案例分析：現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)觀與生活數(shù)學(xué)觀

案例分析：現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)觀與生活數(shù)學(xué)觀課題：平均數(shù)課時(shí)：一課時(shí)材料準(zhǔn)備：教師的講臺(tái)上有一個(gè)“工具箱”，里面預(yù)先準(zhǔn)備了一些粉筆頭、一些碎紙、一些紗線，一些正方體的小積木，而學(xué)生則準(zhǔn)備有鉛筆盒、記錄本等。臨床描述在本節(jié)課的一開(kāi)始，教師就先向?qū)W生呈現(xiàn)了一段錄像，在錄像中描述了這樣一段情節(jié)（簡(jiǎn)述）：在一個(gè)幼兒園的某一個(gè)教室里，十幾個(gè)幼兒正圍坐在一起，玩著“搭紙”游戲。這時(shí)，一位女教師手捧一個(gè)紙盒走進(jìn)來(lái)，從鏡頭中可以看到，里面有許多有著漂亮包裝的糖果。教師將這個(gè)紙盒放在學(xué)生前面的一個(gè)小桌上（類(lèi)似于教師的講臺(tái)），又匆匆出去了。小朋友們開(kāi)始好像并沒(méi)有太多的注意，老師拿了什么進(jìn)來(lái)，又為什么要出去。但是，因?yàn)檫@位老師好久沒(méi)有進(jìn)來(lái)，小朋友們就開(kāi)始有些奇怪了。先是竊竊私語(yǔ)，然后是出聲的爭(zhēng)論。這時(shí)可以聽(tīng)到他們議論最多的是，盒子里面究竟是什么。再后，有一個(gè)小朋友大著膽子走上前，看到了紙盒里是好多的糖果，大為興奮，揮著小手大聲地告訴大家。于是，小朋友紛紛上前探個(gè)究竟。開(kāi)始是二、三個(gè)，然后就有許多小朋友上來(lái)看。瞧這些小朋友，有些興奮和騷動(dòng)。還有幾個(gè)小朋友的小手開(kāi)始不停地動(dòng)著，而且頭不斷地向前張望著。終于，一個(gè)小朋友忍不住悄悄上來(lái)，在紙盒前駐足片刻，拿了一顆糖果。于是，又有幾個(gè)小朋友開(kāi)始學(xué)樣，上來(lái)向紙盒伸手，但并未看清他們都拿了多少糖果。再后，就是所有小朋友都一擁而上，紛紛伸手去抓糖果。這下可好，那些小朋友坐的、站的都有；有的在將糖果往自己的小口袋放，有的在向別人要糖果，有的則在哭,……。此時(shí)，教師進(jìn)來(lái)了，看到小朋友們亂作一團(tuán)的場(chǎng)景，再看紙盒，里面早已空了，就知道是怎么回事了。教師免不了要向幼兒做一番教育。然后問(wèn)了他們幾個(gè)問(wèn)題：你們想過(guò)沒(méi)有，為什么有的小朋友很高興，有的小朋友很不高興？應(yīng)該怎樣做，才能使大家都高興？接下來(lái)你們應(yīng)該怎么做？想一想，然后老師可能會(huì)怎么做？（錄像結(jié)束）接著，教師邊播放第二遍錄像，邊讓全班學(xué)生思考幼兒園老師的問(wèn)題。提出，可以每四個(gè)同學(xué)組成一組進(jìn)行討論，并利用自己的學(xué)習(xí)用品來(lái)模擬剛才幼兒園小朋友的行為過(guò)程，提出自己想要弄懂的問(wèn)題。于是，學(xué)生有的用畫(huà)線段圖的方式，有的用用擺小物品（如一些長(zhǎng)短不一的細(xì)繩）的方式，也有的利用教師預(yù)先給出的正方體小積木，紛紛根據(jù)教師提出的問(wèn)題，去嘗試解決的方法?？梢钥吹剑幸粋€(gè)小組先是將一堆小積木分成多少不一的幾堆，然后是試著將多的積木往少的地方放。可能是由于積木的塊數(shù)不巧，加上多少相差太大，所以，四個(gè)人邊動(dòng)手，邊爭(zhēng)論，最終也沒(méi)有獲得成功。突然，其中一個(gè)學(xué)生提出，為什么不將這些積木先全部集中起來(lái)，然后來(lái)重新分呢？這次，小組獲得了成功，他們先將不同塊數(shù)的幾堆積木堆在了一起，然后像“發(fā)牌”一樣，每次一塊，一次發(fā)給每一堆。這時(shí)，教師正好在巡視中走了過(guò)來(lái)，她向小組的同學(xué)提了一個(gè)問(wèn)題：想想看，還有什么辦法能更快的解決問(wèn)題呢？于是，小組又展開(kāi)了討論。新的方法出現(xiàn)了，就是先數(shù)出積木的總數(shù)目，然后數(shù)一數(shù)要放幾堆，用除法一算，就知道每一堆應(yīng)該有幾塊，這樣，只要直接將積木一次發(fā)給每一堆就可以了。還可以看到，有一個(gè)小組的同學(xué)從教師講臺(tái)上的工具箱內(nèi)取了若干（好像是5根）長(zhǎng)短不一的細(xì)紗線，開(kāi)始時(shí)，他們?cè)鴩L試這些紗線的一頭對(duì)齊并捏緊，然后準(zhǔn)備將長(zhǎng)的部分都剪下來(lái)，但是，很快他們就放棄了這個(gè)嘗試，因?yàn)樗麄儼l(fā)現(xiàn)，如果不斷地將多的部分剪下來(lái)再拼到少的地方去的話，活動(dòng)是很難完成的。