專題6.1 平行四邊形的性質(zhì)（教師版）

專題6.1平行四邊形的性質(zhì)1．理解平行四邊形的概念，掌握平行四邊形的性質(zhì)定理；2．會(huì)應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)定理解決相關(guān)的幾何證明和計(jì)算問題。知識(shí)點(diǎn)01平行四邊形的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)】1）平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形。平行四邊形用“?”表示，平行四邊形ABCD表示為“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”注：只要滿足對(duì)邊平行的四邊形都是平行四邊形。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形2）平行四邊形的高：一條邊上任取一點(diǎn)作另一邊的垂線，該垂線的長(zhǎng)度稱作平行四邊形在該邊上的高。3）兩條平行線之間的距離：一條直線上任一點(diǎn)到另一直線的距離。平行線間距離處處相等。4）平行四邊形的性質(zhì)，討論：邊、角、對(duì)角線，有時(shí)會(huì)涉及對(duì)稱性。如下圖，四邊形ABCD是平行四邊形：性質(zhì)1（邊）：=1\*GB3①對(duì)邊相等；=2\*GB3②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC性質(zhì)2（角）：對(duì)角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC性質(zhì)3（對(duì)角線）：對(duì)角線相互平分，即：AO=OC，BO=OD注：=1\*GB3①平行四邊形僅對(duì)角線相互平分，對(duì)角線不相等，即AC≠BD（矩形的對(duì)角線才相等）；=2\*GB3②平行四邊形對(duì)角相等，但對(duì)角線不平分角，即∠DAO≠∠BAO（菱形對(duì)角線才平分角）5）性質(zhì)4（對(duì)稱性）：平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形。【知識(shí)拓展1】平行線間距離的應(yīng)用例1．（2023春·福建廈門·八年級(jí)廈門外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，若直線，A，D在直線m上，B，E在直線n上，，，，的面積為6，則直線m與n之間的距離為______．【答案】4【分析】先根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)三角形的面積公式即可得．【詳解】解：直線，，四邊形是平行四邊形，，，，設(shè)直線與之間的距離為，的面積為6，，解得，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1．（2022·廣東廣州市·九年級(jí)模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，BE⊥AC，AC＝24，BE＝5，AD＝8，則兩平行線AD與BC間的距離是_____．【答案】15【分析】利用等面積法,得2S△ABC=S四邊形ABCD,表示出面積即可.【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴2S△ABC=S四邊形ABCD,設(shè)平行線AD與BC間的距離為h,即AC·BE=AD·h∵AC＝24，BE＝5，AD＝8，∴h=15.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì),等面積法,中等難度,利用等面積法是解題關(guān)鍵.【知識(shí)拓展2】平行四邊形的性質(zhì)例2．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┫铝行再|(zhì)中，平行四邊形不一定具備的是（）A．對(duì)邊相等 B．鄰角互補(bǔ) C．對(duì)角線互相平分 D．對(duì)角互補(bǔ)【答案】D【分析】直接利用平行四邊形的性質(zhì)：對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分、對(duì)邊平行且相等，進(jìn)而分析得出即可．【詳解】解：平行四邊形對(duì)邊相等，故A正確，不合題意；平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，故B正確，不合題意；平行四邊形對(duì)角線互相平分，故C正確，不合題意；平行四邊形對(duì)角不一定互補(bǔ)，故D錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1．（2021·四川宜賓·中考真題）下列說法正確的是（）A．平行四邊形是軸對(duì)稱圖形 B．平行四邊形的鄰邊相等C．平行四邊形的對(duì)角線互相垂直 D．平行四邊形的對(duì)角線互相平分【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)，即可得到答案．【詳解】解：A.平行四邊形是中心對(duì)稱圖形不是軸對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，B.平行四邊形的鄰邊不一定相等，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，C.平行四邊形的對(duì)角線互相平分，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，D.平行四邊形的對(duì)角線互相平分，故該選項(xiàng)正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展3】平行四邊形的面積問題例3．（2023春·浙江·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，M是的中點(diǎn)，且，則的面積為（

）A．20 B．40 C．62 D．72【答案】B【分析】過點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖，先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明，進(jìn)而得出三角形是直角三角形，且，然后過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，利用等積法求出，再根據(jù)的面積的面積求解即可.【詳解】解：過點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖，則，∵四邊形是平行四邊形，∴，，，，∴，四邊形是平行四邊形，∴，∴，，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，，∴，∴，∴，∵，∴，在三角形中，∵，∴三角形是直角三角形，且，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，∵，∴，∵，∴的面積的面積=；故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及四邊形的面積等知識(shí)，正確作出輔助線、熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【即學(xué)即練】1．（2022·浙江八年級(jí)期中）如圖，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周長(zhǎng)為40，則S為______．【答案】48【分析】首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB＝CD，AD＝BC，可得AB＋BC＝20，再利用其面積的求法S＝BC×AE＝CD×AF，可得4AE＝6CD，列出方程組，求出平行四邊形的各邊長(zhǎng)，再求其面積．【詳解】解：設(shè)BC＝x，CD＝y(tǒng)，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵?ABCD的周長(zhǎng)為40，∴x＋y＝20，∵AE＝4，AF＝6，S＝BC×AE＝CD×AF，∴4x＝6y，得方程組：，解得：∴S平行四邊形ABCD＝BC×AE＝12×4＝48．故答案為：48．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與其面積公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)性質(zhì)得到鄰邊的和，根據(jù)面積公式得到方程，再解方程組即可．2．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，對(duì)角線、交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與、交于點(diǎn)、，若的面積是3，的面積是5，則四邊形的面積是（

