八年級數(shù)學(xué)上冊角度計算中的經(jīng)典模型(舉一反三)(含解析版)

角度計算中的經(jīng)典模型【舉一反三】

模型5雙外角平分線模型

模型68字模型

模型7燕尾模型

模型8箏型

《癡吩刑

【模型1雙垂直模型】

【條件】ZB=ZD=ZACE=90°.

【結(jié)論】ZBAC=ZDCE,ZACB=ZCED.

【例1】（2019春?潤州區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，乙4c8=90°,尸是AC延長線上一點，F(xiàn)DLAB,

垂足為。，F(xiàn)C與BC相交于點E,ZBED=55°.求/A的度數(shù).

【變式1-1］（2019秋?涼州區(qū)校級期中）如圖，Z^ABC中，NB=NC,FD1BC,DELAB,NAED=152°,

求NA的度數(shù).

【變式1-2](2019春?蓮湖區(qū)期中)如圖，在△ACB中，ZACB=90°,CQ_LAB于。.

(1)求證：ZACD—ZB；

(2)若AF平分NCAB分別交CD、2c于E、F,求證：NCEF=NCFE.

【變式1-3[(1)如圖①，在RtZkABC中，NACB=90°,CDLAB,垂足為。，N4CO與NB有什么關(guān)系？

為什么？

(2)如圖②，在Rt/XABC中，NC=90°,D、E分別在AC,AB上，且NA￡>E=NB,判斷△AOE的形

狀是什么？為什么？

(3)如圖③，在RtZ\48C和RtZ\OBE中，ZC=90°,ZE=90",點C,B,E在同一直線上，

【模型2A字模型】

D

C

【結(jié)論】ZBDE+ZCED=180°+NA

【例2】（2019春?資中縣月考）如圖所示，ZVIBC中，ZC=75°,若沿圖中虛線截去NC,則N1+N2等

于多少度?

【變式2-1］（2019春?長沙縣校級期中）如圖，已知NA=40°,求/1+N2+/3+N4的度數(shù).

【變式2-2］（2019春?吁胎縣期中）我們?nèi)菀鬃C明，三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，那么,

三角形的一個內(nèi)角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

I.嘗試探究：

（1）如圖1,/O8C與/ECB分別為△ABC的兩個外角，試探究NA與NO8C+/ECB之間存在怎樣的數(shù)

量關(guān)系？為什么？

II.初步應(yīng)用：

(2)如圖2,在△A8C紙片中剪去△(；￡：￡>,得到四邊形ABDE,Nl=130°,則/2-/C=；

(3)小明聯(lián)想到了曾經(jīng)解決的一個問題：如圖3,在△力BC中，BP、CP分別平分外角NDBC、NECB,

/P與NA有何數(shù)量關(guān)系？請利用上面的結(jié)論直接寫出答案.

【變式2-3](2019春?鹽都區(qū)期中)(1)如圖1,已知AABC為直角三角形，NA=90°,若沿圖中虛線剪

去N4,則/1+/2等于

490°5.135°C.270°。.315°

(2)如圖2,已知aABC中，NA=50°,剪去N4后成四邊形，則Nl+N2=

(3)如圖2,根據(jù)(1)與(2)的求解過程，請你歸納猜想/1+/2與NA的關(guān)系是.

(4)如圖3,若/A沒有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究N1+N2與NA的關(guān)系并說明理由.

【模型3雙內(nèi)角平分線模型】

C

【條件】BP、CP分別為NABC、NACB的角平分線.

【結(jié)論】4=90。+；NA.

【例3】(2018秋?開封期中)如圖，ZVIBC中，

(1)若/B=70°,點P是AABC的NBAC和/AC8的平分線的交點，求NAPC的度數(shù).

(2)如果把(1)中/B=70°這個條件去掉，試探索/APC和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系.

B

【變式3-1](2018秋?徐聞縣期中)如圖，在aABC中，NABC與NACB的平分線交于點O.

(1)如圖1,已知NABC=40°,ZACB=60°,求NBOC的度數(shù).

(2)如圖2,已知NA=90°,求NBOC的度數(shù).

(3)如圖1,設(shè)NA=，〃°,求NBOC的度數(shù).

【變式3-2](2019春?南崗區(qū)期末)已知在aABC中，乙4=100°,點。在aABC的內(nèi)部連接8￡>,CD,

且乙4BD=NCB。，NACD=NBCD.

