初中數(shù)學《一次函數(shù)》主題單元教學設計以及思維導圖

一次函數(shù)

適用年級八年級

所需時間課內(nèi)6課時

主題單元學習概述

生活中充滿著許許多多變化的量，函數(shù)就是刻畫變量之間關系的常

用模型，其中最為簡單的是一次函數(shù).本章是在七年級下學期探索

了變量之間關系的基礎上，繼續(xù)通過對變量間關系的考察，讓學生

初步體會函數(shù)的概念，并進一步研究其中最為簡單的一種函數(shù)

——一次函數(shù)，通過解剖一次函數(shù)這一“麻雀”，使學生了解函數(shù)的有

關性質(zhì)和研究方法，并初步形成利用函數(shù)的觀點認識現(xiàn)實世界的意

識和能力.本章在教材設計中改變了傳統(tǒng)教材中先研究特殊的正比

例函數(shù)，再研究一般的一次函數(shù)的教學順序，將正比例函數(shù)納入一

次函數(shù)的研究中去，在學習一次函數(shù)的同時把正比例函數(shù)也完成

了.在具體內(nèi)容的呈現(xiàn)上，教科書力求為學生提供生動有趣的問題

情境，提供觀察、操作、交流、歸納等數(shù)學活動，在活動中加深學

生對數(shù)學知識的理解，發(fā)展學生的數(shù)學思維；在新知的導入上，既

注重了與學生生活實際的聯(lián)系，又注意了新舊知識的聯(lián)系，在新舊

知識的比較與聯(lián)系中，促進了學生新的認知結(jié)構的建立與完善

主題單元規(guī)劃思維導圖（說明：將主題單元規(guī)劃的思維導圖導出為

jpeg文件后，粘貼在這里）

知識技能：

理解一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念；；掌握一次函數(shù)和正比例函數(shù)

之間的關系.

能根據(jù)已知條件，寫出簡單的一次函數(shù)表達式，進一步發(fā)展學生的

數(shù)學應用能力.

經(jīng)歷一次函數(shù)的作圖過程，能熟練地作出一次函數(shù)的圖象.

使學生熟練地作出一次函數(shù)的圖象，會求一次函數(shù)與坐標軸的交點

坐標

會作出實際問題中的一次函數(shù)的圖象.

能結(jié)合圖象理解掌握一次函數(shù)y=kx+b的性質(zhì)

過程與方法：

“函數(shù)及其圖象”這一章的重點是一次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，

一方面，在學生初次接觸函數(shù)的有關內(nèi)容時，一定要結(jié)合具體函數(shù)

進行學習，因此，全章的主要內(nèi)容，是側(cè)重在具體函數(shù)的講述上的。

另一方面，在大綱規(guī)定的幾種具體函數(shù)中，一次函數(shù)是最基本的，

教科書對一次函數(shù)的討論也比較全面。對于一次函數(shù)中系數(shù)與的作

用，教學可通過一些具體函數(shù)圖象的觀察、比較，

情感態(tài)度與價值觀：

1.通過一次函數(shù)的學習，學生可以對函數(shù)的研究方法有一個初步的

認識與了解，從而能更好地把握學習二次函數(shù)、反比例函數(shù)的學習

方法。

2.培養(yǎng)學生用“數(shù)形結(jié)合”的思想與方法解決數(shù)學問題.

3.提高學生數(shù)形結(jié)合意識，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力.

4.探索一次函數(shù)圖象觀察、分析等過程，提高學生數(shù)形結(jié)合意識，

培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力.

對應課標

1.經(jīng)歷函數(shù)、一次函數(shù)等概念的抽象概括過程，體會函數(shù)的模型思

想，進一步發(fā)展

學生抽象思維能力；經(jīng)歷一次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)的探索過程，在

合作交流中發(fā)展學生的

合作意識和能力.

2.經(jīng)歷利用一次函數(shù)及其圖象解決實際問題的過程，發(fā)展學生的數(shù)

學應用能力；經(jīng)歷函數(shù)圖象信息的識別與應用過程，發(fā)展學生的形

象思維能力.

3.初步理解函數(shù)的概念；理解一次函數(shù)極其圖象的有關性質(zhì)；初步

體會方程和函數(shù)

的關

系.4.根據(jù)

所給信息確定一次函數(shù)表達式；會作一次函數(shù)的圖象，并

利用它們解決簡單的實際問題.