于是，在小組的一個(gè)同學(xué)的啟發(fā)下，他們又嘗試先量出每一根紗線的長(zhǎng)度，可能想通過(guò)計(jì)算來(lái)解決問(wèn)題。當(dāng)然，他們最終也放棄了這個(gè)辦法，因?yàn)檫@些紗線的長(zhǎng)度都不是一個(gè)整數(shù)值（這可能時(shí)因?yàn)榻處煴緛?lái)在選擇紗線長(zhǎng)度時(shí)就是隨意的，也可能是教師刻意設(shè)計(jì)的），所以計(jì)算非常的不方便。似乎活動(dòng)陷入了僵局。突然，一個(gè)其他小組的學(xué)生走了過(guò)來(lái)（可能這個(gè)教師在學(xué)生的小組活動(dòng)時(shí)，是允許甚至鼓勵(lì)學(xué)生走出自己小組范圍的），猛地冒出了一句話：哎呀，把他們接起來(lái)嗎！真是柳暗花明又一村，一句話點(diǎn)醒了夢(mèng)中人！小組里其中兩個(gè)學(xué)生的反應(yīng)最快，他們馬上動(dòng)手，將這5根紗線打結(jié)連了起來(lái)，接下來(lái)就更明白了，再通過(guò)“折”的方式，將這根長(zhǎng)的紗線折成5斷，并不斷的修正它們的長(zhǎng)度，直到這5根紗線的長(zhǎng)度相同為止。……觀察中發(fā)現(xiàn)，在這個(gè)階段，各小組的學(xué)生基本上就是在動(dòng)手做各種嘗試性的操作活動(dòng)，并沒(méi)有做任何的記錄活動(dòng)。當(dāng)這個(gè)階段的活動(dòng)基本結(jié)束以后，教師向每一個(gè)活動(dòng)小組發(fā)了一張紙（可以看到，上面寫(xiě)著“工作記錄表”）。她要求學(xué)生通過(guò)討論來(lái)回憶剛才自己的活動(dòng)過(guò)程，思考并填寫(xiě)這張“工作記錄表”。這張“工作記錄表”大致是這樣的：你的工作表格一、學(xué)習(xí)任務(wù)小朋友爭(zhēng)吵的原因是什么？你認(rèn)為應(yīng)該怎樣解決整個(gè)問(wèn)題？現(xiàn)在你是否知道自己最想探究下列哪些小問(wèn)題？□解決這一類(lèi)問(wèn)題需要哪些步驟？□解決這一類(lèi)問(wèn)題的最關(guān)鍵步驟可能是什么？□解決這一類(lèi)問(wèn)題的過(guò)程有哪些最基本特點(diǎn)？□是否專(zhuān)門(mén)有一個(gè)方法來(lái)解決這類(lèi)問(wèn)題？□有多少方法可能來(lái)解決這一類(lèi)的問(wèn)題？二、預(yù)測(cè)你能不能猜猜這位幼兒園的老師要解決這個(gè)問(wèn)題，她第一步將會(huì)怎么做？請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你的理由。三、學(xué)習(xí)計(jì)劃你第一步主要想探究的問(wèn)題最終你想弄清楚的問(wèn)題四、你的每一步操作所做的和觀察到的結(jié)論：五、評(píng)價(jià)現(xiàn)在你可以自己來(lái)判斷一下，原來(lái)的猜測(cè)對(duì)嗎？如果有錯(cuò)，主要是什么地方錯(cuò)了？為什么會(huì)錯(cuò)？最后，通過(guò)各小組的學(xué)生陳述自己的發(fā)現(xiàn)和想法，設(shè)法來(lái)證明自己的結(jié)論，從而得出這一類(lèi)問(wèn)題的基本性質(zhì)以及問(wèn)題解決的基本特征和基本方法。接下來(lái)，教師還有意識(shí)地設(shè)計(jì)了一系列的跟進(jìn)活動(dòng)，來(lái)發(fā)展學(xué)生的知識(shí)以及將知識(shí)運(yùn)用于實(shí)際情景的能力：活動(dòng)一為迎接“城市運(yùn)動(dòng)會(huì)”，學(xué)校接到一項(xiàng)任務(wù)，為大會(huì)編織一批彩花。大隊(duì)部將這個(gè)任務(wù)交給了五（1）中隊(duì)。中隊(duì)第一天派了6位少先隊(duì)員，結(jié)果共做了92朵彩花，第二天派了8位少先隊(duì)員，結(jié)果共做了106朵彩花。到了運(yùn)動(dòng)會(huì)召開(kāi)的前一天，大會(huì)突然要求學(xué)校再補(bǔ)充250朵彩花，并在一天內(nèi)完成。你認(rèn)為派多少個(gè)少先隊(duì)員來(lái)完成此任務(wù)較為合適？為什么？