2020-2021學年高中數(shù)學單元檢測05 解三角形中的求范圍問題（解析版）

02解三角形中的求范圍問題

一、必備知識：

1.兩角和差公式：

(l)sinAcosB+cosAsinB=(2)sinAcosB-cosAsinB=

(3)cosAcosB-sinAsinB=(4)cosAcosB+sinAsinB=

2.兩倍角公式：

(l)sin2A=(2)sin2A=(3)cos2A=

3.基本不等式公式：

(1)?2+從2(a,hGR),當且僅當a=b時取等.

(2)a+b>oy答2?b〉0)，當且僅當a=8時取等.

4.輔助角公式：

asin0+bcos0=,其中tan0=

5.三角形的基本性質(zhì)：

(1)大邊對大角，大角對大邊

(2)AABC中，因為A+B+C=所以有：

sin(A+B)=,cos(A+B)=,tan(A+3)=

自檢自測：

1.(l)sin(A+B)(2)sin(A-B)(3)cos(A+B)(4)cos(A-B)

小Leos2A/c\l+cos2A

2.(l)2smAcos4A(2)一-一(3)一--

3.(1)2必(2)2\[ab,ab4.[a?+b?sin(6+e)，—5.(2)乃，sinC，-cosC,-tanC

二、題組：

題組一：

例1.⑴已知A/WC的內(nèi)角A,5,C的對邊分別為a,b,c,C=署，求cos2A+cos(A-B)的取值范圍.

【答案】（0,6]

2TC7T

【詳解】因為C=W乃，A+B=-,B=--A,

333

cos[24一

所以cos2A+cos（A-3）=cos24+=-cos2A+-sin2A=V3s:inf2A+y

22

又?..（）<g<2A+（<萬百sin（2A+W）e（0,,6]

（2）已知A/IBC的內(nèi)角A,3,C的對邊分別為“也c,C=2A,求cos2A+cos（A-B）的取值范圍.

【答案】f—1,—'j

【詳解】因為C=2A,A+B+C=?,B=〃-3A,

所以cos2A+cos（A-8）=cos2A+cos（—乃+4A）=cos2A+cos4A=-2cos22A+cos2A+1

又?.,（）<2A<7r,.'.—1<cos2A<1cos2A+cos（A-5）e

（3）在銳角A48c中，已知A=23,a力分別為角的對邊，則色的取值范圍是—

b

【答案】（夜,6）

【解析】?.?銳角AABC中，A=2B,.?.。=乃一（4+8）=萬一33,

71

0<2B<-

2

TT大口乃c兀6cXa2RsinAsinAsin2B

由4O<B<-MJ<cosfi<->-=---------=------=--------=2cosBe

26422b2/?sinBsinBsinB

7t

0〈》一38〈一

2

TFb+c

（4）已知銳角△ABC的內(nèi)角A,3,C的對邊分別為a,b,c,A=-,求二^的取值范圍.

3a

【答案】（百,2]

【詳解】由正弦定理得：把=g1ng+smC因為A+8+C=乃,且4=生，所以。=也—B代入上

asinA33

2>3

sinB+sinC^-fijsinB+—cosB>/3sin13+；

1￡________I322sin[8+z,

式化簡得:=)_2

asinAsinAsinA

7tcc7t

0<B<-0<B<—

227t7t

又A43C為銳角三角形，則有《乙=><n—<Bn<一

八2乃八762

0<C<-0<B<—

2[32

所以任<8+四〈竺，則有正<sin(B+三]W1,即百<生=42.

3632I6ja

(5)銳角AABC的三邊分別為4c,a=?cosB,則￡的取值范圍是()

b

A.[1,3)B.—,2C.D.[1,2)

【答案】D

【詳解】由a=2Z?cosB得sinA=2sinBcos5=sin25，又A3e(0,不)所以A=2B或A=萬一23.

71

0<B<-,

2

TTTT7T

0<2B<-,解得土<臺(生

因為AA5c是銳角三角形，所以：當A=23時，，

264

0<兀-(2B+8)<,，

?2(11)sinCsin(7-35)sin3B

所以sin5De,M時一=-----=-1------=3-4sin2Be(l,2).

