高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題檢測（十一）空間位置關(guān)系的判斷與證明試題

專題檢測（十一）空間位置關(guān)系的判斷與證明A組——“6＋3＋3”考點(diǎn)落實(shí)練一、選擇題1.已知E，F(xiàn)，G，H是空間四點(diǎn)，命題甲：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)不共面，命題乙：直線EF和GH不相交，則甲是乙成立的()A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析：選B若E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)不共面，則直線EF和GH肯定不相交，但直線EF和GH不相交，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)可以共面，例如EF∥GH，故甲是乙成立的充分不必要條件.故選B.2.(2019·福州市第一學(xué)期抽測)已知m為一條直線，α，β為兩個不同的平面，則下列說法正確的是()A.若m⊥α，α∥β，則m⊥βB.若m⊥α，α⊥β，則m∥βC.若m∥α，α∥β，則m∥βD.若m∥α，α⊥β，則m⊥β解析：選A對于A，利用線面垂直的性質(zhì)與判定定理、面面平行的性質(zhì)定理，可得m⊥β，A正確；對于B，若m⊥α，α⊥β，則m與β平行或m在β內(nèi)，B不正確；對于C，若m∥α，α∥β，則m與β平行或m在β內(nèi)，C不正確；對于D，若m∥α，α⊥β，則m可以在β內(nèi)，D不正確.故選A.3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，|AB|＝eq\r(2)|BB1|，則AB1與BC1所成角的大小為()A.30° B.60°C.75° D.90°解析：選D將正三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)為四棱柱ABCD-A1B1C1D1，連接C1D，BD，則C1D∥B1A，∠BC1D為所求角或其補(bǔ)角.設(shè)BB1＝eq\r(2)，則BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，BD＝2eq\r(3)，又因?yàn)锽C1＝C1D＝eq\r(6)，所以∠BC1D＝90°.故選D.4.(2019·長沙市統(tǒng)一模擬考試)設(shè)a，b，c表示不同直線，α，β表示不同平面，下列命題：①若a∥c，b∥c，則a∥b；②若a∥b，b∥α，則a∥α；③若a∥α，b∥α，則a∥b；④若a?α，b?β，α∥β，則a∥b.真命題的個數(shù)是()A.1 B.2C.3 D.4解析：選A由題意，對于①，根據(jù)線線平行的傳遞性可知①是真命題；對于②，根據(jù)a∥b，b∥α，可以推出a∥α或a?α，故②是假命題；對于③，根據(jù)a∥α，b∥α，可以推出a與b平行、相交或異面，故③是假命題；對于④，根據(jù)a?α，b?β，α∥β，可以推出a∥b或a與b異面，故④是假命題.所以真命題的個數(shù)是1.故選A.5.如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學(xué)生得出下列四個結(jié)論：①BD⊥AC；②△BAC是等邊三角形；③三棱錐D-ABC是正三棱錐；④平面ADC⊥平面ABC.其中正確的結(jié)論是()A.①②④ B.①②③C.②③④ D.①③④解析：選B由題意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正確；AD為等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等邊三角形，②正確；易知DA＝DB＝DC，結(jié)合②知③正確；由①知④不正確.故選B.6.(2019·湖南省湘東六校聯(lián)考)一個正四面體的側(cè)面展開圖如圖所示，G為BF的中點(diǎn)，則在正四面體中，直線EG與直線BC所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(6),3)C.eq\f(\r(3),6) D.eq\f(\r(33),6)解析：選C該正四面體如圖所示，取AD的中點(diǎn)H，連接GH，EH，則GH∥AB，所以∠HGE為直線EG與直線BC所成的角.設(shè)該正四面體的棱長為2，則HE＝EG＝eq\r(3)，GH＝1.在△HEG中，由余弦定理，得cos∠HGE＝eq\f(HG2＋EG2－HE2,2HG·EG)＝eq\f(\r(3),6).故選C.二、填空題7.(2019·北京高考)已知l，m是平面α外的兩條不同直線.給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：________.解析：②③?①.證明如下：∵m∥α，∴根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，知存在n?α，使得m∥n.又∵l⊥α，∴l(xiāng)⊥n，∴l(xiāng)⊥m.①③?②.證明略.答案：②③?①(或①③?②)8.若P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，矩形對角線的交點(diǎn)為O，M為PB的中點(diǎn)，給出以下四個命題：①OM∥平面PCD；②OM∥平面PBC；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA.其中正確的個數(shù)是________.