）A．13 B．16 C．24 D．32【答案】B【分析】先根據(jù)證明，得，則，再由，得，進(jìn)而可求四邊形的面積．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，同理可求，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形面積等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展4】利用平行四邊形的性質(zhì)求角度例4．（2022·浙江杭州市·八年級(jí)模擬）如圖，點(diǎn)E是平行四邊形的邊上一點(diǎn)，連結(jié)，并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若，，則______．【答案】65【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出∠F=∠BAE=50°，進(jìn)而由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求得∠B=∠AEB=65°，利用平行四邊形對(duì)角相等得出即可．【詳解】解：如圖所示，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，∴∠F=∠BAE=50°，．∵AB=AE，∴∠B=∠AEB=65°，∴∠D=∠B=65°．故答案是：65．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1．（2022·常熟市八年級(jí)月考）如圖，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F(xiàn)是DB上兩點(diǎn)且AE∥CF，若∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，則∠BCF＝（）A．150° B．40° C．80° D．90°【答案】C【分析】可證明△BCF≌△DAE，則∠BCF＝∠DAE，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得出∠DAE的度數(shù)，從而得出∠BCF的度數(shù)．【詳解】解：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠CBF＝∠ADE，∵AE∥CF，∴∠CFB＝∠AED，∴△BCF≌△DAE，∴∠BCF＝∠DAE，∵∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，∴∠AEB＝∠DAE+∠ADB，∴∠DAE＝∠AEB﹣∠ADB＝115°﹣35°＝80°，∴∠BCF＝80°故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定定理．【知識(shí)拓展5】利用平行四邊形的性質(zhì)求長(zhǎng)度例5．（2023春·北京大興·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，則的周長(zhǎng)是（