(1)如圖1,求NBOC的度數(shù)；

(2)如圖2,延長BD交4c于點E,延長CD交4B于點F,若NAED-NA尸。=12°,求N4C尸的度數(shù).

【變式3-3](2019春?東阿縣期末)已知任意一個三角形的三個內(nèi)角的和是180°.如圖1,在aABC中，

ZABC的角平分線BO與NACB的角平分線CO的交點為O

(1)若乙4=70°,求NBOC的度數(shù)；

(2)若N4=a,求NBOC的度數(shù)；

(3)如圖2,若80、CO分別是/ABC、/4CB的三等分線，也就是NOBC=』NABC,ZOCB=-ZACB,

33

NA=m求N50C的度數(shù).

圖1圖2

【模型4內(nèi)外角平分線模型】

【條件】BP、CP分別為NABC、NACD的角平分線.

【結(jié)論】ZA=1ZP.

2

【例4】（2018秋?江岸區(qū)期中）如圖，△ABC中，/ABC與24CB的外角的平分線相交于點E.

（1）已知NA=60°,求NE的度數(shù)；

【變式4-1］（2019秋?衛(wèi)濱區(qū)校級期中）如圖，的外角NACZ）的平分線CP與內(nèi)角/ABC平分線8尸

【變式4-2］（2019秋?莆田校級期中）如圖所示，已知3。為AABC的角平分線，C。為aABC外角/ACE

的平分線，且與8。交于點。；

(1)若/4BC=60°,ZDCE=10Q,則/。=°；

(2)若NA8C=70°,NA=80°,則°；

(3)當(dāng)NABC和NACS在變化，而N4始終保持不變，則是否發(fā)生變化？為什么？由此你能得出什么

結(jié)論？(用含NA的式子表示ND)

【變式4-3](2018秋?彭水縣校級月考)如圖，已知BO是△A8C的角平分線，C。是8c的外角NACE

的外角平分線，CD與BD交于點D.

(1)若NA=50°,則NZ)=；

(2)若NA=80°,則/￡)=；

(3)若NA=130°,則/￡>=；

(4)若NO=36°,則/A=；

(5)綜上所述，你會得到什么結(jié)論？證明你的結(jié)論的準(zhǔn)確性.

【模型5雙外角平分線模型】

B

P

【條件】BP、CP分別為NEBC、NBCD的角平分線.

【結(jié)論】ZP=90°--ZA.

2

【例5】(2018秋?鄂倫春自治旗月考)如圖，ZVIBC中，分別延長Z\ABC的邊A3、AC到。、E,ZCBD

與/BCE的平分線相交于點P,愛動腦筋的小明在寫作業(yè)的時發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：

(1)若NA=60。，則NP=_______°；

(2)若NA=40°,則NP=____O

(3)若NA=100°,則NP=—O

(4)請你用數(shù)學(xué)表達式歸納NA與NP的關(guān)系

【變式5-1](2019秋?團風(fēng)縣校級月考)BD、8分別是△ABC的兩個外角NCBE、N5CF的平分線,

求證：N血=9。。-/4

A

5C

E

D

【變式5-2](2019春?雨城區(qū)校級期中)如圖，Bl,C7分別平分△A8C的外角NOBC和NECB,

(1)若NA8C=40°,NACB=36°,求N8/C的大??；

(2)若NA=96°,試求/8/C；

(3)根據(jù)前面問題的求解，請歸納/8/C和NA的數(shù)量關(guān)系并進行證明.

【變式5-3]如圖，在△ABC中，BD,CQ是內(nèi)角平分線，BP,CP是/ABC,/ACB的外角平分線，分別

交于點。，P.

(1)若N4=30°,求NBDC,NBPC的度數(shù).

(2)若NA=m°,求NBDC,NBPC的度數(shù)(直接寫出結(jié)果，不必說明理由)

(3)想一想，NA的大小變化，對NO+N尸的值是否有影響，若有影響，請說明理由，若無影響，直接求

AB

【結(jié)論】NA+NB=ND+NE.

【例6】（2019春?輝縣市期末）圖I,線段AB、CD相交于點O,連接A。、CB,我們把形如圖1的圖形稱

之為“8字形”.如圖2,在圖1的條件下，和/BCD的平分線AP和CP相交于點尸，并且與C。、

AB分別相交于M、N.試解答下列問題:

(1)在圖1中，請直接寫出NA、NB、NC、之間的數(shù)量關(guān)系:

(2)仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù):.個;

(3)圖2中，當(dāng)/。=50度，NB=40度時，求NP的度數(shù).