\42JbsinBsinBsinB

當4+23=4時，B=C,這時￡=1.故選：D.

h

練習：

1.在AABC中，C=3B,則￡的取值范圍為()

b

A.—B.(0,3)C.(1,V3)D.(1,3)

、22,

【答案】D

n

【詳解】因為C=3B,且A+B+C=?,所以4+48=不，即A=;r-4Be(0,%),所以Be0,,所

sinCsin38_sin2BcosB+cos2BsinB

以￡==2cos2B+COS2JB=2COS2B-I-1G（1,3）,選D

bsin3sinBsinB

Af}

2.在銳角三角形ABC中,A=3,則一的取值范圍是

AC

【答案】（0,0）

CA兀八4兀

0<A<一0cAe一

22

71717171

【詳解】銳角△ABC中，，0<B<-,即，0<B<-,：.—<B<—

2242

TT

0<C<-

[2[2

"rrmmABACABsinCsin（乃一28）sin2B2sinBcosB_

由正弦定理二一=-一，可得——=-----=—-------人=-------=----------------=2cos」

sinCsinBACsinBsinBsinBsinB

Q-<fi<-,.-.0<cos5<—,.,.2cosBe（0,V2）,即空e（0,夜）.故答案為：（（）,行）.

422''AC

3.在銳角三角形ABC中，已知A=2C，則3的范圍是（）

C

A.（0,2）B.（72,2）C.（V2,>/3）D.（6,2）

【答案】C

【詳解】色=絲4=任2c=2cosC,又A+8+C=萬，A=2C，銳角三角形ABC,

csinCsinC

（5

一<C<一,故cosCe,—,故.故選；C.

64（22）c

4.若AABC的面積為左（/+,2—廿），且NC為鈍角,￡的取值范圍是（

a

A.（0,2）B.（0,君）C.（V3,+oo）D.（2,+oo）

【答案】D

222222

【詳解】e?*a+c-b=laccosB<??S^ABC=^-（a+c-b）=^-x2accosB=^acsinB，

tanB=y/3，BE.（0,TT）/.B=一,?二A+C=—，又C為鈍角，二?。<A<—?

336

.?.0<tanA（正，1>6,由正弦定理得c_sinC_.（笄一A）_geosA+gsinA

asinAsinAsinA

=—.——+—xV3+-=2.故選：D.

2tanA222

b

5.在銳角△A6C中A=28,B,。的對邊長分別是b,c,則的取值范圍是（）

b+c

11、J_223、

A.B.C.D.

453,2535a

【答案】B

(也、

【詳解】在銳角AABC中，NA=2NB???()<A<],()<C<5,:.N8e(30°,45°),cosBe3

2'27

COS2BG_L1,而sinC=sin(;r-A-3)=sin(4一35)=sin33，又因為

2,4

sin3B=sin(B+2B)=sinBcos28+cos8sin23=sin5(2cos2B-l)+2sinBcos2B,

所以sin3B=4cos28sin8—sinB=4(l-sin2B)sin8-sin8=3sinB-4sin3B,

bsinBsinBsinB1

所以，選B.

b+csinB+sinCsin5+sin(九一35)sinB+3sinB-4sin3B4cos2B

「sinC

6.在銳角AABC中，角A,6,C所對的邊分別為a,b,c,若A=2C,則^~上的取值范圍為（

a

1回V3j_

A.B.C.D.12

2)耳2T'26'V

【答案】B

csinCsin2Csin2CsinC1人

【詳解】由正弦定理得:--------=---------=-tanC.

asinAsin2C2cosC2

71

0<A<生0<2C<-

22

TT

???△ABC為銳角三角形,0<C<-,即0<C<-,解得：-<c<-

2264

汽

0<B<-0<^--3C<-

22

rsinC

tanCG,1,/.—tanCG即------的取值范圍為.故選B.

2a

題組二:

TT

例2.⑴已知△ABC的內(nèi)角A,5,C的對邊分別為a,b,c,B=-,b=2,求邊長a的取值范圍.

3

7FbOsinA2sinA4省.