）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵是的垂直平分線∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴的周長(zhǎng)是，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1．（2023春·湖南邵陽·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在平行四邊形中，，，，則的周長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分即可得出答案．【詳解】解：∵平行四邊形中，，，∴，，∴的周長(zhǎng)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．2．（2022·黑龍江·大慶市八年級(jí)期末）在平行四邊形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于點(diǎn)F，CE平分∠BCD，交AD于點(diǎn)E，AB=6，EF=2，則BC的長(zhǎng)為_____．【答案】10或14或10【分析】利用BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，以及平行關(guān)系，分別求出、，通過和是否相交，分兩類情況討論，最后通過邊之間的關(guān)系，求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：四邊形ABCD是平行四邊形，，，，，，BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，，，，，由等角對(duì)等邊可知：，，情況1：當(dāng)與相交時(shí)，如下圖所示：，，，情況2：當(dāng)與不相交時(shí)，如下圖所示：，，故答案為：10或14．【點(diǎn)睛】本題主要是考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用平行關(guān)系+角平分線證邊相等，是解決本題的關(guān)鍵，還要注意根據(jù)和是否相交，本題分兩類情況，如果沒考慮仔細(xì)，會(huì)漏掉一種情況．【知識(shí)拓展6】利用平行四邊形的性質(zhì)求坐標(biāo)例6．（2023春·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，位于第一象限中，已知頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，結(jié)合坐標(biāo)系即可求解．【詳解】解：∵位于第一象限中，頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1．（2023春·遼寧鐵嶺·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，平行四邊形在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為，，，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)解題，由B點(diǎn)到A點(diǎn)的平移過程，可將線段先向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到線段，由C點(diǎn)坐標(biāo)確定D點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，且，將線段先向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度、再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到線段，C點(diǎn)坐標(biāo)先向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度、再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度可得D點(diǎn)的坐標(biāo)，即；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用平移確定點(diǎn)的坐標(biāo)，易錯(cuò)點(diǎn)是平移的方向和平移的長(zhǎng)度．2．（2022·廣東·深圳八年級(jí)期中）平行四邊形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，∠AOC＝45°，OA＝OC＝，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．(，1) B．(1，) C．(＋1，1) D．(1，＋1)【答案】C【分析】作，求得、的長(zhǎng)度，即可求解．【詳解】解：作，如下圖：則在平行四邊形中，，∴∴為等腰直角三角形則，解得∴故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解．【知識(shí)拓展7】平行四邊形性質(zhì)的綜合（多結(jié)論問題）例7．（2022·山東泰安市·九年級(jí)期末）如圖，的對(duì)角線交于點(diǎn)平分交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②平分；③；④垂直平分．其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)【答案】C【分析】求得∠ADB=90°，即AD⊥BD，即可得到S?ABCD=AD?BD；依據(jù)∠CDE=60°，∠BDE=30°，可得∠CDB=∠BDE，進(jìn)而得出DB平分∠CDE；依據(jù)Rt△AOD中，AO＞AD，即可得到AO＞DE；依據(jù)O是BD中點(diǎn)，E為AB中點(diǎn)，可得BE=DE，利用三角形全等即可得OE⊥BD且OB=OD．【詳解】解：在中，∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED，∴△ADE是等邊三角形，，∴E是AB的中點(diǎn)，∴DE=BE，，∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，∴S?ABCD=AD?BD，故①正確；∵∠CDE=60°，∠BDE=30°，∴∠CDB=∠CDE-∠BDE=60°-30°=30°，∴∠CDB=∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②正確；∵Rt△AOD中，AO＞AD，∵AD=DE，∴AO＞DE，故③錯(cuò)誤；∵O是BD的中點(diǎn)，∴DO=BO,∵E是AB的中點(diǎn)，∴BE=AE=DE∵OE=OE∴△DOE≌△BOE(SSS)∴∠EOD=∠EOB∵∠EOD+∠EOB=180°∴∠BOE=90°∴OE垂直平分BD，故④正確；正確的有3個(gè)，故選擇：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的面積公式的綜合運(yùn)用，三角形全等判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)定理和等邊三角形判定定理，三角形全等判定方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．判定定理進(jìn)行推理論證是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1．（2022·山東濟(jì)南市·八年級(jí)期末）如圖，在ABCD中，AD=2AB，，垂足在線段上，、分別是、的中點(diǎn)，連接，、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②：③；④.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，結(jié)合ABCD的性質(zhì)，得FD=CD，即可判斷①；先證?AEF??DHF，再證?ECH是直角三角形，即可判斷②；由EF=HF，得，由，CE⊥CD，結(jié)合三角形的面積公式，即可判斷③；設(shè)∠AEF=x，則∠H=x，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，得∠FCH=∠H=x，由FD=CD，∠DFC=∠FCH=x，由FG∥CD∥AB，得∠AEF=∠EFG=x，由EF=CF，∠EFG=∠CFG=x，進(jìn)而得到，即可判斷④．【詳解】∵點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，∴2FD=AD，∵在ABCD中，AD=2AB，∴FD=AB=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠BCF，∴∠DCF=∠BCF，即：，∴①正確；∵AB∥CD，∴∠A=∠FDH，∠AEF=∠H，又∵AF=DF，∴?AEF??DHF（AAS），∴EF=HF，∵，∴CE⊥CD，即：?ECH是直角三角形，∴=EH，∴②正確；∵EF=HF，∴∵，CE⊥CD，垂足在線段上，∴,∴,∴，∴③錯(cuò)誤；設(shè)∠AEF=x，則∠H=x，∵在Rt?ECH中，CF=FH=EF，∴∠FCH=∠H=x，∵FD=CD，∴∠DFC=∠FCH=x，∵點(diǎn)F，G分別是EH，EC的中點(diǎn)，∴FG∥CD∥AB，∴∠AEF=∠EFG=x，∵EF=CF，∴∠EFG=∠CFG=x，∴∠DFE=∠DFC+∠EFG+∠CFG=3x，∴．∴④正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形和直角三角形的性質(zhì)定理的綜合，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展8】平行四邊形中的翻折問題例8．（2022·安徽阜陽市·九年級(jí)期末）如圖，在?ABCD中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，將該四邊形沿折痕EF翻折，使點(diǎn)A落在邊BC的三等分點(diǎn)處，則AE的長(zhǎng)為．【答案】或【分析】設(shè)點(diǎn)A落在BC邊上的A′點(diǎn)，分兩種情況：①當(dāng)A′C=BC=2時(shí)；②如圖2，當(dāng)A′B=BC=2時(shí)，過A′點(diǎn)作AB延長(zhǎng)線的垂線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理即可．【詳解】設(shè)點(diǎn)A落在BC邊上的A′點(diǎn)．①如圖1，當(dāng)A′C=BC=2時(shí)，A′B=4，設(shè)AE=x，則A′E=x，BE=8-x．過A′點(diǎn)作A′M垂直于AB，交AB延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，在Rt△A′BM中，∠A′BM=60°，∴BM=2，A′M=2．在Rt△A′EM中，利用勾股定理可得：x2=（10-x）2+12，解得x=．即AE=；②如圖2，當(dāng)A′B=BC=2時(shí)，設(shè)AE=x，則A′E=x，BE=8-x．過A′點(diǎn)作A′N垂直于AB，交AB延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，在Rt△A′BN中，∠A′BN=60°，∴BN=1，A′N=．在Rt△A′EN中，利用勾股定理可得：x2=（9-x）2+3，解得x=．即AE=；所以AE的長(zhǎng)為5.6或．故答案為5.6或．【點(diǎn)睛】本題主要考查翻折性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理，同時(shí)考查分類討論的數(shù)學(xué)思想．【即學(xué)即練】1．（2022·綿陽市·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊CD上一點(diǎn)，將沿AE折疊至處，與CE交于點(diǎn)F，若，，則的度數(shù)為（）

