專題09 拋物線-【好題匯編】備戰(zhàn)2023-2024學年高二數學上學期期末真題分類匯編（人教A版2019選擇性必修第一冊）含解析

專題09拋物線專題09拋物線-【好題匯編】備戰(zhàn)2023-2024學年高二數學上學期期末真題分類匯編（人教A版2019選擇性必修第一冊）含解析拋物線的定義及應用1．（2023上·吉林遼源·高二校聯考期末）拋物線的焦點到準線的距離為（

）A．4 B．2 C．1 D．2．（2023上·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）若拋物線上一點到軸的距離為，則點到該拋物線焦點的距離為（

）A． B． C． D．3．（2023上·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）是拋物線的焦點，點，為拋物線上一點，到直線的距離為，則的最小值是（

）A． B． C．3 D．4．（2023上·內蒙古巴彥淖爾·高二校考期末）點是拋物線的焦點，直線為拋物線的準線，點為直線上一動點，點在以為圓心，為半徑的圓上，點在拋物線上，則的最大值為（

）A． B． C． D．5．（2023上·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）已知點為拋物線C：上的點，且點P到拋物線C的準線的距離為3，則.6．（2023上·北京密云·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為，準線為，點是拋物線上一點，于．若，，則拋物線的方程為．7．（2023上·湖南衡陽·高二?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點為為拋物線內側一點，為上的一動點，的最小值為，則.8．（2023上·江蘇南京·高二南京師大附中校考期末）設拋物線的焦點，若拋物線上一點到點的距離為6，則.拋物線的焦點弦9．（2023上·浙江寧波·高二期末）如圖，某種探照燈的軸截面是拋物線（焦點F），平行于對稱軸的一光線，經射入點A反射過F到點B，再經反射，平行于對稱軸射出光線，則入射點A到反射點B的光線距離最短時點A的坐標是（

）A． B． C． D．10．（2023上·山東威海·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為，準線為，過的直線與交于兩點（點在第一象限），與交于點，若，，則（

）A． B．3 C．6 D．1211．（2023上·重慶·高二校聯考期末）已知拋物線，F為其焦點，若直線與拋物線C在第一象限交于點M，則（

）A．1 B．2 C．3 D．412．（2023上·陜西·高二校聯考期末）已知為拋物線上一點，為焦點，過作的準線的垂線，垂足為，若的周長不小于30，則點的縱坐標的取值范圍是（

）A． B．C． D．13．（2023上·福建福州·高二統(tǒng)考期末）(多選題)已知拋物線的焦點F到準線的距離為4，直線過點F且與拋物線交于A、B兩點，若是線段AB的中點，則（

）A．m=1 B．p=4 C．直線的方程為 D．14．（2023上·云南昆明·高二昆明一中?？计谀ǘ噙x題）設拋物線的焦點為，準線為，直線經過點且與交于兩點，若，則下列結論中正確的是（

）A．直線的斜率為或 B．的中點到的距離為4C． D．（O為坐標原點）15．（2023上·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）過點的直線與拋物線交于，兩點，點在軸上方，若，則直線的斜率.16．（2023上·湖北·高二赤壁一中校聯考期末）已知拋物線的方程為，為拋物線的焦點，傾斜角為的直線過點交拋物線于，兩點，則線段的長為.直線與拋物線17．（2023上·陜西西安·高二長安一中?？计谀┰O經過點的直線與拋物線相交于，兩點，若線段中點的橫坐標為，則（

）A． B． C． D．18．（2023上·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）拋物線有一條重要性質：從焦點發(fā)出的光線經過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸．已知拋物線C：，從點發(fā)出的一條平行于x軸的光線，經過C上的點A反射后，與C交于另一點B，則點B的縱坐標為（

）A． B． C． D．19．（2023上·福建福州·高二福建省福州第一中學校考期末）已知拋物線的焦點為F，過F作傾斜角為的直線l交拋物線C與A、B兩點，若線段AB中點的縱坐標為，則拋物線C的方程是（

）A． B． C． D．20．（2023上·四川綿陽·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，分別過點A，B作準線的垂線，垂足分別記為，，若，則的面積為（

