P￡QE為

ah~

平行四邊形，且平行四邊形PF.QF,的周長和最大面積分別為8和2g.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線「人與橢圓E的另一交點(diǎn)為當(dāng)點(diǎn)￡在以線段為直徑的圓上時(shí)，求直線2月的方程.

22.（10分）等差數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S“，已知%+%=18,56=36.

（I）求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式及前"項(xiàng)和為S”；

1

(H)設(shè)7；為數(shù)列〈的前〃項(xiàng)的和，求證：T”<1.

￡+〃.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

分兩類進(jìn)行討論：物理和歷史只選一門；物理和歷史都選，分別求出兩種情況對(duì)應(yīng)的組合數(shù)，即可求出結(jié)果.

【詳解】

若一名學(xué)生只選物理和歷史中的一門，則有=12種組合；

若一名學(xué)生物理和歷史都選，則有C：=4種組合；

因此共有12+4=16種組合.

故選C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，熟記其計(jì)數(shù)原理的概念，即可求出結(jié)果，屬于?？碱}型.

2.B

【解析】

根據(jù)題意可得：tana=-2,所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后,

將tana=-2代入計(jì)算即可求出值.

【詳解】

由于直線y=-2x的傾斜角為a,所以tana=-2,

.c.2sinacosa2tana-2x24

貝|]sin2a=2sinacosa=——；-------；—=；-----=----；~-=——

sin-a+cos-atarTa+1(-2)+15

故答案選B

【點(diǎn)睛】

本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系，熟練掌握公式是

解本題的關(guān)鍵.

3.B

【解析】

x+4

由已知可得函數(shù)/(X)的周期與對(duì)稱軸，函數(shù)尸(X)=/(x)+-----在區(qū)間［-9,10］上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)/(X)

1-2%

x+4

與g(x)=一工^圖象在［-9,10］上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出函數(shù)7■(*)與g(x)的圖象如圖，數(shù)形結(jié)合即可得到答案.

1-2%

【詳解】

Y+4v-U4

函數(shù)尸G)=/(x)+--在區(qū)間［-9,10］上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)/(￡)與g(x)=---圖象在［-9,10］上交

l-2xl-2x

點(diǎn)的個(gè)數(shù)，

由/(x)=f(2-x),得函數(shù)/(x)圖象關(guān)于x=l對(duì)稱，

V/(x)為偶函數(shù)，取x=x+2,可得/(x+2)=/(-x)=/(x),得函數(shù)周期為2.

又：當(dāng)xC［0,1］時(shí)，/(x)=x,且/(x)為偶函數(shù)，.,.當(dāng)xG［-1,0］時(shí)，f(x)=-x,

/、x+4x+419

g(x)=------=-----=—H-------,

1-2%2%-124x-2

作出函數(shù)/(x)與g(x)的圖象如圖：

由圖可知，兩函數(shù)圖象共10個(gè)交點(diǎn)，

+4

即函數(shù)尸(x)=f(X)+丁丁在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為10.

1-2%

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題.

4.D

【解析】

.JI'JI

由丁=一可判斷選項(xiàng)A；當(dāng)了=:時(shí)，2x+-=—可判斷選項(xiàng)B：利用整體換元法可判斷選項(xiàng)C；

0)1232

y=sin2[x+]J=cos[2x-gj#/(x)可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】

由題知/(xNcos^x+g],最小正周期7=§=兀，所以A正確；當(dāng)》=看時(shí),

ITTT一無

2x+-=-,所以B正確；當(dāng)xe2.XH--G,所以C正確；由.丫=$皿21

323

的圖象向左平移4個(gè)單位，得＞=5也2x+2=sin2x+==sin2彳+￡-三

12v12)\6)\23

cos(2龍-1卜/'(X),所以D錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查余弦型函數(shù)的性質(zhì)，涉及到周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性以及圖象變換后的解析式等知識(shí)，是一道中檔題.

5.D

【解析】

作出四個(gè)函數(shù)的圖象及給出的四個(gè)點(diǎn)，觀察這四個(gè)點(diǎn)在靠近哪個(gè)曲線.

