高中數(shù)學(xué)平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及常見題型兩篇

PAGE12平面向量一.向量的基本概念與基本運(yùn)算1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用……來(lái)表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫字母表示，如：幾何表示法，；坐標(biāo)表示法向量的大小即向量的模（長(zhǎng)度），記作||即向量的大小，記作｜｜向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大?。诹阆蛄浚洪L(zhǎng)度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量＝｜｜＝0由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，（注意與0的區(qū)別）③單位向量：模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量向量為單位向量｜｜＝1④平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可以移到同一直線上方向相同或相反的向量，稱為平行向量記作∥由于向量可以進(jìn)行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量⑤相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過(guò)平移后總可以重合，記為大小相等，方向相同=6\*GB3⑥相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量記作.2向量加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法設(shè)，則+==（1）；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；“三角形法則”與“平行四邊形法則”：（1）用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對(duì)角線，而差向量是另一條對(duì)角線，方向是從減向量指向被減向量（2）三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)3向量的減法①相反向量：與長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量記作,零向量的相反向量仍是零向量關(guān)于相反向量有：（i）=；(ii)+()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=②向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，記作：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法③作圖法：可以表示為從的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量（、有共同起點(diǎn)）4實(shí)數(shù)與向量的積：①實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量，記作λ，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，λ的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，λ的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，，方向是任意的②數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律5兩個(gè)向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得=6平面向量的基本定理：如果是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底二.平面向量的坐標(biāo)表示1平面向量的坐標(biāo)表示：如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同.2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若，則若，則若=(x,y)，則=(x,y)若，則若，則若，則三．平面向量的數(shù)量積1兩個(gè)向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，則·=︱︱·︱︱cos已知兩個(gè)向量，則·=2向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量與，作=,=,則∠AOB=（）叫做向量與的夾角cos==當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量與同方向時(shí)，θ=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時(shí)θ=1800.4向量的模：5.向量平行：若，則6．向量垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作⊥⊥·＝O平面向量常見題型題型1.基本概念判斷正誤：1.給出下列命題：①若||＝||，則=；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若=，=，則=，④=的充要條件是||=||且//；⑤若//，//，則//，其中正確的序號(hào)是題型2.向量的加減運(yùn)算1．下列命題中正確的是（）A．B．C．D．2.設(shè)表示“向東走8km”,表示“向北走6km”,則.3.化簡(jiǎn).4．若菱形的邊長(zhǎng)為，則__________.5.已知的和向量，且，則，.6.已知點(diǎn)C在線段AB上，且,則，.題型3.向量的數(shù)乘運(yùn)算1.計(jì)算：（1）（2）2.已知，則.題型4.作圖法球向量的和已知向量，如下圖，請(qǐng)做出向量和.題型5.根據(jù)圖形由已知向量求未知向量已知在中，是的中點(diǎn)，請(qǐng)用向量表示.2.在平行四邊形中，已知，求.3.已知向量，，，若用和表示，則=____。4.已知，，，請(qǐng)將用向量表示向量.題型6.向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.已知，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是.2.已知，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是.3.若物體受三個(gè)力,,,則合力的坐標(biāo)為.4.已知，，求，，.5.已知,向量與相等，求的值.6.已知，，，則.7.已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，，且，求的坐標(biāo).題型7.結(jié)合三角函數(shù)求向量坐標(biāo)已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，，，求的坐標(biāo).2.