【詳解】?:B=H,b=2,由正弦定理，有a=------=---------=------sinA,

3sinAsinBsinB4一3

3

7t券，...O<A<1,O<sinA<l,...OvaW空，即a的取值范圍為(o,怨］

'：B=-,A+B=

3

(2)已知△ABC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,b,c,若Ab=2,且24BW2，求邊a的取值范

343

圍.

【答案】［2,?］

2sin

TTab2sinAf_6_V3

【詳解】-：h=ZA=-,由正弦定理有a=------

3sinAsinBsinBsinBsinBsinB

A—<sinB<2<<3<V6,即a

432

(3)已知銳角AABC中，NA=2N8,4c=4,則BC的范圍為

【答案】［夜,46)

BCAC

【詳解】因為銳角△A6C中，NA=2N8，AC=4,所以，由正弦定理可得:

sinAsinB

A八7C

A+B>—3B*

4sinA4sin232

：3C=%2=±g=8cosB,乂AABC為銳角三角形，所以《,即〈

sinBsinB

2B=A*2B吟

所以看<8<(,因此*<cosB(乎，所以BC=8cosBe(4上,46).故答案為：(4夜,4間.

(4)在三角形ABC中，內(nèi)角A,氏C的對邊分別是a,b,c,且4=工,。=6,求2b-c的取值范圍.

3

【答案】(-百,2君).

h_c_a_

【詳解】*.*A=—,a=>/3,由正弦定理得sinBsinCsinAG

D---

2

R2萬

所以b=2sin民c=2sinC=2sin(B+y),O<B<—,

*/0<B<—<3一看v泉一g<sin(3一令<1,—百<2h—c<2G，

2人—c的取值范圍是(—6,26).

(5)在銳角AABC中，內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c,且a=J3,A=2,求AA8C的周

3

長的取值范圍.

【答案】(3+右,3臣]

【詳解】設(shè)AABC的外接圓半徑為，,則”而嚷=2，-=W?

2

-zx-1(、0<B<一

=2sinB+sin\--B\\=2y/3sin\B+-\,由題意［2,：.-<B<-,

.〔3JJ〔6J0<女__B62

I32

’3<8+菅<1，二$沅(5+看)6號,1,.,./j+ce(3,2^],

AABC周長的取值范圍是(3+道,36]

(6)半徑為A的圓外接于△ABC,且2/?卜足24-5皿2。)=(、&一。卜缶6,若R=2,則△ABC面積

的最大值為.

【答案】2+V3

【詳解】因為27?卜詁2A-sin2C)=(Ga-。卜in8所以由正弦定理得：a2-c2=(ga-"b,

BPc2^a2+b2-y/3ab>所以由余弦定理可得：cosC=a'+b'~C'=—>又Ce(O,%),

2ab2

故C=S.由正弦定理得：a=2/?sinA,b=2Rsin8=2Hsin[w5〃—4j,

6

所以S=L“OsinC=R?sinA]=R2sinA--cosAd■—^sinA

216J(22

—R~—sin2A+(1—cos2A)——R2sin2A-^-\+^-R2>

(44J2I3)4

所以當A得時，S最大，Smn=^R\

若R=2,則AABC面積的最大值為2+百.故答案為：2+J8.

練習:

1M4BC內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a/,c,若A=工力=2且工<84工，則邊c取值范圍為.

343

【答案】[2,石+1]

2sinC萬一B]

【詳解】；〃=2,A=代，由正弦定理有"_=—匚.?“=&￡=―匕——J=1四匣+1=正+1,

3sinBsinCsinBsinBsinBtanB

'：—<B<—,：.1<tanB<A/3?■—<—<1?-2<-^-+1<^+l,2<c<V3+l,

433tanBtanB

即c的取值范圍為[2,、方+1].

2.若△ABC為銳角三角形，且A=60°,AB=2陋，則邊長BC的取值范圍是______.

