專題3.32 勾股定理（挑戰(zhàn)綜合壓軸題分類專題）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

專題3.32勾股定理（挑戰(zhàn)綜合壓軸題分類專題）【綜合類】【綜合考點(diǎn)1】勾股定理???探究勾股數(shù)1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期中）像15，8，17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出，如果m表示大于1的整數(shù)，，那么a，b，c為勾股數(shù)．你認(rèn)為對(duì)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）（1）3k，4k，5k（k是正整數(shù)）是一組勾股數(shù)嗎？如果是，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）如果a，b，c是一組勾股數(shù)，那么ak，bk，ck（k是正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)嗎？如果是，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【綜合考點(diǎn)2】勾股定理???勾股定理的證明3．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考二模）（1）如圖①是一個(gè)重要公式的幾何解釋．請(qǐng)你寫出這個(gè)公式；（2）如圖②，，且B、C、D三點(diǎn)在一條直線上．試證明；（3）伽菲爾德（Garfield，1881年任美國(guó)第20屆總統(tǒng)）利用（1）中的公式和圖②證明了勾股定理（1876年4月1日，發(fā)表在《新英格蘭教育日志》上），現(xiàn)請(qǐng)你嘗試該證明過(guò)程．4．（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖是“弦圖”的示意圖，“弦圖”最早是由三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，它標(biāo)志著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就．它由4個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形組成，恰好拼成一個(gè)大正方形，每個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c．請(qǐng)你運(yùn)用此圖形證明勾股定理：a2+b2＝c2．【綜合考點(diǎn)3】勾股定理???三角形全等??求線段長(zhǎng)5．（2022·山東泰安·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，C，D依次在同一直線上，且AB∥DE．（1）求證：△ABC≌△DCE；（2）連結(jié)AE，當(dāng)BC＝5，AC＝12時(shí)，求AE的長(zhǎng)．6．（2022·山東淄博·模擬預(yù)測(cè)）如圖，，，．(1)求證：≌．(2)若，，，求的長(zhǎng)．【綜合考點(diǎn)4】勾股定理???三角形全等??求面積7．（2023·湖南長(zhǎng)沙·?？既＃┤鐖D，已知平分，且．(1)求；(2)若，求的面積．8．（2016·福建漳州·統(tǒng)考一模）對(duì)某一種四邊形給出如下定義：有一組對(duì)角相等而另一組對(duì)角不相等的凸四邊形叫做“等對(duì)角四邊形”．（1）已知：如圖1，四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．則∠C=度，∠D=度．（2）在探究“等對(duì)角四邊形”性質(zhì)時(shí)：①小紅畫了一個(gè)“等對(duì)角四邊形ABCD”（如圖2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此時(shí)她發(fā)現(xiàn)CB=CD成立．請(qǐng)你證明此結(jié)論；②在①的條件下，若∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=4，∠BCD=60°，求等對(duì)角四邊形ABCD的面積．【綜合考點(diǎn)5】勾股定理???探究線段關(guān)系??三角形全等9．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，和都是等腰直角三角形，，，的頂點(diǎn)在的斜邊上．(1)判斷與間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)直接寫出線段、、間滿足的數(shù)量關(guān)系．10．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知：如圖，中，，，點(diǎn)D在邊上，點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為E，射線交直線于點(diǎn)F，連接．(1)設(shè)，用含的代數(shù)式表示的大小，并求的度數(shù)；(2)用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【綜合考點(diǎn)6】勾股定理???折疊問(wèn)題11．（2018·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE與AD交于點(diǎn)F．（1）求證：△ABF≌△EDF；（2）若AB=6，BC=8，求AF的長(zhǎng).12．（2023·廣東東莞·?？级＃┤鐖D，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊，，現(xiàn)將直角邊沿直線折疊，使點(diǎn)C落在斜邊上的點(diǎn)E處，試求的長(zhǎng)．【綜合考點(diǎn)7】勾股定理???方程思想13．