2021中考數學系統(tǒng)復習28講：第16講 三角形的基本知識全等三角形

火速出擊第16講三角形的基本知識全等三角形

【試試火力】

1.（2017?寧德）在3BC中，AB=5,AC=8,則BC長不可能是（）

A.4B.8C.10D.13

2.（2017貴州）如圖,zACD=120°,zB=20°,則NA的度數是（）

A.120°B,90℃.100°D.30°

3.（2017江蘇徐州）AABC中，點D,E分另（］是AB,AC的中點,DE=7,貝U

BC=14.

4.如圖,AC=AE,zl=z2,AB=AD.求證：BC=DE.

【把握火苗】

火點1三角形的概念及其分類

概念：由不在同一直線上的三條線段①連接

所得到的圖形叫做三角形.

’②角三角形

V

按角分類,③角三角形

④角三角形

分類■

‘不等邊三角形

按邊分類,’底與腰不相等的等腰三角形

等腰三角形，

⑤三角形

火點2與三角形有關的線段

⑥__________三角形的三條高相交于三角形的內部直角三角形

的三條高相交于⑦，鈍角三角形的三條高相交于三角

形的外部.

中線三角形的三條中線相交于⑧__________，每一條中線都將三角形

分成面積⑨的兩部分.

角平分線三角形的三條角平分線相交于⑩__________，這個點是三角形的

?_________，這個點到三邊的距離?_________.

三邊關系三角形的兩邊之和?―第三邊，三角形的兩邊之差?

第三邊.

穩(wěn)定性三角形具有穩(wěn)定性，四邊形沒有穩(wěn)定性.

三角形的定義連接三角形兩邊或________的線段叫做三角形的中位

中位線線.

性質三角形的中位線?_________第三邊，并且等于第三邊

的空__________.

火點3考點3與三角形有關的角

定三角形三個內角的和等于&_________.

理

推直角三角形的兩個銳角型_________.

論三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的理_________.

火點4:全等三角形的性質與判定

性全等三角形的對應邊型__________,對應角a_________.

質

判判定1：三邊分別相等的兩個三角形全等（簡寫成"邊邊邊"或"SSS"）;

定判定2:兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等（簡寫成“邊角邊"或

"SAS"）;

判定3:兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等（簡寫成"角邊角"或

"ASA"）;

判定4:兩角和其中一個角的對邊分別相等的兩個三角形全等（簡寫成“角角邊"

或"AAS"）;

判定5:斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（簡寫成"斜邊、直角

邊"或"HL"）.

【易錯提示】“SSA"和"AAA”不能判定三角形全等.

【掌握火候】

1.判斷給定的三條線段能否組成三角形，只需判斷兩條較短線段的和是否大于最

長線段即可.

2."截長法"和"補短法”是證明和差關系的重要方法，無論用哪一種方法都是

要將線段的和差關系轉化為證明線段相等的問題，因此添加輔助線構造全等三角

形是通向結論的橋梁.

【突破火點】

燃點1三角形中的線段

例1（2017廣西河池）三角形的下列線段中能將三角形的面積分成相等兩部分

的是（）

A.中線B.角平分線C.高D.中位線

【考點】K3:三角形的面積；K2:三角形的角平分線、中線和高.

【分析】根據等底等高的三角形的面積相等解答.

【解答】解：?三角形的中線把三角形分成兩個等底同高的三角形，

???三角形的中線將三角形的面積分成相等兩部分.

故選A.

【思路點撥】不管是哪種類型的三角形，三角形的角平分線、中線和中位線都在

三角形內部，但是銳角三角形的三條高在三角形內部，直角三角形的一條高在三

角形內部，其余兩條高與直角邊重合，鈍角三角形的一條高在三角形內部，其余

兩條高在三角形外部.

方法歸納：解答本題的關鍵是熟練掌握三角形高、角平分線和中線的畫法.

燃點2三角形中的角

例2（2017湖南株洲）

如圖,在SBC中，zBAC=x°,NB=2X°,zC=3x°,貝!JNBAD=()

A.145°B,150°C.155°D.160°

【考點】K7:三角形內角和定理.

【分析】根據三角形內角和定理求出x,再根據三角形的外角的等于不相鄰的兩

個內角的和，即可解決問題.

【解答】解：在MBC中,-.zB+zC+zBAC=180°,zBAC=x°,zB=2x°,z

C=3x°,

.,.6x=180,

.1.x=30,

?.zBAD=zB+zC=5x=150°,

故選B.

方法歸納：當問題中含有平行線時，可利用平行線的性質將其轉化為其他角；當

該角是一個三角形的外角或內角時，根據三角形外角的性質和三角形內角和定理

進行計算.

燃點3三角形的中位線

例3.（2017湖北宜昌）如圖，要測定被池塘隔開的A,B兩點的距離.可以在

AB外選一點C,連接AC,BC,并分別找出它們的中點D,E,連接ED.現測

得AC=30m,BC=40m,DE=24m,貝UAB=()

B

A.50mB.48mC.45mD.35m

【考點】KX:三角形中位線定理.

【分析】根據中位線定理可得：AB=2DE=48m.

【解答】解：-.D是AC的中點，E是BC的中點，

二.DE是AABC的中位線，

??.DE=2AB,

；DE=24m,

.-.AB=2DE=48m,

故選B.

方法歸納：解答本題的關鍵是要依據題目條件，活用中位線定理的結論.

燃點4全等三角形的性質與判定

例4如圖,AABC是直角三角形，且NABC=90。，四邊形BCDE是平行四邊形，

E為AC中點，BD平分工ABC,點F在AB上，且BF=BC.求證：

(1)DF=AE;

(2)DF±AC.

A

【考點】全等三角形的判定與性質；平行四邊形的性質.

【專題】證明題.

【分析】（1）延長DE交AB于點G,連接AD.構建全等三角形^AED興DFB

（SAS）,則由該全等三角形的對應邊相等證得結論；

（2）設AC與FD交于點0.利用（1）中全等三角形的對應角相等，等角的補

角相等以及三角形內角和定理得到NEOD=90。，即DF±AC.

【解答】證明：（1）延長DE交AB于點G,連接AD.

???四邊形BCDE是平行四邊形，

.-.EDllBC,ED=BC.

???點E是AC的中點,zABC=90°,

.".AG=BG,DG_1_AB.

.,.AD=BD,

.,.zBAD=zABD.

?/BD平分NABC,

.-.zABD=zBAD=45°,即NBDE=NADE=45°.

又BF=BC,

.-.BF=DE.

'AD=BD

.?在MED與△DFB中,<ZADE=DBF,

ED=FB

??.△AED?DFB(SAS),

.-.AE=DF,即DF=AE;

(2)設AC與FD交于點O.

???由(1)知,SED*DFB,

.1.zAED=zDFB,

.-.zDEO=zDFG.

■.zDFG+zFDG=90°,

.-.zDEO+zEDO=90°,

.-.zEOD=90°,即DF±AC.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質.全等三角形

的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全

等時，關鍵是選擇恰當的判定.

方法歸納：證明兩條邊或兩個角相等時，若兩條邊或兩個角分別在兩個三角形當

中，通常證明這兩條邊或兩個角所在的三角形全等.

【冰火不容】

1.（2017甘肅張掖）已知a,b,c是3BC的三條邊長，化簡|a+b-c|-|c-

a-b|的結果為（）

A.2a+2b-2cB.2a+2bC.2cD.0

2.（2017江蘇鹽城）在"三角尺拼角"實驗中，小明同學把一副三角尺按如圖

所示的方式放置，則Nl=式0°.

3.（2017畢節(jié)）如圖，RfABC中,zACB=90°,斜邊AB=9,D為AB的中

點，F為CD上一點，且CF=|CD,過點B作BEIIDC交AF的延長線于點E,

則BE的長為（）

4.（2017四川眉山）如圖,在AABC中，NA=66。，點I是內心，則NBIC的大

小為（）

A.114°B,122°C.123°D.132°

5.如圖,AF=DC,BCllEF,只需補充一個條件BC=EF,就得AABC^DEF.

6.如圖，已知N1=N2,AC=AD,請增加一個條件，使MBC￥AED，你添加的

條件是AE=AB

D

7.（2017浙江湖州）已知一個多邊形的每一個外角都等于72。，則這個多邊形

的邊數是5.

8.如圖,AB=AE,zl=z2,zC=zD.

求證:AABC乎AED.

2

1.D

BF.

9.如圖,在SBC中，zABC=66°,NACB=54°,BE是AC上的高，CF是AB

上的高，H是BE和CF的交點，求NABE、ZACF和NBHC的度數.

10.(1)如圖1,把AABC沿DE折疊,使點A落在點A'處,試探索N1+/2

與NA的關系.(不必證明).

(2)如圖2,BI平分NABC,CI平分NACB,把SBC折疊，使點A與點I重合,

若N1+N2=130°,求NBIC的度數;

(3)如圖3,在銳角AABC中，BFLAC于點F,CG^AB于點G,BF、CG交

于點H,把AABC折疊使點A和點H重合，試探索NBHC與N1+N2的關系,并

證明你的結論.

【展示火情】

【試試火力】

1.（2017?寧德）在AABC中，AB=5,AC=8,則BC長不可能是（）

A.4B,8C.10D.13

【考點】K6:三角形三邊關系.

【專題】11:計算題.

【分析】根據三角形三邊的關系得到3<BC<13,然后對各選項進行判斷.

【解答】解：-.AB=5,AC=8,

..3<BC<13.

故選D.

【點評】本題考杳了三角形三邊的關系：三角形任意兩邊之和大于第三邊.

2.（2017貴州）如圖,zACD=120°,zB=20°,則NA的度數是（）

【考點】K8:三角形的外角性質.

【分析】根據三角形的外角的性質計算即可.

【解答】解：zA=zACD-zB

=120°-20°

=100°,

故選：C.

3.（2017江蘇徐州）AABC中，點D,E分別是AB,AC的中點，DE=7,則

BC=14.

【考點】KX:三角形中位線定理.

【分析】根據三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊

的一半可知，BC=2DE,進而由DE的值求得BC.

【解答】解：.D,E分別是』ABC的邊AC和AC的中點,

??.DE是AABC的中位線，

?.DE=7,

.-.BC=2DE=14.

故答案是：14.

4.如圖,AC=AE,zl=z2,AB=AD.求證：BC=DE.

【考點】全等三角形的判定與性質.

【專題】證明題.

【分析】先證出NCAB=NDAE,再由5人5證明3人8空人￡,得出對應邊相等

即可.

【解答】證明：.?.ZL=N2,

.,.zCAB=zDAE,

'AC=AE

在ABAC和ADAE中,ZCAB=ZDAE,

AB=AD

??.△BAC?DAE(SAS),

??.BC=DE.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質;熟練掌握全等三角形的判定方法,

證明三角形全等是解決問題的關鍵.

【把握火苗】

①首尾順次②銳③直④鈍⑤等邊⑥銳角⑦直角頂點⑧一點⑨

相等⑩一點?心睡等般于?d、于耕點硼行E一半

比180°19互余20和困■相等22相等

【冰火不容】

1.（2017甘肅張掖）已知a,b,c是“BC的三條邊長，化簡|a+b-c|-|c-

a-b|的結果為（）

A.2a+2b-2cB.2a+2bC.2cD.0

【考點】K6:三角形三邊關系.

【分析】先根據三角形的三邊關系判斷出a-b-c與c-b+a的符號，再去絕

對值符號，合并同類項即可.

【解答】解：?.？、b、c為AABC的三條邊長，

/.a+b-c>0,c-a-b<0,

.,.原式=a+b-c+（c-a-b）

=0.

故選D.

2.（2017江蘇鹽城）在"三角尺拼角"實驗中，小明同學把一副三角尺按如圖

所示的方式放置,則Nl=式0°.

【考點】K8:三角形的外角性質;K7:三角形內角和定理.

【分析】根據三角形的外角的性質計算即可.

【解答】解：由三角形的外角的性質可知，zl=90°+30°=120°,

故答案為：120.

3.（2017畢節(jié)）如圖,RfABC中,zACB=90°,斜邊AB=9,D為AB的中

點，F為CD上一點，且CF=|CD,過點B作BEIIDC交AF的延長線于點E,

0

則BE的長為（）

A.6B,4C.7D.12

【考點】KX:三角形中位線定理；KP:直角三角形斜邊上的中線.

【分析】先根據直角三角形的性質求出CD的長，再由三角形中位線定理即可得

出結論.

【解答】解：?「RfABC中，zACB=90°,斜邊AB=9,D為AB的中點，

.-.CD=|AB=4.5.

??-CF=|CD,

.?.DF=-|cD=-|x4.5=3.

0o

?/BEIIDC,

.,.DF是MBE的中位線，

.-.BE=2DF=6.

故選A.

4.（2017四川眉山）如圖，在-ABC中，NA=66。，點I是內心,則NBIC的大

小為（）

A.114°B.122°C.123°D.132°

【考點】MI:三角形的內切圓與內心.

【分析】根據三角形內角和定理求出NABC+NACB,根據內心的概念得到N

IBC=|zABC,zICB=|zACB，根據三角形內角和定理計算即可.

【解答】解：../A=66°,

.?.zABC+zACB=114°,

,.點I是內心,

.?.NIBC=*NABC,NICB=]NACB,

.-.zIBC+zICB=57°,

.1.zBIC=180°-57°=123°,

故選：C.

5.如圖，AF=DC,BCllEF,只需補充一個條件BC=EF,就得AABC^DEF.

【專題】開放型.

【分析】補充條件BC=EF,首先根據AF=DC可得AC=DF,再根據BCllEF可

得NEFC=NBCF,然后再加上條件CB=EF可利用SAS定理證明AABSADEF.

【解答】解：補充條件BC=EF,

?.AF=DC,

.-.AF+FC=CD+FC,

即AC=DF,

?.BCllEF,

.-.zEFC=zBCF,

???在AABC和ADEF中,

'EF=BC

<ZEFC=ZBCF,

AC=DF

??.△ABC￥DEF(SAS).

故答案為：BC=EF.

【點評】此題主要考查了全等三角形的判定，關鍵是掌握判定兩個三角形全等的

一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有

邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.

6.如圖,已知N1=N2,AC=AD,請增加一個條件，使AABC*AED，你添力口的

條件是AE=AB.

【考點】全等三角形的判定.

【專題】開放型.

【分析】添加條件AE=AB,根據等式的性質可得NBAC=NEAD,然后再用SAS

證明ABAC*EAD.

【解答】解：添加條件AE=AB,

?.zl=z2,

.,.zl+zEAB=z2+zEAB,

.,.zBAC=zEAD,

在ABCA和AEDA中,

'AC=AD

-ZBAC=ZEAD,

AE=AB

??.△BAC^EAD(SAS).

故答案為：AE=AB.

【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等,判定兩個三角形全等時，必須有

邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.

7.(2017浙江湖州)已知一個多邊形的每一個外角都等于72。，則這個多邊形

的邊數是5.

【考點】L3:多邊形內角與外角.

【分析】用多邊形的外角和360。除以72。即可.

【解答】解：邊數n=360°+72°=5.

故答案為：5.

8.如圖，AB=AE,zl=z2,zC=zD.

求證：AABC^AAED.

【考點】全等三角形的判定.

【專題】證明題.

【分析】首先根據N1=N2可得NBAC=NEAD,再力口上條件AB=AE,zC=zD

可證明^ABC當AED.

【解答】證明：?./1=N2,

.,.zl+zEAC=z2+zEAC,

即NBAC=NEAD,

?.在SBC和AAED中,

'ND=NC

-ZBAC=ZEAD,

AB=AE

...△ABC%AED(AAS).

【點評】此題主要考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方

法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有

邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.

9.如圖，在SBC中,NABC=66°,NACB=54°,BE是AC上的高，CF是AB

上的高，H是BE和CF的交點,求NABE、ZACF和NBHC的度數.

A

E

公

RC

【考點】三角形的角平分線、中線和高；三角形內角和定理.

【分析】由三角形的內角和是180。，可求NA=60。.又因為BE是AC邊上的高,

所以NAEB=90°,所以NABE=30°.同理，zACF=30度，又因為NBHC是4EH

的一個外角，所以NBHC=120°.

【解答】解：?「NABC=66。，zACB=54°,

.-.zA=180°-zABC-zACB=180°-66°-54°=60°.

又??BE是AC邊上的高,所以N