【答案】(3,6)

00

【詳解】?.?△ABC為銳角三角形，A=60°,B+C=120°.?.0<JB=120°-C<90°,.-.30<C<90

BCADrAV3I

由正弦定理：——=-----，得“/IB-sinA^23又300<C<90°,—<sinC<l,

sinAsinCBC=——=--~r-=——2

sinCsinCsinC

I3

/.1<—<2/.3<——<6,即3VBe<6故答案為：(3,6)

sinCsinC

3,在線曲6c中，a=2,3=2A,則〃的取值范圍是()

A.(2,273)B.(20,2胸C.(20,4)D.(26,4)

【答案】B

【詳解】由題得。=乃一3—4="一34,因為三角形是銳角二角形,

0C<AA<一兀

2

KAKV2.V3

所以《0<5=2A<—,—vA<—,—<cosA.v—

26422

71

0<。=萬一3A<一

2

j11G

又-----=--------------=------------=-----Z?=4cosA.所以(20,25/5).選B.

sin3sinAsin2A2sinAcosAsinA

4.已知3c的內(nèi)角A，B,C所對的邊分別為〃，b,c,若b=6，c2=2tzsinC，則。的最大值

為

【答案】3

【詳解】由c?=2zsinC，可得csinC=2sinAsinC,因為sinCwO,所以c=2sinA,

由余弦定理得，a2=h24-c2-2bccosA=3+4sin2A-2^3x2sinAcosA

=3+2(1—cos2A)-2-\/3sin2A=3+2—4—cos2A+-^-sin2A=5—4sin(2A+q),

因為A￡(0,7i),所以24+w，所以當24+乙二^—，即A二」?時，有

v76<66J623

5—4sin(2A+^|=5+4=9,此時/取得最大值9.所以a的最大值為3.故答案為：3.

5.在△ABC中，a=5A=60>求弘+2c的最大值....

【答案】2M

a_b_c

【詳解】由正弦定理sinA一6一~sinsinC<得。=2sin8,c=2sinC.

T

(拒i、

3/?+2c=6sinB+4sinC=6sinB+4sin(120°-B)=6sin8+4——cos6+—sinB

[22,

=6sinB+2>/3cosB+2sinB=8sinB+2gcosB=-Js2+(2V3)2sin(8+0)=2>/19sin(5+9),

其中tan0=岑，所以(38+2。)11.=2招.故答案為：2M.

6.鈍角ZMBC中，若4=拳|BC|=1,則2或|4B|+3|AC|的最大值為.

【答案】V10

【解析】在鈍角ZL4BC中，若4=?，|6C|=1,由正弦定理可得陰=等=笑=親=四.

411s\nAsinCs\nB空

2

：,\AB\=V2sinC,\AC\=y/2sinB：.2y/2\AB\+3|4C|=4sinC+3esinB=4sinC+3V2sin(C+—)=

sinC+3cosC=V10sin(C+<p),其中tanp=3>tanCe(0,>,.C+<p&(g,3.,.當C+<p=軻，

2^2\AB\+3|4。的最大值為舊故答案為國.

7.在銳角小鉆。中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是"c,若/+%(。一百。)=1,c=\,則&a—匕的

取值范圍是.

【答案】(1,73)

【詳解】因為/+好一屈)=1,c=\,故心=注+廿—拒ab.

所以cosC="+"一L=1吆=走.乂銳角△AB。,故。=工.

2ab2ab26

由正弦定理，sinAsinBsinC?兀，

sin—

6

所以6a一力=2（gsinA—sin8）=2\/3sinA-sinf—一A

2A/3sinA----sinA--cosA—sinA--cosA=2sin

22

又銳角△A5C,故〈

故6a-b=2sin1G（1,也）.故答案為：(1,6)

8.在銳角三角形AA3C中，4B、C成等差數(shù)列，b=l,則a+c的取值范圍(

A.（1,2]B.（0,1）C.（石,2]

【答案】C

7t

【詳解】?.?人B、C成等差數(shù)列所以A+C=23,又4+B+C="所以3=1

a_b_c_l_2G

OsinAZ?sinC

由正弦定理得sinAsinfisinC5/33.=a+c=---------1----sinA+sinC)

sinBsinB

~2

"9+雪/"

=[sinA+sin(萬一A一3)]=V3sinA+cosA=2sin(A+-^-

33I3j

rr27r717T7T7T7127r

?.?AA8C是銳角三角形，所以0<A<2且0<C=，-A<2,所以a<A<2,所以—<A+上<——

23262363

等<sin(A+看上1G<2sin(A+不)V2即也<a+c<2故選：C

7T

9.設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,且2A+C=—,〃=4sin3,則a+c的取值范

