南京大學(xué)《數(shù)值分析》課件-第3章

南京大學(xué)《數(shù)值分析》課件-第3章匯報(bào)人：鄭老師2023-12-31目錄引言第3章內(nèi)容概述第3章知識(shí)點(diǎn)詳解第3章例題解析第3章習(xí)題及答案第3章總結(jié)與展望引言01隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，數(shù)值分析在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛，成為科學(xué)研究和技術(shù)創(chuàng)新的重要工具。數(shù)值分析是一門研究數(shù)學(xué)算法的學(xué)科，旨在解決科學(xué)計(jì)算、工程技術(shù)和實(shí)際應(yīng)用中的各種問題。課程背景學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)值分析的方法解決實(shí)際問題，培養(yǎng)解決實(shí)際問題的能力。掌握數(shù)值分析的基本概念、原理和方法。了解數(shù)值分析與其他學(xué)科的聯(lián)系，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)和應(yīng)用打下基礎(chǔ)。課程目標(biāo)第3章內(nèi)容概述02數(shù)值分析是科學(xué)計(jì)算的重要基礎(chǔ)01數(shù)值分析提供了許多數(shù)值計(jì)算方法，這些方法在科學(xué)計(jì)算中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，如求解微分方程、積分方程、線性方程組等。02數(shù)值分析在工程領(lǐng)域的應(yīng)用在工程領(lǐng)域，數(shù)值分析的方法被廣泛應(yīng)用于各種問題的求解，如結(jié)構(gòu)分析、流體動(dòng)力學(xué)、電磁場(chǎng)模擬等。03數(shù)值分析的發(fā)展趨勢(shì)隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，數(shù)值分析的方法和理論也在不斷進(jìn)步和完善，如并行計(jì)算、有限元方法、譜方法等。數(shù)值分析在科學(xué)計(jì)算中的重要性迭代法的基本原理幾種常見的迭代法介紹雅可比迭代法、高斯-賽德爾迭代法、松弛迭代法等幾種常見的迭代法。迭代法的收斂性分析對(duì)迭代法的收斂性進(jìn)行分析，包括收斂條件、收斂速度等。介紹迭代法的基本概念、收斂性和誤差估計(jì)等。迭代法的應(yīng)用實(shí)例通過具體的應(yīng)用實(shí)例，如求解線性方程組、求解非線性方程組等，展示迭代法的實(shí)際應(yīng)用。第3章的主要內(nèi)容0102學(xué)習(xí)重點(diǎn)掌握迭代法的基本原理和幾種常見的迭代法，理解迭代法的收斂性分析和應(yīng)用實(shí)例。學(xué)習(xí)難點(diǎn)理解迭代法的收斂性分析，掌握如何選擇合適的迭代法以及如何處理迭代法的收斂性問題。第3章的學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)第3章知識(shí)點(diǎn)詳解03數(shù)值逼近的概念通過數(shù)學(xué)方法將物理量逼近某個(gè)已知量。數(shù)值逼近的基本思想將物理量用數(shù)學(xué)表達(dá)式來逼近。數(shù)值逼近的基本原理將物理量用數(shù)學(xué)表達(dá)式來逼近，以獲得對(duì)物理量更精確的描述。數(shù)值逼近的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)以數(shù)學(xué)分析、泛函分析和插值理論為基礎(chǔ)。數(shù)值逼近的應(yīng)用在科學(xué)計(jì)算、工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理中有著廣泛的應(yīng)用。數(shù)值逼近的基本概念在已知離散數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，通過數(shù)學(xué)方法構(gòu)造滿足特定插值條件的插值函數(shù)，并確定捍訂插值算法。插值函數(shù)是插值算法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，用于構(gòu)造插值函數(shù)的方法和過程稱為插值算法。插值法的概念插值法的原理插值法單擊此處添加正文，文字是您思想的提煉，為了最終呈現(xiàn)發(fā)單擊此處添加正文，文字單擊此處添加正文，文字是您思想的提煉，為了最終呈現(xiàn)發(fā)單擊此處添加正文，文字單擊此處添加正文，文字是您思想的提煉，為了最終呈現(xiàn)發(fā)單擊此處添加正文，為了最終呈現(xiàn)發(fā)單擊此處添加正文，文字單擊此處添加正文，文字是您思想的提煉，為了最終呈現(xiàn)發(fā)單擊此處添加正文，為了最終呈現(xiàn)發(fā)單擊此處添加正文，文字單擊此處添加正文，文字是您思想的提煉，為了最終呈現(xiàn)發(fā)單擊此處添加正文為了最終呈現(xiàn)發(fā)單擊此處添加正文，文字單擊此處添加正文，文字是您思想的提煉，為了最終呈現(xiàn)發(fā)單擊此處添加正文。3*41最小第3章例題解析04數(shù)值逼近通過選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)來近似未知函數(shù)，并利用已知數(shù)據(jù)點(diǎn)來估計(jì)未知函數(shù)值的方法。線性插值給定兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)$(x_0,y_0)$和$(x_1,y_1)$，通過直線$y=mx+b$來逼近$y$值，其中$m$和$b$為待求參數(shù)。