（2022·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在超級(jí)瑪麗的游戲中，瑪麗到達(dá)一個(gè)高為10米的高臺(tái)AC，利用旗桿頂部的繩索，蕩過(guò)90°到達(dá)與高臺(tái)AC水平距離為17米（即，米），高為3米的矮臺(tái)BD的頂端B．(1)求旗桿的高度OM；(2)求瑪麗在蕩繩索過(guò)程中離地面的最低點(diǎn)的高度MN．14．（2017·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，一扇窗戶用支架B-C-D固定，當(dāng)窗戶打開(kāi)時(shí)，B、C、D三點(diǎn)在同一直線上，且，當(dāng)窗戶關(guān)上時(shí)A、D、B、C依次落在同一直線上，現(xiàn)測(cè)得AB=16cm，AD=12cm．(1)求BC的長(zhǎng)；(2)經(jīng)測(cè)算，當(dāng)∠BAD=120°時(shí)窗戶透光效果最好，為達(dá)到最佳效果，AD應(yīng)調(diào)整為多少厘米？【綜合考點(diǎn)8】勾股定理???分類討論思想15．（2022·四川達(dá)州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB以每秒2個(gè)單位的速度向B運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB交BC所在的直線于點(diǎn)F，連結(jié)AF，CD．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）BC的長(zhǎng)為；（2）當(dāng)t＝2時(shí)，求△ADC的面積．（3）當(dāng)△ABF是等腰三角形時(shí)，求t的值．16．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，∠B＝90°，AD＝2cm，AB＝3cm，BC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿A→B→C勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)線段DP掃過(guò)四邊形ABCD所形成的陰影面積為S（cm2），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（0≤t≤9），請(qǐng)解答以下問(wèn)題：（1）邊DC的長(zhǎng)為cm；（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求出陰影面積S（cm2）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）之間的關(guān)系式；（3）是否存在某一時(shí)刻t，使線段DP把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分？如果存在，請(qǐng)求出t的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）是否存在某一時(shí)刻t，使DPC恰好是直角三角形？如果存在，請(qǐng)直接寫出t的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【挑戰(zhàn)類】【綜合考點(diǎn)1】勾股定理???探究勾股數(shù)17．（2023·河北·一模）已知：整式，，，整式．(1)當(dāng)時(shí)，寫出整式的值______（用科學(xué)記數(shù)法表示結(jié)果）；(2)求整式；(3)嘉淇發(fā)現(xiàn)：當(dāng)取正整數(shù)時(shí)，整式、、滿足一組勾股數(shù)，你認(rèn)為嘉淇的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．18．（2018·福建漳州·統(tǒng)考一模）閱讀：所謂勾股數(shù)就是滿足方程x2+y2=z2的正整數(shù)解，即滿足勾股定理的三個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的一組數(shù)．我國(guó)古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》一書，在世界上第一次給出該方程的解為：，y=mn，，其中m>n>0，m、n是互質(zhì)的奇數(shù)．應(yīng)用：當(dāng)n=5時(shí)，求一邊長(zhǎng)為12的直角三角形另兩邊的長(zhǎng)．【綜合考點(diǎn)2】勾股定理???勾股定理的證明19．（2022秋·廣東佛山·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）一個(gè)直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種新的證明方法：如圖1，火柴盒的一個(gè)側(cè)面ABCD（是一個(gè)長(zhǎng)方形）倒下到AEFG的位置，連接CF，此時(shí)，∠FAC＝90°，設(shè)AB＝a，BC＝b，AC＝c．請(qǐng)利用直角梯形BCFG的面積證明勾股定理：a2+b2＝c2．20．（2018秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)校聯(lián)考期中）把一個(gè)直立的火柴盒放倒（如圖），請(qǐng)你用不同的方法計(jì)算梯形ACED的面積，再次驗(yàn)證勾股定理？（設(shè)火柴盒截面寬為a，長(zhǎng)為b，對(duì)角線為c）【綜合考點(diǎn)3】勾股定理???三角形全等??求線段長(zhǎng)??證明21．（2023·湖南婁底·?？家荒＃┮阎涸凇鰽BC中，CA=CB，∠ACB=90o，D為△ABC外一點(diǎn)，且滿足∠ADB=90°．（1）如圖1，若，AD=1，求DB的長(zhǎng)．（2）如圖1，求證：．（3）如圖2所示，過(guò)C作CE⊥AD于E，BD=2，AD=6，求CE的長(zhǎng)．22．