1.函數(shù)的要素有哪些？

2.一次函數(shù)和正比例函數(shù)的聯(lián)系是什么？

主題單元問題設3.一次函數(shù)有什么性質(zhì)？

計4.一次函數(shù)的圖像時什么？

5.怎樣確定一次函數(shù)的表達式？

6.怎樣應用一次函數(shù)的圖像？

專題1：一次函數(shù)

專題劃分專題2：一次函數(shù)的圖像

專題3：一次函數(shù)圖像的應用

專題一一次函數(shù)的定義

所需課時課內(nèi)2課時+課外1課時

專題一概述

以摩天輪的高度和時間的關系圖、堆放物體的總數(shù)和層數(shù)關系的表

格、滑行距離和速

度的代數(shù)表達式三種形式呈現(xiàn)了三個生活化的場景，使學生明確“給

定其中某一個變量的

值，相應地就確定了另一個變量的值”這一共性，從而歸納出函數(shù)的

概念，同時也暗示了

函數(shù)的三種表示方式，對于函數(shù)的概念，只要學生能結(jié)合具體情境,

體會到函數(shù)的概念即

可，不必作不必要的拓展和加深

專題學習目標

知識技能：

1.初步掌握函數(shù)概念，能判斷兩個變量間的關系是否可看作函數(shù).

2.經(jīng)歷具體實例的抽象概括過程，進一步發(fā)展學生的抽象思維能

力.

過程與方法：

1.初步形成學生利用函數(shù)的觀點認識現(xiàn)實世界的意識和能力.

2.經(jīng)歷具體實例的抽象概括過程，進一步發(fā)展學生的抽象思維能

力.

情感態(tài)度與價值觀：

能根據(jù)已知條件，寫出簡單的一次函數(shù)表達式，進一步發(fā)展學生的

數(shù)學應用能力.

1.什么是自變量，什么是因變

量？

2.x的一次式的一般形式是什

么？

專題問題設計

3.什么是正比例函數(shù)？

4.什么是一次函數(shù)？

5.正比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)

系是什么？

所需教學材料和資源

信息化資源幾何畫板課件

常規(guī)資源作圖工具（直尺，三角尺，量角器等）

學生每人一臺計算機的網(wǎng)絡教室或多媒體教室，幾

教學支撐環(huán)境

何畫板軟件

其他紙筆等

學習活動設計

第一課時函數(shù)

環(huán)節(jié)一：看看我們身邊的例子：

1、小張準備將平時的零用錢節(jié)約一些儲存起來.他已存有50元，

從現(xiàn)在起每個月節(jié)存12元.試寫出小張的存款數(shù)M與從現(xiàn)在開始的

月份數(shù)X之間的函數(shù)關系式

2、小紅每天做5道數(shù)學課外練習，試寫出小紅所做題目的總數(shù)y和

練習天數(shù)x之間的函數(shù)關系式

3、倉庫內(nèi)原有粉筆400盒，如果每個星期領出36盒，求倉庫內(nèi)余下的

粉筆盒數(shù)Q與星期數(shù)t之間的函數(shù)關系式

4、容積為30m3的水池中已有水10m,現(xiàn)在以5m3/分鐘的速度向水

池注水，寫出水池中水的容積y（m3）與注水時間x（分鐘）之間的

函數(shù)關系式

5、寫出多邊形的內(nèi)角和S（度）與它的邊數(shù)n的函數(shù)關系式，自變

量n可取哪些數(shù)值？

更多$胃）個學習資n***；i>?'***?

上述兩個問題中的函數(shù)解析式都是用自變量的一次整式表示的.函

數(shù)的解析式都是用自變量的一次整式表示的，我們稱它們?yōu)橐淮魏?/p>

數(shù).一次函數(shù)通?？梢员硎緸榈男问?，其中k、b是常數(shù)，

kWO.特別地，當時一，一次函數(shù)(常數(shù)kWO)也叫做正比例函

數(shù).正比例

函數(shù)也是一次函數(shù)，它是一次函數(shù)的特例.

例題：給出幾個解析式

例1下列函數(shù)關系中，哪些屬于一次函數(shù)，其中哪些又屬于正比例

函數(shù)？

⑴面積為10cm2的三角形的底a(cm)與這邊上的高h(cm)；

⑵長為8(cm)的平行四邊形的周長L(cm)與寬b(cm)；

⑶食堂原有煤120噸，每天要用去5噸，x天后還剩下煤y噸；

⑷汽車每小時行40千米，行駛的路程s(千米)和時間t(小時).

(提高)例2已知函數(shù)，若它是正比例函數(shù)，求k的值；若它是一

次函數(shù)，求k的值.

例3已知y與成正比例，當時，.

⑴寫出y與x之間的函數(shù)關系式；⑵y與x之間是什么函數(shù)關系；

⑶求x=2.5時,y的值.

專題二一次函數(shù)的圖像

所需課時課內(nèi)2課時

專題二概述

學生通過親手畫正比例函數(shù)的圖象，獲得正比例函數(shù)y=kx的圖象是

經(jīng)過原點（0,0）的一條直線，并利用在同一坐標系中，畫多個正比

例函數(shù)圖象得到正比例函數(shù)圖象與X軸正方向所成銳角的大小與k的

關系，有圖象得到了一次函數(shù)的增減性，并且由圖象還涉及到兩直線

的平行與相交，為高中的解析幾何打下基礎.

本專題的重點是熟練的作出一次函數(shù)的圖象；本專題的難點是探索一

次函數(shù)的作圖過程.

學生的主要學習成果包括：理解并掌握一次函數(shù)的作圖過程，進一步

掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法，思想的運用.

專題學習目標

知識技能：

1.使學生熟練地作出一次函數(shù)的圖象，會求一次函數(shù)與坐標軸的交點

坐標；

2.會作出實際問題中的一次函數(shù)的圖

象.過程與方法：

從學生已經(jīng)認知的正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念出發(fā)，得出其定義式,

以及兩者特殊與一般的關系。然后展示課本和作業(yè)中出現(xiàn)的正比例函數(shù)

和一次函數(shù)的圖象，讓學生感知一次函數(shù)的圖象是一條直線，并作出猜

想。

情感態(tài)度與價值觀：

培養(yǎng)學生用“數(shù)形結(jié)合”的思想與方法解決數(shù)學問題。

取怎樣的兩點畫函數(shù)y=0.5x,y=—0.5x的圖象合適

呢？

怎樣取合適的兩點畫一次函數(shù)y=kx+b的圖象

呢？

3-次函數(shù)的圖象是什么形狀呢？

4.正比例函數(shù)y=kx(kWO)的圖象是經(jīng)過哪一點的

專題問題設計一條直線？5.畫一次函數(shù)圖象時.只要取幾點？

6.在同一直角坐標系中畫出下列函數(shù)的圖象.并

說出它們有什么關系。

7.兩個一次函數(shù)圖象，當k一樣，b不一樣時，有

什么共同點和不同點?當b一樣，k不一樣時，有

什么共同點和不同點？

所需教學材料和資源

信息化資源刻度尺，多媒體課件

常規(guī)資源作圖工具（直尺，三角尺等）

學生每人一臺計算機的網(wǎng)絡教室或多媒體教室，幾

教學支撐環(huán)境

何畫板軟件

其他坐標紙，筆等

學習活動設計

1、知識設疑：其一、什么叫一次函數(shù)、正比例函數(shù)？它們有何關系？

其二、如何畫現(xiàn)函數(shù)的圖象？

探索1:請同學們根據(jù)畫圖象的步驟：列表、描點、連線，

在同一平面直角坐標系中畫出下列函數(shù)的圖象.

（1）；（2）；（3）；（4）.

（寫在一個表中）同學們觀察并互相討論，并回答：你所畫

出的圖象是什么形狀的嗎？

歸納1：觀察上面四個函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)它們

都是直線.一次函數(shù)（k#0）的圖象是一

條直線，這條直線通常又稱為直線（k70）.

特別地，正比例函數(shù)（kWO）是經(jīng)過原點（0,0）的一條直線.

加問：經(jīng)過幾點可以確定一條直線？答：兩點.問題1：以上四個一

次函數(shù)圖象是什么形狀呢？只要取兩點。教師指出，今后畫一次函數(shù)

的圖象，只要取兩點再過兩點畫直線即可.

結(jié)論那么今后畫一次函數(shù)圖象時只要取兩點，過兩點畫一條直線就可

以了.（教師再用過兩點的方法畫圖象，注意啟發(fā)對兩個點的選擇）

（馬上做一個練習，列表法一般是6個點以上，改一下下面的二個題

中的b⑶與.

)

探索2：

觀察上面所畫的四個一次函數(shù)的圖象，比較下列各一對次函數(shù)的圖象

有什么共同點，有什么不同點？

⑴與；⑵與；

⑶與.

你能否從中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律？對于直線（k#0）,常數(shù)k和b的取值對

于其位置各有什么影響？

歸納2：（幾何畫板課件）1、兩個一次函數(shù)，當k一樣，b不一樣時，

如⑴與⑵，有共同點：直線平行，平移關系??！都是由直線（kWO）

向上或向下移動得到；不同點：它們與y軸的交點不同；2、而當兩

個一次函數(shù)，b一樣，k不一

樣時，如⑶，有共同點：它們與y軸交于同一點（0,b）；不同點：

直線不平行.

綜上所述，對于直線與直線而言：

⑴當、時、兩直線平行；

⑵當、時、兩直線相交于點（0,b）.

例1在同一平面直角坐標系中畫出下列每組函數(shù)的圖象：（學生在

書上面畫，然后叫學生交流一下）

⑴與；⑵與.