）A． B． C． D．21．（2023上·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）過點的直線l與拋物線交于A，B兩點，F為拋物線的焦點，若.則.22．（2023上·廣東汕尾·高二統(tǒng)考期末）已知傾斜角為的直線過拋物線的焦點，且與交于、兩點（點在第一象限），若，則.23．（2023上·山東濰坊·高二統(tǒng)考期末）過拋物線的焦點作傾斜角為的直線，且交該拋物線于，兩點，點在軸左側，則.24．（2023上·上海閔行·高二上海市七寶中學校考期末）過點作直線與拋物線有且僅有一個交點，這樣的直線可以作出條.25．（2023上·河南三門峽·高二統(tǒng)考期末）拋物線的焦點為，過且傾斜角為的直線與拋物線交于，兩點，點為拋物線上的動點，且點在的右下方，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．26．（2023上·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末）如圖，一隧道內設雙行線公路，其截面由一個長方形和拋物線構成.為保證安全，要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5m，已知行車道總寬度|AB|＝6m，那么車輛通過隧道的限制高度約為（

）

A．3.1m B．3.3m C．3.5m D．3.7m27．（2023上·福建南平·高二統(tǒng)考期末）過拋物線C：焦點F的動直線交拋物線C于A，B兩點，若E為線段AB的中點，M為拋物線C上任意一點，則的最小值為（

）A．3 B． C．6 D．28．（2023上·湖南長沙·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線：的焦點為，點，過點且斜率為的直線與交于A，B兩點，若，則（

）A． B． C． D．229．（2023上·山東濟寧·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線，拋物線的焦點為，拋物線的準線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，若為正三角形，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．30．（2023上·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線，其焦點為是過點的一條弦，定點的坐標是，當取最小值時，則弦的長是.31．（2023上·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，已知，直線相交于點，且與的斜率之差為2，則的最小值為.32．（2023上·上海浦東新·高二上海市建平中學?？计谀佄锞€C上任意一點都滿足，則拋物線C的焦點到準線的距離為.33．（2023上·廣西貴港·高二統(tǒng)考期末）已知是拋物線的焦點，是拋物線上一點，且.(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線交于兩點，且線段的中點坐標為，求直線的斜率.34．（2023上·云南大理·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，已知拋物線：經過點，直線：與拋物線C交于M，N兩點.(1)求拋物線C的方程；(2)當時，若對任意滿足條件的實數，都有（m，n為常數），求的值.專題09拋物線拋物線的定義及應用1．（2023上·吉林遼源·高二校聯考期末）拋物線的焦點到準線的距離為（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【分析】利用焦點到準線的距離為，即可求解【詳解】因為拋物線的焦點到準線的距離為，所以由拋物線可得，故選：B2．（2023上·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）若拋物線上一點到軸的距離為，則點到該拋物線焦點的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用拋物線的定義即可求解.【詳解】因為點到軸的距離為，所以點P的橫坐標為，所以點P的縱坐標，拋物線的準線為.所以到拋物線準線的距離為，即點到該拋物線焦點的距離為.故選：C3．（2023上·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）是拋物線的焦點，點，為拋物線上一點，到直線的距離為，則的最小值是（

）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】根據拋物線定義有，數形結合判斷其最小值.【詳解】由題設，拋物線焦點，準線為，故，如上圖：，僅當共線且在兩點之間時等號成立.故選：C4．（2023上·內蒙古巴彥淖爾·高二校考期末）點是拋物線的焦點，直線為拋物線的準線，點為直線上一動點，點在以為圓心，為半徑的圓上，點在拋物線上，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據拋物線的定義可得，利用，從而得到，即可求解.【詳解】如圖，過點P作于點N，根據拋物線的定義可得：，所以，而所以.當且僅當點Q、點N、點M在同一條直線上時等號成立，所以有最大值1.故選：B5．（2023上·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）已知點為拋物線C：上的點，且點P到拋物線C的準線的距離為3，則.【答案】2【分析】由拋物線的方程求出拋物線的準線，然后利用拋物線的定義結合已知條件列方程求解即可.【詳解】拋物線的焦點為，準線為，因為點為拋物線上的點，且點P到拋物線C的焦點F的距離為3，所以點P到拋物線C的準線的距離為，解得，故答案為：26．（2023上·北京密云·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為，準線為，點是拋物線上一點，于．若，，則拋物線的方程為．【答案】【分析】根據拋物線的定義可得，然后在直角三角形中利用可得，從而可得答案．【詳解】根據拋物線的定義可得，又，所以，得，所以拋物線的方程為．故答案為：．7．（2023上·湖南衡陽·高二?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點為為拋物線內側一點，為上的一動點，的最小值為，則.【答案】3【分析】根據題意畫圖，再由拋物線的定義，即可得到的最小值為，知當三點共線且垂直于準線時取最小即可計算出.【詳解】根據題意畫圖，過點作準線的垂線，垂足為，過點作準線的垂線，垂足為，由拋物線的定義可知，，由于為上的一動點，則當三點共線時即，則，解得.故答案為：3.8．（2023上·江蘇南京·高二南京師大附中?？计谀┰O拋物線的焦點，若拋物線上一點到點的距離為6，則.【答案】【分析】根據拋物線定義得，由點在拋物線上，代方程即可解決.【詳解】由題知，拋物線的焦點，拋物線上一點到點的距離為6，所以，得，所以拋物線為，所以，解得，故答案為：拋物線的焦點弦9．（2023上·浙江寧波·高二期末）如圖，某種探照燈的軸截面是拋物線（焦點F），平行于對稱軸的一光線，經射入點A反射過F到點B，再經反射，平行于對稱軸射出光線，則入射點A到反射點B的光線距離最短時點A的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由AB過點F，所以當AB為通徑即軸時，最小，由此即可求得點A的坐標.【詳解】由AB過點F，所以當AB為通徑即軸時，最小，此時，則，所以，則點A的坐標是.“軸時，最小”的證明：法一：設AB傾斜角為，由，當即軸時，；法二：設，與聯立得，所以，所以，所以，又，當且僅當時取等號．故選：A.10．（2023上·山東威海·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為，準線為，過的直線與交于兩點（點在第一象限），與交于點，若，，則（

）A． B．3 C．6 D．12【答案】B【分析】利用拋物線的定義，以及幾何關系可知，再利用數形結合表示的值，進而得，再根據焦半徑公式得，，進而求解直線的方程并與拋物線聯立得，再用焦半徑公式求解即可.【詳解】如圖，設準線與軸的交點為，作，，垂足分別為，，所以，.又，所以，設，則.因為，所以，所以，所以，即.所以，拋物線為，焦點為，準線為，由得，解得，所以，，所以，直線的方程為所以，聯立方程得，解得，所以，，所以，故選：B11．（2023上·重慶·高二校聯考期末）已知拋物線，F為其焦點，若直線與拋物線C在第一象限交于點M，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】確定,，確定過點，聯立方程求得點M的橫坐標，利用拋物線焦半徑公式即可求得答案.【詳解】由題意得,，準線方程為，當時，，即過點，聯立，即，解得或，由于M在第一象限，且斜率大于0，故取M橫坐標為3，則，故選：D12．（2023上·陜西·高二校聯考期末）已知為拋物線上一點，為焦點，過作的準線的垂線，垂足為，若的周長不小于30，則點的縱坐標的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】如圖，設點的坐標，準線與軸的交點為A，根據拋物線的定義和勾股定理可得的周長為，令，利用換元法可得，解之即可求解.【詳解】如圖，設點的坐標為，準線與軸的交點為A，則，所以的周長為.得，令，則，有，即，解得(舍去)或，所以，由解得.故選：A.13．（2023上·福建福州·高二統(tǒng)考期末）（多選題）已知拋物線的焦點F到準線的距離為4，直線過點F且與拋物線交于A、B兩點，若是線段AB的中點，則（

）A．m=1 B．p=4C．直線的方程為 D．【答案】BC【分析】根據拋物線的幾何性質可判斷B；利用點差法求解得直線斜率，從而可判斷C；由點在直線上可求得m，可判斷A；利用弦長公式可判斷D.【詳解】由題知，，故B正確；故拋物線方程為，設，易知，則，由點差法可得又是線段AB的中點，所以，所以直線l的斜率因為直線l過焦點，所以l的方程為，即，C正確；將代入可得，A錯誤；將代入得，所以，所以，故D錯誤.故選：BC14．（2023上·云南昆明·高二昆明一中?？计谀ǘ噙x題）設拋物線的焦點為，準線為，直線經過點且與交于兩點，若，則下列結論中正確的是（