（2017·河北·模擬預(yù)測(cè)）問(wèn)題情景：一節(jié)數(shù)學(xué)課后，老師布置了一道練習(xí)題：如圖1，已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠ABC＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD和BC上，∠1＝∠2，F(xiàn)G⊥AB于點(diǎn)G，求證：△CDE≌△EGF（1）閱讀理解，完成解答：本題證明的思路可以用下列框圖表示：根據(jù)上述思路，請(qǐng)你完整地寫出這道練習(xí)題的證明過(guò)程；（2）特殊位置，證明結(jié)論：如圖2，若CE平分∠ACD，其余條件不變，判斷AE和BF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）知識(shí)遷移．探究發(fā)現(xiàn)：如圖3，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若點(diǎn)E是DB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在直線CB上，且EC＝EF，請(qǐng)直接寫出BF與AE的數(shù)量關(guān)系．（不必寫解答過(guò)程）【綜合考點(diǎn)4】勾股定理???探究猜想與證明23．（2018·吉林長(zhǎng)春·校聯(lián)考一模）在中，，，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），以為直角邊在右側(cè)作等腰三角形，使，連接．探究：如圖①，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，證明．應(yīng)用：在探究的條件下，若，,則的周長(zhǎng)為．拓展：（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，E之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖③，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，之間的數(shù)量關(guān)系為．

24．（2023·福建·模擬預(yù)測(cè)）【知識(shí)感知】我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．(1)【概念理解】如圖2，在四邊形中，，問(wèn)四邊形是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)【性質(zhì)探究】如圖1，試探索垂美四邊形兩組對(duì)邊與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．(3)【性質(zhì)應(yīng)用】如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接已知，求長(zhǎng)．【綜合考點(diǎn)5】勾股定理???問(wèn)題情景與拓展延伸25．（2019·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中?？家荒＃問(wèn)題提出]如圖①，在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC邊上的中線AD的取值范圍．[問(wèn)題解決]解決此問(wèn)題可以用如下方法，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE＝AD，再連結(jié)BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針裝轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷，由此得出中線AD的取值范圍是[應(yīng)用]如圖②，如圖，在△ABC中，D為邊BC的中點(diǎn)，已知AB＝5，AC＝3，AD＝2．求BC的長(zhǎng)[拓展]如圖③，在△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AB上，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE交邊AC于點(diǎn)F，連結(jié)EF，已知BE＝4，CF＝5，則EF的長(zhǎng)為26．（2023·江西·模擬預(yù)測(cè)）【問(wèn)題情境】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖①，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到，依據(jù)是________．A．；B．；C．；D．由“三角形的三邊關(guān)系”可求得的取值范圍是________．【初步運(yùn)用】（2）如圖②，是的中線，交于，交于，且．若，，求線段的長(zhǎng)．【靈活運(yùn)用】（3）如圖③，在中，，為中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．試猜想線段．．三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【綜合考點(diǎn)6】勾股定理???動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題???分類討論與探究問(wèn)題27．（2016·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知：△ABC是等腰三角形，動(dòng)點(diǎn)P在斜邊AB所在的直線上，以PC為直角邊作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解決下列問(wèn)題：（1）如圖①，若點(diǎn)P在線段AB上，且AC=1+，PA=，則：①線段PB=，PC=；②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖②，若點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，在（1）中所猜想的結(jié)論仍然成立，請(qǐng)你利用圖②給出證明過(guò)程；（3）若動(dòng)點(diǎn)P滿足，求的值．