活動(dòng)二下面是兩個(gè)小組的英語(yǔ)朗誦成績(jī)，你能用多少種方法來(lái)判斷這兩個(gè)小組的成績(jī)好壞？并試著做一些比較。序號(hào)12345678一組8876849389906481二組7799786797837490活動(dòng)三現(xiàn)在你將第一小組的第6號(hào)的同學(xué)去掉，這時(shí)你再用原來(lái)的方法進(jìn)行成績(jī)好壞的判斷，并進(jìn)行一些比較。你的結(jié)論和發(fā)現(xiàn)還是原來(lái)的一樣嗎？活動(dòng)四下面是一份某公司的月工資報(bào)表。如果公司讓你到勞務(wù)市場(chǎng)去招聘一名職員，請(qǐng)你依據(jù)這個(gè)報(bào)表，設(shè)計(jì)一句既不帶有欺騙性卻有能吸引大家愿意來(lái)工作的話來(lái)。工種工資（元）經(jīng)理副經(jīng)理工程師科長(zhǎng)職員勤工35002800250018001400800附：課后的調(diào)查觀察者拿了本案例的“跟進(jìn)活動(dòng)”中的第一個(gè)問(wèn)題，進(jìn)入了采用“常規(guī)方法”來(lái)組織學(xué)習(xí)“平均數(shù)”知識(shí)的不同的五個(gè)班級(jí)，在每次課后都隨機(jī)地選取五個(gè)學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，時(shí)間限制在2分鐘，結(jié)果是,在這25個(gè)樣本中，問(wèn)題解決的準(zhǔn)確率不足30％，而錯(cuò)誤率則要高達(dá)72％，其中問(wèn)題表征的錯(cuò)誤人數(shù)達(dá)16人，占64％，計(jì)算錯(cuò)誤2人，占8％。通過(guò)訪談進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，不能將問(wèn)題與已經(jīng)習(xí)得的知識(shí)建立聯(lián)系的人數(shù)有11人，其余的學(xué)生是不能理解問(wèn)題“你認(rèn)為派多少個(gè)少先隊(duì)員來(lái)完成此任務(wù)較為合適？為什么？”的意義。其中曾有這樣一段對(duì)話：觀察者：你想想，剛才在課內(nèi)學(xué)習(xí)了什么知識(shí)？學(xué)生：平均數(shù)的知識(shí)。觀察者：那你認(rèn)為能不能用剛才學(xué)到的知識(shí)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題呢？學(xué)生：（猶豫）好象不能？觀察者：為什么不能？學(xué)生：因?yàn)檫@道題目里面沒(méi)有“平均”這個(gè)字（即平均這個(gè)詞語(yǔ)——觀察者注）【主題】在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織過(guò)程中，究竟應(yīng)當(dāng)如何體現(xiàn)出現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)觀與生活數(shù)學(xué)觀這樣的學(xué)科性質(zhì)特征？【提示】長(zhǎng)期的研究已經(jīng)表明，兒童常常是通過(guò)探索他們自己的生活世界和精神世界來(lái)了解并獲得學(xué)習(xí)的，常常是通過(guò)自己的大量的實(shí)踐活動(dòng)來(lái)獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的，常常是在許許多多的問(wèn)題解決過(guò)程來(lái)發(fā)展自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力的。兒童認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的起點(diǎn)并不是符號(hào)所組成的邏輯公理，而是它們自己的生活實(shí)踐所形成的經(jīng)驗(yàn)。【要求】·評(píng)析應(yīng)當(dāng)緊緊扣住小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)科性質(zhì)的本質(zhì)來(lái)展開(kāi)；·在評(píng)析過(guò)程中做到有理有據(jù)；·在評(píng)析過(guò)程中要注意結(jié)合教材中的第一、第九章的相關(guān)內(nèi)容來(lái)進(jìn)行；對(duì)于“數(shù)學(xué)觀”的解釋是：“作為生活的數(shù)學(xué)，往往是一種經(jīng)驗(yàn)符號(hào)的數(shù)學(xué)，更多運(yùn)用的是語(yǔ)言和直覺(jué)。