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文檔簡(jiǎn)介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷
注意事項(xiàng)
1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。
2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑
色字跡的簽字筆作答。
3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.某地區(qū)高考改革,實(shí)行“3+2+1”模式,即“3”指語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門必考科目,“1”指在物理、歷史兩門科目中
必選一門,“2”指在化學(xué)、生物、政治、地理以及除了必選一門以外的歷史或物理這五門學(xué)科中任意選擇兩門學(xué)科,
則一名學(xué)生的不同選科組合有()
A.8種B.12種C.16種D.20種
2.若直線y=-2x的傾斜角為a,則sin2a的值為()
44,43
A.-B.一一C.±-D.--
5555
3.已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),且滿足/(幻=/(2-幻,當(dāng)xe[0,l]時(shí),/(x)=x,則函數(shù)
x+4
/*)=/(幻+丁『在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()
l-2x
A.9B.10C.18D.20
TT
4.已知函數(shù)/(x)=cos(2x+§),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()
A.函數(shù)/(x)的最小正周期為n
B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)后0卜稱
C.函數(shù)/(X)在g,-F上單調(diào)遞增
D.函數(shù)/(力的圖象可由y=sin2x的圖象向左平移展個(gè)單位長(zhǎng)度得到
5.對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行回歸分析,給出如下一組樣本數(shù)據(jù):(0.675,7).989),(1.102,-0.010),(2.899,1.024),
(9.101,2.978),下列函數(shù)模型中擬合較好的是()
A.y=3xB.y3vC.y——(x—1)一D.y=logj
6.已知a,bGR,3+cii=h—(2tz—l)z,則()
A.h=3aB.b=6aC.b=9aD.b=12a
2..2
7,已知雙曲線「:二r一與=13>0,〃>0)的一條漸近線為/,圓C:(x—c)2+y2=4與/相切于點(diǎn)A,若入4£6的
a~b~
面積為26,則雙曲線『的離心率為()
A。n2石7x/21
A.2B.----C.—D.---
333
22
8.雙曲線與-4=l(a>0力>0)的右焦點(diǎn)為尸,過(guò)點(diǎn)尸且與X軸垂直的直線交兩漸近線于”,N兩點(diǎn),與雙曲線的
ab
其中一個(gè)交點(diǎn)為尸,若麗=4的'+〃麗且/1〃=卷,則該雙曲線的離心率為()
A3夜R572?5百n576
4121212
9.已知定點(diǎn)A3都在平面a內(nèi),定點(diǎn)是a內(nèi)異于的動(dòng)點(diǎn),且PC_LAC,那么動(dòng)點(diǎn)C在平面
a內(nèi)的軌跡是()
A.圓,但要去掉兩個(gè)點(diǎn)B,橢圓,但要去掉兩個(gè)點(diǎn)
C.雙曲線,但要去掉兩個(gè)點(diǎn)D.拋物線,但要去掉兩個(gè)點(diǎn)
10.已知函數(shù)〃力的定義域?yàn)閇0,2],則函數(shù)g(x)=/(2x)+后不的定義域?yàn)椋ǎ?/p>
A.[0,1]B.[0,2]
C.[1,2]D.[1,3]
222
11.已知雙曲線G:T-芯*=1與雙曲線。2:?-犬=1沒有公共點(diǎn),則雙曲線G的離心率的取值范圍是()
A.(1,百]B.[V3,+oo)C.(1,不]D.[6,+℃)
12.將函數(shù)/(%)=6sin2”cos2%向左平移弓個(gè)單位,得到g(x)的圖象,則g(x)滿足()
A.圖象關(guān)于點(diǎn)(宏,。]對(duì)稱,在區(qū)間(0,()上為增函數(shù)
B.函數(shù)最大值為2,圖象關(guān)于點(diǎn)[三,()[對(duì)稱
7T7171
C.圖象關(guān)于直線x=w對(duì)稱,在—上的最小值為1
6|_125_
D.最小正周期為乃,g(x)=l在04有兩個(gè)根
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.曲線y=ev(x2+2)在點(diǎn)(0,2)處的切線方程為.