（提示：請(qǐng)利用備用圖進(jìn)行探求）28．（2020·遼寧本溪·統(tǒng)考一模）如圖在中，，，直線，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接交直線于點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，線段和線段的數(shù)量關(guān)系是______；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，（1）問(wèn)中的關(guān)系是否成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)寫出你的結(jié)論并說(shuō)明理由；（3）連接，若，請(qǐng)直接寫出面積大?。畢⒖即鸢?．a(chǎn)，b，c為勾股數(shù)；理由見(jiàn)分析．【分析】根據(jù)完全平方公式求出，根據(jù)a，b，c是三個(gè)正整數(shù)可知a，b，c為勾股數(shù)．解：a，b，c為勾股數(shù)，理由：∵，又∵，∴，∵m表示大于1的整數(shù)，∴a，b，c是三個(gè)正整數(shù)，∴a，b，c為勾股數(shù)．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股數(shù)，完全平方公式，熟練掌握勾股數(shù)的定義及整式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．2．（1）3k，4k，5k（k是正整數(shù)）是一組勾股數(shù)，理由見(jiàn)解答；（2）ak，bk，ck（k是正整數(shù)）是一組勾股數(shù)，理由見(jiàn)解答．【分析】（1）根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，即可判斷3k，4k，5k（k是正整數(shù)）是不是一組勾股數(shù)；（2）根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，即可判斷ak，bk，ck（k是正整數(shù)）是不是一組勾股數(shù)．解：證明：（1）3k，4k，5k（k是正整數(shù)）是一組勾股數(shù)，理由如下：∵k是正整數(shù)，∴3k，4k，5k都是正整數(shù)，∵（3k）2+（4k）2=（5k）2，∴3k，4k，5k（k是正整數(shù)）是一組勾股數(shù)；（2）ak，bk，ck（k是正整數(shù)）是一組勾股數(shù)，理由如下：∵a，b，c是一組勾股數(shù)，且k是正整數(shù)，∴ak，bk，ck是三個(gè)正整數(shù)，假設(shè)c最大，則a2+b2=c2，∴（ak）2+（bk）2=a2k2+b2k2=（a2+b2）k2=c2k2=（ck）2，∴ak，bk，ck（k是正整數(shù)）是一組勾股數(shù)．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股數(shù)的定義，欲判斷是否為勾股數(shù)，必須滿足是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方．3．（1）；（2）見(jiàn)分析；（3）見(jiàn)分析【分析】（1）用兩種方式表示大正方形的面積，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得到結(jié)論；（3）用兩種方式表示梯形的面積，即可得到結(jié)論．（1）解：由題意得：大正方形面積=，大正方形面積=．∴（2）證明：，，由于B、C、D在一條直線上，∴；（3）證明：梯形的面積=．另一方面，梯形可分成三個(gè)直角三角形，其面積=．∴，即．【點(diǎn)撥】本題主要考查勾股定理的推理，全等三角形的性質(zhì)以及完全平方公式，根據(jù)圖形的特征用兩種方式變式同一個(gè)圖形的面積是關(guān)鍵．4．見(jiàn)分析【分析】根據(jù)大正方形的面積=小正方形的面積+4個(gè)直角三角形的面積證明即可解：由題意得大正方形面積，小正方形面積，4個(gè)小直角三角形的面積，∵大正方形的面積=小正方形的面積+4個(gè)直角三角形的面積，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意知曉大正方形的面積=小正方形的面積+4個(gè)直角三角形的面積．5．（1）見(jiàn)分析；（2）13【分析】根據(jù)題意可知，本題考查平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和勾股定理，根據(jù)判定定理，運(yùn)用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等再通過(guò)AAS以及勾股定理進(jìn)行求解．解：（1）∵∴在△ABC和△DCE中∴△ABC≌△DCE（2）由（1）可得BC=CE=5在直角三角形ACE中【點(diǎn)撥】本題考查平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和勾股定理，熟練掌握判定定理運(yùn)用以及平行的性質(zhì)是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．6．(1)證明見(jiàn)分析；(2)【分析】由全等三角形的判定定理證得≌；由全等三角形的性質(zhì)得出，由勾股定理可求出答案．解：（1）證明：∵，∴，∴．在與中，，∴≌；（2）解：∵≌，∴，∵，，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，證明≌是解題的關(guān)鍵．7．(1)見(jiàn)分析；(2)【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定方法證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得，再根據(jù)勾股定理求出，即可得答案．（1）解：平分，，，，又，；（2）由（1）得：，，，，，，，．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是證明．8．（1）130，80；（2）①CB=CD；②16．試題分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”得出∠D=∠B=80°，根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理求出∠C即可；（2）①連接BD，根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠ABD=∠ADB，求出∠CBD=∠CDB，根據(jù)等腰三角形的判定得出即可；②連接AC，求出△ABC≌△ADC，求出∠ACB=∠ACD=30°，解直角三角形求出AC和BC，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．解：（1）∵四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°，∴∠D=∠B=80°，∴∠C=360°﹣80°﹣80°﹣70°=130°，故答案為130，80；（2）①證明：如圖1，連接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB．∴∠CBD=∠CDB，∴CB=CD；②解：如圖1，連接AC，∵在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC∴∠ACB=∠ACD=∠BCD=×60°=30°，∵在Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=AD=4，∴AC=2AB=8，∴BC==4，∴S四邊形ABCD=2S△ABC=2××4×4=16．考點(diǎn)：四邊形綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理9．(1)見(jiàn)分析；(2)，理由見(jiàn)分析【分析】（1）根據(jù)已知條件得出，即，即可得出；（2）證明，得出，，進(jìn)而根據(jù)四邊形內(nèi)角和為，求得，進(jìn)而勾股定理即可得證．解：（1）理由如下，∵和都是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴；（2），如圖所示，連接，

由（1）可得∵∴∴，，∵∴∵在四邊形中，∴是直角三角形，∴又是等腰直角三角形，∴，即,又∵，∴【點(diǎn)撥】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．(1)，；(2)，證明見(jiàn)分析．【分析】（1）由軸對(duì)稱的性質(zhì)得，，再由直角三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而可證，則，再利用三角形外角的性質(zhì)即可求出的度數(shù)；（2）過(guò)C作于C交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，證明，得CM=CF，再證明，得，則MF=AF+MA=AF+BF，然后在由勾股定理即可得出結(jié)論．解：（1）A、E關(guān)于直線對(duì)稱，，．，．，．．．（2）線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．過(guò)C作于C交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．A、E關(guān)于對(duì)稱．．．．又．．．，．．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造全等明三角形是解題的關(guān)鍵．11．（1）見(jiàn)分析；（2）【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB=CD，∠C=∠A=90°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得DE=CD，∠C=∠E=90°，然后利用“角角邊”證明即可；（2）設(shè)AF=x，則BF=DF=8-x，根據(jù)勾股定理列方程求解即可．解：（1）證明：在矩形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C=90°，由折疊得：DE=CD，∠C=∠E=90°，∴AB=DE，∠A=∠E=90°，∵∠AFB=∠EFD，∴△ABF≌△EDF（AAS）；（2）解：∵△ABF≌△EDF，∴BF=DF，設(shè)AF=x，則BF=DF=8﹣x，在Rt△ABF中，由勾股定理得：BF2=AB2+AF2，即（8﹣x）2=x2+62，x=，即AF=【點(diǎn)撥】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，翻折前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．12．【分析】由勾股定理求得，然后由翻折的性質(zhì)求得，設(shè)，則，在中，利用勾股定理列方程求解即可．解：設(shè)，∵，，勾股定理得：，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，，，∴，，在中，，，解得：（），∴的長(zhǎng)為．【點(diǎn)撥】本題主要考查的是翻折變換以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握翻折的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．13．(1)旗桿的高度OM為15米；(2)瑪麗在蕩繩索過(guò)程中離地面的最低點(diǎn)的高度MN為2米【分析】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，設(shè)，由題意知四邊形均為矩形，，由得，，，得的值，由計(jì)算即可．（2）在中，，，由計(jì)算求解即可．