【詳解】

如圖，作出A,B,c,D中四個(gè)函數(shù)圖象，同時(shí)描出題中的四個(gè)點(diǎn)，它們?cè)谇€y=log3%的兩側(cè)，與其他三個(gè)曲線

都離得很遠(yuǎn)，因此D是正確選項(xiàng)，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查回歸分析，擬合曲線包含或靠近樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)越多，說明擬合效果好.

6.C

【解析】

兩復(fù)數(shù)相等，實(shí)部與虛部對(duì)應(yīng)相等.

【詳解】

由3+ai=b—(2a—l)i,

(3=。

得a=l-2a即“=-,b=l?

3

.,.b=9a.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

7.D

【解析】

由圓C:(x—cy+y2=4與/相切可知，圓心C(c,O)至”的距離為2,即。=2.又&卅2=2￡^=仍=26，由

此求出。的值，利用離心率公式，求出e.

【詳解】

由題意得b=2,SSAF<F2=ab=273,

“3.后考

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與圓相切的性質(zhì)，離心率的求法，屬于中檔題.

8.D

【解析】

再利用OP=AOM+〃麗，求出點(diǎn)P(丸+一〃)],

根據(jù)已知得本題首先求出直線與雙曲線漸近線的交點(diǎn),

c6

因?yàn)辄c(diǎn)尸在雙曲線上，及6=一，代入整理及得4/切=1,又已知力=一，即可求出離心率.

a25

【詳解】

由題意可知N[C,be

,代入麗=九麗+〃兩得：/JH2+XZ)C,(2-/Z)^L

2

代入雙曲線方程0*2y=1整理得：4e?辦=1,又因?yàn)榧纯傻玫?=基

a2512

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是雙曲線的簡單幾何性質(zhì)和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，離心率問題關(guān)鍵尋求關(guān)于。，b,c的方程或不等式，

由此計(jì)算雙曲線的離心率或范圍，屬于中檔題.

9.A

【解析】

根據(jù)題意可得AC_L8C,即知C在以4〃為直徑的圓上.

【詳解】

?/PB±a,ACua>

：.PB±AC,

又PC_LAC,PBcPC=P,

:.AC1平面PBC,又BCu平面PBC

:.AC1BC,

故C在以AB為直徑的圓上，

又。是a內(nèi)異于A8的動(dòng)點(diǎn)，

所以C的軌跡是圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)A,B

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了線面垂直、線線垂直的判定，圓的性質(zhì)，軌跡問題，屬于中檔題.

10.A

【解析】

0<2x<2

試題分析：由題意，得｛。,解得OWxWl,故選A.

8-2v>0

考點(diǎn)：函數(shù)的定義域.

11.C

【解析】

先求得的漸近線方程，根據(jù)G，02沒有公共點(diǎn)，判斷出G漸近線斜率的取值范圍，由此求得G離心率的取值范圍.

【詳解】

2222

雙曲線。2：亍--=1的漸近線方程為尸±2了，由于雙曲線G：三-齊=1與雙曲線。2匕--=1沒有公共點(diǎn)，

b

所以雙曲線G的漸近線的斜率巳＜2,所以雙曲線G的離心率

a

故選：c

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查雙曲線的漸近線，考查雙曲線離心率的取值范圍的求法，屬于基礎(chǔ)題.

12.C

【解析】

由輔助角公式化簡三角函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)圖象平移變換即可求得g(x)的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即

可判斷各選項(xiàng).

【詳解】

函數(shù)/(x)=Gsin2x-cos2x，

貝！|/(x)=2sin[2x—Vj,

將/(x)=2sin2x-菅向左平移己個(gè)單位,

6

K兀2sin(2x+。

可得g(x)=2sin2X+—

66

由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，g(x)的對(duì)稱中心滿足2x+^=0#eZ,解得尤=-C+紅/eZ,所以A、B選項(xiàng)中

6122

的對(duì)稱中心錯(cuò)誤

對(duì)于C,g(x)的對(duì)稱軸滿足2x+9=巳+2版■，0Z,解得x=2+版"MwZ,所以圖象關(guān)于直線x=g對(duì)稱；當(dāng)

6266

兀715萬jr\jrrr

X€—時(shí)，2x+—e—y―,由正弦函數(shù)性質(zhì)可知2sin2x+"1,2],所以在-上的最小值為1,

12363,66o6)12J

所以C正確;