A．40° B．36° C．50° D．45°【答案】B【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出，由折疊的性質(zhì)得，，由三角形的外角性質(zhì)求出，由三角形內(nèi)角和定理求出，即可得出的大?。驹斀狻拷猓骸咚倪呅问瞧叫兴倪呅?，，由折疊的性質(zhì)得：，，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，求出和是解決問題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展9】利用平行四邊形的性質(zhì)證明相關(guān)問題例9．（2022·湖北·浠水縣八年級(jí)期中）已知：在□ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，CE=CD，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，點(diǎn)G為CD上的一點(diǎn)，連接DF，EG，AG，∠1=∠2．（1）求證：G是CD的中點(diǎn)；（2）若CF=2，AE=3，求BE的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）BE的長(zhǎng)是．【分析】（1）通過證≌得到CG=CF，再結(jié)合已知條件即可證明結(jié)論；（2）求出DC=CE=2CF=4，再由平行四邊形的性質(zhì)得到AB，最后根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：（1）證明：∵點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，∴CF=CE，在與中，，∴≌，∴CG=CF=CE，又∵CE=CD，∴CG=CD，即G是CD的中點(diǎn)；（2）∵CE=CD，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，CF=2，∴CD=CE=2CF=4，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD=4，∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∴在中，由勾股定理得：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練應(yīng)用各性質(zhì)及【即學(xué)即練】9．（2022·江蘇·九年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，∠BAD的平分線AF交CD于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．點(diǎn)E恰是CD的中點(diǎn)．求證：（1）△ADE≌△FCE；（2）BE⊥AF．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，得出∠D＝∠ECF，則可證明△ADE≌△FCE（ASA）；（2）由平行四邊形的性質(zhì)證出AB＝BF，由全等三角形的性質(zhì)得出AE＝FE，由等腰三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠ECF，∵E為CD的中點(diǎn)，∴ED＝EC，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA）；（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD，AD∥BC，∴∠FAD＝∠AFB，又∵AF平分∠BAD，∴∠FAD＝∠FAB．∴∠AFB＝∠FAB．∴AB＝BF，∵△ADE≌△FCE，∴AE＝FE，∴BE⊥AF．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展10】平行四邊形中的動(dòng)態(tài)問題例10．（2022·湖南邵陽市·九年級(jí)期末）如圖，在?ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，∠A=60°，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始以2cm/秒的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始以1cm/秒的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，用t表示移動(dòng)的時(shí)間（0≤t≤6）．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PAQ是等邊三角形？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PAQ為直角三角形？【答案】（1）t=2；（2）t=3或．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，列出關(guān)于t的方程，進(jìn)而即可求解．（2）根據(jù)△PAQ是直角三角形，分兩類討論，分別列出方程，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：（1）由題意得：AP=2t（米），AQ=6-t（米）．∵∠A=60°，∴當(dāng)△PAQ是等邊三角形時(shí)，AQ=AP，即2t=6-t，解得：t=2，∴當(dāng)t=2時(shí)，△PAQ是等邊三角形．（2）∵△PAQ是直角三角形，∴當(dāng)∠AQP=90°時(shí)，有∠APQ=30°，即AP=2AQ，∴2t=2（6-t），解得：t=3（秒），當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，有∠AQP=30°，即AQ=2AP，∴6-t=2·2t，解得（秒），∴當(dāng)t=3或時(shí)，△PAQ是直角三角形．【定睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的定義以及平行四邊形的定義，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的定義，列出方程，是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練4】1．（2022·陜西榆林市·八年級(jí)期末）如圖，的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以每秒的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）求的長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，求的值；（3）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）10-t；（2）5秒；（3）見解析【分析】（1）先證明△APO≌△CQO，可得出AP=CQ=t，則BQ即可用t表示；（2）由題意知AP∥BQ，根據(jù)AP=BQ，列出方程即可得解；（3）過點(diǎn)O作直線EF⊥AP，垂足為E，與BC交于F，利用三角形面積公式求出EF，得到OE，利用勾股定理求出AE，再說明AP=2AE即可．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠PAO=∠QCO，

∵∠AOP=∠COQ，∴△APO≌△CQO（ASA），∴AP=CQ=t，∵BC=10，∴BQ=10-t；

（2）∵AP∥BQ，當(dāng)AP=BQ時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形，即t=10-t，解得：t=5，∴當(dāng)t為5秒時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形；（3）過點(diǎn)O作直線EF⊥AP，垂足為E，與BC交于F，在Rt△ABC中，∵AB=6，BC=10，∴AC=，∴AO=CO=AC=4，∵S△ABC＝=，∴AB?AC=BC?EF，∴6×8=10×EF，