14.數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和為S“,數(shù)列出}的前〃項(xiàng)和為北,滿足q=2,3s“=(〃+機(jī))a.(〃wN*,機(jī)wR),且
。的,="+1.若任意〃€4,444“一7;成立,則實(shí)數(shù)2的取值范圍為.
15.如圖,棱長(zhǎng)為2的正方體ABC?!狝BCR中,點(diǎn)M,N,E分別為棱的中點(diǎn),以A為圓心,1為半
徑,分別在面和面A8QD內(nèi)作弧MN和NE,并將兩弧各五等分,分點(diǎn)依次為MR、丹、〃、A、N
以及N、&、。3、。4、E.一只螞蟻欲從點(diǎn)6出發(fā),沿正方體的表面爬行至。4,則其爬行的最短距離為
.參考數(shù)據(jù):cos9°=0.9877;cos18°=0.9511;cos27°=0.8910)
16.在AABC中,點(diǎn)。在邊AB上,且£認(rèn)=28方,設(shè)=CB=h>則而=(用5,5表示)
三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17.(12分)如圖,已知四棱錐尸一43C。的底面是等腰梯形,AD//BC,AD=2,BC=4,ZABC=60°,/\PAD
為等邊三角形,且點(diǎn)尸在底面A3CD上的射影為AO的中點(diǎn)G,點(diǎn)E在線段上,且CE:所=1:3.
(1)求證:£>£_!_平面PAD.
(2)求二面角A-PC-。的余弦值.
x=2costzl\=x
18.(12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為.(a為參數(shù),將曲線C經(jīng)過(guò)伸縮變換「
y=sina[y,=2y
后得到曲線G?在以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線/的極坐標(biāo)方程為pcose+psin。-5=0.
(i)說(shuō)明曲線G是哪一種曲線,并將曲線G的方程化為極坐標(biāo)方程;
1T
(2)已知點(diǎn)M是曲線G上的任意一點(diǎn),又直線/上有兩點(diǎn)E和P,且|£/|=5,又點(diǎn)E的極角為萬(wàn),點(diǎn)P的極角
為銳角.求:
①點(diǎn)F的極角;
②AEMF面積的取值范圍.
19.(12分)如圖,。是在AABC邊AC上的一點(diǎn),ABCD面積是△480面積的2倍,NCBD=2NABD=28.
(I)若,=7,求吧4的值;
6sinC
(II)若BC=4,AB=2y/2?求邊AC的長(zhǎng).
20.(12分)如圖所示,三棱柱ABC-4用G中,,平面ABC,點(diǎn)D,E分別在線段AA1,CG上,且AO=;441,
DE!/AC,尸是線段AB的中點(diǎn).
(I)求證:EF〃平面B?D;
(II)若AB=AC,=3AB,求直線BC與平面qOE所成角的正弦值.
22
21.(12分)橢圓E:=+當(dāng)=1(。>。>1)的左、右焦點(diǎn)分別為大,工,橢圓E上兩動(dòng)點(diǎn)P,。使得四邊形P£QE為
ah~
平行四邊形,且平行四邊形PF.QF,的周長(zhǎng)和最大面積分別為8和2g.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線「人與橢圓E的另一交點(diǎn)為當(dāng)點(diǎn)£在以線段為直徑的圓上時(shí),求直線2月的方程.
22.(10分)等差數(shù)列{為}的前〃項(xiàng)和為S“,已知%+%=18,56=36.
(I)求數(shù)列{《,}的通項(xiàng)公式及前"項(xiàng)和為S”;
1
(H)設(shè)7;為數(shù)列〈的前〃項(xiàng)的和,求證:T”<1.
£+〃.
參考答案
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.C
【解析】
分兩類進(jìn)行討論:物理和歷史只選一門;物理和歷史都選,分別求出兩種情況對(duì)應(yīng)的組合數(shù),即可求出結(jié)果.
【詳解】
若一名學(xué)生只選物理和歷史中的一門,則有=12種組合;
若一名學(xué)生物理和歷史都選,則有C:=4種組合;
因此共有12+4=16種組合.
故選C
【點(diǎn)睛】
本題主要考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理,熟記其計(jì)數(shù)原理的概念,即可求出結(jié)果,屬于??碱}型.
2.B
【解析】
根據(jù)題意可得:tana=-2,所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn),再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后,
將tana=-2代入計(jì)算即可求出值.
【詳解】
由于直線y=-2x的傾斜角為a,所以tana=-2,
.c.2sinacosa2tana-2x24
貝|]sin2a=2sinacosa=——;-------;—=;-----=----;~-=——
sin-a+cos-atarTa+1(-2)+15
故答案選B
【點(diǎn)睛】
本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,以及直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系,熟練掌握公式是
解本題的關(guān)鍵.
3.B
【解析】
x+4
由已知可得函數(shù)/(X)的周期與對(duì)稱軸,函數(shù)尸(X)=/(x)+-----在區(qū)間[-9,10]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)/(X)
1-2%
x+4
與g(x)=一工^圖象在[-9,10]上交點(diǎn)的個(gè)數(shù),作出函數(shù)7■(*)與g(x)的圖象如圖,數(shù)形結(jié)合即可得到答案.
1-2%
【詳解】
Y+4v-U4
函數(shù)尸G)=/(x)+--在區(qū)間[-9,10]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)/(£)與g(x)=---圖象在[-9,10]上交
l-2xl-2x
點(diǎn)的個(gè)數(shù),
由/(x)=f(2-x),得函數(shù)/(x)圖象關(guān)于x=l對(duì)稱,
V/(x)為偶函數(shù),取x=x+2,可得/(x+2)=/(-x)=/(x),得函數(shù)周期為2.
又:當(dāng)xC[0,1]時(shí),/(x)=x,且/(x)為偶函數(shù),.,.當(dāng)xG[-1,0]時(shí),f(x)=-x,
/、x+4x+419
g(x)=------=-----=—H-------,
1-2%2%-124x-2
作出函數(shù)/(x)與g(x)的圖象如圖:
由圖可知,兩函數(shù)圖象共10個(gè)交點(diǎn),
+4
即函數(shù)尸(x)=f(X)+丁丁在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為10.
1-2%
故選:B.
【點(diǎn)睛】
本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,屬于中檔題.
4.D
【解析】
.JI'JI
由丁=一可判斷選項(xiàng)A;當(dāng)了=:時(shí),2x+-=—可判斷選項(xiàng)B:利用整體換元法可判斷選項(xiàng)C;
0)1232
y=sin2[x+]J=cos[2x-gj#/(x)可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】
由題知/(xNcos^x+g],最小正周期7=§=兀,所以A正確;當(dāng)》=看時(shí),
ITTT一無(wú)
2x+-=-,所以B正確;當(dāng)xe2.XH--G,所以C正確;由.丫=$皿21
323
的圖象向左平移4個(gè)單位,得>=5也2x+2=sin2x+==sin2彳+£-三
12v12)\6)\23
cos(2龍-1卜/'(X),所以D錯(cuò)誤.
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題考查余弦型函數(shù)的性質(zhì),涉及到周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性以及圖象變換后的解析式等知識(shí),是一道中檔題.
5.D
【解析】
作出四個(gè)函數(shù)的圖象及給出的四個(gè)點(diǎn),觀察這四個(gè)點(diǎn)在靠近哪個(gè)曲線.
【詳解】
如圖,作出A,B,c,D中四個(gè)函數(shù)圖象,同時(shí)描出題中的四個(gè)點(diǎn),它們?cè)谇€y=log3%的兩側(cè),與其他三個(gè)曲線
都離得很遠(yuǎn),因此D是正確選項(xiàng),
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題考查回歸分析,擬合曲線包含或靠近樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)越多,說(shuō)明擬合效果好.
6.C
【解析】
兩復(fù)數(shù)相等,實(shí)部與虛部對(duì)應(yīng)相等.
【詳解】
由3+ai=b—(2a—l)i,
(3=。
得a=l-2a即“=-,b=l?
3
.,.b=9a.
故選:C.
【點(diǎn)睛】
本題考查復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.
7.D
【解析】
由圓C:(x—cy+y2=4與/相切可知,圓心C(c,O)至”的距離為2,即。=2.又&卅2=2£^=仍=26,由
此求出。的值,利用離心率公式,求出e.
【詳解】
由題意得b=2,SSAF<F2=ab=273,
“3.后考
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),直線與圓相切的性質(zhì),離心率的求法,屬于中檔題.
8.D
【解析】
再利用OP=AOM+〃麗,求出點(diǎn)P(丸+一〃)],
根據(jù)已知得本題首先求出直線與雙曲線漸近線的交點(diǎn),
c6
因?yàn)辄c(diǎn)尸在雙曲線上,及6=一,代入整理及得4/切=1,又已知力=一,即可求出離心率.
a25
【詳解】
由題意可知N[C,be
,代入麗=九麗+〃兩得:/JH2+XZ)C,(2-/Z)^L
2
代入雙曲線方程0*2y=1整理得:4e?辦=1,又因?yàn)榧纯傻玫?=基
a2512
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查的是雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和向量的坐標(biāo)運(yùn)算,離心率問題關(guān)鍵尋求關(guān)于。,b,c的方程或不等式,
由此計(jì)算雙曲線的離心率或范圍,屬于中檔題.
9.A
【解析】
根據(jù)題意可得AC_L8C,即知C在以4〃為直徑的圓上.
【詳解】
?/PB±a,ACua>
:.PB±AC,
又PC_LAC,PBcPC=P,
:.AC1平面PBC,又BCu平面PBC
:.AC1BC,
故C在以AB為直徑的圓上,
又。是a內(nèi)異于A8的動(dòng)點(diǎn),
所以C的軌跡是圓,但要去掉兩個(gè)點(diǎn)A,B
故選:A
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了線面垂直、線線垂直的判定,圓的性質(zhì),軌跡問題,屬于中檔題.
10.A
【解析】
0<2x<2
試題分析:由題意,得{。,解得OWxWl,故選A.
8-2v>0
考點(diǎn):函數(shù)的定義域.
11.C
【解析】
先求得的漸近線方程,根據(jù)G,02沒有公共點(diǎn),判斷出G漸近線斜率的取值范圍,由此求得G離心率的取值范圍.
【詳解】
2222
雙曲線。2:亍--=1的漸近線方程為尸±2了,由于雙曲線G:三-齊=1與雙曲線。2匕--=1沒有公共點(diǎn),
b
所以雙曲線G的漸近線的斜率巳<2,所以雙曲線G的離心率
a
故選:c
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查雙曲線的漸近線,考查雙曲線離心率的取值范圍的求法,屬于基礎(chǔ)題.
12.C
【解析】
由輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式,結(jié)合三角函數(shù)圖象平移變換即可求得g(x)的解析式,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即
可判斷各選項(xiàng).
【詳解】
函數(shù)/(x)=Gsin2x-cos2x,
貝!|/(x)=2sin[2x—Vj,
將/(x)=2sin2x-菅向左平移己個(gè)單位,
6
K兀2sin(2x+。
可得g(x)=2sin2X+—
66
由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,g(x)的對(duì)稱中心滿足2x+^=0#eZ,解得尤=-C+紅/eZ,所以A、B選項(xiàng)中
6122
的對(duì)稱中心錯(cuò)誤
對(duì)于C,g(x)的對(duì)稱軸滿足2x+9=巳+2版■,0Z,解得x=2+版"MwZ,所以圖象關(guān)于直線x=g對(duì)稱;當(dāng)
6266
兀715萬(wàn)jr\jrrr
X€—時(shí),2x+—e—y―,由正弦函數(shù)性質(zhì)可知2sin2x+"1,2],所以在-上的最小值為1,
12363,66o6)12J
所以C正確;
--1/X
2萬(wàn)業(yè)八萬(wàn)717jr1j7r127萬(wàn)r71
對(duì)于D,最小正周期為一=乃,當(dāng)0,—,2x+—e—,由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知,2sin2x+—=1
246|_63」<6J
時(shí)僅有一個(gè)解為x=0,所以D錯(cuò)誤;
綜上可知,正確的為C,
故選:C.
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角函數(shù)式的化簡(jiǎn),三角函數(shù)圖象平移變換,正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.y=2x+2
【解析】
對(duì)函數(shù)求導(dǎo),得出在(0,2)處的一階導(dǎo)數(shù)值,即得出所求切線的斜率,再運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式求出切線的方程.
【詳解】
a〃x)=e,(x2+2),:r(x)=eX(x2+2x+2),所以((0)=2,又?.?_/■(())=2,二所求切線方程為y—2=2x,即
y-2x+2.
故答案為:y—2x+2.
【點(diǎn)睛】
本題考查運(yùn)用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在切點(diǎn)處的切線方程,關(guān)鍵在于求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值就是切線的斜率,屬于基
礎(chǔ)題.
14.2<-
2
【解析】
a?〃+1
當(dāng)〃..2時(shí),a〃=S「Se,可得到j(luò)=—T,再用累乘法求出再求出",根據(jù)定義求出,,再借助單調(diào)性求
a,i"T
解.
【詳解】
解:當(dāng)n=1時(shí),3S,=(l+m)a,=3?,,則加=2,3s“=(〃+2)。“,
當(dāng)〃..2時(shí),3S“_]=5+1)%,
...34=(〃+2)/-5+1)%,
an_〃+1
a,i〃T
a.345nn+1
---n=2x-x-x-...-----?----=〃(〃+1),
123n—2n—\
.〃+lI
:也=——an=-n
■■-T2n-T?=-L+_L-+...+J-..1(當(dāng)且僅當(dāng)〃=1時(shí)等號(hào)成立),
〃+1〃+22n2
故答案為:(一?
【點(diǎn)睛】
本題主要考查已知s“求得,累乘法,主要考查計(jì)算能力,屬于中檔題.
15.1.7820
【解析】
根據(jù)空間位置關(guān)系,將平面旋轉(zhuǎn)后使得各點(diǎn)在同一平面內(nèi),結(jié)合角的關(guān)系即可求得兩點(diǎn)間距離的三角函數(shù)表達(dá)式.根據(jù)
所給參考數(shù)據(jù)即可得解.
【詳解】
棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-AMGA中,點(diǎn)分別為棱AA,A3,A。的中點(diǎn),以A為圓心,1為半徑,分別在
面ABB}4和面ABCD內(nèi)作弧和NE.
將平面ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)至與平面AB44共面的位置,如下圖所示:
1QA°
則N6AQ=^-x8=144。,所以怩@=2sin72°;
將平面ABC。繞A£)旋轉(zhuǎn)至與平面A。。A共面的位置,將繞AA旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置,如下
圖所示:
則N6A24=—X2+9O=126°>所以圖a=2sin63。;
因?yàn)閟in63'<sin72?且由誘導(dǎo)公式可得sin63。=cos27r
所以最短距離為出=2sin63°=2x0.8910=1.7820,
故答案為:1.7820.
【點(diǎn)睛】
本題考查了空間幾何體中最短距離的求法,注意將空間幾何體展開至同一平面內(nèi)求解的方法,三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)
用,綜合性強(qiáng),屬于難題.
1-2
16.—a+—br
33
【解析】
結(jié)合圖形及向量的線性運(yùn)算將加轉(zhuǎn)化為用向量CA,CB表示,即可得到結(jié)果.
【詳解】
在\CAD中麗=5+而,因?yàn)?2BD,
—-—?2—?
所以CO=CA+-AB,又因?yàn)檐?礪一函,
所以前=c4+-麗=8+—(至一逐)=±瓦+=-M+-B.
333333
]_2-
故答案為:—a+—h
33
【點(diǎn)睛】
本題主要考查三角形中向量的線性運(yùn)算,關(guān)鍵是利用已知向量為基底,將未知向量通過(guò)幾何條件向基底轉(zhuǎn)化.
三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17.(1)證明見解析(2)返
13
【解析】
(1)由等腰梯形的性質(zhì)可證得4),由射影可得PG_L平面ABC。,進(jìn)而求證;
(2)取的中點(diǎn)居連接GF,以G為原點(diǎn),G4所在直線為x軸,G產(chǎn)所在直線為j軸,GP所在直線為z軸,建立空間直
角坐標(biāo)系,分別求得平面APC與平面DPC的法向量,再利用數(shù)量積求解即可.