(4)圖2中/。和為任意角時，其他條件不變，試問NP與NB之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系.（直

接寫出結(jié)果，不必證明）.

【變式6-1］（2018春?新泰市期中）己知：如圖，AM,CM分別平分和NBCD.

①若NB=32°,NO=38°,求NM的度數(shù);

②探索與N8、的關(guān)系并證明你的結(jié)論.

B

D

【變式6-2](2018秋?南昌期中)如圖1,已知線段A&CD相交于點O,連接AC、BD,則我們把形如這

樣的圖形稱為“8字型”.

(1)求證：ZA+ZC=ZB+ZD；

(2)如圖2,若NCAB和NBDC的平分線AP和OP相交于點P,且與C。、AB分別相交于點M、N.

①以線段AC為邊的“8字型”有個，以點。為交點的“8字型”有個；

②若/B=100°,/C=120°,求/尸的度數(shù)；

③若角平分線中角的關(guān)系改為"NC4P=g/CAB,NCDP=；NCDB”,試探究/尸與N8、NC之間存在

的數(shù)量關(guān)系，并證明理由.

【變式6-3](2018秋?青島期末)【問題背景】

(2)如圖2,AP,CP分別平分/8A。、NBCD,若/ABC=20°,ZADC=26°,求NP的度數(shù)(可直接

使用問題(1)中的結(jié)論)

【問題探究】

(3)如圖3,直線AP平分N3AQ的外角CP平分NBCD的外角NBCE,若/A8C=36°,ZADC

=16°,猜想/P的度數(shù)為

【拓展延伸】

（4）在圖4中，若設(shè)NC=x,ZB=y,ZCAP=-ACAB,ZCDP=-ZCDB,試問NP與/C、NB之間

33

的數(shù)量關(guān)系為（用x、y表示NP）

（5）在圖5中，AP平分/BA。，CP平分NBC。的外角/8CE,猜想NP與NB、NO的關(guān)系，直接寫出

結(jié)論.

【模型7燕尾模型】

AA

【結(jié)論】NBPC=NA+NB+NC.

【例7】（2019春?冠縣期末）（期探究：如圖1,求證：ZBOC=ZA+ZB+ZC.

（2）應(yīng)用：如圖2,ZABC=100°,ZD￡F=130°,求NA+NC+/O+NF的度數(shù).

【變式7-1］（2019秋?平度市期末）材料閱讀：如圖①所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品-圓規(guī).我

們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”.

解決問題：

（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究NBOC與/A,NB,NC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個問題：

I.如圖②，把一塊三角尺DEF放置在△A8C上，使三角尺的兩條直角邊OE,。尸恰好經(jīng)過點3,C,若

ZA=40°,貝I］NA8￡>+/AC￡）=°.

II.如圖③，8。平分乙4BP,C￡>平分NACP,若乙4=40°,ZBPC=130°,求/BDC的度數(shù).

【變式7-2］（2019秋?阜陽月考）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中整體思想與轉(zhuǎn)化思想是我們常用到的數(shù)學(xué)思想.如圖（1）

中，求NA+NB+NC+NO+NE的度數(shù)等于多少0寸，我們可以連接8,利用三角形的內(nèi)角和則有N8+NE

^ZECD+ZBDC,這樣乙4、NB、NC、ND、/E的和就轉(zhuǎn)化到同一個△AC。中，

圖（2）中/4+NB+/C+/O+/E的度數(shù)等于.

圖（3）中NA+NB+NC+ND+NE的度數(shù)等于.

圖（4）中NA+NB+NC+NQ+NE+NF的度數(shù)等于.

【變式7-3］（2019秋?襄城區(qū)期中）已知：點。是△4BC所在平面內(nèi)一點，連接40、CD.

（1）如圖1,若N4=28°,/B=72°,ZC=11°,求/AOC；

（2）如圖2,若存在一點P,使得PB平分/ABC,同時PO平分N4DC,探究乙4,NP,NC的關(guān)系并證

明；

（3）如圖3,在（2）的條件下，將點。移至NABC的外部，其它條件不變，探究/A,NP,/C的關(guān)系

并證明.

