階躍函數(shù)和沖激函數(shù)97341

階躍函數(shù)

沖激函數(shù)是兩個(gè)典型的奇異函數(shù)。階躍函數(shù)和沖激函數(shù)

函數(shù)本身有不連續(xù)點(diǎn)(跳變點(diǎn))或其導(dǎo)數(shù)與積分有不連續(xù)點(diǎn)的一類(lèi)函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為奇異信號(hào)或奇異函數(shù)。一、單位階躍函數(shù)下面采用求函數(shù)序列極限的方法定義階躍函數(shù)。選定一個(gè)函數(shù)序列γn(t)如圖所示。1.定義2.延遲單位階躍信號(hào)3.階躍函數(shù)的性質(zhì)（1）可以方便地表示某些信號(hào)

f(t)=2ε(t)-

3ε(t-1)+ε(t-2)（2）用階躍函數(shù)表示信號(hào)的作用區(qū)間（3）積分

二．單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)是個(gè)奇異函數(shù)，它是對(duì)強(qiáng)度極大，作用時(shí)間極短一種物理量的理想化模型。

狄拉克(Dirac)定義

函數(shù)序列定義δ(t)

沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系

沖激函數(shù)的性質(zhì)1.狄拉克(Dirac)定義函數(shù)值只在t=0時(shí)不為零；

積分面積為1；

t=0時(shí)，，為無(wú)界函數(shù)。

2.函數(shù)序列定義δ(t)對(duì)γn(t)求導(dǎo)得到如圖所示的矩形脈沖pn(t)。

求導(dǎo)高度無(wú)窮大，寬度無(wú)窮小，面積為1的對(duì)稱(chēng)窄脈沖。3.δ(t)與ε(t)的關(guān)系求導(dǎo)n→∞求導(dǎo)引入沖激函數(shù)之后，間斷點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也存在f(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)f′(t)=2δ(t+1)-2δ(t-1)求導(dǎo)三．

沖激函數(shù)的性質(zhì)

取樣性沖激偶

尺度變換復(fù)合函數(shù)形式的沖激函數(shù)1.取樣性(篩選性)對(duì)于平移情況：如果f(t)在t=0處連續(xù)，且處處有界，則有

證明舉例沖激函數(shù)取樣性質(zhì)證明分t=0和t≠0兩種情況討論

當(dāng)t≠0時(shí)，δ(t)=0，f(t)δ(t)=0，(注意：當(dāng)t≠0時(shí))積分結(jié)果為0

當(dāng)t=0時(shí)，δ(t)≠0，f(t)δ(t)=f(0)δ(t)

，(注意：當(dāng)t=0時(shí))取樣性質(zhì)舉例0ε(t)2.沖激偶τ↓沖激偶的性質(zhì)

①

f(t)δ’(t)=f(0)δ’(t)–f’(0)δ(t)證明②證明δ(n)(t)的定義：δ’(t)的平移：③例沖激偶積分證明利用分部積分運(yùn)算3.對(duì)

(t)的尺度變換證明推論:(1)δ(2t)=0.5δ(t)(2)當(dāng)a=–1時(shí)所以，δ(–t)=δ(t)為偶函數(shù)，

δ’(–t)=–δ’(t)為奇函數(shù)舉例沖激信號(hào)尺度變換的證明從定義看：

p(t)面積為1，強(qiáng)度為1

p(at)面積為

，強(qiáng)度為

舉例已知f(t)，畫(huà)出g(t)=f’(t)和g(2t)求導(dǎo)，得g(t)