專題02 探索軸對稱圖形（解析版）VIP

專題02探索軸對稱圖形知識點框架知識點講解知識點1圖形的軸對稱軸對稱的概念：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸。兩個圖形關(guān)于直線對稱也叫做軸對稱。折疊后重合的點是對應(yīng)點，叫做對稱點。軸對稱圖形概念：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形。這條直線就是它的對稱軸。（注意：對稱軸必須是直線）常見的軸對稱圖形有：圓、正方形、長方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等邊三角形、角、線段、相交的兩條直線等。平面直角坐標(biāo)系的軸對稱：1）點（x，y）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為（x，-y）；2）點（x，y）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為（-x，y）；3）點（x，y）關(guān)于原點（0，0）的對稱點為（-x，-y）；4）點（x，y）關(guān)于（a，b）的對稱點為（2a-x，2b-y）。知識點2垂直平分線垂直平分線的概念：經(jīng)過線段的中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）。性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等；反過來，到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。知識點3線段、角的軸對稱性1）線段的軸對稱性：①線段是軸對稱圖形，對稱軸有兩條；一條是線段所在的直線，另一條是這條線段的垂直平分線。②線段的垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等。③到線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。結(jié)論：線段的垂直平分線是到線段兩端距離相等的點的集合2）角的軸對稱性：①角是軸對稱圖形，對稱軸是角平分線所在的直線。②角平分線上的點到角的兩邊距離相等。③到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。結(jié)論：角的平分線是到角的兩邊距離相等的點的集合知識點4等腰三角形等腰三角形概念：有兩邊相等的三角形角等腰三角形。等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。等腰三角形性質(zhì)：1）等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。（三線合一）等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）。等邊三角形的概念：三條邊都相等的三角形叫等邊三角形，它是特殊的等腰三角形。等邊三角形的性質(zhì)：1）等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質(zhì)；2）有三條對稱軸；3）每個內(nèi)角都是60°等邊三角形的判定：1）三邊相等或三個角都相等的三角形是等邊三角形。2）有一個角是60°的三角形是等邊三角形。直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個銳角等于30o，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半典型題型考查題型一軸對稱圖形的判定1．（2022·江蘇·連云港市新海實驗中學(xué)八年級期中）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．【詳解】A．是軸對稱圖形，故A符合題意；B．不是軸對稱圖形，故B不符合題意；C．不是軸對稱圖形，故C不符合題意；D．是軸對稱圖形，故D不符合題意．故選：A．【點睛】本題主要考查軸對稱圖形的知識點．確定軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（2022·江蘇淮安·八年級期末）在下列“禁毒”“和平”“志愿者”“節(jié)水”這四個標(biāo)志中，屬于軸對稱圖形的是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】軸對稱圖形是指將圖形沿著某條直線對折，直線兩邊的圖形能夠完全重疊，根據(jù)定義判斷即可．【詳解】A、不是軸對稱圖形，故選項錯誤；B、是軸對稱圖形，故選項正確；C、不是軸對稱圖形，故選項錯誤；D、不是軸對稱圖形，故選項錯誤．故選：B【點睛】本題考查軸對稱圖形的識別，熟記軸對稱圖形的定義是關(guān)鍵．3．（2021·江蘇·泰州市第二中學(xué)附屬初中八年級期中）自新冠肺炎疫情發(fā)生以來，全國人民共同抗疫，各地積極普及科學(xué)防控知識．下面是科學(xué)防控知識的圖片，圖片上有圖案和文字說明，其中的圖案是軸對稱圖形的是（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】解：A、不是軸對稱圖形；B、不是軸對稱圖形；C、不是軸對稱圖形；D、是軸對稱圖形；故選：D．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．4．（2022·江蘇揚州·八年級期末）北京2022年冬奧會會徽如圖所示，組成會徽的四個圖案中是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義判斷即可【詳解】A,B,C都不是軸對稱圖形，故不符合題意；D是軸對稱圖形，故選D.【點睛】本題考查了軸對稱圖形的定義，準(zhǔn)確理解定義是解題的關(guān)鍵．考查題型二角平分線的性質(zhì)5．（2022·江蘇南京·八年級期中）如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點E，BC＝5，DE＝2，則△BCE的面積等于（