解析：由已知可得OM∥PD，∴OM∥平面PCD且OM∥平面PAD.故正確的只有①③.答案：①③9.(2018·全國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為eq\f(7,8)，SA與圓錐底面所成角為45°，若△SAB的面積為5eq\r(15)，則該圓錐的側(cè)面積為________.解析：如圖，∵SA與底面成45°角，∴△SAO為等腰直角三角形.設(shè)OA＝r，則SO＝r，SA＝SB＝eq\r(2)r.在△SAB中，cos∠ASB＝eq\f(7,8)，∴sin∠ASB＝eq\f(\r(15),8)，∴S△SAB＝eq\f(1,2)SA·SB·sin∠ASB＝eq\f(1,2)×(eq\r(2)r)2×eq\f(\r(15),8)＝5eq\r(15)，解得r＝2eq\r(10)，∴SA＝eq\r(2)r＝4eq\r(5)，即母線長l＝4eq\r(5)，∴S圓錐側(cè)＝πrl＝π×2eq\r(10)×4eq\r(5)＝40eq\r(2)π.答案：40eq\r(2)π三、解答題10.如圖，側(cè)棱與底面垂直的四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AA1＝4，DC＝2AB，AB＝AD＝3，點(diǎn)M在棱A1B1上，且A1M＝eq\f(1,3)A1B1.已知點(diǎn)E是直線CD上的一點(diǎn)，AM∥平面BC1E.(1)試確定點(diǎn)E的位置，并說明理由；(2)求三棱錐M-BC1E的體積.解：(1)點(diǎn)E在線段CD上且EC＝1，理由如下.在棱C1D1上取點(diǎn)N，使得D1N＝A1M＝1，連接MN，DN(圖略)，又D1N∥A1M，所以MN綊A1D1綊所以四邊形AMND為平行四邊形，所以AM∥DN.因?yàn)镃E＝1，所以易知DN∥EC1，所以AM∥EC1，又AM?平面BC1E，EC1?平面BC1E，所以AM∥平面BC1E.故點(diǎn)E在線段CD上且EC＝1.(2)由(1)知，AM∥平面BC1E，所以V三棱錐M-BC1E＝V三棱錐A-BC1E＝V三棱錐C1-ABE＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×3×3))×4＝6.11.(2019·石家莊市模擬一)如圖，已知三棱錐P-ABC中，PC⊥AB，△ABC是邊長為2的正三角形，PB＝4，∠PBC＝60°.(1)證明：平面PAC⊥平面ABC；(2)設(shè)F為棱PA的中點(diǎn)，在AB上取點(diǎn)E，使得AE＝2EB，求三棱錐F-ACE與四棱錐C-PBEF的體積之比.解：(1)證明：在△PBC中，∠PBC＝60°，BC＝2，PB＝4，由余弦定理可得PC＝2eq\r(3)，∴PC2＋BC2＝PB2，∴PC⊥BC，又PC⊥AB，AB∩BC＝B，∴PC⊥平面ABC，∵PC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC.(2)設(shè)三棱錐F-ACE的高為h1，三棱錐P-ABC的高為h，則VF-ACE＝eq\f(1,3)×S△ACE×h1＝eq\f(1,3)×S△ABC×eq\f(2,3)×h×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)×S△ABC×h×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)×VP-ABC.∴三棱錐F-ACE與四棱錐C-PBEF的體積之比為1∶2.12.(2019·重慶市學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，∠CAD＝∠ABC＝90°，∠BAC＝∠ADC＝30°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，AC＝2.(1)求證：AE∥平面PBC；(2)若四面體PABC的體積為eq\f(\r(3),3)，求△PCD的面積.解：(1)證明：如圖，取CD的中點(diǎn)F，連接EF，AF，則EF∥PC，又易知∠BCD＝∠AFD＝120°，∴AF∥BC，又EF∩AF＝F，PC∩BC＝C，∴平面AEF∥平面PBC.又AE?平面AEF，∴AE∥平面PBC.(2)由已知得，V四面體PABC＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)AB·BC·PA＝eq\f(\r(3),3)，可得PA＝2.過A作AQ⊥CD于Q，連接PQ，在△ACD中，AC＝2，∠CAD＝90°，∠ADC＝30°，∴CD＝4，AD＝2eq\r(3)，AQ＝eq\f(2×2\r(3),4)＝eq\r(3)，則PQ＝eq\r(22＋3)＝eq\r(7).∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又AQ∩PA＝A，∴CD⊥平面PAQ，CD⊥PQ.∴S△PCD＝eq\f(1,2)×4×eq\r(7)＝2eq\r(7).B組——大題專攻強(qiáng)化練1.(2019·蘭州市診斷考試)如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，△PCD為正三角形，∠BAD＝30°，AD＝4，AB＝2eq\r(3)，平面PCD⊥平面ABCD，E為PC的中點(diǎn).(1)證明：BE⊥PC；(2)求多面體PABED的體積.解：(1)證明：∵BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝4，∴BD＝2，∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD，∴BD⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴BD⊥平面PCD，∴BD⊥PC.