高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 算法初步、推理與證明、復(fù)數(shù)單元綜合檢測（十）理試題

單元綜合檢測(十)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.(2015·柳州月考)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是a+bi(a,b∈R),i是虛數(shù)單位,則點(a,b)為 ()A.(2,1) B.(2,-1) C.(1,2) D.(1,-2)1.A【解析】復(fù)數(shù)=(-i)(1+2i)=2-i的共軛復(fù)數(shù)是2+i,則點(a,b)為(2,1).2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的x值為 ()A.4 B.5 C.6 D.72.C【解析】該程序框圖運行4次,各次的x,y的值分別為3,8;4,16;5,32;6,64,所以輸出的x的值為6.3.如果復(fù)數(shù)(其中i為虛數(shù)單位,b為實數(shù))的實部和虛部互為相反數(shù),那么b等于 ()A.-6 B. C.- D.23.C【解析】復(fù)數(shù)i的實部和虛部互為相反數(shù),則=0,解得b=-.4.(2015·南昌三模)在平面幾何中有如下結(jié)論:正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1,外接圓面積為S2,則,推廣到空間,可以得到類似結(jié)論;已知正四面體P-ABC的內(nèi)切球體積為V1,外接球體積為V2,則= ()A. B. C. D.4.D【解析】從平面圖形類比空間圖形,從二維類比三維,可得如下結(jié)論:正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比是3∶1,故正四面體P-ABC的內(nèi)切球體積V1與外接球體積V2之比.5.某程序框圖如圖所示,該程序運行后輸出的x值是 ()A.3 B.4 C.6 D.85.D【解析】依次列出運行結(jié)果.該程序框圖運行3次,k的值分別是2,3,4,所以輸出的x=8.6.設(shè)x,y,z∈R*,a=x+,b=y+,c=z+,則a,b,c()A.至少有一個不大于2 B.都小于2C.至少有一個不小于2 D.都大于26.C【解析】假設(shè)a,b,c三數(shù)都小于2,則a+b+c<6①.又x,y,z∈R+,a+b+c=x++y++z+≥2+2+2=6,當且僅當x=y=z=1時取等號,與①矛盾,所以假設(shè)不成立,即a,b,c三數(shù)中至少有一個不小于2.7.(2015·太原一模)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的a=()A.20 B.14 C.10 D.77.C【解析】該程序框圖共運行2015次,a的值依次是5,14,7,20,10,5,14,…,以5為周期重復(fù)出現(xiàn),所以輸出的a=10.二、填空題(每小題5分,共25分)8.已知函數(shù)f(x)滿足:f(1)=,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),則f(2020)=.

8.-【解析】令y=1,得f(x)=f(x+1)+f(x-1),則f(x+1)=f(x+2)+f(x),則f(x+2)=-f(x-1)=f(x-4),所以函數(shù)f(x)的周期是6,則f(2020)=f(4)=-f(1)=-.9.復(fù)數(shù)z=,則|z|=.

9.1【解析】利用復(fù)數(shù)的運算法則和模的概念求解.因為z==-i,所以|z|=|-i|=1.10.(2015·廣東七校聯(lián)考)某程序框圖如圖所示,該程序運行后,輸出的x值為31,則a等于.

10.3【解析】利用程序框圖確定運行次數(shù).該程序框圖運行3次,各次x的值分別為2a+1,4a+3,8a+7,所以8a+7=31,解得a=3.11.(2014·陜西高考)觀察分析下表中的數(shù)據(jù):多面體面數(shù)(F)頂點數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱569五棱錐6610立方體6812猜想一般凸多面體中F,V,E所滿足的等式是.

11.F+V-E=2【解析】觀察表格可知,當多面體為三棱柱時,5+6-9=2,當多面體為五棱錐時,6+6-10=2,當多面體為立方體時,6+8-12=2,歸納可得F,V,E所滿足的等式是F+V-E=2.12.(2015·湖北黃岡中學(xué)模擬)計算+2+3+…+n,可以采用以下方法:構(gòu)造等式:x+x2+…+xn=(1+x)n,兩邊對x求導(dǎo),得+2x+3x2+…+nxn-1=n(1+x)n-1,在上式中令x=1,得+2+3+…+n=n·2n-1.類比上述計算方法,計算+22+32+…+n2=.

12.n(n+1)·2n-2【解析】在+2x+3x2+…+nxn-1=n(1+x)n-1兩邊同時乘以x,得x+2x2+3x3+…+nxn=nx(1+x)n-1,兩邊同時對x求導(dǎo)可得+22x+32x2+…+n2xn-1=n(1+x)n-1+n(n-1)x(1+x)n-2,令x=1得+22+32+…+n2=n(n+1)·2n-2.三、解答題(共60分)13.(12分)已知復(fù)數(shù)z1=+(a2-3)i,z2=2+(3a+1)i(a∈R,i是虛數(shù)單位).若復(fù)數(shù)z1-z2在復(fù)平面上對應(yīng)點落在第一象限,求實數(shù)a的取值范圍.13.【解析】由已知可得z1-z2=+(a2-3a-4)i,因為z1-z2在復(fù)平面上對應(yīng)點落在第一象限,故有所以解得-2<a<-1.14.(12分)(2015·郴州校級期中考試)已知一個程序語句如圖.(1)若輸入x的值為0,求輸出y的值;(2)若輸出y的值為3,求輸入x的值.INPUT“x=”;xIFx<=2THENy=x*xELSEy=2*x-3ENDIFPRINTyEND14.【解析】模擬執(zhí)行程序,可得程序的功能是計算并輸出y=的值.(1)輸入x的值為0,由于x<2,故y=x2=0,故輸出y的值為0.(2)若輸出y的值為3,則x2=3(x≤2)或2x-3=3(x>2),可解得x=±或3,故輸入x的值為±或3.15.(12分)用綜合法證明:a+b+c≥(a,b,c∈R+).15.【解析】∵a,b,c∈R+,∴a+b≥2,b+c≥2,c+a≥2,∴(a+b)+(b+c)+(c+a)≥2+2+2,即2(a+b+c)≥2(),∴a+b+c≥,當且僅當a=b=c時取等號,∴a+b+c≥.16.(12分)是否存在常數(shù)c,使得不等式≤c≤對任意正整數(shù)x,y恒成立?證明你的結(jié)論.16.【解析】當x=y=1時,有≤c≤,此時c=.下面證明對任意正整數(shù)x,y恒成立.先證對任意正整數(shù)x,y恒成立.因為x,y是正整數(shù),所以要證,只要證3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2(x+2y)(2x+y),化簡后即證x2+y2≥2xy,顯然成立,故對任意正整數(shù)x,y恒成立;再證,只要證3x(2x+y)+3y(x+2y)≥2(x+2y)(2x+y),化簡后即證x2+y2≥2xy,顯然成立,故對任意正整數(shù)x,y恒成立.綜上所述,存在常數(shù)c=,使得不等式≤c≤對任意正整數(shù)x,y恒成立.17.(12分)各項均為正數(shù)的數(shù)列{xn}對一切n∈N+均滿足xn+<2.(1)證明:xn<xn+1;(2)證明:1-<xn<1.17.【解析】(1)因為xn>0,xn+<2,所以0<<2-xn,所以xn+1>,且2-xn>0.因為-xn=≥0,所以≥xn,所以xn≤<xn+1,即xn<xn+1.(2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:xn>1-.①當n=1時,由題設(shè)x1>0可知結(jié)論成立;②假設(shè)當n=k時,xk>1-成立,當n=k+1時,由(1)得xk+1>=1-.由①②可得xn>1-.下面證明x