）A．10 B．7 C．5 D．4【答案】C【詳解】如圖，過點E作EF⊥BC交BC于點F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE＝EF＝2，所以△BCE的面積等于，故選：C．6．（2022·江蘇·陽山中學(xué)八年級期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，則AC的長是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】過D作DF⊥AC于點F，首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求出DF，再根據(jù)三角形面積公式求出△ABD的面積，即可求出△ADC面積，據(jù)此即可求出答案．【詳解】解：如圖：過D作DF⊥AC于點F，∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∴DE=DF=2，，△ABC的面積為9，∴△ADC的面積為9?5=4，∴，∴AC=4，故選：C．【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟知角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．7．（2022·江蘇·泰州市海陵學(xué)校八年級期末）如圖，OP平分∠AOB，PD⊥OA于點D，點E是射線OB上的一個動點，若PD＝3，則PE的最小值（

）A．等于3 B．大于3 C．小于3 D．無法確定【答案】A【分析】由題意過P點作PH⊥OB于H，進而利用角平分線的性質(zhì)得到PH=PD=3，然后根據(jù)垂線段最短即可得到PE的最小值．【詳解】解：過P點作PH⊥OB于H，如圖，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB于H，∴PH＝PD＝3，∵點E是射線OB上的一個動點，∴點E與H點重合時，PE有最小值，最小值為3．故選：A．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)以及垂線段最短，注意掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．8．（2022·江蘇南通·八年級期末）點在的角平分線上，點到邊的距離等于，點是邊上的任意一點，則下列選項正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角平分線上的點到兩邊的距離相等，可得點P到OB的距離為5，再根據(jù)垂線段最短，即可得出結(jié)論．【詳解】∵點P在∠AOB的平分線上，點P到OA邊的距離等于5，∴點P到OB的距離為5，∵點Q是OB邊上的任意一點，∴PQ≥5．故選：B．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理以及垂線段最短，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．考查題型三角平分線的判定9．（2020·江蘇蘇州·八年級期中）如圖，AB=AD，AC=AE，DAB=CAE=50°，以下四個結(jié)論：①△ADC≌△ABE；②CD=BE；③DOB=50°；④點A在DOE的平分線上，其中結(jié)論正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定及角平分線的性質(zhì)即可依次判斷．【詳解】∵DAB=CAE∴DAB+BAC=CAE+BAC∴DAC=EAB∵AB=AD，AC=AE∴△ADC≌△ABE∴CD=BE，故①②正確；∵△ADC≌△ABE∴ADC=ABE設(shè)AB與CD交于G點，∵AGD=BGC∴DOB=DAB=50°,故③正確；過點A作AF⊥CD于F點，過點A作AH⊥BE于H點，則AF、AH分別是△ADC與△ABE邊上的高∵△ADC≌△ABE∴AF=AH∴點A在DOE的平分線上，④正確故選D．【點睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知角平分線的性質(zhì)與判定．10．（2021·江蘇·啟東市長江中學(xué)八年級期中）如圖，在△ABC中，O是在△ABC內(nèi)一點，且點O到△ABC三邊的距離相等，∠BOC＝126°，則∠A的度數(shù)為（）A．72° B．27° C．54° D．108°【答案】A【分析】由條件可知、平分和，利用三角形內(nèi)角和可求得．【詳解】解：點到三邊的距離相等，平分，平分，，，，，故選：A．【點睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的交點到三角形三邊的距離相等．11．（2019·江蘇·新城中學(xué)八年級期中）如圖，△ABC的兩個外角平分線相交于點P，則下列結(jié)論正確的是（