2

圍是（）

。（區(qū)

B.0,|2D.25/2,—

2

【答案】C

TT7TTT

【詳解】?.?2A+C=—>2A且0<4(不，:.OVA<一且C=——2A,

242

由正弦定理得—=rJ="一=4,

sinAsinCsinB

，a+c=4sinA+4sinC=4sinA+4sinC=4sinA+4sinH-2A)=4cos2A+4sinA

=4(1—2sin2A)+4$加A=—8sin2A+4sinA+4=—8(sinA—,,/0<A<^,

.八?4夜.，?41丫，9〃弁9]「

..0<sinA<—，..a+c=-8sinA—H—G2J2,一.故選：C.

2I4,212

10.在銳角MBC中，角A8,C的對邊分別為a,b,c,若返+空=也吧,^sing+cosB=2,則a+c

bc3sinC

的取值范圍是

【答案】［1,V3

cosBcosC2^sinA33十人-??,-rr-yr-.—.Cl~4~C~_b~b~+d~_C~

【解析】AABC中,---1----=-----根據(jù)正余弦定理得到----------+----------

hc3sinC2abe2ahc

—=―—―解得b=——；VcosB+sinB=2>^,AcosB=2->/3sinB,sin2B+cos2B=sin2B+(2-^3sinB)

be3c2

2-4sinJB-45/3sinB+4=l,.*.4sinJB-45/3sinB+3=0,解得sinB二——；從而cosB=~，B-—

223

cihc27r27r

由正弦定理得----=-----=-----=1,.*.a=sinA,c=sinC；由A+B+On得A+C=---,/.C=-----A,且

sinAsinBsinC33

27r紅-A)=sinA+sin女27r6A

0<A<Aa+c=sinA+sinC,=sinA+sin(cosA-cos---sinA=-sinA+---cosA=

T:33322

兀兀71_5)?一71

6sin(A+一),,「OVAV---,—VA+—V—，..—1<sin(A+—)W1,A—<^sin(A+-)

636662626

＜百，.?0的取值范圍是(|,6

.c",sid,

11.在AABC中，三個內(nèi)角A、B、。所對的邊分別為a、b、c,a=2,m=

22J

n=|cos—,sin—|,且用?萬=4，則8+c的取值范圍為__________

I22)2

【答案】(2國］

【解析】：玩=(-cos4,sin4],n=\cos—,sin—?,/.sin2--cos2—,

I22JI22J2222

Acos2--sin2-=cosA=--,：.A=—.在AABC中，由正弦定理得“一=-^=’一=4,

2223sinBsinCsinA

/.b=4sinB,c=4sinC,.*./?+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin4sin(B+yL

Jt71TC27r

0<B<-,+—,...26<4sin(5+?)?4..../+c的取值范圍為(2班,4].

3333

12.設(shè)銳角AABC的三個內(nèi)角A.3.C的對邊分別為n.0.c,且c=l,A=2C，則AABC周長的取

值范圍為()

A.(0,2+72]B.(0,3+肉C.(2+0,3+百)D.[2+0,3+拘

【答案】C

0八<AA<—"0<2C<-0<Y

22

njr〃八萬

【詳解】：AABC為銳角三角形，且A+B+C=;r,.10<8<—n0<乃一。一2C<〈n一<c<一,??

2263

n

0<C<0<C<-0<C<-

222

—<C<—,—<cosC<—,又；A=2C,，sinA=sin2c=2sinC?cosC,

6422

b

又c=1,一,，Q=2COSC,由

sinAsinCsinBsinC

,csinBsin3CsinC-cos2C+cosC-sin2C.2-1

即Q11b=---------=--------=-----------------------------------=4cosC-l,

sinCsinCsinC

；?Q+〃+C=2cosC+4cos2C-1+1=4cos2C+2cosC?令t=cosC，則/E（—，^■），

22

又；函數(shù)丁=4r+2/在（空,券）上單調(diào)遞增，...函數(shù)值域為（2+0,3+6）,故選。

13.AA6c中2血卜in2A-sin2c）=（a-3sinB,AAbC外接圓半徑為0.則△A6C的周長的最大

值.