作為生活的數(shù)學(xué)，就是指存在于生活實(shí)踐中的那些非形式的數(shù)學(xué)，是人們?cè)谏鐣?huì)生活的實(shí)踐活動(dòng)中獲得交流和理解的數(shù)學(xué)?！笨墒?，我更多地將它理解為孩子們?cè)疽勋@取的與數(shù)學(xué)相關(guān)的生活經(jīng)驗(yàn)，這正是將兒童日常的生活或經(jīng)驗(yàn)與書(shū)本上的數(shù)學(xué)結(jié)合起來(lái)的最好的橋梁，也正是許多數(shù)學(xué)特級(jí)教師理論中所提倡的“關(guān)注學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握程度，對(duì)已有的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行遷移?！边@里的“遷移”的“已有的經(jīng)驗(yàn)”，就是將孩子們已經(jīng)獲得的生活數(shù)學(xué)?！斑w移”，就是對(duì)生活數(shù)學(xué)進(jìn)行理論化和系統(tǒng)化，使之成為書(shū)本上數(shù)學(xué)知識(shí)。在這個(gè)案例中，孩子們雖然沒(méi)有學(xué)過(guò)平均數(shù)，但是依照他們?cè)械纳罱?jīng)驗(yàn)，他們同樣可以將積木用“發(fā)牌”的方式平均分配好（也可以每一次先等量地分發(fā)給每一個(gè)人，然后再這樣輪發(fā)）；同樣可以將長(zhǎng)短不一的線先接起來(lái)然后平均分成一樣長(zhǎng)的幾份……這些，都是孩子們生活中積累起來(lái)的經(jīng)驗(yàn)，是生活數(shù)學(xué)。兒童更多的是利用生活中直觀材料的操作來(lái)解決問(wèn)題，只有當(dāng)任務(wù)較大，要分的物品或者對(duì)象數(shù)額比較大、比較復(fù)雜時(shí)，才開(kāi)始嘗試獲得另一種方法，最終形成了用“除法”的概念和算法。在小學(xué)教學(xué)《認(rèn)識(shí)平均數(shù)》時(shí)，就從現(xiàn)實(shí)生活情境中引入概念，溝通數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系結(jié)合實(shí)際問(wèn)題（通過(guò)小組口算比賽）比賽是哪一組獲勝，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)交流、思考。讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在我們身邊，從而深刻認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的價(jià)值與魅力。在學(xué)生的活動(dòng)討論中，在認(rèn)知沖突下，認(rèn)識(shí)在人數(shù)不同的情況下，比總數(shù)顯然也不公平；而感受平均數(shù)是實(shí)際生活的需要，也產(chǎn)生了學(xué)習(xí)“平均數(shù)”的需求。教學(xué)只有組織了這個(gè)過(guò)程，學(xué)生對(duì)平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義以及作用才有比較深刻的理解，也才能在面臨相類(lèi)似問(wèn)題時(shí)，能自主地想到用平均數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，去進(jìn)行比較和分析。對(duì)于“現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)觀”的解釋是：“現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)是依靠‘局部組織’來(lái)支撐的，它往往是依賴(lài)于人的經(jīng)驗(yàn)的，是存在于我們的現(xiàn)實(shí)之中的。對(duì)于大多數(shù)的人來(lái)說(shuō)，是他們加強(qiáng)與外部世界進(jìn)行溝通和交互，從而獲得高質(zhì)量生存并推進(jìn)社會(huì)進(jìn)步的一些必要的知識(shí)，因?yàn)槊恳粋€(gè)人的經(jīng)歷不同，他們對(duì)現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)的理解也會(huì)有差異?！薄捌骄鶖?shù)”作為一個(gè)數(shù)學(xué)概念，是對(duì)一組數(shù)的集中和離散程度的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。掌握了單個(gè)詞匯并不一定就是理解了概念。本例中，在采用“常規(guī)方法”來(lái)組織學(xué)習(xí)“平均數(shù)”知識(shí)的班級(jí)中，雖然在概念的形成過(guò)程中，設(shè)計(jì)了生活化情境，可在跟進(jìn)活動(dòng)中學(xué)生仍然不能將問(wèn)題與習(xí)得知識(shí)建立聯(lián)系甚至不能理解真實(shí)情境問(wèn)題本身的意義，就是因?yàn)樗麄儧](méi)有真正理解作為數(shù)學(xué)概念的“平均數(shù)”的本質(zhì)意義。而小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)教學(xué)中，教師就會(huì)充分創(chuàng)造有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生理解平均數(shù)的意義和學(xué)會(huì)平均數(shù)的算法，教師應(yīng)從多方面向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，讓每一位學(xué)生主動(dòng)從事數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生自己探索出求平均數(shù)的方法。一種是先合再分，一種是移多補(bǔ)少。由于生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)基礎(chǔ)，學(xué)生中有一部分已經(jīng)知道用移多補(bǔ)少的方法找出平均數(shù)，其實(shí)這種方法也能夠利用教材上的統(tǒng)計(jì)圖很好地進(jìn)行過(guò)程的演示；還有一部分?jǐn)?shù)感較強(qiáng)的學(xué)生，能夠根據(jù)提供的一組數(shù)據(jù)感覺(jué)出平均數(shù)大概是多少；而用總數(shù)除以份數(shù)得到平均數(shù)的計(jì)算，也不難，學(xué)生肯定會(huì)有這種思維。平均數(shù)”的概念比較抽象，很多人對(duì)平均數(shù)的含義不理解。于是教學(xué)中可以設(shè)計(jì)了兩個(gè)包含平均數(shù)的句子，通過(guò)分析，讓學(xué)生進(jìn)一步理解平均數(shù)反映的是一組數(shù)據(jù)的總體情況是一個(gè)虛擬的數(shù)，而不是具體的真實(shí)數(shù)。通過(guò)學(xué)生對(duì)句子的解釋可以看出學(xué)生對(duì)于“平均數(shù)”的表象已經(jīng)逐步清晰起來(lái)。小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)是，用自己與世界相互作用的獨(dú)特經(jīng)驗(yàn)去建構(gòu)有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)和技能的過(guò)程。從這個(gè)意義上說(shuō)，小學(xué)兒童的生活經(jīng)驗(yàn)理所當(dāng)然地成為他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要基礎(chǔ)，進(jìn)而成為我們構(gòu)建小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)模式和開(kāi)發(fā)小學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)課程的龐大資源庫(kù)。小學(xué)兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與生活經(jīng)驗(yàn)是緊密相連的，他們的學(xué)習(xí)過(guò)程就是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)的激活、利用、調(diào)整、提升的過(guò)程，是“自己對(duì)生活現(xiàn)象的解讀”，是“建立在經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的一個(gè)主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程”。小學(xué)兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)與