已知是原點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，，，求的坐標(biāo).題型8.求數(shù)量積1.已知，且與的夾角為，求（1），（2），（3），（4）.2.已知，求（1），（2），（3），（4）.題型9.求向量的夾角1.已知，，求與的夾角.2.已知，求與的夾角.3.已知，，，求.4.已知，，（1）若與的夾角為鈍角，求的范圍；（2）若與的夾角為銳角，求的范圍.5.已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角6．若，且，則向量與的夾角為．題型10.求向量的模1.已知，且與的夾角為，求（1），（2）.2.已知，求（1），（5），（6）.3.已知，，求.題型11.求單位向量【與平行的單位向量：】1.與平行的單位向量是.2.與平行的單位向量是.題型12.向量的平行與垂直1.已知向量，，且，求實(shí)數(shù)的值2.已知，，當(dāng)為何值時(shí)，（1）？（2）？3.已知，，（1）為何值時(shí)，向量與垂直？（2）為何值時(shí)，向量與平行？4.已知是非零向量，，且，求證：.5．若,，與的夾角為，若，則的值為．6.已知，，，按下列條件求實(shí)數(shù)的值.（1）；（2）；題型13.三點(diǎn)共線問(wèn)題1.已知，，，求證：三點(diǎn)共線.2.設(shè)，求證：三點(diǎn)共線.3.已知，則一定共線的三點(diǎn)是.4.已知，，若點(diǎn)在直線上，求的值.5.已知四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，，，，是否存在常數(shù)，使成立？題型14.判斷多邊形的形狀1.若，，且,則四邊形的形狀是.2.已知，，，，證明四邊形是梯形.3.已知，，，求證：是直角三角形.4.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，,求證：是等腰直角三角形.平面向量的基礎(chǔ)訓(xùn)練1、化簡(jiǎn)：(1)（)－()=.(2)=2.已知，則.3.已知，，，則.4.已知向量和向量的夾角為，，則向量和向量的數(shù)量積=。5.已知向量，則（）A.B.C.D.6．向量，，若與平行，則等于

A．B．C．D．7．若是非零向量且滿足，，則與的夾角是（）A．B．C．D．8．設(shè)，，且，則銳角為（）A．B．C．D．9.已知，，當(dāng)為何值時(shí)，向量與平行？10.已知兩向量，求當(dāng)垂直時(shí)的x的值.11.已知兩向量，的夾角為銳角，求的范圍.12.已知，且，，求的坐標(biāo).13.已知同向，，則，求的坐標(biāo).14.已知，，當(dāng)為何值時(shí)，（1）與的夾角為鈍角？（2）與的夾角為銳角？15、非零向量（＋）與（2－）互相垂直，（－2）與（2+）互相垂直，求向量與的夾角的余弦值。16.已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，求第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).平面向量一.向量的基本概念與基本運(yùn)算1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用……來(lái)表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫字母表示，如：幾何表示法，；坐標(biāo)表示法向量的大小即向量的模（長(zhǎng)度），記作||即向量的大小，記作｜｜向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小．②零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量＝｜｜＝0由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問(wèn)題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個(gè)條件．（注意與0的區(qū)別）③單位向量：模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量向量為單位向量｜｜＝1④平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可以移到同一直線上方向相同或相反的向量，稱為平行向量記作∥由于向量可以進(jìn)行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量⑤相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過(guò)平移后總可以重合，記為大小相等，方向相同2向量加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法設(shè)，則+==（1）；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：（1）用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對(duì)角線，而差向量是另一條對(duì)角線，方向是從減向量指向被減向量（2）三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)公共時(shí)，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時(shí)，用三角形法則．向量加法的三角形法則可推廣至多個(gè)向量相加：，但這時(shí)必須“首尾相連”．3向量的減法①相反向量：與長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量記作,零向量的相反向量仍是零向量關(guān)于相反向量有：（i）=；(ii)+()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=②向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，記作：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法③作圖法：可以表示為從的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量（、有共同起點(diǎn)）4實(shí)數(shù)與向量的積：①實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量，記作λ，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，λ的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，λ的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，，方向是任意的②數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律5兩個(gè)向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得=6平面向量的基本定理：如果是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底7特別注意:（1）向量的加法與減法是互逆運(yùn)算（2）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件（3）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況（4）向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線條的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無(wú)關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)二.