AArA

【例8】(2019春?邳州市校級月考)如圖，在折紙活動中，小明制作了一張aABC紙片，點￡＞、E分別在

邊AB、AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平，A與A'重合.

(1)若NA=75°,則/1+N2=.

(2)若,則/1+/2=.

(3)由(1)(2)探索NA與N1+N2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【變式8-1](2018春?遷安市期末)動手操作：

一個三角形的紙片A8C,沿。E折疊，使點A落在點4'處.

觀察猜想

(1)如圖1,若/4=40°,則/1+/2=°；

若NA=55°,則/1+N2=0；

若N4=〃°,則Nl+N2=°.

探索證明：

(2)利用圖1,探索Nl、N2與NA有怎樣的關(guān)系？請說明理由.

拓展應(yīng)用：

(3)如圖2,把△ABC折疊后，BA'平分NABC,CA'平分NAC8,若Nl+N2=108°,利用(2)中結(jié)

論求NBA'C的度數(shù).

【變式8-2](2019春?宿城區(qū)校級月考)RtZ\4BC中，NC=90°,點。、E分別是aABC邊AC、BC上的

點，點、P是一動點.令NPD4=N1,NPEB=N2,ZDPE=Za.

(1)若點P在線段AB上，如圖(1)所示，且Na=50°,求NI+N2的度數(shù)；

(2)若點尸在邊AB上運動，如圖(2)所示，則Na、Nl、N2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由；

(3)若點P運動到邊AB的延長線上，如圖(3)所示，直接寫出/a、Zk/2之間關(guān)系為：.(不

需說明理由).

c

圖1圖2

圖3

【變式8-3］（2019秋?南漳縣校級月考）如圖（1）,在折紙活動中，小明制作了一張△A8C的紙片，點。、

E分別在A3、AC上，將△A8C沿著DE折疊壓平，A與A'重合，若/A=70°,則Nl+N2=；

如圖（2）,當(dāng)點A落在△ABC外部時，那么N2-N1=.

圖1圖2

專題02角度計算中的經(jīng)典模型【舉一反三】

模型5雙外角平分線模型

模型68字模型

模型7燕尾模型

模型8箏型

《蜘吩刑

【模型1雙垂直模型】

【條件】ZB=ZD=ZACE=90°.

【結(jié)論】ZBAC=ZDCE,ZACB=ZCED.

【例1】（2019春?潤州區(qū)校級月考）如圖，在△4BC中，NAC8=90°,尸是AC延長線上一點，F(xiàn)DLAB,

垂足為。，F(xiàn)D與2C相交于點E,NBED=55；求NA的度數(shù).

【分析】首先由FDL43于。，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出NBE￡>+/8=90°,同理，由NACB=

90°,得出/A+N2=90°,然后根據(jù)同角的余角相等得出/A=/8ED=55°.

【答案】解：于D，

AZfi￡D+Zfi=90°,

,：ZACB=90°,

AZA+ZB=90°,

/.ZA=ZBED=55°.

【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)以及余角的性質(zhì)，比較簡單.

【變式1-1］（2019秋?涼州區(qū)校級期中）如圖，ZkABC中，ZB=ZC,FDLBC,DEA.AB,ZAFD=152°,

求NA的度數(shù).

【分析】利用外角性質(zhì)可求得NC,在△ABC中利用三角形內(nèi)角和定理可求得NA.

【答案】解：

.*.ZFDC=90°,

；/A尸0=152°,

.?.NC=NAFD-NFDC=152°-90°=62°,

；NB=NC,

ZA=1800-ZB-ZC=180°-62°-62°=56°.

【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形三個內(nèi)角和為180。是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2］（2019春?蓮湖區(qū)期中）如圖，在△ACB中，ZACB=90°,CQ_LA8于。.

（1）求證：ZACD=ZB；

（2）若AF平分NC4B分別交CD、BC于E、F,求證：NCEF=NCFE.

【分析】（1）由于/ACO與都是/BCD的余角，根據(jù)同角的余角相等即可得證;

(2)根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出NC?1=9O°-ZCAF,/AEZ)=90°-ZDAE,再根據(jù)角平分線

的定義得出/CAF=ND4E,然后由對頂角相等的性質(zhì)，等量代換即可證明/CEF=/CFE.