多項(xiàng)式插值利用多項(xiàng)式來逼近未知函數(shù)，通過選取適當(dāng)?shù)亩囗?xiàng)式來逼近已知數(shù)據(jù)點(diǎn)，并利用拉格朗日插值法或牛頓插值法來求解。樣條插值利用樣條函數(shù)來逼近未知函數(shù)，通過選取適當(dāng)?shù)臉訔l函數(shù)來逼近已知數(shù)據(jù)點(diǎn)，并利用三次樣條插值法或B樣條插值法來求解。數(shù)值逼近的例題解析線性插值例題給定兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)$(1,2)$和$(3,5)$，求$x=2.5$處的$y$值，通過直線$y=mx+b$來逼近$y$值。多項(xiàng)式插值例題給定五個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)$(0,1)$，$(1,2)$，$(2,3)$，$(3,4)$和$(4,5)$，求$x=2.5$處的$y$值，通過拉格朗日插值法或牛頓插值法來逼近$y$值。樣條插值例題給定十個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)$(0,1)$，$(1,2)$，$(2,3)$，$(3,4)$，$(4,5)$，$(5,6)$，$(6,7)$，$(7,8)$，$(8,9)$和$(9,10)$，求$x=2.5$處的$y$值，通過三次樣條插值法或B樣條插值法來逼近$y$值。插值法的例題解析最小二乘法通過最小化誤差平方和來求解線性回歸問題的方法。給定自變量$x$和因變量$y$的觀測(cè)數(shù)據(jù)，通過最小二乘法求解回歸系數(shù)$a$和$b$，得到回歸方程$y=ax+b$。給定多個(gè)自變量和因變量的觀測(cè)數(shù)據(jù)，通過最小二乘法求解回歸系數(shù)矩陣$mathbf{B}$，得到回歸方程組$mathbf{Y}=mathbf{XB}$。給定自變量和因變量的觀測(cè)數(shù)據(jù)，通過最小二乘法求解非線性回歸模型參數(shù)。給定一組觀測(cè)數(shù)據(jù)$(x_i,y_i)$（其中$i=1,2,ldots,n$），利用最小二乘法求解回歸系數(shù)，并預(yù)測(cè)新的觀測(cè)點(diǎn)$(x_{n+1},y_{n+1})$處的因變量值。一元線性回歸非線性回歸例題多元線性回歸最小二乘法的例題解析曲線擬合通過選取適當(dāng)?shù)那€模型來逼近已知數(shù)據(jù)點(diǎn)集的方法。一元多項(xiàng)式擬合給定一元數(shù)據(jù)點(diǎn)集$(x_i,y_i)$（其中$i=1,2,ldots,n$），通過最小二乘法求解多項(xiàng)式系數(shù)，得到擬合曲線。二元多項(xiàng)式擬合給定二元數(shù)據(jù)點(diǎn)集$(x_i,y_i,z_i)$（其中$i=1,2,ldots,n$），通過最小二乘法求解多項(xiàng)式系數(shù)矩陣，得到擬合曲面。例題給定一元數(shù)據(jù)點(diǎn)集$(x_i,y_i)$（其中$i=1,2,ldots,n$），利用一元多項(xiàng)式擬合方法求解多項(xiàng)式系數(shù)，并評(píng)估擬合曲線的精度。曲線擬合的例題解析第3章習(xí)題及答案05題目1簡(jiǎn)述數(shù)值分析在科學(xué)計(jì)算中的作用。題目3編寫一個(gè)求解非線性方程根的程序，使用牛頓迭代法。題目2解釋牛頓迭代法的原理。題目4討論數(shù)值積分的基本思想及其應(yīng)用。第3章習(xí)題數(shù)值分析是科學(xué)計(jì)算中的重要工具，它通過數(shù)值近似方法解決數(shù)學(xué)問題，特別是在無法得到解析解的情況下。數(shù)值分析提供了各種算法和技術(shù)，用于近似求解微分方程、積分方程、線性方程組和非線性方程等。這些算法在科學(xué)計(jì)算、工程、經(jīng)濟(jì)、金融等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。牛頓迭代法是一種求解非線性方程根的數(shù)值方法。它的基本原理是通過不斷逼近方程的根來找到解。具體來說，牛頓迭代法從一個(gè)初始點(diǎn)開始，根據(jù)方程的導(dǎo)數(shù)信息，構(gòu)造一個(gè)迭代公式，不斷更新迭代點(diǎn)，直到達(dá)到所需的精度。這是一個(gè)編程題，需要編寫一個(gè)求解非線性方程根的程序，使用牛頓迭代法。以下是一個(gè)簡(jiǎn)單的Python代碼示例答案1答案2答案3第3章習(xí)題答案```pythondefnewton_method(f,df,x0,eps=1e-6,max_iter=100)第3章習(xí)題答案x=x0foriinrange(max_iter)第3章習(xí)題答案fx=f(x)ifabs(fx)<epsdfx=df(x)第3章習(xí)題答案breakx=x-fx/dfx第3章習(xí)題答案returnx第3章習(xí)題答案```在這個(gè)示例中，`f`是要求解的非線性方程，`df`是`f`的導(dǎo)數(shù)，`x0`是初始點(diǎn)，`eps`是精度要求，`max_iter`是最大迭代次數(shù)。函數(shù)返回迭代得到的近似解。答案4：數(shù)值積分的基本思想是通過將積分區(qū)間分成若干小區(qū)間，然后在每個(gè)小區(qū)間上用矩形法或梯形法近似計(jì)算積分。這種方法可以處理無法得到解析解的積分問題。數(shù)值積分的應(yīng)用非常廣泛，包括物理、工程、經(jīng)濟(jì)、金融等領(lǐng)域中的各種積分計(jì)算問題。010203第3章習(xí)題答案第3章總結(jié)與展望06解線性方程組的迭代法講解了雅可比迭代法、高斯-賽德爾迭代法和松弛法等迭代方法，以及收斂性和誤差分析。非線性方程求解介紹了牛頓法和二分法等非線性方程求解方法，以及如何處理方程的局部性質(zhì)。矩陣特征值與特征向量討論了矩陣特征值和特征向量的基本概念，以及如何用迭代法求解特征值和特征向量。數(shù)值積分介紹了數(shù)值積分的基本概念、常用方法（