高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三章 推理與證明、算法與復(fù)數(shù) 第1講 合情推理與演繹推理練習(xí) 理 試題

第十三章推理與證明、算法與復(fù)數(shù)第1講合情推理與演繹推理練習(xí)理新人教A版基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：35分鐘)一、選擇題1.(2016·西安八校聯(lián)考)觀察一列算式：1?1，1?2，2?1，1?3，2?2，3?1，1?4，2?3，3?2，4?1，…，則式子3?5是第()A.22項 B.23項 C.24項 D.25項解析兩數(shù)和為2的有1個，和為3的有2個，和為4的有3個，和為5的有4個，和為6的有5個，和為7的有6個，前面共有21個，3?5為和為8的第3項，所以為第24項，故選C.答案C2.命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯誤的原因是()A.使用了歸納推理B.使用了類比推理C.使用了“三段論”，但推理形式錯誤D.使用了“三段論”，但小前提錯誤解析由“三段論”的推理方式可知，該推理的錯誤原因是推理形式錯誤.答案C3.觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)＝()A.f(x) B.－f(x) C.g(x) D.－g(x)解析由已知得偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x).答案D4.觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10等于()A.28 B.76 C.123 D.199解析觀察規(guī)律，歸納推理.從給出的式子特點觀察可推知，等式右端的值，從第三項開始，后一個式子的右端值等于它前面兩個式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10＋b10＝123.答案C5.由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運算法則：①“mn＝nm”類比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”類比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt?m＝x”類比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”類比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“eq\f(ac,bc)＝eq\f(a,b)”類比得到“eq\f(a·c,b·c)＝eq\f(a,b)”.以上式子中，類比得到的結(jié)論正確的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4解析①②正確；③④⑤⑥錯誤.答案B二、填空題6.仔細(xì)觀察下面○和●的排列規(guī)律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……若依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的○和●，那么在前120個○和●中，●的個數(shù)是________.解析進(jìn)行分組○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，則前n組兩種圈的總數(shù)是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝eq\f(n（n＋3）,2)，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14.答案147.(2016·東北三省三校聯(lián)考)觀察下列等式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，……，根據(jù)上述規(guī)律，第n個等式為________.解析觀察所給等式左右兩邊的構(gòu)成易得第n個等式為13＋23＋…＋n3＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n（n＋1）,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(n2（n＋1）2,4).答案13＋23＋…＋n3＝eq\f(n2（n＋1）2,4)8.已知x∈(0，＋∞)，觀察下列各式：x＋eq\f(1,x)≥2，x＋eq\f(4,x2)＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋eq\f(4,x2)≥3，x＋eq\f(27,x3)＝eq\f(x,3)＋eq\f(x,3)＋eq\f(x,3)＋eq\f(27,x3)≥4，…，類比得x＋eq\f(a,xn)≥n＋1(n∈N*)，則a＝________.解析第一個式子是n＝1的情況，此時a＝11＝1；第二個式子是n＝2的情況，此時a＝22＝4；第三個式子是n＝3的情況，此時a＝33＝27，歸納可知a＝nn.答案nn三、解答題9.給出下面的數(shù)表序列：表1表2表311313544812…其中表n(n＝1，2，3，…)有n行，第1行的n個數(shù)是1，3，5，…，2n－1，從第2行起，每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和.寫出表4，驗證表4各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表n(n≥3)(不要求證明).解表4為13574812122032它的第1，2，3，4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4，8，16，32，它們構(gòu)成首項為4，公比為2的等比數(shù)列.將這一結(jié)論推廣到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為n，公比為2的等比數(shù)列.10.f(x)＝eq\f(1,3x＋\r(3))，先分別求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明.解f(0)＋f(1)＝eq\f(1,30＋\r(3))＋eq\f(1,31＋\r(3))＝eq\f(1,1＋\r(3))＋eq\f(1,\r(3)（1＋\r(3)）)＝eq\f(\r(3),\r(3)（1＋\r(3)）)＋eq\f(1,\r(3)（1＋\r(3)）)＝eq\f(\r(3),3)，同理可得f(－1)＋f(2)＝eq\f(\r(3),3)，f(－2)＋f(3)＝eq\f(\r(3),3).由此猜想f(x)＋f(1－x)＝eq\f(\r(3),3).證明f(x)＋f(1－x)＝eq\f(1,3x＋\r(3))＋eq\f(1,31－x＋\r(3))＝eq\f(1,3x＋\r(3))＋eq\f(3x,3＋\r(3)·3x)＝eq\f(1,3x＋\r(3))＋eq\f(3x,\r(3)（\r(3)＋3x）)＝eq\f(\r(3)＋3x,\r(3)（\r(3)＋3x）)＝eq\f(\r(3),3).能力提升題組(建議用時：20分鐘)11.平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個區(qū)域，則f(n)的表達(dá)式為()A.n＋1 B.2n C.eq\f(n2＋n＋2,2) D.n2＋n＋1解析1條直線將平面分成1＋1個區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1＋(1＋2)＝4個區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3)＝7個區(qū)域；……；n條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋eq\f(n（n＋1）,2)＝eq\f(n2＋n＋2,2)個區(qū)域，選C.答案C12.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù).比如：他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1，4，9，16，…，這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()A.289 B.1024 C.1225 D.1378解析觀察三角形數(shù)：1，3，6，10，…，記該數(shù)列為{an}，則a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…an＝an－1＋n.∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)?an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2)，觀察正方形數(shù)：1，4，9，16，…，記該數(shù)列為{bn}，則bn＝n2.把四個選項的數(shù)字，分別代入上述兩個通項公式，可知使得n都為正整數(shù)的只有1225.答案C13.(2016·安溪三校聯(lián)考)已知點A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函數(shù)y＝ax(a＞1)的圖象上任意不同兩點，依據(jù)圖象可知，線段AB總是位于A，B兩點之間函數(shù)圖象的上方，因此有結(jié)論eq\f(ax1＋ax2,2)＞aeq\s\up6(\f(x1＋x2,2))成立.運用類比思想方法可知，若點A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函數(shù)y＝sinx(x∈(0，π))的圖象上任意不同兩點，則類似地有________成立.解析對于函數(shù)y＝ax(a＞1)的圖象上任意不同兩點A，B，依據(jù)圖象可知，線段AB總是位于A，B兩點之間函數(shù)圖象的上方，因此有結(jié)論eq\f(ax1＋ax2,2)＞aeq\s\up6(\f(x1＋x2,2))成立；對于函數(shù)y＝sinx(x∈(0，π))的圖象上任意不同的兩點A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)，線段AB總是位于A，B兩點之間函數(shù)圖象的下方，類比可知應(yīng)有eq\f(sinx1＋sinx2,2)＜sineq\f(x1＋x2,2)成立.答案eq\f(sinx1＋sinx2,2)＜sineq\f(x1＋x2,2)14.在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)，那么在四面體ABCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由.證明如圖所示，由射影定理，得AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,BD·DC)＝eq\f(BC2,BD·BC·DC·BC)＝eq\f(BC2,AB2·AC2).又BC2＝AB2＋AC2，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(AB2＋AC2,AB2·AC2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).猜想，在四面體ABCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD，則eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).證明：如圖，連接BE并延長交CD于F，