6-3 第2課時 離散型隨機變量的方差 課件 高中數學新北師大版選擇性必修第一冊 （2023~2024學年）

6.3第2課時新授課離散型隨機變量的方差

均值能夠反映隨機變量取值的“平均水平”，但有時兩個隨機變量的均值相同，其取值卻存在較大的差異，如何來研究這種差異呢？1.通過實例理解離散型隨機變量方差和標準差的含義，了解隨機變量的方差與樣本方差的區(qū)別與聯系.2.能計算簡單離散型隨機變量的方差.知識點一：離散型隨機變量的方差和標準差

設有A,B兩種不同類型的燈泡，通過抽樣，獲得它們的“壽命”分別為X,Y(單位：h).已知X,Y的分布列如下表：X95010001050PY70010001300P哪種類型的燈泡質量更好？直觀上看，A類型的燈泡壽命X與其均值的偏離程度要小一些.根據X,Y的分布列計算可得EX=EY=1000h,A類型的燈泡壽命介于950h~1050h,B類型的燈泡壽命介于700h~1300h,則描述了xi(i=1,2,...,n)相對于均值EX的偏離程度，而

為這些偏離程度的加權平均，刻畫了隨機變量X與其均值EX的平均偏離程度.稱為DX為隨機變量X的方差，其算術平方根為隨機變量X的標準差，記為.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn概念生成若離散型隨機變量X的分布列如表: 隨機變量的方差DX和標準差都反映了隨機變量的取值偏離于均值的平均水平.方差（標準差）越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越??；方差（標準差）越大，則隨機變量的取值越分散.注意點：思考：根據以前所學知識，樣本數據的離散程度是如何表示的？該如何定量刻畫隨機變量取值的離散程度？隨機變量的離散程度樣本數據的離散程度(樣本方差)所有數據與樣本均值的“偏差平方的平均值”?可能取值與均值的“偏差平方的平均值”(隨機變量的方差)通過計算方差，標準差比較上面例子中哪種類型的燈泡質量更好.X95010001050PY70010001300P因為DX<DY(等價地，)，所以A類型的燈泡質量要更好.例1隨機拋擲一枚均勻的骰子,求擲出的點數X的方差和標準差(結果精確到0.01).解：擲出點數X的分布列如表：X123456P;;求離散型隨機變量X的方差的基本步驟：

歸納總結(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值；(2)求X取各個值的概率，寫出分布列；(3)根據分布列，由均值的定義求出EX；(4)根據方差的定義求出DX.

A、B兩臺機床同時加工零件，每生產一批數量較大的產品時，產出次品的概率如下表所示：問哪一臺機床加工質量較好？次品數ξ10123概率P0.70.20.060.04次品數ξ20123概率P0.80.060.040.10練一練

Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,

Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.

它們的期望相同，再比較它們的方差.

Dξ1=(0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2×0.06+(3-0.44)2×0.04=0.6064,

Dξ2=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2×0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264.∴Dξ1<Dξ2

故A機床加工較穩(wěn)定、質量較好.解：例2甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數相等，設ξ，η分別表示甲、乙兩人所加工出的次品件數，且ξ和η的分布列分別如表1和表2：ξ012P表1表2η012P試比較這兩名工人誰的技術水平更高.解：因為即Eξ=Eη，說明甲、乙兩名工人所加工出的平均次品件數相同，可以認為他們的技術水平相當.又因為所以Dξ>