∴EF＝，∴OE=，∴AE==，當(dāng)時(shí)，AP=，∴2AE=AP，即點(diǎn)E是AP中點(diǎn)，∴點(diǎn)O在線段AP的垂直平分線上．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，垂直平分線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題．題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．（2022·四川樂山·八年級(jí)期末）已知是平行四邊形，以下說法不正確的是（）A．其對(duì)邊相等B．其對(duì)角線相互平分C．其對(duì)角相等D．其對(duì)角線互相垂直【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴其對(duì)角線相互平分，其對(duì)邊相等，其對(duì)角相等，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對(duì)邊相等．②角：平行四邊形的對(duì)角相等．③對(duì)角線：平行四邊形的對(duì)角線互相平分，是解答的關(guān)鍵．2.（2022·廣西桂林市·七年級(jí)期末）如圖，若表示三角形的面積，表示三角形的面積，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作AEBC，DFBC，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得AE=DF，ABC與DBC分別以AE、DF為高，BC為底，同底同高的三角形面積相等，即可求出答案．【詳解】解：如圖所示，作AEBC，DFBC，∵ADBC，∴AE=DF，且，，∴，即，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考察了平行線的性質(zhì)，即可說明同底同高的三角形面積相等．3．（2022·廣西·八年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)分別是(0，0)，(5，0)，(2，3)，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（7，3） B．（8，2） C．（3，7） D．（5，3）【答案】A【分析】利用平行四邊形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，先利用對(duì)邊平行，得到D點(diǎn)和C點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，再求出CD=AB=5，得到C點(diǎn)橫坐標(biāo)，最后得到C點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】四邊形ABCD為平行四邊形。且。C點(diǎn)和D的縱坐標(biāo)相等，都為3．A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），．D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），C點(diǎn)橫坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為（7，3）．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要是考察了平行四邊形的性質(zhì)、利用線段長(zhǎng)求點(diǎn)坐標(biāo)，其中，熟練應(yīng)用平行四邊形對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，是解決與平行四邊形有關(guān)的坐標(biāo)題的關(guān)鍵．4．（2022·廣西三江·八年級(jí)期中）在平行四邊形ABCD中，∠A＝30°，那么∠B與∠A的度數(shù)之比為（）A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：1【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)先求出∠B的度數(shù)，即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠B=180°-∠A=150°，∴∠B：∠A=5：1，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平行四邊形鄰角互補(bǔ)．5．（2022·黑龍江·大慶市北湖學(xué)校八年級(jí)期末）在□ABCD中，AC=24，BD=38，AB=m，則m的取值范圍是（）A．24<m<39 B．14<m<62 C．7<m<31 D．7<m<12【答案】C【分析】作出平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，然后在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可確定m的取值范圍．【詳解】解：如圖所示：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，，在中，，∴，即，故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查平行四邊形的性質(zhì)及三角形三邊的關(guān)系，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．6．（2022·山東煙臺(tái)市·八年級(jí)期末）已知平行四邊形ABCD中，∠A＋∠C＝110°，則∠B的度數(shù)為（）A．125° B．135° C．145° D．155°【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)角相等以及鄰角互補(bǔ)，即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，∵∠A+∠C=110°，∴∠A=∠C=55°，∴∠B=125°．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，靈活的應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．7．（2022·廣東清遠(yuǎn)市·八年級(jí)期末）在下列性質(zhì)中，平行四邊形不一定具有的是（）A．對(duì)邊相等 B．對(duì)邊平行 C．對(duì)角相等 D．對(duì)角線相等【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，平行四邊形對(duì)邊平行且相等，對(duì)角相等，而對(duì)角線可以相等也可以不相等．【詳解】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可知：A、B、C均是平行四邊形的性質(zhì)，只有D選項(xiàng)不是．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)：①平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行；②平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等；③平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等；④平行四邊形的對(duì)角線互相平分．8．（2022·山東淄博市·八年級(jí)期末）如圖，是的對(duì)角線，點(diǎn)在上，，，則的度數(shù)是______．【答案】