平面向量的坐標(biāo)表示1平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(duì)(x,y)是一一對(duì)應(yīng)的，因此把(x,y)叫做向量的坐標(biāo)，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)(1)相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量(2)向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無(wú)關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若，則若，則若=(x,y)，則=(x,y)若，則若，則若，則3向量的運(yùn)算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量（內(nèi)積）及其各運(yùn)算的坐標(biāo)表示和性質(zhì)運(yùn)算類型幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)向量的加法1平行四邊形法則2三角形法則向量的減法三角形法則向量的乘法是一個(gè)向量,滿足:>0時(shí),與同向;<0時(shí),與異向;=0時(shí),=∥向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)或時(shí),=0且時(shí),,三．平面向量的數(shù)量積1兩個(gè)向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，則·=︱︱·︱︱cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積）規(guī)定2向量的投影：︱︱cos=∈R，稱為向量在方向上的投影投影的絕對(duì)值稱為射影3數(shù)量積的幾何意義：·等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積4向量的模與平方的關(guān)系：5乘法公式成立：；6平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：①交換律成立：②對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：③分配律成立：特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：已知兩個(gè)向量，則·=8向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量與，作=,=,則∠AOB=（）叫做向量與的夾角cos==當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量與同方向時(shí)，θ=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時(shí)θ=1800，同時(shí)與其它任何非零向量之間不談夾角這一問(wèn)題9垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作⊥10兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：⊥·＝O平面向量數(shù)量積的性質(zhì)題型1.基本概念判斷正誤：（1）共線向量就是在同一條直線上的向量.（2）若兩個(gè)向量不相等，則它們的終點(diǎn)不可能是同一點(diǎn).（3）與已知向量共線的單位向量是唯一的.（4）四邊形ABCD是平行四邊形的條件是.（5）若，則A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形.（6）因?yàn)橄蛄烤褪怯邢蚓€段，所以數(shù)軸是向量.（7）若與共線，與共線，則與共線.（8）若，則.（9）若，則.（10）若與不共線，則與都不是零向量.（11）若，則.（12）若，則.題型2.向量的加減運(yùn)算1.設(shè)表示“向東走8km”,表示“向北走6km”,則.2.化簡(jiǎn).3.已知,,則的最大值和最小值分別為、.4.已知的和向量，且，則，.5.已知點(diǎn)C在線段AB上，且,則，.題型3.向量的數(shù)乘運(yùn)算1.計(jì)算：（1）（2）2.已知，則.題型4.作圖法球向量的和已知向量，如下圖，請(qǐng)做出向量和.題型5.根據(jù)圖形由已知向量求未知向量1.已知在中，是的中點(diǎn)，請(qǐng)用向量表示.2.在平行四邊形中，已知，求.題型6.向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.已知，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是.2.已知，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是.3.若物體受三個(gè)力,,,則合力的坐標(biāo)為.4.已知，，求，，.5.已知,向量與相等，求的值.6.已知，，，則.7.已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，，且，求的坐標(biāo).題型7.判斷兩個(gè)向量能否作為一組基底1.已知是平面內(nèi)的一組基底，判斷下列每組向量是否能構(gòu)成一組基底：A.B.C.D.2.已知，能與構(gòu)成基底的是（）A.B.C.D.題型8.結(jié)合三角函數(shù)求向量坐標(biāo)1.已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，，，求的坐標(biāo).2.已知是原點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，，，求的坐標(biāo).題型9.求數(shù)量積1.已知，且與的夾角為，求（1），（2），（3），（4）.2.已知，求（1），（2），（3），（4）.題型10.求向量的夾角1.已知，，求與的夾角.2.已知，求與的夾角.3.已知，，，求.題型11.求向量的模1.已知，且與的夾角為，求（1），（2）.2.已知，求（1），（5），（6）.3.已知，，求.題型12.求單位向量【與平行的單位向量：】1.與平行的單位向量是.2.與平行的單位向量是.題型13.向量的平行與垂直1.已知，，當(dāng)為何值時(shí)，（1）？（2）？2.已知，，（1）為何值時(shí)，向量與垂直？（2）為何值時(shí)，向量與平行？3.已知是非零向量，，且，求證：.題型14.三點(diǎn)共線