【答案】3娓

【詳解】因為sin2C）=（叱6）sin8,AABC外接圓半徑為企,

所以（20）（sin2A-sin2C）=（a-/?）2^2sinB，所以"人一）？，BPa2+b2—c2=ab^

2?22i

所以cosC——又CG（O,〃），所以C=工，則△A5C的周長

/=a+6+C=2夜（sinA+sinB+sinC）=2夜卜inA+sin（與一A）+s嗚）=2而in（A+?）+遙，

_.、ict廣17V.7C一廣.1??i4、,1

因為0<A<—,所以一VAH—<—，所以77<sinA+—4I,

3666216）

所以AABC的周長的最大值為3#，故答案為：376

1T3

14.在AA6c1中，內(nèi)角AB,C的對邊分別為a,〃,c,。為AA6c1的外心，A=一,OBOC=——，則

32

△A6C周長的取值范圍是.

【答案】（6,9].

【詳解】設(shè)AA6c的外接圓半徑為R,A=-,則2A=NBOC=」，

33

一___c3

又OB,OC=R??osNBOC=-Q,則R=g,

-27r一

又a+〃+c=26(sinA+sinB+sinC)=26sinB+sin(——B)+3=6sin(5+鄉(xiāng))+3,

_3J6

又8￡(0,至)，B+),則a+〃+c￡(6,9],△ABC周長的取值范圍是(6,9].

15.已知a,"c分別為銳角AABC的三個內(nèi)角A,3,C的對邊，a=2,且(2+卜版114-$帥)=("供出(7,則

AA8C周長的取值范圍為一—.

【答案】(2+2月,6]

【解析】由已知及正弦定理得(a+〃)(a—b)=(c—b)c,整理得6+c?-足=歷，由余弦定理得

,h24-c2-6721,，乃?十bca4V3

cos/4=--------------——，Z0<A<yrf?>.A———.illi上5幺定，”.得-----=-----=-----=-----,

2bc23sinBsinCsinA3

二三角形的周長為a+Hc=2+怨sinB+華sinC=4sin(5+.1+2,"e停3二

sin^B+^e等,1.二乙鉆。周長的取值范圍為周長的取值范圍為(2+26,6].

16.在△ABC中，角力、B、C的對邊分別為a、b、c,已知c=2,6/=4sinAsinC,且?！礳,則ZiABC

面積的最大值為.

【答案】0+1

r\1

【詳解】根據(jù)正弦定理：，一=4sinC=」一=——，解得sin2C=—,Ce((),〃)，

sinAsinCsinC2

故sinC=—，a>c,故c=：,—20sinA.

24a

S=-acsinB=2^2sinAsinB=2^2sinAsinf—+A|=2sin2A+2sinAcosA

2【4)

=1-cos2A+sin2A=0sin(2A-7)+l,當A=時有最大值為夜+1.故答案為：72+1

22?2

17.在銳角三角形ABC中，角A,B,。所對的邊分別為。，b,c,且，廠+廠一少=2cosA，c=4,

lc2-be

△A5c面積的取值范圍是()

A.(26,8@B.(2,8)C.(273,8]D.126,8)

【答案】A

【詳解】=“+：----—=2cosA.由余弦定理得2"：cos'=2cos4,acosB+bcosA=2ccosA,由

2c2-he2c2-be

正弦定理得sinAcos5+sin58sA=2sinCeosA,即sin(A+B)=2sinCcosA=sinC,XCe(0,TT),

IJI

sinCwO,???cosA=—,???A￡(0,?),?,?A=一，三角形為銳角三角形,

23

/.B—-C<—,C>—,即S^ABC==bcstnA=Cb,

326162)AABC2

由正弦定理-----=-得---，-4sinB2\/3cosC+2sinC_2>/3十之，

sinBsinCb=-----

sinCsinCtanC

?.?小仁，3.?.tanC>*，2<8<8,5*￡(26,8我.故選：A.

18.在銳角ZVLBC中，內(nèi)角A,6,C的對邊分別為a,"c,若B=°,b=4,S為A4BC的面積，則

4

S+8>/2cosAcosC的取值范圍為.

【答案】(0,6]

【詳解】由正弦定理—=-^―得S='bcs\nA=14?sinAsinC=80sinAsinC