【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，得到∠ABC=∠D=102°，再AD=AE=BE，得出∠EAB=∠EBA，∠BEC=∠BCA，繼而得到∠ACB=2∠BAC，再根據(jù)∠BAC+∠ACB=3∠BAC=180°-∠ABC求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，∠ABC=∠D=102°，∵AD=AE=BE，∴BC=AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∠BEC=∠BCA，∵∠BEC=∠EAB＋∠EBA=2∠EAB，∴∠ACB=2∠BAC，∴∠BAC+∠ACB=3∠BAC=180°-∠ABC=180°-102°=78°，∴3∠BAC=78°，即∠BAC=26°，故答案為：26°．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)．9．（2023春·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶南開中學(xué)校考期中）如圖，點(diǎn)O是平行四邊形對(duì)角線的中點(diǎn)，過點(diǎn)O分別與相交于點(diǎn)E、F，若平行四邊形的周長(zhǎng)為24，，那么四邊形的周長(zhǎng)為_______．【答案】16【分析】先證，得，，則，再求出，然后由四邊形的周長(zhǎng)，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵平行四邊形的周長(zhǎng)為24，∴，∴四邊形的周長(zhǎng)，故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·福建泉州·八年級(jí)福建省永春第一中學(xué)校考期中）如圖，已知的對(duì)角線，交于點(diǎn)，且，，則的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)多_____．【答案】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知，，，，再根據(jù)的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，即可求解．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，∴，，，∵的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023·新疆喀什·統(tǒng)考二模）如圖，在中，過點(diǎn)C作的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)是_______．【答案】/37度【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角即可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，∴，∵，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，熟記所學(xué)知識(shí)是解題關(guān)鍵．12．（2022上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，、是直線上兩點(diǎn)，且．求證：（1）；（2）．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)借助全等三角形的判定與性質(zhì)得出即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合平行線的判定方法得出即可．【詳解】證明：（1）四邊形是平行四邊形，，，，，，在和中，，，；（2），，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，得出△FAD≌△ECB是解題的關(guān)鍵．題組B能力提升練1．（2022·貴州銅仁市·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，是直線上的兩個(gè)定點(diǎn)，且直線.對(duì)于下列各值：①點(diǎn)到直線的距離；②的周長(zhǎng)；③的面積；④的大?。渲胁粫?huì)隨點(diǎn)的移動(dòng)而變化的是（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】B【分析】根據(jù)平行線間的距離不變即可判斷①；根據(jù)三角形的周長(zhǎng)和點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)變化可判斷②④；根據(jù)同底等高的三角形的面積相等可判斷③；進(jìn)而可得答案．【詳解】解：∵直線，∴①點(diǎn)到直線的距離不會(huì)隨點(diǎn)的移動(dòng)而變化；∵PA、PB的長(zhǎng)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化，∴②△PAB的周長(zhǎng)會(huì)隨點(diǎn)的移動(dòng)而變化，④∠APB的大小會(huì)隨點(diǎn)的移動(dòng)而變化；∵點(diǎn)到直線的距離不變，AB的長(zhǎng)度不變，∴③△PAB的面積不會(huì)隨點(diǎn)的移動(dòng)而變化；綜上，不會(huì)隨點(diǎn)的移動(dòng)而變化的是①③．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線間的距離和同底等高的三角形的面積相等等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握平行線間的距離的概念是關(guān)鍵．2．（2022·明水縣八年級(jí)期中）某廣場(chǎng)上一個(gè)形狀是平行四邊形的花壇，分別種有紅、黃、藍(lán)、白、橙、紫6種顏色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列說法中錯(cuò)誤的是（）A．紅花，白花種植面積一定相等B．紅花，藍(lán)花種植面積一定相等C．藍(lán)花，黃花種植面積一定相等D．紫花，橙花種植面積一定相等【答案】B【分析】由題意得出四邊形ABCD、四邊形DEOH、四邊形BGOF、四邊形AGOE、四邊形CHOF是平行四邊形，得出△ABD的面積＝△CBD的面積，△DOE的面積＝△DOH的面積，△BOG的面積＝△BOF的面積，得出四邊形AGOE的面積＝四邊形CHOF的面積，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示：∵AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，∴四邊形ABCD、四邊形DEOH、四邊形BGOF、四邊形AGOE、四邊形CHOF是平行四邊形，∴△ABD的面積＝△CBD的面積，△DOE的面積＝△DOH的面積，△BOG的面積＝△BOF的面積，∴四邊形AGOE的面積＝四邊形CHOF的面積，∴A、C、D正確，B不正確；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，利用平行四邊形性質(zhì)比較三角形面積大小，結(jié)合圖形解題較為簡(jiǎn)便．3．（2022·山東青島市·八年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形中，為上一點(diǎn)，，且，，則下列選項(xiàng)正確的為（）A．B．C．D．【答案】B【分析】解根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠EBC＝∠BEC，利用平行四邊形的性質(zhì)解答即可．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠ABE＝∠BEC＝28°，∵CE＝BC，∴∠EBC＝∠BEC＝28°，∴∠ABC＝56°，∴∠BAD＝∠C＝124°，∠DAE＝56°，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠AED，∵AE＝ED，∴∠D＝∠DAE＝56°，∴∠BAE＝124°?56°＝68°，∴∠AED＝180°?56°?56°＝68°，∴∠AEB＝180°?68°?28°＝84°，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠EBC＝∠BEC解答．4．（2022·浙江杭州市·八年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形中，，．作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，記的度數(shù)為，，．則以下選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A．B．的度數(shù)為C．若，則四邊形的面積為平行四邊形面積的一半D．若，則平行四邊形的周長(zhǎng)為【答案】C【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出，，，，得出，求出，得出；由平行四邊形的面積得出；若，則，求出，由直角三角形的性質(zhì)得出，，得出，，求出平行四邊形的周長(zhǎng)；求出的面積，的面積，平行四邊形的面積，得出四邊形的面積平行四邊形的面積的面積的面積平行四邊形面積的一半；即得出結(jié)論．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，；平行四邊形的面積，，，，；若，則，，，，，，平行四邊形的周長(zhǎng)；的面積，的面積，平行四邊形的面積，四邊形的面積平行四邊形的面積的面積的面積平行四邊形面積的一半；綜上所述，選項(xiàng)、、不符合題意，選項(xiàng)符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形面積等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022·浙江杭州市·八年級(jí)月考）如圖，在平行四邊形中，E為邊上一點(diǎn)，將沿折疊至，與交于點(diǎn)F，若，則的大小為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出∠D=∠B=52°，由折疊的性質(zhì)得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三角形的外角性質(zhì)求出∠AEF=72°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠AED′=108°，即可得出∠FED′的大?。驹斀狻拷猓骸咚倪呅蜛BCD是平行四邊形，∴∠D=∠B=52°，