）A．AB=AC B．BP平分∠ABCC．BP平分∠APC D．PA=PC【答案】B【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，過點P作PD⊥BA與點D，PE⊥AC于點E，PF⊥BC于點F，可證PD=PE=PF．所以點P在∠ABC的平分線上．【詳解】解：過點P作PD⊥BA與點D，PE⊥AC于點E，PF⊥BC于點F．∵AP平分∠DAE，CP平分∠ACF，∴PD=PE，PE=PF，∴PD=PF，∴點P在∠ABC的平分線上．∴BP平分∠ABC.故選：B．【點睛】此題考查角平分線的性質(zhì)定理和判定定理：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等；到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．12．（2020·江蘇鹽城·八年級期中）如圖，，是的中點，平分，且，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作于，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，根據(jù)角平分線的判定定理得到，計算即可．【詳解】解：作于，，，又，，平分，，，，是的中點，，，又，，，故選：A．【點睛】本題考查的是角平分線的判定和性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．考查題型四垂直平分線的性質(zhì)13．（2022·江蘇常州·八年級期中）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，連接AE，若AE＝4，EC＝2，則BC的長是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EB＝EA＝4，結(jié)合圖形計算，得到答案．【詳解】解：∵DE是AB的垂直平分線，AE＝4，∴EB＝EA＝4，∴BC＝EB＋EC＝4＋2＝6，故選：C．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．14．（2022·江蘇淮安·八年級期中）如圖，在已知的中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點M，N；②作直線交于點D，連接．若，，則的周長為（

）A．8 B．9 C．10 D．14【答案】D【分析】根據(jù)作圖可得MN是BC的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得CD=DB，然后可得AD+CD=10，進而可得△ACD的周長．【詳解】解：根據(jù)作圖可得MN是BC的垂直平分線，∵MN是BC的垂直平分線，∴CD=DB，∵AB=10，∴CD+AD=10，∴△ACD的周長=CD+AD+AC=4+10=14，故選：D．【點睛】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和作法，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．15．（2022·江蘇·東臺市實驗中學(xué)八年級期中）如圖，AB＝AC，∠B＝30°，AC的垂直平分線MN交BC于點D，則∠DAC＝（

）A．30° B．40° C．60° D．120°【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠C，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得CD=AD，推出∠DAC＝∠C，即可求出答案．【詳解】∵AB=AC∴∠C＝∠B＝30°∵MN垂直平分AC∴CD=AD∴∠DAC＝∠C＝30°故選A【點睛】本題考查了等腰三角形性質(zhì)和線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握軸對稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2022·江蘇揚州·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點E、F，若∠BAC＝114°，則∠EAF為（）A．40° B．44° C．48° D．52°【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B+∠C，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAB＝∠B，結(jié)合圖形計算即可．【詳解】解：在△ABC中，∠BAC＝114°，則∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣114°＝66°，∵EG是AB的垂直平分線，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B，同理：∠FAC＝∠C，∴∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝66°，∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠EAB+∠FAC）＝114°﹣66°＝48°，故選：C．【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．考查題型五垂直平分線的判定17．（2022·江蘇無錫·八年級期中）若是△所在平面內(nèi)的點，且，則下列說法正確的是（

）A．點是△三邊垂直平分線的交點 B．點是△三條角平分線的交點C．點是△三邊上高的交點 D．點是△三邊中線的交點【答案】A【分析】根據(jù)到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上判斷即可．【詳解】解：∵PA=PB，∴點P在線段AB的垂直平分線上，∵PB=PC，∴點P在線段BC的垂直平分線上，∴點P是△三邊垂直平分線的交點．故選：A．【點睛】本題考查線段垂直平分線的判定．熟練掌握線段垂直平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵．18．（2022·江蘇泰州·八年級期中）到三角形三個頂點距離相等的點是（

）A．三邊高線的交點 B．三條中線的交點 C．三邊垂直平分線的交點 D．三條內(nèi)角平分線的交點【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合垂直平分線的判定與性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：到三角形三個頂點的距離相等的點是三角形三邊垂直平分線的交點．理由如下，如圖所示：∵在的垂直平分線上，∴，∵在的垂直平分線上，∴，∴，即是到三角形三個頂點的距離相等的點，故選：C．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，掌握線段垂直平分線的交點到三角形三個頂點的距離相等是解決問題的關(guān)鍵．19．（2022·江蘇·無錫市江南中學(xué)八年級期中）如圖，某市的三個城鎮(zhèn)中心A、B、C構(gòu)成△ABC，該市政府打算修建一個大型體育中心P，使得該體育中心到三個城鎮(zhèn)中心A、B、C的距離相等，則P點應(yīng)設(shè)計在（）A．三個角的角平分線的交點 B．三角形三條高的交點C．三條邊的垂直平分線的交點 D．三角形三條中線的交點【答案】C【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵體育中心到城鎮(zhèn)中心A、B的距離相等，∴PA＝PB，∴點P在線段AB的垂直平分線上，同理，點P在線段AC，BC的垂直平分線上，∴P點應(yīng)設(shè)計在三條邊的垂直平分線的交點，故選：C．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．考查題型六根據(jù)成軸對稱的特征進行求解20．（2022·江蘇徐州·八年級期中）如圖，在四邊形中，對角線所在的直線是其對稱軸，點P是直線上的點，下列判斷錯誤的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出，，根據(jù)對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等逐項判斷即可求解．【詳解】解：∵在四邊形中，對角線所在的直線是其對稱軸，點P是直線上的點，∴，，∴，，故A，B，D選項正確，無法判斷，故C選項不正確，故選C【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2022·江蘇宿遷·八年級期中）如圖，已知和關(guān)于直線成軸對稱，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，求出可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接．∵和關(guān)于直線成軸對稱，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．22．（2022·江蘇淮安·八年級期中）如圖，與關(guān)于直線l對稱，且，，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，從而得到，再由三角形內(nèi)角和定理，即可求解．【詳解】解：∵與關(guān)于直線對稱，∴，∴，∵，∴．故選∶D．【點睛】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，熟知關(guān)于軸對稱的兩個圖形全等是解答此題的關(guān)鍵．考查題型七等腰三角形的概念23．（2022·江蘇·南京市第二十九中學(xué)八年級期中）等腰三角形的兩邊長分別為3和6，則這個等腰三角形的周長為（）A．12 B．15 C．12或15 D．18【答案】B【分析】根據(jù)題意，要分情況討論：①、3是腰；②、3是底．必須符合三角形三邊的關(guān)系，任意兩邊之和大于第三邊．【詳解】解：①若3是腰，則另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，∴不構(gòu)成三角形，舍去．②若3是底，則腰是6，6．3+6＞6，符合條件．成立．∴C=3+6+6=15．故選B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)．24．（2022·江蘇·宿遷市鐘吾國際第一初級中學(xué)八年級期中）在等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中線BD將這個三角形的周長分為15和12兩部分，則這個等腰三角形的底邊長為（

）A．7 B．7或11 C．11 D．7或10【答案】B【分析】題中給出了周長關(guān)系，要求底邊長，首先應(yīng)先想到等腰三角形的兩腰相等，尋找問題中的等量關(guān)系，列方程求解，然后結(jié)合三角形三邊關(guān)系驗證答案．【詳解】解：設(shè)這個等腰三角形的腰長為a，底邊長為b．∵D為AC的中點，∴AD＝DC＝AC＝a．根據(jù)題意得或解得或又∵三邊長為10，10，7和8，8，11均可以構(gòu)成三角形．∴這個等腰三角形的底邊長為7或11．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及相關(guān)計算．學(xué)生在解決本題時，有的同學(xué)會審題錯誤，以為15，12中包含著中線的長，從而無法解決問題，有的同學(xué)會忽略掉等腰三角形的分情況討論而漏掉其中一種情況．注意：求出的結(jié)果要看看是否符合三角形的三邊關(guān)系定理．25．（2022·江蘇·射陽縣第六中學(xué)八年級期末）若等腰三角形有一個角等于50°，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)是（