）A．直線的斜率為或 B．的中點到的距離為4C． D．（O為坐標原點）【答案】ABC【分析】由題設直線的方程為，，進而聯立方程，結合向量關系得或，再依次討論各選項即可.【詳解】解：由題知焦點為，準線為，所以，設直線的方程為，，所以，得，所以，，①，②，因為，即，所以③，所以，由①②③得或，所以直線的斜率為，故A選項正確；所以，，故的中點的橫坐標為，所以，的中點到的距離為，故B選項正確；當時，，此時，，故；當時，，此時，，故；故C選項正確；因為，故不成立，故D選項錯誤.故選：ABC15．（2023上·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）過點的直線與拋物線交于，兩點，點在軸上方，若，則直線的斜率.【答案】【分析】設出直線方程，與拋物線方程聯立，結合韋達定理及，可求答案.【詳解】設，直線與拋物線聯立得，即；，因為，所以，所以，代入可得即，，所以故答案為：16．（2023上·湖北·高二赤壁一中校聯考期末）已知拋物線的方程為，為拋物線的焦點，傾斜角為的直線過點交拋物線于，兩點，則線段的長為.【答案】【分析】首先求出焦點坐標，即可得到直線的方程，設，，聯立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，根據焦點弦公式計算可得.【詳解】解：因為拋物線的方程為，所以焦點為，所以直線的方程為，設，，由，消去整理得，所以，所以.故答案為：直線與拋物線17．（2023上·陜西西安·高二長安一中?？计谀┰O經過點的直線與拋物線相交于，兩點，若線段中點的橫坐標為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據直線與拋物線的位置關系以及韋達定理、弦長公式求解即可.【詳解】因為經過點的直線與拋物線相交于，兩點，所以該直線的斜率不等于0，所以可假設直線方程為，設，聯立，整理得，所以所以，因為線段中點的橫坐標為，所以，所以，所以，故選：B.18．（2023上·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）拋物線有一條重要性質：從焦點發(fā)出的光線經過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸．已知拋物線C：，從點發(fā)出的一條平行于x軸的光線，經過C上的點A反射后，與C交于另一點B，則點B的縱坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出坐標，進而聯立直線和拋物線方程，由韋達定理得出點B的縱坐標.【詳解】拋物線C：的焦點坐標為，設，，因為點在拋物線上，所以，由題意可知，三點在一條直線上，直線的斜率為，即直線的方程為，聯立，可得，因為.故選：A19．（2023上·福建福州·高二福建省福州第一中學?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點為F，過F作傾斜角為的直線l交拋物線C與A、B兩點，若線段AB中點的縱坐標為，則拋物線C的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題首先可設、，則、，然后兩式相減，可得，再然后根據、兩點在傾斜角為的直線上得出，最后根據線段中點的縱坐標為即可求出結果.【詳解】設，，則，，兩式相減得，即，因為、兩點在傾斜角為的直線上，所以，即，因為線段中點的縱坐標為，所以，則，，拋物線的方程是，故選：C.20．（2023上·四川綿陽·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，分別過點A，B作準線的垂線，垂足分別記為，，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據拋物線的性質求出焦點坐標和準線方程，設點A、B的坐標，利用平面向量的坐標表示求出A、B的縱坐標，即可求解.【詳解】由題意知，拋物線的焦點為，準線為，設，則，由，得，又，解得，所以，所以的面積為.故選：B.21．（2023上·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）過點的直線l與拋物線交于A，B兩點，F為拋物線的焦點，若.則.【答案】/0.5【分析】設直線方程為與拋物線聯立，結合，利用韋達定理計算可得點A，B的坐標，進而求出向量的坐標，利用向量夾角公式即得.【詳解】設直線的方程為，將直線方程代入拋物線的方程，得，不妨設且，所以，由拋物線的定義知，由可知，，則，所以，，則A，B兩點坐標分別為，,所以，則.故答案為：.22．（2023上·廣東汕尾·高二統(tǒng)考期末）已知傾斜角為的直線過拋物線的焦點，且與交于、兩點（點在第一象限），若，則.【答案】/【分析】設點、，則，將直線的方程與拋物線的方程聯立，求出、，利用拋物線的定義可求得的值，再利用拋物線的定義可求得的值.【詳解】易知點，設點、，因為直線的傾斜角為，且點在第一象限，則，聯立可得，解得，，由拋物線的定義可得，可得，因此，.故答案為：.23．（2023上·山東濰坊·高二統(tǒng)考期末）過拋物線的焦點作傾斜角為的直線，且交該拋物線于，兩點，點在軸左側，則.【答案】/【分析】點斜式設出直線的方程，聯立拋物線方程，求出，兩點的縱坐標，利用拋物線的定義得出，即可得出結論.【詳解】由題知，設直線的方程為：，，，聯立可得，，，從而，.故答案為：24．（2023上·上海閔行·高二上海市七寶中學校考期末）過點作直線與拋物線有且僅有一個交點，這樣的直線可以作出條.【答案】【分析】討論三種情況：當直線的斜率不存在時符合題意；當直線的斜率存在，當時符合題意；當時，過點的直線與拋物線相切符合題意．【詳解】解：（1）當過點的直線斜率不存在時，顯然與拋物線有且只有一個交點，（2）①當過點且直線與拋物線的對稱軸平行，即斜率為時，顯然與拋物線有且只有一個交點，②當直線過點且斜率存在，且與拋物線相切時，直線與拋物線只有一個交點，設直線方程為，代入到拋物線方程，消得：，由已知有，則，解得，即直線方程為，綜上可得：過點的直線l與拋物線有且只有一個交點的直線l共有3條故答案為：325．（2023上·河南三門峽·高二統(tǒng)考期末）拋物線的焦點為，過且傾斜角為的直線與拋物線交于，兩點，點為拋物線上的動點，且點在的右下方，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出直線方程后，聯立拋物線方程，求出弦長，再由點到直線距離得出三角形高，利用二次函數求最值即可.【詳解】由知，則直線為，