【答案】證明：(1)VZACfi=90°,于力，

ZACD+ZBCD=90°,NB+NBCD=90°,

ZACD=ZB；

(2)在RtZUFC中，NC砌=90°-ZCAF,

同理在RtZLAEO中，ZA￡D=90°-ZDAE.

又尸平分NC48,

：.ZCAF^ZDAE,

/.NAED=NCFE,

又,：NCEF=NAED,

：.NCEF=NCFE.

【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形角平分線的定義，對頂角的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，難度適

中.

【變式1-3[(1)如圖①，在Rt/XABC中，ZACB=9O0,CD1AB,垂足為￡>,N4C。與NB有什么關(guān)系？

為什么？

(2)如圖②，在RtZ\ABC中，ZC=90°,D、E分別在AC,AB上，且NA￡>E=N8,判斷△A￡>￡的形

狀是什么？為什么？

(3)如圖③，在Rt/XABC和中，ZC=90°,ZE=90°,點C,B,E在同一直線上，

【分析】⑴根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出NAC￡>+/A=NB+NZ)C8=9(r,再解答即可；

(2)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出/ADE+/A=/A+NB=90°,再解答即可；

(3)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出乙48。+/4=/48。+/￡)8￡=/。跖+/￡)=90”,再解答即可.

【答案】解：(1)ZACD=ZB,理由如下：

;在RtZkABC中，ZACB=90°,CD±AB,

：.ZACD+ZA^ZB+ZDCB=90°,

，ZACD^ZB；

(2)ZviOE是直角三角形.

?.?在RtZXABC中，ZC=90°,D、E分別在AC,A8上，且/A力E=ZB,NA為公共角,

AZAED=ZACB=90°,

...△AQE是直角三角新；

(3)/A+/O=90°.

\?在RtZ\A8C和RtZXDBE中，ZC=90°,ZE=90°，AB±BD,

，ZABC+ZA=ZABC+ZDBE=ZDBE+ZD=90°,

.*./A+N￡>=90°.

【點睛】此題考查直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出兩銳角互余.

【模型2A字模型】

【結(jié)論】ZBDE+ZCED=180°+NA

【例2】(2019春?資中縣月考)如圖所示，ZVIBC中，ZC=75°,若沿圖中虛線截去NC,則N1+N2等

于多少度？

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/A+/B,根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出即可.

【答案】解：*.，ZA+ZB+ZC=180",

:./A+/8=180°-ZC,

VZC=75°,

...NA+N8=180°-75°=105°,

VZl+Z2+Zy4+ZB=360°,

.,.Zl+Z2=360--(Z4+ZB),

J.N1+N2=36O°-105°=255°.

【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和多邊形的內(nèi)角和公式，能熟記定理是解此題的關(guān)鍵.

【變式2-1](2019春?長沙縣校級期中)如圖，己知NA=40°,求/1+/2+/3+N4的度數(shù).

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理分別求得/1+/2,Z3+Z4,就可求得最后結(jié)果.

【答案】解：???NA=40°,

Z1+Z2=Z3+Z4=180°-N4=140°.

.,.Zl+Z2+Z3+Z4=280°.

【點睛】此題主要是三角形內(nèi)角和定理的運用.

【變式2-2](2019春?吁胎縣期中)我們?nèi)菀鬃C明，三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，那么,

三角形的一個內(nèi)角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

（圖3）

I.嘗試探究:

(1)如圖1,/DBC與NECB分別為△ABC的兩個外角，試探究與/OBC+/ECB之間存在怎樣的數(shù)

量關(guān)系？為什么？

II.初步應(yīng)用：

(2)如圖2,在△ABC紙片中剪去△(7&),得到四邊形/1=130°,則N2-/C=；

(3)小明聯(lián)想到了曾經(jīng)解決的一個問題：如圖3,在△48C中，BP、CP分別平分外角/O8C、NECB,

NP與N4有何數(shù)量關(guān)系？請利用上面的結(jié)論直接寫出答案

【分析】(1)根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和表示出/C3C+/ECB,再利用三角

形內(nèi)角和定理整理即可得解；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論整理計算即可得解；

(3)表示出NQ8C+NEC8,再根據(jù)角平分線的定義求出NP8C+NPC8,然后利用三角形內(nèi)角和定理列

式整理即可得解；

【答案】解：(1)NDBC+NECB

=180°-N48C+180°-NACB

=360°-(NABC+NACB)

=360°-(180°-ZA)

=180°+ZA；

(2)VZl+Z2=Z1800+/C,

二130°+Z2=180°+NC,

：.Z2-ZC=50°；

(3)^DBC+ZECB=180°+/A,

,:BP、CP分別平分外角/O8C、NECB,

:.NPBC+NPCB=L(NDBC+NECB)=1.(1800+ZA)

22

在△PBC中，ZP=180°-1-(180°+ZA)=90°-工/A；

22

即/P=90°-1.ZA；

2

故答案為：50°,ZP=90°-LZA.