）A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分已知角是頂角和底角兩種情況分別即可．【詳解】解：∵已知三角形是等腰三角形，∴當(dāng)50°是底角時，頂角；當(dāng)50°是頂角時，符合題意；綜上所述，等腰三角形的頂角度數(shù)為50°或80°．故選D．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分類討論是解答本題的關(guān)鍵．26．（2022·江蘇無錫·八年級期中）已知等腰三角形一腰上的高線與另一腰的夾角為60°，那么這個等腰三角形的頂角等于（）A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30°【答案】D【分析】等腰三角形的高相對于三角形有三種位置關(guān)系，三角形內(nèi)部，三角形的外部，三角形的邊上．根據(jù)條件可知高在三角形的邊上這種情況不成立，因而應(yīng)分兩種情況進行討論．【詳解】解：當(dāng)高在三角形內(nèi)部時，如圖，∵∠ABD=60°，BD⊥AC，∴∠A=30°；∴頂角是30°；當(dāng)高在三角形外部時，如圖，∵∠ABD=60°，BD⊥AC于D，∴∠BAD=30°，∴∠BAC=180°-30°=150°∴頂角是150°．故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟記三角形的高相對于三角形的三種位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵，本題易出現(xiàn)的錯誤是只是求出高在三角形內(nèi)部一種情況，把三角形簡單的認為是銳角三角形．因此此題屬于易錯題．考查題型八等腰三角形的性質(zhì)27．（2022·江蘇常州·八年級期中）如圖，AB∥CD，點E在線段BC上，CD＝CE，若∠ABC＝30°，則∠D的度數(shù)為（）A．85° B．75° C．65° D．30°【答案】B【分析】根據(jù)AB∥CD，可得∠C＝∠ABC＝30°，再由等腰三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠C＝∠ABC＝30°，又∵CD＝CE，∴∠D＝∠CED，∵∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，∴∠D＝75°．故選：B【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形中，等邊對等角是解題的關(guān)鍵．28．（2022·江蘇·無錫市江南中學(xué)八年級期中）等腰三角形的一個角是80°，則它底角的度數(shù)是（

）A．80°或20° B．80° C．80°或50° D．20°【答案】C【分析】根據(jù)題意，分已知角是底角與不是底角兩種情況討論，結(jié)合三角形內(nèi)角和等于180°，分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，一個等腰三角形的一個角等于80°，①當(dāng)這個角是底角時，即該等腰三角形的底角的度數(shù)是80°，②設(shè)該等腰三角形的底角是x，則2x+80°=180°，解可得，x=50°，即該等腰三角形的底角的度數(shù)是50°；綜上，該等腰三角形的底角的度數(shù)是50°或80°．故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，及三角形內(nèi)角和定理；通過三角形內(nèi)角和定理，列出方程求解是正確解答本題的關(guān)鍵．29．（2022·江蘇無錫·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，點E為AC的中點，連接DE，若△ABC的周長為20cm，則△CDE的周長為（

）A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm【答案】A【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出DE，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【詳解】解：∵點E為AC的中點，∴AE=CE，∵BD＝CD，∴DE=AB，∵△ABC的周長為20，即AB+BC+AC=20cm，∴△CDE的周長＝DE＋CD＋CE＝（AB+BC+AC）=10cm，故選：A．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．30．（2022·江蘇無錫·八年級期中）如圖，CD是等腰三角形△ABC底邊上的中線，BE平分∠ABC，交CD于點E，AC＝6，DE＝2，則△BCE的面積是(

)A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】作EF⊥BC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EF=DE=2，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【詳解】解：作EF⊥BC于F，∵AC=BC=6，CD是等腰三角形△ABC底邊上的中線，∴CD⊥AB，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF=DE=2，∴△BCE的面積=×BC×EF=6，故選：B．【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．31．（2022·江蘇·蘇州市立達中學(xué)校八年級期中）蘇州素有“園林之城”美譽，以拙政園、留園為代表的蘇州園林“咫尺之內(nèi)再造乾坤”，是中華園林文化的翹楚和驕傲．如圖，某園林中一亭子的頂端可看作等腰，其中，若是邊上的一點，則下列條件不能說明是角平分線的是（