--1/X

2萬業(yè)八萬717jr1j7r127萬r71

對(duì)于D,最小正周期為一=乃，當(dāng)0,—,2x+—e—，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，2sin2x+—=1

246|_63」<6J

時(shí)僅有一個(gè)解為x=0,所以D錯(cuò)誤;

綜上可知，正確的為C,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)式的化簡，三角函數(shù)圖象平移變換，正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.y=2x+2

【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得出在(0,2)處的一階導(dǎo)數(shù)值，即得出所求切線的斜率，再運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式求出切線的方程.

【詳解】

a〃x)=e，(x2+2),：r(x)=eX(x2+2x+2),所以((0)=2,又?.?_/■(())=2,二所求切線方程為y—2=2x,即

y-2x+2.

故答案為：y—2x+2.

【點(diǎn)睛】

本題考查運(yùn)用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在切點(diǎn)處的切線方程，關(guān)鍵在于求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值就是切線的斜率，屬于基

礎(chǔ)題.

14.2<-

2

【解析】

a?〃+1

當(dāng)〃..2時(shí)，a〃=S「Se，可得到j(luò)=—T，再用累乘法求出再求出"，根據(jù)定義求出，，再借助單調(diào)性求

a,i"T

解.

【詳解】

解：當(dāng)n=1時(shí)，3S,=(l+m)a,=3?,,則加=2,3s“=(〃+2)?！埃?/p>

當(dāng)〃..2時(shí),3S“_]=5+1)%,

...34=(〃+2)/-5+1)%,

an_〃+1

a,i〃T

a.345nn+1

---n=2x-x-x-...-----?----=〃(〃+1),

123n—2n—\

.〃+lI

:也=——an=-n

■■-T2n-T?=-L+_L-+...+J-..1(當(dāng)且僅當(dāng)〃=1時(shí)等號(hào)成立),

〃+1〃+22n2

故答案為：（一?

【點(diǎn)睛】

本題主要考查已知s“求得，累乘法，主要考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

15.1.7820

【解析】

根據(jù)空間位置關(guān)系，將平面旋轉(zhuǎn)后使得各點(diǎn)在同一平面內(nèi)，結(jié)合角的關(guān)系即可求得兩點(diǎn)間距離的三角函數(shù)表達(dá)式.根據(jù)

所給參考數(shù)據(jù)即可得解.

【詳解】

棱長為2的正方體ABC。-AMGA中，點(diǎn)分別為棱AA，A3,A。的中點(diǎn)，以A為圓心，1為半徑，分別在

面ABB}4和面ABCD內(nèi)作弧和NE.

將平面ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)至與平面AB44共面的位置，如下圖所示：

1QA°

則N6AQ=^-x8=144。，所以怩@=2sin72°；

將平面ABC。繞A￡）旋轉(zhuǎn)至與平面A。。A共面的位置，將繞AA旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置，如下

圖所示:

則N6A24=—X2+9O=126°>所以圖a=2sin63。；

因?yàn)閟in63'<sin72?且由誘導(dǎo)公式可得sin63。=cos27r

所以最短距離為出=2sin63°=2x0.8910=1.7820,

故答案為：1.7820.

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間幾何體中最短距離的求法，注意將空間幾何體展開至同一平面內(nèi)求解的方法，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)

用，綜合性強(qiáng)，屬于難題.

1-2

16.—a+—br

33

【解析】

結(jié)合圖形及向量的線性運(yùn)算將加轉(zhuǎn)化為用向量CA,CB表示，即可得到結(jié)果.

【詳解】

在\CAD中麗=5+而，因?yàn)?2BD，

—-—?2—?

所以CO=CA+-AB,又因?yàn)檐?礪一函，

所以前=c4+-麗=8+—（至一逐）=±瓦+=-M+-B.

