專題7.2 平行線中的動點問題（強化）（原卷版）

專題7.2平行線中的動點問題1．直線、被直線所截，，點是平面內(nèi)一動點．設(shè)，，．（1）若點在直線上，如圖①，，則；（2）若點在直線、之間，如圖②，試猜想、、之間的等量關(guān)系并給出證明；（3）若點在直線的下方，如圖③，（2）中、、之間的關(guān)系還成立嗎？請作出判斷并說明理由．2．動手操作：如圖①：將一副三角板中的兩個直角頂點疊放在一起，其中，，．（1）若，求的度數(shù)；（2）試猜想與的數(shù)量關(guān)系，請說明理由；（3）若按住三角板不動，繞頂點轉(zhuǎn)動三角板，試探究當(dāng)時，等于多少度，并簡要說明理由．3．如圖1，已知，點在上，連接．過點作，連接．（1）若，則；（2）如圖2，平分，射線的反向延長線交的平分線于點，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．（3）在（1）的條件下，點為直線上的一動點，連接，直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．（題中所有角都是大于且小于的角）4．已知直線與互相垂直，垂足為，點在射線上運動，點在射線上運動，點，均不與點重合．（1）如圖1，平分，平分．若，則．（2）如圖2，平分交于點，平分，的反向延長線交的延長線于點．①若，則．②在點，的運動過程中，的大小是否會發(fā)生變化？若不變，求出的度數(shù)；若變化，請說明理由．（3）如圖3，已知點在的延長線上，的平分線，的平分線與的平分線所在的直線分別相交于點，．在中，如果有一個角的度數(shù)是另一個角的3倍，請直接寫出的度數(shù)．5．如圖1，點、分別在射線、上運動（不與點重合），、分別是和的角平分線，延長線交于點．（1）若，則；（直接寫出答案）（2）若，求出的度數(shù)；（用含的代數(shù)式表示）（3）如圖2，若，過點作交于點，求與的數(shù)量關(guān)系．6．已知：如圖所示，直線，另一直線交于，交于，且，點為直線上一動點，點為直線上一動點，且．（1）如圖1，當(dāng)點在點右邊且點在點左邊時，的平分線交的平分線于點，求的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)點在點右邊且點在點右邊時，的平分線交的平分線于點，求的度數(shù)；（3）當(dāng)點在點左邊且點在點左邊時，的平分線交的平分線所在直線交于點，請直接寫出的度數(shù)，不說明理由．7．如圖，已知，．點是射線上一動點（與點不重合），、分別平分和，分別交射線于點，．（1）的度數(shù)是，的度數(shù)是；（2）當(dāng)點運動時，與之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請寫出它們之間的關(guān)系，并說明理由；若變化，請寫出變化規(guī)律；（3）當(dāng)點運動到使時，的度數(shù)是多少？8．如圖1，直線與直線垂直相交于，點在直線上運動，點在直線上運動，、分別是和的角平分線．（1）；（2）如圖2，若是的外角的角平分線，與相交于點，點、在運動的過程中，的大小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，試求出其值；（3）如圖3，過作直線與交于，且滿足，求證：．9．（問題背景），點、分別在、上運動（不與點重合）．（問題思考）（1）如圖①，、分別是和的平分線，隨著點、點的運動，．（2）如圖②，若是的平分線，的反向延長線與的平分線交于點．①若，則．②隨著點、的運動，的大小會變嗎？如果不會，求的度數(shù)；如果會，請說明理由；（問題拓展）（3）在圖②的基礎(chǔ)上，如果，其余條件不變，隨著點、的運動（如圖③，．（用含的代數(shù)式表示）10．問題情境（1）如圖1，已知，，，求的度數(shù)．佩佩同學(xué)的思路：過點作，進而，由平行線的性質(zhì)來求，求得；問題遷移（2）圖2，圖3均是由一塊三角板和一把直尺拼成的圖形，三角板的兩直角邊與直尺的兩邊重合，，，與相交于點，有一動點在邊上運動，連接，，記，．①如圖2，當(dāng)點在，兩點之間運動時，請直接寫出與，之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖3，當(dāng)點在，兩點之間運動時，與，之間有何數(shù)量關(guān)系？請判斷并說明理由．11．，點，分別在射線、上運動（不與點重合）．（1）如圖①，、分別是和的平分線，隨著點、點的運動，；（2）如圖②，若是的平分線，的反向延長線與的平分線交于點．①若，則；②隨著點，的運動，的大小是否會變化？如果不變，求的度數(shù)；如果變化，請說明理由．12．如圖所示，有一塊直角三角板（足夠大），其中，把直角三角板放置在銳角上，三角板的兩邊、恰好分別經(jīng)過、．（1）若，則，．（2）若，則．（3）請你猜想一下與所滿足的數(shù)量關(guān)系．13．已知直線與互相垂直，垂足為，點在射線上運動，點在射線上運動，點、均不與點重合．【探究】如圖1，平分，平分．①若，則．②在點、的運動過程中，的大小是否會發(fā)生變化？若不變，求出的度數(shù)；若變化，請說明理由．【拓展】如圖2，平分交于點，平分，的反向延長線交的延長線于點．在點、的運動過程中，的大小是否會發(fā)生變化？若不變，直接寫出的度數(shù)；若變化，直接寫出的度數(shù)的變化范圍．14．已知：如圖，，點是射線上的一個動點，點是射線上的一個動點，是的平分線，的反向延長線與的平分線相交于點．（1）當(dāng)時，求的度數(shù)；（2）試問動點，分別在射線，上的運動過程中，的大小是否發(fā)生變化？如果保持不變，請給出證明；如果隨點，的運動發(fā)生變化，請求出變化的范圍．15．將一副三角板中的兩個直角頂點疊放在一起（如圖），其中，，．（1）若，求的度數(shù)；（2）試猜想與的數(shù)量關(guān)系，請說明理由；（3）若三角板保持不動，繞頂點轉(zhuǎn)動三角板，在轉(zhuǎn)動過程中，試探究等于多少度時，？請你直接寫出答案．16．如圖1，已知兩條直線，被直線所截，分別交于點，點，平分交于點，且．（1）猜想直線與直線有怎樣的位置關(guān)系？說明你的理由；（2）若點為直線上一動點（不與點，重合），平分交于點，過點作于點，設(shè)，．①如圖2，當(dāng)點在射線上運動時，若，求的度數(shù)；②當(dāng)點在直線上運動時，請直接寫出和的數(shù)量關(guān)系．17．，點，分別在射線、上運動（不與點重合）．（1）如圖1，平分，平分，若，求的度數(shù)．（2）如圖2，平分，平分，的反向延長線交于點．①若，則；②點、在運動的過程中，是否發(fā)生變化，若不變，試求的度數(shù)；若變化，請說明變化規(guī)律．18．已知：直線，為直線上的一個定點，過點的直線交于點，點在線段的延長線上．，為直線上的兩個動點，點在點的左側(cè)，連接，，滿足．點在上，且在點的左側(cè)，點在直線上．（1）如圖1，若，，直接寫出的度數(shù)；（2）射線為的角平分線．①如圖2，當(dāng)點在點右側(cè)時，用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②當(dāng)點與點不重合，且時，直接寫出的度數(shù)．19．在中，射線平分交于點，點在邊上運動（不與點重合），過點作交于點．（1）如圖1，點在線段上運動時，平分①若，，則；若，則；②試探究與之間的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（2）點在線段上運動時，的角平分線所在直線與射線交于點試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．20．如圖，，定點，分別在直線，上，在平行線，之間有一個動點，滿足．（1）試問：，，滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？解：由于點是平行線，之間一動點，因此需對點的位置進行分類討論．①如圖1，當(dāng)點在的左側(cè)時，猜想，，滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②如圖2，當(dāng)點在的右側(cè)時，直接寫出，，滿足的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖3，，分別平分，，且點在左側(cè)．①若，則的度數(shù)為；②猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．21．點在射線上，點、為射線上兩個動點，滿足，，平分．（1）如圖1，當(dāng)點在右側(cè)時，求證：；（2）如圖2，當(dāng)點在左側(cè)時，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，為延長線上一點，平分，交于點，平分，交于點，連接，若，，則的度數(shù)為．22．如圖1，已知兩條直線，被直線所截，分別交于點，點，平分交于點，且．（1）判斷直線與直線是否平行，并說明理由；（2）如圖2，點是射線上一動點（不與點，重合），平分交于點，過點作于點，設(shè)，．①當(dāng)點在點的右側(cè)時，若，求的度數(shù)；②當(dāng)點在運動過程中，和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明．23．【課本再現(xiàn)】（1）如圖1，在中，線經(jīng)過點且．求證：．【變式演練】（2）如圖2，在中，，點在邊上，交于點．若，求的度數(shù)．【方法應(yīng)用】（3）如圖3，直線與直線相交于點，夾角的銳角為，點在直線上且在點右側(cè)，點在直線上且在直線上方，點在直線上且在點左側(cè)運動，點在射線上運動（不與點、重合）．當(dāng)時，平分，平分交直線于點，求的度數(shù)．24．如圖，，點．分別在、上運動（不與點重合）．（1）如圖1，，是的平分線，的反方向延長線與的平分線交于點．①若，則．②猜想：的度數(shù)是否隨，的移動發(fā)生變化？并說明理由．（2）如圖2，”，，，其余條件不變，則（用含、的代數(shù)式表示）25．（1）如圖1，，，．求度數(shù)；（2）如圖2，，點在射線上運動，當(dāng)點在、兩點之間運動時，，．、、之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（3）在（2）的條件下，如果點在、兩點外側(cè)運動時（點與點、、三點不重合），請你寫出、、間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．26．如圖1，于點，．（1）求證：；（2）如圖2，點從點出發(fā)，沿線段運動到點停止，連接，．則，，三個角之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系（不考慮點與點，，重合的情況）？并說明理由．27．新定義：在中，若存在一個內(nèi)角是另外一個內(nèi)角度數(shù)的倍為大于1的正整數(shù)），則稱為倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以為2倍角三角形．（1）在中，，，則為倍角三角形．（2）如圖1，直線與直線相交于，，點、點分別是射線、上的動點；已知、的角平分線交于點，在中，如果有一個角是另一個角的2倍，請求出的度數(shù)．（3）如圖2，直線直線于點，點、點分別在射線、上，已知、的角平分線分別與的角平分線所在的直線交于點、，若為3倍角三角形，試求的度數(shù)．28．（1）探究：如圖①，，點，，分別在直線，，上，連結(jié)，，當(dāng)點在直線的左側(cè)時，試說明；（2）拓展：將圖①的點移動到直線的右側(cè)，其他條件不變，如圖②．試探究，，之間的關(guān)系，并說明理由；（3）應(yīng)用：如圖③，，點，分別在直線，上，點是直線