2

【點睛】本題考查「三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，

角平分線的定義，熟記性質(zhì)并讀懂題目信息是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3](2019春?鹽都區(qū)期中)(1)如圖1,已知△48C為直角三角形，NA=90。，若沿圖中虛線剪

去則/1+/2等于

A.90°8.135°C.270°0.3150

(2)如圖2,已知AABC中，ZA=50°,剪去NA后成四邊形，則/1+N2=°.

(3)如圖2,根據(jù)(1)與(2)的求解過程，請你歸納猜想/1+/2與/A的關(guān)系是.

(4)如圖3,若NA沒有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究N1+N2與NA的關(guān)系并說明理由.

【分析】(1)利用了四邊形內(nèi)角和為360°和宜角三角形的性質(zhì)求解；

(2)根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和求解；

(3)根據(jù)(1)(2)可以直接寫出結(jié)果；

(4)根據(jù)折疊的性質(zhì)，對應(yīng)角相等，以及鄰補角的性質(zhì)即可求解.

【答案】解：(I)I?四邊形的內(nèi)角和為360°,直角三角形中兩個銳角和為90°

/.Zl+Z2=360o-(NA+NB)=360°-90°=270°.

...N1+N2等于270°.

故選C；

(2)Z1+Z2=I8O°+50°=230°.

故答案是：230；

(3)/1+/2與/A的關(guān)系是：Zl+Z2=180°+ZA；

故答案是：/1+/2=180°+ZA；

(4)；是由膽折疊得到的，

二ZAFE=ZPFE,ZAEF=ZPEF

.,.Zl=180°-2ZAFE,/2=180°-2/AEF

Nl+/2=360°-2(ZAFE+ZAEF)

又?.?/AFE+NAEF=180°-NA,

.,.Zl+Z2=360°-2(180°-NA)=2NA,

即N1+N2=2NA.

【點睛】主要考查了三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系.

(1)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和.

（2）三角形的內(nèi)角和是180度.求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180?！边@一隱含的條件.

【模型3雙內(nèi)角平分線模型】

BC

【條件】BP、CP分別為NABC、NACB的角平分線.

【結(jié)論】ZP=90°+-ZA.

2

【例3】（2018秋?開封期中）如圖，/XABC中，

（1）若NB=70°,點P是AABC的NBAC和/AC8的平分線的交點，求NAPC的度數(shù).

（2）如果把（1）中乙8=70°這個條件去掉，試探索/APC和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系.

【分析】（1）依據(jù)點P是△ABC的N84C和乙4c8的平分線的交點，即可得到/出C=L/8AC,ZPCA

2

="kzBC4,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到NAPC的度數(shù).

2

（2）依據(jù)點?是△A8C的NB4C和NAC8的平分線的交點，即可得到/FC=JL/54C,ZPCA=1.Z

22

BCA,進而得出N%C+NPCA=L（N%C+NPCA）,再根據(jù)NP=180°-（N以C+NPC4）進行計算

2

即可.

【答案】解：（1）vze=70°,

：.ZBAC+ZBCA=\IO°,

:點P是△ABC的/BAC和/ACB的平分線的交點，

ZPAC=^ZBAC,ZPCA=LZBCA,

22

：.ZPAC+ZPCA=1-(.ZPAC+ZPCA}=1_X11O°=55",

22

.,.ZP=180°-55°=125°；

(2)?點尸是△ABC的/ft4c和/ACB的平分線的交點，

/.ZPAC=kzBAC,ZPCA=LZBCA,

22

：.ZPAC+ZPCA=1-(ZPAC+ZPCA),

2

.?.ZP=I8O0-(ZB4C+ZPCA)

=180°-L(NBAC+N8cA)

2

=180°-1(180°-ZB)

2

=90°+LZB.

2

【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，解決問題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和

定理：三角形內(nèi)角和是180°.