333333

]_2-

故答案為：—a+—h

33

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角形中向量的線性運(yùn)算，關(guān)鍵是利用已知向量為基底，將未知向量通過幾何條件向基底轉(zhuǎn)化.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)證明見解析(2)返

13

【解析】

(1)由等腰梯形的性質(zhì)可證得4),由射影可得PG_L平面ABC。,進(jìn)而求證；

(2)取的中點(diǎn)居連接GF,以G為原點(diǎn),G4所在直線為x軸,G產(chǎn)所在直線為j軸,GP所在直線為z軸，建立空間直

角坐標(biāo)系,分別求得平面APC與平面DPC的法向量，再利用數(shù)量積求解即可.

【詳解】

(1)在等腰梯形ABC。中，

???點(diǎn)E在線段上，且CE:￡8=1:3,

，點(diǎn)E為8c上靠近C點(diǎn)的四等分點(diǎn)，

；AD=2,BC=4,CE=1,

???DE1AD,

???點(diǎn)P在底面A3CD上的射影為的中點(diǎn)G連接PG,

.?.PGL平面ABCD,

;DEu平面ABCD,:.PG1DE.

又ADcPG=G,ADu平面PAD,PGu平面PAD,

..Z)E_L平面PAO.

(2)取8C的中點(diǎn)F,連接GF,以G為原點(diǎn),G4所在直線為x軸,G戶所在直線為y軸,GP所在直線為z軸，建立空間直

角坐標(biāo)系，如圖所示，

由（1）易知,DE工CB,CE=1,

又ZABC=ZDCB=60P,.-.DE=GF=6

\AD=2,△B4￡>為等邊三角形,PG=6

則G(0,0,0),A(l,0,0),￡>(-1,0,0),P(0,0,回C(-2,6,()),

uuiulmr~LlutJ1r------?r~

..AC=(-3,6,0),AP=(-1,0,V3),oc=(-1,6,0),OP=(L0,43),

設(shè)平面APC的法向量為沅=(王，)1,Z1),

7

in-AC=0-3%1+>/3j]=0

即《

m-AP=0-％+>/3Z]——0

令h=G，則弘=3,Z]=l,：.m=(5/3,3,1),

設(shè)平面DPC的法向量為/?=(x2,y2,z2),

n,DC-0—X-,+%=0

則<_八，即<-r,

n-DP^O+5/3z2=0

令=g,則%=1/2=7=(G,1,-1),

設(shè)平面APC與平面DPC的夾角為，，則

8,”修沖」3+37_病

|/n|-|n|VT3X>/513

二二面角A-PC—。的余弦值為叵.

13

【點(diǎn)睛】

本題考查線面垂直的證明，考查空間向量法求二面角，考查運(yùn)算能力與空間想象能力.

18.(1)曲線G為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓.C1的極坐標(biāo)方程為2=2(2)①三②一1一-5,-^-+5

844

【解析】

(1)求得曲線c伸縮變換后所得G的參數(shù)方程，消參后求得G的普通方程，判斷出G對(duì)應(yīng)的曲線，并將C的普通

方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.

(2)

①將E的極角代入直線/的極坐標(biāo)方程，由此求得點(diǎn)E的極徑，判斷出為等腰三角形，求得直線/的普通方程,

7TSTT

由此求得/FEO=—,進(jìn)而求得NR?E=—,從而求得點(diǎn)尸的極角.

48

②解法一：利用曲線C,的參數(shù)方程，求得曲線G上的點(diǎn)M到直線1的距離d的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí)求得d的

最小值和最大值，由此求得面積的取值范圍.

解法二：根據(jù)曲線G表示的曲線，利用圓的幾何性質(zhì)求得圓G上的點(diǎn)到直線/的距離的最大值和最小值，進(jìn)而求得

面積的取值范圍.

【詳解】

(1)因?yàn)榍€C的參數(shù)方程為｛.(a為參數(shù))，

y=sin。

%,=x,fx,=2cosa,

因?yàn)閏則曲線G的參數(shù)方程c.

J=2y[yt=2sin?

所以G的普通方程為x；+＞；=4.所以曲線G為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓.

所以G的極坐標(biāo)方程為夕2=4,即0=2.

(2)①點(diǎn)E的極角為2,代入直線/的極坐標(biāo)方程。cose+psin。-5=0得點(diǎn)￡

2

極徑為2=5,且|￡/|=5,所以AEOb為等腰三角形，

又直線/的普通方程為x+y-5=0,

7T577

又點(diǎn)F的極角為銳角,所以二，所以“。八不，

所以點(diǎn)尸的極角為彳TT——37r=豆7t.