∵△PCD為正三角形，E為PC的中點(diǎn)，∴DE⊥PC，∴PC⊥平面BDE，∴BE⊥PC.(2)如圖，作PF⊥CD，EG⊥CD，F(xiàn)，G為垂足，∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PF⊥平面ABCD，EG⊥平面ABCD，∵△PCD為正三角形，CD＝2eq\r(3)，∴PF＝3，EG＝eq\f(3,2)，∴V四棱錐P-ABCD＝eq\f(1,3)×2×2eq\r(3)×3＝4eq\r(3)，V三棱錐E-BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)×eq\f(3,2)＝eq\r(3)，∴多面體PABED的體積V＝4eq\r(3)－eq\r(3)＝3eq\r(3).2.(2019·昆明市診斷測試)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PD⊥平面ABCD，AD＝BD＝6，AB＝6eq\r(2)，E是棱PC上的一點(diǎn).(1)證明：BC⊥平面PBD；(2)若PA∥平面BDE，求eq\f(PE,PC)的值；(3)在(2)的條件下，三棱錐P-BDE的體積是18，求點(diǎn)D到平面PAB的距離.解：(1)證明：由已知條件可知AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD.因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以PD⊥AD.又PD∩BD＝D，所以AD⊥平面PBD.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以BC∥AD，所以BC⊥平面PBD.(2)如圖，連接AC交BD于F，連接EF，則EF是平面PAC與平面BDE的交線.因?yàn)镻A∥平面BDE，所以PA∥EF.因?yàn)镕是AC的中點(diǎn)，所以E是PC的中點(diǎn)，所以eq\f(PE,PC)＝eq\f(1,2).(3)因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥BD，由(1)(2)知點(diǎn)E到平面PBD的距離等于eq\f(1,2)BC＝3.因?yàn)閂三棱錐E-PBD＝V三棱錐P-BDE＝18，所以eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×PD×BD×3＝18，即PD＝6.又AD＝BD＝6，所以PA＝6eq\r(2)，PB＝6eq\r(2)，又AB＝6eq\r(2)，所以△PAB是等邊三角形，則S△PAB＝18eq\r(3).設(shè)點(diǎn)D到平面PAB的距離為d，因?yàn)閂三棱錐D-PAB＝V三棱錐P-ABD，所以eq\f(1,3)×18eq\r(3)×d＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×6×6×6，解得d＝2eq\r(3).所以點(diǎn)D到平面PAB的距離為2eq\r(3).3.(2019·鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝eq\f(π,3)，△PAD是等邊三角形，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，PD⊥BF.(1)求證：AD⊥PB.(2)若E在線段BC上，且EC＝eq\f(1,4)BC，能否在棱PC上找到一點(diǎn)G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求出三棱錐D-CEG的體積；若不存在，請說明理由.解：(1)證明：連接PF，∵△PAD是等邊三角形，∴PF⊥AD.∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝eq\f(π,3)，∴BF⊥AD.又PF∩BF＝F，∴AD⊥平面BFP，又PB?平面BFP，∴AD⊥PB.(2)能在棱PC上找到一點(diǎn)G，使平面DEG⊥平面ABCD.由(1)知AD⊥BF，∵PD⊥BF，AD∩PD＝D，∴BF⊥平面PAD.又BF?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD，又平面ABCD∩平面PAD＝AD，且PF⊥AD，∴PF⊥平面ABCD.連接CF交DE于點(diǎn)H，過H作HG∥PF交PC于G，∴GH⊥平面ABCD.又GH?平面DEG，∴平面DEG⊥平面ABCD.∵AD∥BC，∴△DFH∽△ECH，∴eq\f(CH,HF)＝eq\f(CE,DF)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(CG,GP)＝eq\f(CH,HF)＝eq\f(1,2)，∴GH＝eq\f(1,3)PF＝eq\f(\r(3),3)，∴VD-CEG＝VG-CDE＝eq\f(1,3)S△CDE·GH＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)DC·CE·sineq\f(π,3)·GH＝eq\f(1,12).4.(2019·東北四市聯(lián)合體模擬一)如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E為CD的中點(diǎn)，將△ADE沿AE折到△APE的位置.(1)證明：AE⊥PB；(2)當(dāng)四棱錐P-ABCE的體積最大時，求點(diǎn)C到平面PAB的