【詳解】
(1)在等腰梯形ABC。中,
???點(diǎn)E在線段上,且CE:£8=1:3,
,點(diǎn)E為8c上靠近C點(diǎn)的四等分點(diǎn),
;AD=2,BC=4,CE=1,
???DE1AD,
???點(diǎn)P在底面A3CD上的射影為的中點(diǎn)G連接PG,
.?.PGL平面ABCD,
;DEu平面ABCD,:.PG1DE.
又ADcPG=G,ADu平面PAD,PGu平面PAD,
..Z)E_L平面PAO.
(2)取8C的中點(diǎn)F,連接GF,以G為原點(diǎn),G4所在直線為x軸,G戶所在直線為y軸,GP所在直線為z軸,建立空間直
角坐標(biāo)系,如圖所示,
由(1)易知,DE工CB,CE=1,
又ZABC=ZDCB=60P,.-.DE=GF=6
\AD=2,△B4£>為等邊三角形,PG=6
則G(0,0,0),A(l,0,0),£>(-1,0,0),P(0,0,回C(-2,6,()),
uuiulmr~LlutJ1r------?r~
..AC=(-3,6,0),AP=(-1,0,V3),oc=(-1,6,0),OP=(L0,43),
設(shè)平面APC的法向量為沅=(王,)1,Z1),
7
in-AC=0-3%1+>/3j]=0
即《
m-AP=0-%+>/3Z]——0
令h=G,則弘=3,Z]=l,:.m=(5/3,3,1),
設(shè)平面DPC的法向量為/?=(x2,y2,z2),
n,DC-0—X-,+%=0
則<_八,即<-r,
n-DP^O+5/3z2=0
令=g,則%=1/2=7=(G,1,-1),
設(shè)平面APC與平面DPC的夾角為,,則
8,”修沖」3+37_病
|/n|-|n|VT3X>/513
二二面角A-PC—。的余弦值為叵.
13
【點(diǎn)睛】
本題考查線面垂直的證明,考查空間向量法求二面角,考查運(yùn)算能力與空間想象能力.
18.(1)曲線G為圓心在原點(diǎn),半徑為2的圓.C1的極坐標(biāo)方程為2=2(2)①三②一1一-5,-^-+5
844
【解析】
(1)求得曲線c伸縮變換后所得G的參數(shù)方程,消參后求得G的普通方程,判斷出G對(duì)應(yīng)的曲線,并將C的普通
方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.
(2)
①將E的極角代入直線/的極坐標(biāo)方程,由此求得點(diǎn)E的極徑,判斷出為等腰三角形,求得直線/的普通方程,
7TSTT
由此求得/FEO=—,進(jìn)而求得NR?E=—,從而求得點(diǎn)尸的極角.
48
②解法一:利用曲線C,的參數(shù)方程,求得曲線G上的點(diǎn)M到直線1的距離d的表達(dá)式,結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí)求得d的
最小值和最大值,由此求得面積的取值范圍.
解法二:根據(jù)曲線G表示的曲線,利用圓的幾何性質(zhì)求得圓G上的點(diǎn)到直線/的距離的最大值和最小值,進(jìn)而求得
面積的取值范圍.
【詳解】
(1)因?yàn)榍€C的參數(shù)方程為{.(a為參數(shù)),
y=sin。
%,=x,fx,=2cosa,
因?yàn)閏則曲線G的參數(shù)方程c.
J=2y[yt=2sin?
所以G的普通方程為x;+>;=4.所以曲線G為圓心在原點(diǎn),半徑為2的圓.
所以G的極坐標(biāo)方程為夕2=4,即0=2.
(2)①點(diǎn)E的極角為2,代入直線/的極坐標(biāo)方程。cose+psin。-5=0得點(diǎn)£
2
極徑為2=5,且|£/|=5,所以AEOb為等腰三角形,
又直線/的普通方程為x+y-5=0,
7T577
又點(diǎn)F的極角為銳角,所以二,所以“。八不,
所以點(diǎn)尸的極角為彳TT——37r=豆7t.