（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，設(shè)∴∴四邊形均為矩形∴∵∴在和中∴∴∴解得：∴∴旗桿的高度為15米．（2）解：由題意知在中，∴∴∴瑪麗在蕩繩索過(guò)程中離地面的最低點(diǎn)的高度MN為2米．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形全等，勾股定理等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用三角形全等，勾股定理求線段長(zhǎng)．14．(1)8cm(2)cm【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)BC=x，則DC=x+4，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)AE=x，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理可得DE=，在中，勾股定理即可求解．（1）解：設(shè)BC=x，當(dāng)窗戶關(guān)上時(shí)A、D、B、C依次落在同一直線上，AB=16cm，AD=12cm，，DC=x+4，當(dāng)窗戶打開(kāi)時(shí)，B、C、D三點(diǎn)在同一直線上，且，由勾股定理得，得x=8cm，即BC的長(zhǎng)為8cm；（2）解：如圖，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)AE=x，則DE=，在中，由勾股定理得：，得x=，

則AD=cm．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．15．（1）6；（2）；（3）或或2【分析】（1）根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，根據(jù)等面積法計(jì)算即可；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分類討論即可；解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，由勾股定理得：BC＝，故答案為：6；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，S△ABC＝AC?BC＝AB?CH，則×8×6＝×10×CH，解得：CH＝，當(dāng)t＝2時(shí)，AD＝2×2＝4，則S△ADC＝×4×＝；（3）當(dāng)FA＝FB時(shí)，DF⊥AB，∴AD＝AB＝×10＝5，∴t＝5÷2＝；當(dāng)AF＝AB＝10時(shí)，∠ACB＝90°，則BF＝2BC＝12，∴AB?DF＝BF?AC，即×10×DF＝×12×8，解得：DF＝，由勾股定理得：AD＝，∴t＝÷2＝；當(dāng)BF＝AB＝10時(shí)，∵BF＝10，BC＝6，∴CF＝BF﹣BC＝10﹣6＝4，由勾股定理得：AF＝，∵BF＝BA，F(xiàn)D⊥AB，AC⊥BF，∴DF＝AC＝8，∴AD＝，∴t＝4÷2＝2；綜上所述，△ABF是等腰三角形時(shí)，t的值為或或2．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用和等腰三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．16．（1）5；（2）（3≤t≤9）；（3）存在，；（4）5或．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，根據(jù)勾股定理求解即可；（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，畫出相應(yīng)圖形，利用梯形的面積公式計(jì)算即可；（3）假設(shè)存在，先計(jì)算梯形ABCD的面積以及ABD的面積，由此可判斷使線段DP把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，則點(diǎn)P在線段BC上，再結(jié)合（2）的關(guān)系式計(jì)算即可；（4）假設(shè)存在，分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，結(jié)合圖形逐個(gè)計(jì)算即可．解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，由題意可得：四邊形ABED為長(zhǎng)方形，∴AD＝BE＝2cm，AB＝DE＝3cm，∠DEC＝90°，又∵BC＝6cm，∴CE＝BC－BE＝4cm，在中，cm，故答案為：5；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，3≤t≤9，∴，∴陰影面積S（cm2）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）之間的關(guān)系式為（3≤t≤9）；（3）假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使線段DP把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，由題意可得：，當(dāng)t＝3時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，此時(shí)，∴＜，∴點(diǎn)P在線段BC上，∵線段DP把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，∴，即：，解得：，∴存在某一時(shí)刻t，使線段DP把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，此時(shí)；（4）假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使DPC恰好是直角三角形，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，則0≤t＜3，AP＝t，BP＝3－t，∵∠A＝∠B＝90°，∴，，由圖可知，若DPC是直角三角形，則∠PDC＝90°，∴，∴，解得：（符合題意），當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，則3≤t≤9，BP＝t－3，CP＝9－t，∴PE＝BE－BP＝2－(t－3)＝5－t，∵∠DEC＝∠DEB＝90°，∴，由圖可知，若DPC是直角三角形，則∠DPC＝90°，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，∴t＝AB+BE＝3+2＝5，綜上所述，存在某一時(shí)刻t，使DPC恰好是直角三角形，此時(shí)t的值為5或．