由折疊的性質(zhì)得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，

∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED′=180°-∠EAD′-∠D′=108°，

∴∠FED′=108°-72°=36°；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，求出∠AEF和∠AED′是解決問題的關(guān)鍵．6．（2022·山東煙臺(tái)市·八年級(jí)期末）如圖1，平行四邊形紙片的面積為120，．今沿兩對(duì)角線將四邊形剪成甲、乙、丙、丁四個(gè)三角形紙片．若將甲、丙合并（、重合）形成一軸對(duì)稱圖形（戊），如圖2所示，則圖形戊的兩對(duì)角線長(zhǎng)度和為（）A．26 B．29 C． D．【答案】A【分析】由題意可得對(duì)角線EF⊥AD，且EF與平行四邊形的高相等，進(jìn)而利用面積與邊的關(guān)系求出BC邊的高即可．【詳解】解：如圖，連接AD、EF，則可得對(duì)角線EF⊥AD，且EF與平行四邊形的高相等．∵平行四邊形紙片ABCD的面積為120，AD=20，∴BC=AD=20，EF×AD=×120，∴EF=6，又AD=20，∴則圖形戊中的四邊形兩對(duì)角線之和為20+6=26，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及圖形的對(duì)稱問題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022·山東濰坊市·八年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形中，平分，則平行四邊形的周長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的定義以及兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠CDE=∠CED，再根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得CE=CD，然后利用平行四邊形對(duì)邊相等求出CD、BC的長(zhǎng)度，再求出?ABCD的周長(zhǎng)．【詳解】解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，BC=AD=6，AB=CD，∴∠ADE=∠CED，∴∠CDE=∠CED，∴CE=CD，∵AD=6，BE=2，∴CE=BC-BE=6-2=4，∴CD=AB=4，∴?ABCD的周長(zhǎng)=6+6+4+4=20．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形對(duì)邊平行，對(duì)邊相等的性質(zhì)，角平分線的定義，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明CE=CD是解題的關(guān)鍵．8．（2022·四川成都市·八年級(jí)期末）如圖，某景區(qū)湖中有一段“九曲橋”連接湖岸A，B兩點(diǎn)，“九曲橋”的每一段與AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，則此“九曲橋”的總長(zhǎng)度為_____．【答案】200m【分析】如圖，延長(zhǎng)AC、BD交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)HK交AE于F，延長(zhǎng)NJ交FH于M，則四邊形EDHF，四邊形MNCF，四邊形MKGJ是平行四邊形，△ABC是等邊三角形，由此即可解決問題．【詳解】如圖，延長(zhǎng)AC、BD交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)HK交AE于F，延長(zhǎng)NJ交FH于M由題意可知，四邊形EDHF，四邊形MNCF，四邊形MKGJ是平行四邊形∵∠A＝∠B＝60°∴∴△ABC是等邊三角形∴ED＝FM+MK+KH＝CN+JG+HK，EC＝EF+FC＝JN+KG+DH∴“九曲橋”的總長(zhǎng)度是AE+EB＝2AB＝200m故答案為：200m．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形、等邊三角形、三角形內(nèi)角和的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形、等邊三角形、三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，從而完成求解．9．（2023春·浙江杭州·八年級(jí)期中）如圖，在，點(diǎn)F是上的一點(diǎn)，連接，平分，交于中點(diǎn)E，連接．若，，，則______．【答案】4【分析】延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義可得，根據(jù)等腰三角形的判定可得，再利用定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，最后根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，平分，且，，四邊形是平行四邊形，，，，，為的中點(diǎn)，，在和中，，，，（等腰三角形的三線合一），，，則在中，，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形和等腰三角形是解題關(guān)鍵．10．（2022·天津八年級(jí)期中）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，∠BCD的平分線CF交邊AB于F，∠ADC的平分線DG交邊AB于G，且DG與CF交于點(diǎn)E．（Ⅰ）求證：AF＝GB；（Ⅱ）求證：△EFG是直角三角形；（Ⅲ）在?ABCD中，添上一個(gè)什么條件，使△EFG是等腰直角三角形．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）添加四邊形ABCD為矩形等．【分析】（Ⅰ）由角平分線知∠ADG=∠CDG，由平行知∠CDG=∠AGD所以，∠ADG=∠AGD，即AD=AG，同理BF=BC，又AD=BC，所以AG=BF，去掉公共部分，則有AF=GB；

（Ⅱ）由于DG、CF是平行四邊形一組鄰角的平分線，所以△EFG已經(jīng)是直角三角形了；

（Ⅲ）要成為等腰直角三角形，則必須有EF=EG或者∠EFG=∠EGF即可．【詳解】（Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC．∴∠AGD＝∠CDG，∠DCF＝∠BFC．∵DG、CF分別平分∠ADC和∠BCD，∴∠CDG＝∠ADG，∠DCF＝∠BCF．∴∠ADG＝∠AGD，∠BFC＝∠BCF∴AD＝AG，BF＝BC．∴AF＝BG；（Ⅱ）解：∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∵DG、CF分別平分∠ADC和∠BCD，∴∠EDC+∠ECD＝90°，∴∠DEC＝90°，∴∠FEG＝90°，∴△EFG是直角三角形；（Ⅲ）由（Ⅱ）知：我們只要保證添加的條件使得EF＝EG就可以了．我們可以四邊形ABCD為矩形等．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)和直角三角形的判定，解答關(guān)鍵是根據(jù)條件找到圖中的等腰三角形．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022·遼寧錦州市·九年級(jí)期末）如圖，在中，，，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)；②分別以點(diǎn)，為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）