288

②解法1：直線/的普通方程為I+〉-5=0.

曲線G上的點(diǎn)M到直線/的距離

25/2sina+工-5

12cosa+2sina-5|14J

d=----6----=----6----

當(dāng)sin[a+7j=l,即a=2Z?+?(kcZ)時(shí),

JWrtZ："亙IiLI2V2—5I55/2

d取到最小值為----產(chǎn)~-=---------2

722

37r

當(dāng)sin[a+引=-1,即a=2)br——(ZcZ)時(shí),

4

IWrrXilI-2\/2—5|5V2

d取到最大值為--三=~'=1一+2.

V22

解法2：直線/的普通方程為x+y—5=0.

因?yàn)閳AG的半徑為2,且圓心到直線I的距離d==還

V22

因?yàn)檫€〉2,所以圓G與直線/相離.

2

所以圓G上的點(diǎn)M到直線I的距離最大值為a+r=迪+2,

2

最小值為“一廠=還一2.

2

【點(diǎn)睛】

本小題考查坐標(biāo)變換，極徑與極角；直線，圓的極坐標(biāo)方程，圓的參數(shù)方程，直線的極坐標(biāo)方程與普通方程，點(diǎn)到直

線的距離等.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，包括運(yùn)算原理的理解與應(yīng)用、運(yùn)算方法的選擇與優(yōu)化、運(yùn)算結(jié)果的檢驗(yàn)與改進(jìn)等.也兼

考了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng).

以⑴黑岑―=2西

【解析】

(I)利用三角形面積公式以及SABS=2SMB。并結(jié)合正弦定理:絲=孚7,可得結(jié)果.

sinCsinA

(n)根據(jù)SABCD=2SMBO,可得。，然后使用余弦定理AC2=AB2+BC2—24s.i6csinNABC，可得結(jié)果.

【詳解】

TT

(I)ZCBD=2ZABD=-所以

39

17t17t

-BCBDsin-^2x-ABBDsm-

2326

g、dC2sinA2273

所以——=7=>----=,=----

AB>/3sinC63

(II)-BC-BDsin20=2x^-AB-BDsinO,

22

所以4x2sincos。=2x20sin3=>cos0=>

2

n37r

所以。=一，AABC=3O=—

449

所以AC?=16+8-2x4x2血=40,

所以邊AC=2j而.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形面積公式，正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，關(guān)鍵在于識(shí)記公式，屬中檔題.

20.(I)證明見詳解；(II)典.

5

【解析】

(I)取耳。中點(diǎn)為G,根據(jù)幾何關(guān)系，求證四邊形尸GGE為平行四邊形，即可由線線平行推證線面平行；

(II)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得直線的方向向量和平面的法向量，即可求得線面角的正弦值.

【詳解】

(I)取用。的中點(diǎn)G,連接GG,FG.如下圖所示:

因?yàn)槭?，G分別是線段A3和4。的中點(diǎn)，

所以FG是梯形AO旦8的中位線，所以FG//AD.

又ADHCC、,所以FG〃Cq.

因?yàn)锳0〃CG，DEIIAC,

所以四邊形ADE■。為平行四邊形，所以AD=CE.

所以GE=gcG，F(xiàn)G==|CC,=C,￡.

所以四邊形尸GGE為平行四邊形，所以EF//C。.

又EE?平面4G。，。0匚平面用弓。，

所以EF〃平面BC。.

(U)因?yàn)锳5J_AC,且A4_L平面AB。，

故可以A為原點(diǎn)，AB的方向?yàn)閤軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

如下圖所示：

不妨設(shè)AB=AC=1,則44,=3,

所以C(O,O,1),5(1,0,0),4(130),0(0,1,0),￡(0,1,1).

所以冊(cè)=(-1,0,1),瓦萬=(-1,-2,0),詼=(0,0,1).

設(shè)平面B}DE的法向量為n=(x,y,z),

x+2y=0,

則L八所以

n-DE=Qz=0.

可取”=(2,—1,0).

設(shè)直線與平面BQE所成的角為6,

則sm”阜印=巫

V5x5/25

故可得直線BC與平