）A．點到，的距離相等 B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)到角兩邊距離相等的點在角的平分線上即可判斷選項A，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)（三線合一）即可判斷選項B、選項C，選項D．【詳解】解：A．∵點D到AB、AC的距離相等，∴AD是∠BAC的角平分線，故本選項不符合題意；B．∵∠ADB=∠ADC，∠ADC+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴AD是∠BAC的角平分線，故本選項不符合題意；C．∵BD=CD，AB=AC，∴AD是∠BAC的角平分線，故本選項不符合題意；D．AD=BC不能推出AD是△ABC的角平分線，故本選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，能熟記等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．32．（2022·江蘇·八年級期中）如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，過點F作DE∥BC，分別交AB、AC于點D、E，那么下列結(jié)論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②F為DE中點；③△ADE的周長等于AB與AC的和；④BF＝CF．其中正確的有（）A．①③ B．①②③ C．①② D．①④【答案】A【分析】由平行線得到角相等，由角平分線得角相等，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等腰三角形的判定和性質(zhì)逐項分析可得解．【詳解】∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，∵△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB，∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，∴DB＝DF，EF＝EC，即△BDF和△CEF都是等腰三角形；故①正確；∵BD與CE無法判定相等，∴DF與EF無法判定相等，故②錯誤；∴△ADE的周長為：AD+DE+AE＝AB+BD+CE+AE＝AB+AC；故③正確；∵∠ABC不一定等于∠ACB，∴∠FBC不一定等于∠FCB，∴BF與CF不一定相等，故④錯誤．故選：A．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)；題目利用了兩直線平行，內(nèi)錯角相等，及等角對等邊來判定等腰三角形的；等量代換的利用是解答本題的關(guān)鍵．考查題型九等腰三角形的判定33．（2022·江蘇淮安·八年級期中）如圖，BO平分，CO平分，，，，則的周長為（

）A．15 B．18 C．30 D．33【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得△MBO和△NCO是等腰三角形，從而可得MB=MO，NO=NC，然后利用等量代換可得△AMN的周長=AB+AC，進行計算即可解答．【詳解】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，∵，∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，∴∠ABO=∠MOB，∠ACO=∠NOC，∴MB=MO，NO=NC，∵AB=15，AC=18，∴△AMN的周長=AM+MN+AN=AM+MO+NO+AN=AM+MB+NC+AN=AB+AC=33，故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證明等腰三角形是解題的關(guān)鍵．34．（2022·江蘇揚州·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F，連接EF交AP于點G，以下五個結(jié)論：①∠B＝∠C＝45°；②AP＝EF；③∠AFP和∠AEP互補；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四邊形AEPF的面積是△ABC面積的，其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠B=∠C，即可判斷①；根據(jù)四邊形內(nèi)角和是360°可判斷③，根據(jù)等腰直角三角形求出AP⊥BC，AP=BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C，求出∠FPC=∠EPA，根據(jù)ASA推出△APE≌△CPF，推出AE=CF，PE=PF，S△APE=S△CPF，再逐個判斷②④⑤即可．【詳解】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，∴∠B=∠C=×（180°-90°）=45°，AP⊥BC，AP=BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C，∵∠APF+∠FPC=90°，∠APF+∠APE=90°，∴∠FPC=∠EPA，在△APE和△CPF中，，∴△APE≌△CPF（ASA），∴AE=CF，EP=PF，∴△EPF是等腰直角三角形，故①④正確；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，EF=PE，所以，EF隨著點E、F的變化而變化，只有當(dāng)點E為AB的中點時，EF=PE=AP，在其它位置時EF≠AP，故②錯誤；在四邊形AEPF中，∠BAC=90°，∠EPF=90°，∴∠AFP+∠AEP=360°-（∠BAC+∠EPF）=180°，即∠AFP和∠AEP互補，故③正確；∵△APE≌△CPF，∴S△APE=S△CPF，∵BP=CP，∴S△APC=S△ABC，∴四邊形AEPF的面積=S△APE+S△APF=S△CPF+S△APF=S△APC=S△ABC，故⑤錯誤，故選D．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能求出△APE≌△CPF是解此題的關(guān)鍵．35．（2022·江蘇·八年級期中）如圖，四邊形中，是上一點，是上一點，連接．若，平分，則下列結(jié)論中：①，②，③，④垂直平分，⑤，正確的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由題意易得∠BAE=∠CAD，則可判斷①，然后由三角形全等的性質(zhì)及角之間的等量關(guān)系可求解③，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)判斷④⑤．【詳解】解：∵∠BAC=∠DAE=70°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=∠CAD=35°，∵AB=AC，AE=AD，∴（SAS），故①正確；∴∠AEB=∠ADC，∵∠AEB+∠AEF=180°，∠AEF+∠BFD+∠FDA+∠DAE=360°，∴∠BFD+∠EAD=180°，∴∠BFD=110°，故③正確；∵AE=AD，∴△AED是等腰三角形，∵AC平分∠EAD，∴AC垂直平分DE，故④正確，根據(jù)已知條件無法證明②⑤正確，所以正確的有①③④；故選C．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．考查題型十等邊三角形的性質(zhì)36．（2022·江蘇鹽城·八年級期中）如圖，在等邊中，D為BC邊上的中點，以A為圓心，AD為半徑畫弧，與AC邊交點為E，則的度數(shù)為（