加問：⑴你取的是哪幾個點，互相交流，看誰取的點比較簡便？⑵上

面每組中的兩條直線有什么關系？

通過比較，老師點撥，得出一次函數(shù)圖象的畫法：一般情況下，畫一

次函數(shù)的圖象要取與x軸、y軸的交點比較簡便.特別地，畫正比例

的圖象只要過原點（0,0）和（1,k）最為簡便.

例2（可再舉一個例子）說出直線與；與的相同之

處.例3直線，分別是由直線經(jīng)過怎樣的移動得到的？

平移方法：只要k相同，直線就平行，一次函數(shù)（kWO）是由正比例

函數(shù)的圖象（k#0）經(jīng)過向上或向下平移個單位得到的.時，直線向

上移；時，直線向下移.

專題三一次函數(shù)的圖像的應用

所需課時課內(nèi)2課時

專題三概述

本專題是通過一次函數(shù)的圖象解決實際問題，培養(yǎng)學生良好的識圖能

力，從而讓學生進一步體

會函數(shù)與方程、數(shù)與形的關系，建立良好的知識聯(lián)系

本專題的重點是理解一次函數(shù)（含正比例函數(shù)）的性質(zhì).難點是在數(shù)

形上結(jié)合進行學習一次函數(shù)的性質(zhì)

本專題的探索內(nèi)容較多，對函數(shù)性質(zhì)的探索，要注意圖象的直觀作用，

關鍵在于說學生理解以下兩語句的含義及其對應關系：“函數(shù)值隨自變量

的增大而增大（減小）”、“函數(shù)的圖象從左向右上升（下降）”。對于一

次函數(shù)中系數(shù)與的作用，教學可通過一些具體函數(shù)圖象的觀察比較，讓

學生自我探索。學生的主要學習成果包括：

注意滲透數(shù)形結(jié)合思想.

專題學習目標

知識技能：

1.使學生理解待定系數(shù)法。

2.能用待定系數(shù)法術一次函數(shù)的解析式.

3.過程與方法：

探索用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達式需要的幾個條件。

情感態(tài)度與價值觀：

1.待定系數(shù)法是一種應用廣泛的數(shù)學方法，在教學中要突出這種方

法所蘊含的數(shù)學思想。

2.未知和已知、變量和常量的相互轉(zhuǎn)化。

1.確定一次函數(shù)的表達式需要幾個條件？

專題問題設

2.確定正比例函數(shù)的表達式需要幾個條件？

計

所需教學材料和資源

信息化資源幾何畫板課件

常規(guī)資源作圖工具（直尺，三角尺，量角器等）

教學支撐環(huán)學生每人一臺計算機的網(wǎng)絡教室或多媒體教室，幾何畫

境板軟件

學習活動設計

1.畫出一次函數(shù)y=x+l的圖象y=-2+3x是否這樣？畫出函

數(shù)y=-x+2和y=-x—1的圖象。

2.觀察，分析函數(shù)y=x+l圖象的變化規(guī)律.

師生共同觀察分析，當一個點在直線上從左向右移動（自變量x從小

到大）時，它的位置也在逐漸從低到高變化（函數(shù)y的值也從小到大）

問題2中的函數(shù)y=y=-2+3x是否這樣？

這就是說，函數(shù)值y隨自變量x增大而

在同一直角坐標系中畫出函數(shù)y=3x—2的圖象（如圖中的虛線）是否

也有這種現(xiàn)象.進一步引導學生觀察、分析得出與上面相同的結(jié)論.讓我

們從以上圖象分析他們之間的關系，看看是否存在著相似的地方與不同的

地方：第一組的y=x+l的圖象y=-2+3x

（1）是兩條不同的直線，但他們都經(jīng)過第一、三象限；

（2）第一條直線還過第四象限，第二條直線還過第二象限；

（3）兩條直線都呈現(xiàn)出一種上升的趨勢。

由些，我們（猜想）有：

3、畫出函數(shù)y=-x+2和y=—x—1的圖象。

學生動手畫出以上一次函數(shù)圖象，教師指導并糾正學生可能出現(xiàn)的錯

誤畫法.同時，教師在黑板面出這兩個一次函數(shù)的圖象.

4、觀察、分析函數(shù)y=-x+2和y=-x—1圖象的變化規(guī)

律.問題1：仿照以上研究方法，研究它們是否也有相應的性質(zhì)，

有什么不同?你能否發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

讓學生分組討論.發(fā)表意見，教師評析并歸納為：當一個點在直線上

瞬髓5g椰砥襄鼬孰6詢鹿附尊嬲呼螂鰭颼喇崢讖0RW瞪裝枝籟

根據(jù)以上研究的結(jié)果，你能表述一次函數(shù)y=kx+b的性質(zhì)嗎？

讓學生歸納、概括、表述如下性質(zhì)：

1.