【變式3-1](2018秋?徐聞縣期中)如圖，在△A8C中，NABC與NAC8的平分線交于點O.

(1)如圖1,已知乙4BC=40°,乙4cB=60°,求ZBOC的度數(shù).

(2)如圖2,已知NA=90°,求NBOC的度數(shù).

(3)如圖1,設(shè)NA=〃?°,求N80C的度數(shù).

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義求解即可;

【答案】解：(1)平分乙48C,/ABC=40",

N08C=上/ABC=20°,

2

；C。平分N4C8,44CB=60°,

AZOCB=AZACB=30°,

2

AZBOC=180°-20°-30°=130°.

(2)=/A=90°,

AZABC+ZACB=\S0°-90°=90°,

又；NO3C=1-/A8C,ZOCB=1.ZACB,

22

.,.NO8C+NOCB=45°,

.'.ZBOC=180°-45°=135°.

(3)VZA=m°

.?.NABC+NAC3=180°-m°,

又：/O8C=l_/A8C,NOCB=L/ACB,

22

：.ZOBC+ZOCB^90°,

2

：.ZBOC=90°+L”°.

2

【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問

題，屬于中考?？碱}型.

【變式3-2］（2019春?南崗區(qū)期末）已知在△ABC中，NA=100°,點力在△ABC的內(nèi)部連接8力，CD,

且乙4M=/CB￡>,NACD=NBCD.

（1）如圖1,求/BDC的度數(shù)；

（2）如圖2,延長80交AC于點E,延長C。交A8于點凡若/4E￡>-12°,求/ACF的度數(shù).

（圖1）（圖2）

【分析】（1）依據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，即可得到NBOC的度數(shù)；

（2）設(shè)/ACF=a,則N8CQ=a,ZC￡?D=40°-a=ZABD,依據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到/AEQ

=ZACF+ZCDF,ZAFD=ZABE+ZBDF,再根據(jù)NAED-NAFD=12°,即可得到a的值.

【答案】解：（1）；4=100°,

：.ZABC+ZACB=SO°,

又?；NABD=NCBD,NACD=NBCD,

：.^CBD=k-ZABC,ZBCD=1.ZACB,

22

/.ZCBD+ZBCD=1.(ZABC+ZACB}=40°,

2

.?./8OC=180°-40°=140°；

(2)設(shè)/4CF=a,則/8C￡>=a,

VZBDC=140°,

/.ZCBD=40°-a=N48￡),

?/ZAED是△OCE的外角，ZAFD是△8OF的外角，

NAED=ZACF+ZCDF,NAED=NABE+NBDF,

：.ZAED-ZAFD=ZACF+ZCDF-ZABE-ZBDE=a-(400-a)=12°,

解得a=26°,

AZACF=26°.

【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角性質(zhì)的運用，解題時注意：三角形內(nèi)角和是

180°.

【變式3-3](2019春?東阿縣期末)已知任意一個三角形的三個內(nèi)角的和是180°.如圖1,在△ABC中，

NABC的角平分線BO與NACB的角平分線CO的交點為。

(1)若NA=70°,求NBOC的度數(shù)；

(2)若NA=a,求N8OC的度數(shù)；

(3)如圖2,若BO、CO分別是/ABC、NACB的三等分線，也就是NOBC=1NA8C,ZOCB=-ZACB,

33

ZA=a,求/BOC的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出N48C+NAC8,根據(jù)角平分線的定義求出Z08C+N0C8,

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；

(2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出NA8C+/ACB,根據(jù)角平分線的定義求出N08C+/0CB,根據(jù)三角

形內(nèi)角和定理求出即可；

(3)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出NA8C+NACB,求出N08C+N0C8,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即

可.

【答案】解：(1)???/A=70°,

...NABC+NAC8=180°-Z4=110°,

?.?在△ABC中，ZABC的角平分線BO與NACB的角平分線CO的交點為0,

.?./03C=LNABC,NOCB=L/ACB,

22

：.ZOBC+ZOCB^1-(ZABC+ZACB)=55°,

2

.?.N8OC=180°-CZOBC+ZOCB)=125°；

(2)VZA=a,

/.ZABC+ZACB=\SO°-ZA=1800-a,

:在△ABC中，ZABC的角平分線BO與NACB的角平分線CO的交點為O,

：./O8C=1_/A8C,NOCB=L/ACB,

22

.?.NOBC+NOCB=L(N4BC+/4CB)=_L(180°-a)=90°-La，

222

...N8OC=180°-(ZOBC+ZOCB)=180°-(90°-^Q)=90°+La；

22

(3)VZA=a,

AZABC+ZACB=\S0°-ZA=180°-a,

,：ZOBC^l-ZABC,ZOCB=l-ZACB,

33

：.ZOBC+ZOCB^^.(ZABC+ZACB)(1800-a)=60°-La，

333

80c=180°-CZOBC+ZOCB)=180°-(60°-^Q)=120°+La.

33

【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義，能求出N08C+N0CB是解此題的關(guān)鍵,

求解過程類似.

【模型4內(nèi)外角平分線模型】

A

【條件】BP、CP分別為NABC、NACD的角平分線.

【結(jié)論】ZA=1ZP.

2

【例4】（2018秋?江岸區(qū)期中）如圖，△ABC中，/ABC與NACB的外角的平分線相交于點E.

（1）已知乙4=60°,求NE的度數(shù)；

（2）直接寫出NA與NE的數(shù)量關(guān)系：.

【分析】（I）根據(jù)角平分線的定義得到/￡8=工/48,ZEBC^kzABC,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)

22

計算；

（2）仿照（1）的計算過程證明.

【答案】解：（1）CE.BE分別平分乙4CD、ZABC,

：.ZECD=1-ZACD,ZEBC=1.ZABC,

22

:.NE=NECD-NEBD=L（NACD-NABC）=工/4=30°；

22

（2）由（1）得，ZE=LZA,

：.NA=2NE

故答案為：ZA=2Z￡.

【點睛】本題考查的是角平分線的定義，三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰

的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1］（2019秋?衛(wèi)濱區(qū)校級期中）如圖，ZVIBC的外角NACD的平分線CP與內(nèi)角NABC平分線BP

交于點P,若N8PC=40°,求NCAB的度數(shù).

【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得NACD=/BAC+NA8C,NPCD=

ZP+ZPCB,根據(jù)角平分線的定義可得/PC￡>=L/ACD,ZPBC=1-ZABC,然后整理得到/PCD=

22

40。+1ZABC,再代入數(shù)據(jù)計算即可得解.

2

【答案】解：在△ABC中，ZACD^ZBAC+ZABC,

在△尸8c中，4PCD=NBPC+NPBC,

,:PB、PC分別是/A8c和/ACO的平分線，

ZPCD=LZACD,ZPBC=1-ZABC,

22

：.ZPCD=ZBPC+ZPBC=40°+^ZABC,

2

ALzACD=i-ZABC+40°,

22

ZACD-ZABC=80°,

：.ZBAC=ZACD-ZABC=80°,

即NCAB=80°.

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角

平分線的定義，熟記定理與性質(zhì)并求出NPCD=40°+L/ABC是解題的關(guān)鍵.

2

【變式4-2](2019秋?莆田校級期中)如圖所示，己知8。為△A8C的角平分線，CO為aABC外角NACE

的平分線，且與8。交于點。；

(1)若N4BC=60°,NDCE=70°,則°；

(2)若NABC=70°,ZA=80°,則NO=°；

(3)當(dāng)NABC和/ACB在變化，而NA始終保持不變，則NO是否發(fā)生變化？為什么？由此你能得出什么

BE

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)即可求得；

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)即可求得；

(3)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線性質(zhì)，先求出N。、NA的等式，推出即可求得

2

結(jié)論.

【答案】解：(1)：8。為△ABC的角平分線，ZABC=60°,

：.ZDBC=30°,

VZDCE=70°,

:.ND=NDCE-NDBC=7Q°-30°=40°；

(2)VZABC=70°,ZA=80°,

二/ACE=150°

BD為AABC的角平分線，CD為4ABC外角ZACE的平分線，

AZDBC=^ZABC=35°,ZDCE=1.ZACE=15°,

22

：.ZD=ZDCE-ZDBC=15°-35°=40°；

(3)不變化,

理由：VZDCE=ZDBC+ZD,

二ZD=1-ZACE-l.ZABC=L(ZA+ZABC)-L/ABC=L/A.

22222

故答案為40；40.

【點睛】此題考查三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)的綜合運用，解此題的關(guān)鍵是求出

2

A.

【變式4-3](2018秋?彭水縣校級月