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用以及梯形與三角形的面積公式，能夠根據(jù)題意畫出相應(yīng)圖形，對(duì)（3）進(jìn)行分類討論是解決本題的關(guān)鍵．17．(1)；(2)；(3)正確，理由見(jiàn)分析【分析】根據(jù)題意可得，，把代入計(jì)算應(yīng)用科學(xué)記數(shù)法表示方法進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；把，，代入中，可得，應(yīng)用完全平方公式及因式分解的方法進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；先計(jì)算，計(jì)算可得，應(yīng)用勾股定理的逆定理即可得出答案．（1）解：，當(dāng)時(shí)，原式；故答案為：；（2）；（3）嘉淇的發(fā)現(xiàn)正確，理由如下：，，當(dāng)取正整數(shù)時(shí)，整式、、滿足一組勾股數(shù)．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理及逆定理，科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握勾股定理及逆定理，科學(xué)記數(shù)法的計(jì)算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．18．當(dāng)時(shí)，一邊長(zhǎng)為12的直角三角形另兩邊的長(zhǎng)分別為35，37【分析】分類討論：；；，結(jié)合已知條件，借助于方程解答．解：，直角三角形一邊長(zhǎng)為12，有三種情況：①當(dāng)時(shí)，．解得，（舍去）．．．該情況符合題意．②當(dāng)時(shí)，，．為奇數(shù)，舍去．③當(dāng)時(shí)，，，此方程無(wú)實(shí)數(shù)解．綜上所述：當(dāng)時(shí)，一邊長(zhǎng)為12的直角三角形另兩邊的長(zhǎng)分別為35，37．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是掌握分類討論的思想來(lái)求解．19．見(jiàn)分析【分析】用兩種方法求出梯形CBFG的面積，列出等式，即可證明.解：證明：∵∴整理得：【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的證明，熟練掌握勾股定理以及梯形面積公式是解題關(guān)鍵.20．見(jiàn)分析.【分析】四邊形ACED的面積從大的一方面來(lái)說(shuō)屬于直角梯形，可利用直角梯形面積公式進(jìn)行表示；從組成來(lái)看，由三個(gè)直角三角形組成，應(yīng)利用三角形的面積公式來(lái)進(jìn)行表示.解：【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的證明，利用面積的不同表示方式列出等式是解答本題的關(guān)鍵.21．（1）；（2）見(jiàn)分析；（3）2【分析】（1）在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AB=2，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理，得；（2）過(guò)C點(diǎn)作CF⊥CD，構(gòu)造手拉手模型，運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)可得證；（3）過(guò)C點(diǎn)作CF⊥CD，構(gòu)造手拉手模型，運(yùn)用三角形全等可得證．（1）解：在Rt△ABC中，∵，∴，

∴在Rt△ABD中，．

（2）證明：如圖，過(guò)C點(diǎn)作CF⊥CD交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

∵∠ACB=∠DCF=90°，∴∠ACD=∠BCF，∵∠CAD+∠CBD=360°－(∠ACB+∠ADB)=180°，∠CBF+∠CBD=180°，∴∠CAD=∠CBF，又∵CA=CB，∴△CAD≌△CBF(ASA)，

∴CD=CF，AD=BF，∴，∵DF=DB+BF=DB+DA，∴．

（3）解：如圖，過(guò)C點(diǎn)作CF⊥CD交AD與F點(diǎn)，

∵∠ACB=∠DCF=90°，即∠ACF+∠BCF=∠BCD+∠BCF=90°，∴∠ACF=∠BCD，∵∠AFC=∠FCD+∠CDA=90°+∠CDA，∠CDB=∠CDA+∠ADB=90°+∠CDA，∴∠AFC=∠CDB，又∵CA=CB，∴△CAF≌△CBD(AAS)，