A．3 B． C．4 D．【答案】D【分析】先根據(jù)題目描述可確定CG⊥BD，再由平行確定∠EBC=30°，從而在Rt△BEC中計(jì)算即可【詳解】根據(jù)題意描述，CG垂直平分線段DF，即∠BEC=90°，∵，四邊形為平行四邊形，∴AD//BC，AD=BC=6∴∠EBC=30°，∴在Rt△BEC中，，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，垂直平分線的判定，以及勾股定理，充分理解題中描述的作圖過程是解題關(guān)鍵．2．（2022·山東泰安市·九年級(jí)期末）如圖，已知的面積為點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且四邊形是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為（）A．B．C．D．【答案】A【分析】想辦法證明S陰=S△ADE+S△DEC=S△AEC，再由EF∥AC，可得S△AEC=S△ACF解決問題；【詳解】解：如圖,連接AF、EC．∵BC=4CF，S△ABC=24，∴S△ACF=×24=6，∵四邊形CDEF是平行四邊形，∴DE∥CF，EF∥AC，∴S△DEB=S△DEC，∴S陰=S△ADE+S△DEC=S△AEC，∵EF∥AC，∴S△AEC=S△ACF=6，∴S陰=6．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的面積、等高模型等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等高模型解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．3．（2022·四川南充市·九年級(jí)一模）如圖，與的周長(zhǎng)相等，且，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)與的周長(zhǎng)相等，且,可得兩個(gè)四邊形的邊，進(jìn)而可得△ABF為等腰三角形；由，可得,，根據(jù)周角定理可得；在等腰三角形ABF中即可求得的度數(shù)．【詳解】解：∵與的周長(zhǎng)相等，且,∴,∴；∵，∴,,∴,∴；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平四邊形鄰角與對(duì)角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理等．4．（2022·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)期末）如圖，在中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC⊥BC，的面積為48，OA＝3，則BC的長(zhǎng)為（）A．6 B．8 C．12 D．13【答案】B【分析】由平行四邊形對(duì)角線互相平分得到AC的值，由AC⊥BC，可得，代入即可求出BC邊長(zhǎng).【詳解】解：∵在中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∴OA=OC，∵OA=3，∴AC=2OA=6，∵AC⊥BC，∴，∴BC=8.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)和平行四邊形的面積，掌握平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.5．（2022·廣東·深圳市九年級(jí)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC＝2AB＝8，連接BD，分別以點(diǎn)B，D為圓心，大于BD長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E和點(diǎn)F，作直線EF交AD于點(diǎn)I，交BC于點(diǎn)H，點(diǎn)H恰為BC的中點(diǎn)，連接AH，則AH的長(zhǎng)為（）A． B．6 C．7 D．4【答案】A【分析】連接DH，根據(jù)作圖過程可得EF是線段BD的垂直平分線，證明△DHC是等邊三角形，然后證明∠AHD=90°，根據(jù)勾股定理可得AH的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，連接DH，根據(jù)作圖過程可知：EF是線段BD的垂直平分線，∴DH=BH，∵點(diǎn)H為BC的中點(diǎn)，∴BH=CH，BC=2CH，∴DH=CH，在?ABCD中，AB=DC，∵AD=BC=2AB=8，∴DH=CH=CD=4，∴△DHC是等邊三角形，∴∠C=∠CDH=∠DHC=60°，在?ABCD中，∠BAD=∠C=60°，AD∥BC，∴∠DAH=∠BHA，∵AB=BH，∴∠BAH=∠BHA，∴∠BAH=∠DAH=30°，∴∠AHD=90°，∴AH=．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的作法．6．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在?ABCD中，AD=2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB于E，在線段AB上，連接EF、CF．則下列結(jié)論：①∠BCD=2∠DCF；②∠ECF=∠CEF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF，其中一定正確的是（

）A．②④ B．①②④

C．①②③④

D．②③④【答案】B【分析】根據(jù)易得DF=CD，由平行四邊形的性質(zhì)AD∥BC即可對(duì)①作出判斷；延長(zhǎng)EF，交CD延長(zhǎng)線于M，可證明△AEF≌△DMF，可得EF=FM，由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)即可對(duì)②作出判斷；由△AEF≌△DMF可得這兩個(gè)三角形的面積相等，再由MC＞BE易得S△BEC＜2S△EFC，從而③是錯(cuò)誤的；設(shè)∠FEC=x，由已知及三角形內(nèi)角和可分別計(jì)算出∠DFE及∠AEF，從而可判斷④正確與否．【詳解】①∵F是AD的中點(diǎn)，∴AF=FD，∵在?ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠BCD=2∠DCF，故①正確；②延長(zhǎng)EF，交CD延長(zhǎng)線于M，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F為AD中點(diǎn)，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FE，∴∠ECF=∠CEF，故②正確；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵M(jìn)C＞BE，，∴S△BEC＜2S△EFC，故S△BEC=2S△CEF，故③錯(cuò)誤；④設(shè)∠FEC=x，則∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC