四川省眉山市仁壽第一中學(xué)南校區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月階段性模擬測試數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

仁壽一中南校區(qū)2022級高二下12月階段性模擬測試第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.“”是“直線和直線平行”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件【答案】A【解析】【分析】分別當(dāng)時，判斷兩直線的位置關(guān)系和當(dāng)兩直線平行且不重合時，求的范圍．【詳解】當(dāng)時，兩直線分別為：，，兩直線斜率相等，則平行且不重合．若兩直線平行且不重合，則或，綜上所述，是兩直線平行的充分不必要條件．故選：A2.某廣場的一個橢球水景雕塑如圖所示，其橫截面為圓，過橫截面圓心的縱截面為橢圓，該橢圓的離心率為．若該橢球橫截面的最大直徑為米，則該橢球的高為（）A.米 B.米 C.4米 D.米【答案】D【解析】【分析】利用橢圓的幾何性質(zhì)解題即可.【詳解】由題意可知，，則，由該橢球橫截面的最大直徑為米，可知米，所以米，米，該橢球的高為米．故選：D3.圓上的點到直線距離的取值范圍是（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而得出圓心和半徑，利用點到直線的距離公式及圓上的點到直線距離的最值問題即可求解.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心坐標(biāo)為，半徑，圓心到直線的距離為，所以圓上的點到該直線的距離的取值范圍是，即，故選：A..4.已知橢圓以及橢圓內(nèi)一點，則以為中點的弦所在直線的斜率為（）A. B. C.4 D.4【答案】A【解析】【分析】設(shè)出交點代入橢圓方程，相減化簡得到答案.【詳解】設(shè)弦與橢圓交于，，斜率，則，，相減得到，即，解得.故選：A.5.已知點，，，，則直線，的位置關(guān)系是（）A.平行 B.相交 C.重合 D.異面【答案】D【解析】【分析】計算、、的坐標(biāo)，由空間向量共線定理可證明選項A，C不正確，再證明三個向量不共面即可求證直線，不相交，即可得直線，的位置關(guān)系.【詳解】因為點，，，，所以，，，因為不存在實數(shù)，使得，所以、不共線，所以直線，不平行，不重合，故選項A、D不正確；假設(shè)、、三個向量共面，設(shè)，則，此方程組無解，可得、、三個向量不共面，所以直線，不相交，所以直線，異面，故選：D.6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點，若直線：上存在點M，使得，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件及兩點間的距離公式，結(jié)合直線與圓有公共點的條件即可求解.【詳解】設(shè)，由，可得，整理得，因為直線：與圓有公共點，所以，即，解得或．所以的取值范圍為.故選：B.7.已知拋物線C：，點M在C上，直線l：與x軸、y軸分別交于A，B兩點，若面積最小值為，則（）A.44 B.4 C.4或44 D.1或4【答案】B【解析】【分析】為定值，設(shè)則可將面積表示為以為自變量的二次函數(shù)，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可將面積的最小值用表示出來，因為面積的最小值為，解方程可以求出的值.【詳解】不妨設(shè)，，由，，知．設(shè)，則，故，故.故選：B．8.已知雙曲線的右焦點為，過點的直線與雙曲線的右支交于，兩點，且，點關(guān)于原點的對稱點為點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由雙曲線的性質(zhì)可得四邊形為矩形，然后結(jié)合雙曲線的定義及的勾股定理可得，，再由的勾股定理即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點為，連接，，，如圖所示，又因為，所以，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，由雙曲線的定義可得：，，又因為為直角三角形，所以，即，解得，所以，，又因為為直角三角形，，所以，即：，所以，即.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.直線經(jīng)過點，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等，則直線的方程可能是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意，分直線的截距為0和直線的截距不為0，兩種情況討論，結(jié)合直線的截距式方程，即可求解.【詳解】當(dāng)直線的截距為0時，此時直線的方程為，即．當(dāng)直線的截距不為0時，設(shè)直線的方程為，則，解得或，當(dāng)時，可得直線的方程為，即；若時，可得則直線的方程為，即．故選：BCD.10.如圖，在棱長為的正方體中，點在線段上運動，則下列判斷中正確的是（）A.三棱錐的體積是B.平面C.平面與平面所成的二面角為D.異面直線與所成角的范圍是【答案】AB【解析】【分析】利用等體積法，求得三棱錐的體積，即可得判斷A的正誤；利用面面平行的判定定理，可證平面平面，又平面，即可判斷B的正誤；根據(jù)面面垂直的判定定理，可證平面平面，可判斷C的正誤；分析可得點P位于兩端點時，與所成的角最小，P位于中點時，與所成角最大，即可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】對于A：因為C到平面的距離不變，為的一半，等于，的面積不變，且所以三棱錐的體積不變，根據(jù)等體積法可得，故A正確；對于B：連接DB，DP，，因為正方體，所以平面，平面，所以平面，同理平面，，所以平面平面，又平面，所以平面，故B正確.對于C：因為，，所以平面，所以，同理，所以平面，所以平面平面，故C錯誤；對于D：因為，所以異面直線與所成角等于與所成的角，因為，當(dāng)P與兩端點重合時，與所成的角最小，且為，當(dāng)P位于中點時，與所成角最大，且為，所以異面直線與所成角的范圍是，故D錯誤.故選：AB.【點睛】證明線面平行時，常用判定定理，即線線平行推出線面平行，也可用面面平行的性質(zhì)定理，即先證兩個面平行，一個面內(nèi)一條線平行另一個平面，也可得線面平行.11.畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓C：的離心率為，分別為橢圓的左?右焦點，為橢圓上兩個動點.直線的方程為.下列說法正確的是（）A.的蒙日圓的方程為B.對直線上任意點，C.記點到直線的距離為，則的最小值為D.若矩形的四條邊均與相切，則矩形面積的最大值為【答案】AD【解析】【分析】由在蒙日圓上可得蒙日圓方程，結(jié)合離心率可得關(guān)系，由此可知A正確；由過且在蒙日圓上，可知當(dāng)恰為切點時，，知B錯誤；根據(jù)橢圓定義可將轉(zhuǎn)化為，可知時，取得最小值，由點到直線距離公式可求得最小值，代入可得的最小值，知C錯誤；由題意知蒙日圓為矩形的外接圓，由矩形外接圓特點可知矩形長寬與圓的半徑之間的關(guān)系，利用基本不等式可求得矩形面積最大值，知D正確.【詳解】對于A，過可作橢圓的兩條互相垂直的切線：，，在蒙日圓上，蒙日圓方程為：；由得：，的蒙日圓方程為：，A正確；對于B，由方程知：過，又滿足蒙日圓方程，在圓上，過，當(dāng)恰為過作橢圓兩條互相垂直切線的切點時，，B錯誤；對于C，在橢圓上，，；當(dāng)時，取得最小值，最小值為到直線的距離，又到直線的距離，，C錯誤；對于D，當(dāng)矩形的四條邊均與相切時，蒙日圓為矩形的外接圓，矩形的對角線為蒙日圓的直徑，設(shè)矩形的長和寬分別為，則，矩形的面積（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），即矩形面積的最大值為，D正確.故選：AD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查圓錐曲線中的新定義問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)蒙日圓的定義，結(jié)合點在蒙日圓上，得到蒙日圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而結(jié)合圓的方程來判斷各個選項.12.用于加熱水和食物的太陽灶應(yīng)用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：一束平行于拋物線對稱軸的光線，經(jīng)過拋物面（拋物線繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面叫拋物面）反射后，集中于它的焦點.用一過拋物線對稱軸的平面截拋物面，將所截得的拋物線C放在平面直角坐標(biāo)系中，對稱軸與x軸重合，頂點與原點重合.若拋物線C：的焦點為F，O為坐標(biāo)原點，一條平行于x軸的光線從點M射入，經(jīng)過C上的點反射，再經(jīng)過C上另一點反射后，沿直線射出，則（）A.C的準(zhǔn)線方程為B.C.若點，則D.設(shè)直線AO與C的準(zhǔn)線的交點為N，則點N在直線上【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，可判定A正確；設(shè)直線，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，可判定B錯誤；根據(jù)，求得，可判定C錯誤；由，聯(lián)立方程組得到，結(jié)合，可判定D正確.【詳解】由題意，拋物線，可得焦點，準(zhǔn)線方程為，所以A正確；由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線經(jīng)過焦點F，且斜率不為0，設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，可得，所以，所以B錯誤；若點，則，所以，所以，，所以，所以C錯誤；又由直線，聯(lián)立方程組，解得，由，得，所以，所以點N在直線上，所以D正確.故選：AD.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡上．13.已知雙曲線的離心率為2，則_________．【答案】【解析】【分析】利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，即可求得.【詳解】由可得，利用離心率為，可得，解得.故答案為：14.如圖，圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，母線長，過的中點B作OA的垂線交圓O于點C，則異面直線與所成角的大小為_____.【答案】【解析】【分析】證明或其補角為異面直線與所成的角，然后在直角（需要證明其為直角三角形）中求得角的大?。驹斀狻吭谥苯翘菪沃?，因為B為OA的中點，，所以，連接，又，所以是平行四邊形，所以，所以或其補角為異面直線與所成的角，是圓臺的高，則它與底面垂直，所以與底面垂直，從而它與底面上的直線垂直，在直角三角形中，，所以，連接OC，在直角三角形OBC中，由，，得；在直角三角形中，，所以.故答案為：．15.已知點在曲線上運動，則的最大值為__________．【答案】##【解析】【分析】曲線表示以原點為圓心，2為半徑的上半個圓，表示上半圓上的點與連線的斜率，作出圖形，可知當(dāng)直線與半圓相切時的斜率即得解.【詳解】變形為，它是以原點為圓心，2為半徑的上半圓，如圖，在上半圓上，表示點與連線的斜率，由題意得，當(dāng)直線與半圓相切時斜率最大，設(shè)直線與半圓相切時直線斜率為，直線方程，即，因此，解得（由圖舍去），所以的最大值為.故答案為：16.已知斜率為k的直線l過拋物線的焦點，且與拋物線C交于A，B兩點，拋物線C的準(zhǔn)線上一點滿足，則______．【答案】【解析】【分析】求出拋物線的方程為，其焦點為．直線的方程為．利用，說明在以為直徑的圓上．設(shè)點，，，，利用平方差法求出斜率，設(shè)的中點為，，推出．通過點，在直線上，結(jié)合點是以為直徑的圓的圓心．轉(zhuǎn)化求解直線的斜率，求解弦長即可．【詳解】解：由題意知，拋物線的準(zhǔn)線為，即，得，所以拋物線的方程為，其焦點為．因為直線過拋物線的焦點，所以直線的方程為．因為，所以在以為直徑的圓上．設(shè)點，，，，聯(lián)立方程組兩式相減可得．設(shè)的中點為，，則．因為點，在直線上，所以，所以點是以為直徑的圓的圓心．由拋物線的定義知，圓的半徑，因為，所以，解得，所以弦長．故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗算步驟.17.已知直線l1：2x+y+3＝0，l2：x﹣2y＝0．(1)求直線l1關(guān)于x軸對稱的直線l3的方程，并求l2與l3的交點P；(2)求過點P且與原點O（0，0）距離等于2的直線m的方程．【答案】(1)2x﹣y+3＝0，P（﹣2，﹣1）；(2)3x+4y+10＝0或x＝﹣2.【解析】【分析】(1)由對稱關(guān)系求直線l3的方程，聯(lián)立l2與l3的方程，求點P的坐標(biāo)，(2)當(dāng)直線m的斜率存在時，設(shè)直線m的點斜式方程，由點到直線距離公式列方程求斜率，由此可得直線m的方程，再檢驗過點P的斜率不存在的直線是否滿足要求.【詳解】(1)由題意，直線l3與直線l1的傾斜角互補，從而它們的斜率互為相反數(shù)，且l1與l3必過x軸上相同點，∴直線l3的方程為2x﹣y+3＝0，由解得∴P（﹣2，﹣1）．(2)當(dāng)直線m的斜率存在時，設(shè)直線m的方程為y+1＝k（x+2），即kx﹣y+2k﹣1＝0，∴原點O（0，0）到直線m距離為，解得，∴直線m方程為3x+4y+10＝0，當(dāng)直線m的斜率不存在時，直線x＝﹣2滿足題意，綜上直線m的方程為3x+4y+10＝0或x＝﹣2．18.《九章算術(shù)》中將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑中，平面，平面，為的中點，．（1）設(shè)，，，用表示；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）連接，利用空間向量的線性運算，準(zhǔn)確化簡、運算，即可求解；（2）根據(jù)題意，利用空間向量的線性運算和向量的數(shù)量積的運算公式，準(zhǔn)確計算，即可求解.【小問1詳解】解：如圖所示，連接，可得，因為為的中點，則，所以，所以.【小問2詳解】解：因為，所以，因為平面，平面，且平面,平面，所以，又因為，所以，所以.19.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有三個定點，，，記的外接圓為E.（1）求圓E的方程；（2）若直線與圓E沒有公共點，求m的取值范圍.【答案】19.；20..【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求圓的方程即可；（2）利用幾何法判定直線與圓位置關(guān)系計算即可求參數(shù)范圍.【小問1詳解】設(shè)圓的方程為：，代入A、B、C三點坐標(biāo)可得：，解之得，所以圓的方程為：；【小問2詳解】由（1）知，即圓心，半徑為，由題意可知E到的距離或，即.20.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為菱形，，為的中點，．為上的一點，且與平面所成角的正弦值為．（1）證明：平面平面；（2）試確定的值，并求出平面與平面所成二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）；平面與平面所成二面角的正弦值為【解析】【分析】（1）取中點，利用等腰三角形三線合一性質(zhì)和勾股定理可分別證得，，由線面垂直和面面垂直的判定可證得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由線面角的向量求法可構(gòu)造方程求得，由此可得；利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.【小問1詳解】取中點，連接，，為中點，；，，；四邊形為菱形，，為等邊三角形，，又分別為中點，，，即；，平面，平面，平面，平面平面.【小問2詳解】連接，由（1）知：為等邊三角形，，；以為坐標(biāo)原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，；設(shè)，則，，軸平面，平面的一個法向量，，解得：（舍）或，即，；由得：，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；軸平面，平面的一