∴CF=CD，AF=BD，∴△CDF是等腰直角三角形，又∵CE⊥AD，∴E為DF中點(diǎn)，∵AD=6，AF=BD=2，∴FD=AD－AF=4，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的全等，手拉手模型的構(gòu)造，熟練構(gòu)造手拉手模型是解題的關(guān)鍵.22．（1）見(jiàn)分析；（2）AE＝BF；理由見(jiàn)分析；（3）AE＝BF．【分析】（1）先證明CE＝EF，利用AAS定理證明△CDE≌△EGF（AAS）即可；（2）先證∠ACE＝∠2，再證明△ACE≌△BEF（AAS），即可得證AE＝BF；（3）作EH⊥BC與H，設(shè)DE＝x，求出AE＝3x，再證出BF＝x，即可得出結(jié)論．解：（1）證明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，F(xiàn)G⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）證明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）解：AE＝BF，作EH⊥BC與H，如圖3所示：設(shè)DE＝x，根據(jù)題意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根據(jù)勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝＝，∴AE＝BF．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的問(wèn)題，掌握全等三角形的性質(zhì)以及判定定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵．23．探究：證明見(jiàn)分析；應(yīng)用：；拓展：（1），（2）【分析】探究：判斷出，再用即可得出結(jié)論；應(yīng)用：先算出，進(jìn)而算出，再用勾股定理求出，即可得出結(jié)論；拓展：（1）同探究的方法得出，得出，即可得出結(jié)論；（2）同探究的方法得出，得出，即可得出結(jié)論．解：探究：∵，，∴．∵，，∴．∵，∴．

∴．∵，∴．應(yīng)用：在中，，∴，∵，∴，由探究知，，∴，∴，在中，，根據(jù)勾股定理得，，∴的周長(zhǎng)為故答案為拓展：（1）同探究的方法得，．∴∴，故答案為；（2）同探究的方法得，．∴∴，故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的性質(zhì)，能夠在復(fù)雜圖形中找出全等三角形是解題關(guān)鍵.24．(1)是，見(jiàn)分析；(2)，見(jiàn)分析；(3)【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的判定定理證明即可；（2）根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；（3）根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合（2）的結(jié)論計(jì)算．解：（1）如圖2，四邊形是垂美四邊形．證明：連接交于點(diǎn)E，∵，∴點(diǎn)A在線段的垂直平分線上，∵，∴點(diǎn)C在線段的垂直平分線上，∴直線是線段的垂直平分線，∴，即四邊形是垂美四邊形；（2）猜想結(jié)論．如圖1，已知四邊形中，∵，∴，由勾股定理得，，，∴；（3）如圖3，連接，∵，∴，即，在B和中，，∴，∴，又，∴，∴，即，∴四邊形是垂美四邊形，由（2）得，，∵，∴，，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．25．（1）1＜AD＜5；（2）2；（3）．【分析】證明≌得，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系求得AE的取值范圍，進(jìn)而得結(jié)論；延長(zhǎng)AD到E，使得，連接BE，證明≌得，再證明，由勾股定理求得BD，進(jìn)而得BC；延長(zhǎng)FD到G，使得，連接BG，EG，證明≌，得，，再證明，由勾股定理求得EG，由線段垂直平分線性質(zhì)得EF．解：在和中，，≌，，，，，，故答案為；延長(zhǎng)AD到E，使得，連接BE，如圖，在和中，≌，，，，，，，；延長(zhǎng)FD到G，使得，連接BG，EG，如圖，在和中，，≌，，，，，，，，，，．故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查幾何變換綜合題、三角形的中線、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，體會(huì)出現(xiàn)中點(diǎn)的輔助線的添加方法，屬于中考?jí)狠S題．26．（1）A，；（2）7；（3），證明見(jiàn)分析【分析】（1）證明，即可求解；根據(jù)得出，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出，進(jìn)而即可求解；（2）如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，證明，，，根據(jù)即可求解；（3）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，，證明，得出，，進(jìn)而得出，在中，根據(jù)勾股定理得出，等量代換即可求解．（1）解：在和中，，∴，故選：A；由（1）得：，∴，在中，，即，故答案為：；（2）解：如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，∵是的中線，∴，又∵，∴∴，，∵，∴，∵，∴，∵，，∴（3）解：線段、、之間的等量關(guān)系為：；延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，，如圖③所示：∵，，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，∴在中，由勾股定理得：，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，三角形三邊關(guān)系，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．27．（1）①，2；②；（2）證明見(jiàn)試題解析；（3）或．解：試題分析：（1）①由已知條件求出AB的長(zhǎng)，再減去PA就可得PB的長(zhǎng)；如圖1，連接BQ，先證△APC≌△BQC，可得：BQ=AP=，∠CBQ=∠A=45°，由此可得△PBQ是直角三角形，即可計(jì)算出PQ=，從而根據(jù)△PCQ是等腰直角三角形可得PC=2；②由①中的證明可知：AP=BQ，△PBQ是直角三角形，由此即可得到：PB2+BQ2=AP2+PB2=PQ2；（2）如圖2，連接PB，先證△APC≌△BQC，得到BQ=AP，∠CBQ=∠A=45°，由此可得△PBQ