288
②解法1:直線/的普通方程為I+〉-5=0.
曲線G上的點(diǎn)M到直線/的距離
25/2sina+工-5
12cosa+2sina-5|14J
d=----6----=----6----
當(dāng)sin[a+7j=l,即a=2Z?+?(kcZ)時(shí),
JWrtZ:"亙IiLI2V2—5I55/2
d取到最小值為----產(chǎn)~-=---------2
722
37r
當(dāng)sin[a+引=-1,即a=2)br——(ZcZ)時(shí),
4
IWrrXilI-2\/2—5|5V2
d取到最大值為--三=~'=1一+2.
V22
解法2:直線/的普通方程為x+y—5=0.
因?yàn)閳AG的半徑為2,且圓心到直線I的距離d==還
V22
因?yàn)檫€〉2,所以圓G與直線/相離.
2
所以圓G上的點(diǎn)M到直線I的距離最大值為a+r=迪+2,
2
最小值為“一廠=還一2.
2
【點(diǎn)睛】
本小題考查坐標(biāo)變換,極徑與極角;直線,圓的極坐標(biāo)方程,圓的參數(shù)方程,直線的極坐標(biāo)方程與普通方程,點(diǎn)到直
線的距離等.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,包括運(yùn)算原理的理解與應(yīng)用、運(yùn)算方法的選擇與優(yōu)化、運(yùn)算結(jié)果的檢驗(yàn)與改進(jìn)等.也兼
考了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng).
以⑴黑岑―=2西
【解析】
(I)利用三角形面積公式以及SABS=2SMB。并結(jié)合正弦定理:絲=孚7,可得結(jié)果.
sinCsinA
(n)根據(jù)SABCD=2SMBO,可得。,然后使用余弦定理AC2=AB2+BC2—24s.i6csinNABC,可得結(jié)果.
【詳解】
TT
(I)ZCBD=2ZABD=-所以
39
17t17t
-BCBDsin-^2x-ABBDsm-
2326
g、dC2sinA2273
所以——=7=>----=,=----
AB>/3sinC63
(II)-BC-BDsin20=2x^-AB-BDsinO,
22
所以4x2sincos。=2x20sin3=>cos0=>
2
n37r
所以。=一,AABC=3O=—
449
所以AC?=16+8-2x4x2血=40,
所以邊AC=2j而.
【點(diǎn)睛】
本題考查三角形面積公式,正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用,關(guān)鍵在于識(shí)記公式,屬中檔題.
20.(I)證明見詳解;(II)典.
5
【解析】
(I)取耳。中點(diǎn)為G,根據(jù)幾何關(guān)系,求證四邊形尸GGE為平行四邊形,即可由線線平行推證線面平行;
(II)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,求得直線的方向向量和平面的法向量,即可求得線面角的正弦值.
【詳解】
(I)取用。的中點(diǎn)G,連接GG,FG.如下圖所示:
因?yàn)槭?,G分別是線段A3和4。的中點(diǎn),
所以FG是梯形AO旦8的中位線,所以FG//AD.
又ADHCC、,所以FG〃Cq.
因?yàn)锳0〃CG,DEIIAC,
所以四邊形ADE■。為平行四邊形,所以AD=CE.
所以GE=gcG,F(xiàn)G==|CC,=C,£.
所以四邊形尸GGE為平行四邊形,所以EF//C。.
又EE?平面4G。,。0匚平面用弓。,
所以EF〃平面BC。.
(U)因?yàn)锳5J_AC,且A4_L平面AB。,
故可以A為原點(diǎn),AB的方向?yàn)閤軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
如下圖所示:
不妨設(shè)AB=AC=1,則44,=3,
所以C(O,O,1),5(1,0,0),4(130),0(0,1,0),£(0,1,1).
所以冊(cè)=(-1,0,1),瓦萬(wàn)=(-1,-2,0),詼=(0,0,1).
設(shè)平面B}DE的法向量為n=(x,y,z),
x+2y=0,
則L八所以
n-DE=Qz=0.
可取”=(2,—1,0).
設(shè)直線與平面BQE所成的角為6,
則sm”阜印=巫
V5x5/25
故可得直線BC與平
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