）A．60° B．105° C．75° D．15°【答案】C【分析】根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可求出，結(jié)合求出的度數(shù)即可．【詳解】解：在等邊中，D為BC邊上的中點，∴，根據(jù)題意，可知，∴，∴．故選：C．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識并靈活運用．37．（2020·江蘇·徐州市八年級期中）如圖，一個等邊三角形紙片，剪去一個角后得到一個四邊形，則圖中∠α+∠β的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題可先根據(jù)等邊三角形頂角的度數(shù)求出兩底角的度數(shù)和，然后在四邊形中根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°，求出∠α+∠β的度數(shù)．【詳解】∵等邊三角形的頂角為60°，∴兩底角和=180°-60°=120°，∴∠α+∠β=360°-120°=240°，故選：C．【點睛】本題綜合考查等邊三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和為180°，四邊形的內(nèi)角和是360°等知識，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.38．（2021·江蘇無錫·八年級期中）在等邊中，D，E分別為邊上的動點，，連接，以為邊在內(nèi)作等邊，連接，當(dāng)D從點A向B運動（不與點B重合）時，的變化情況是（

）A．不變 B．變小 C．變大 D．先變大后變小【答案】A【分析】在上截取，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明，即可得到結(jié)論；【詳解】如圖，在上截取，連接．∵是等邊三角形，∴，．∵，∴．∵是等邊三角形，∴，．∵，，∴．在和中，∵∴，∴，∴，∴．∵，∴，即，∴的大小不變，故選A．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合三角形全等求解是解題的關(guān)鍵．考查題型十一等邊三角形的判定39．（2020·江蘇·宿遷市鐘吾初級中學(xué)八年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD為對角線，AB＝BC＝AC＝BD，則∠ADC的大小為(

)A．120° B．135° C．145° D．150°【答案】D【分析】先判斷出△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的每一個內(nèi)角都是60°可得∠ABC＝60°，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等表示出∠ADB、∠BDC，然后根據(jù)∠ADC＝∠ADB＋∠BDC求解即可．【詳解】解：∵AB＝BC＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∵AB＝BC＝BD，∴∠ADB＝（180°?∠ABD），∠BDC＝（180°?∠CBD），∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC，＝（180°?∠ABD）＋（180°?∠CBD），＝（180°