設，則D到直線的距離為，又點在的右下方，所以，聯立方程，消元得，設，則，，所以，所以故當時，有最大值.故選：A26．（2023上·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末）如圖，一隧道內設雙行線公路，其截面由一個長方形和拋物線構成.為保證安全，要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5m，已知行車道總寬度|AB|＝6m，那么車輛通過隧道的限制高度約為（

）

A．3.1m B．3.3m C．3.5m D．3.7m【答案】B【分析】根據題意，以拋物線的頂點為原點，對稱軸為y軸，建立直角坐標系，得到拋物線方程，即可得到結果.【詳解】

取隧道截面，以拋物線的頂點為原點，對稱軸為y軸，建立直角坐標系，則，設拋物線方程，將點C代入拋物線方程得，∴拋物線方程為，行車道總寬度，∴將代入拋物線方程，則，∴限度為.故選：B.27．（2023上·福建南平·高二統(tǒng)考期末）過拋物線C：焦點F的動直線交拋物線C于A，B兩點，若E為線段AB的中點，M為拋物線C上任意一點，則的最小值為（

）A．3 B． C．6 D．【答案】A【分析】利用中點關系求出E的軌跡方程，結合橢圓定義由數形結合可得最小值.【詳解】設，E為線段AB的中點，則，又，兩式相減得，由，∴，∴E的軌跡為頂點在的拋物線.如圖所示，、EP垂直C的準線于N、P，則，則當與F重合時，最小，為.故的最小值為3.故選：A.28．（2023上·湖南長沙·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線：的焦點為，點，過點且斜率為的直線與交于A，B兩點，若，則（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】根據拋物線的方程得出焦點的坐標，根據題意可知斜率，設直線的方程為：，其中，設，，聯立直線與拋物線的方程即可根據韋達定理得出，，根據已知得出，即可根據向量運算化簡代入得出，解得，即可得出答案.【詳解】由拋物線：可得其焦點的坐標為，由題意可知斜率，設直線的方程為：，其中，聯立，消去得，，設，，則，，，，而，，則，即，，，，解得，，故選：D.29．（2023上·山東濟寧·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線，拋物線的焦點為，拋物線的準線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，若為正三角形，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據雙曲線方程，把漸近線表示出來，推出兩點坐標，利用為正三角形，列方程解系數既可.【詳解】雙曲線的兩條漸近線方程為，拋物線的焦點為，準線方程為，不妨取，，為正三角形，由對稱性可知，直線的傾斜角為，則，解得，所以雙曲線的兩條漸近線方程為.故選：C30．（2023上·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線，其焦點為是過點的一條弦，定點的坐標是，當取最小值時，則弦的長是.【答案】【分析】如圖，