案例分析：現(xiàn)實數(shù)學(xué)觀與生活數(shù)學(xué)觀

案例分析：現(xiàn)實數(shù)學(xué)觀與生活數(shù)學(xué)觀課題：平均數(shù)課時：一課時材料準(zhǔn)備：教師的講臺上有一個“工具箱”，里面預(yù)先準(zhǔn)備了一些粉筆頭、一些碎紙、一些紗線，一些正方體的小積木，而學(xué)生則準(zhǔn)備有鉛筆盒、記錄本等。臨床描述在本節(jié)課的一開始，教師就先向?qū)W生呈現(xiàn)了一段錄像，在錄像中描述了這樣一段情節(jié)（簡述）：在一個幼兒園的某一個教室里，十幾個幼兒正圍坐在一起，玩著“搭紙”游戲。這時，一位女教師手捧一個紙盒走進來，從鏡頭中可以看到，里面有許多有著漂亮包裝的糖果。教師將這個紙盒放在學(xué)生前面的一個小桌上（類似于教師的講臺），又匆匆出去了。小朋友們開始好像并沒有太多的注意，老師拿了什么進來，又為什么要出去。但是，因為這位老師好久沒有進來，小朋友們就開始有些奇怪了。先是竊竊私語，然后是出聲的爭論。這時可以聽到他們議論最多的是，盒子里面究竟是什么。再后，有一個小朋友大著膽子走上前，看到了紙盒里是好多的糖果，大為興奮，揮著小手大聲地告訴大家。于是，小朋友紛紛上前探個究竟。開始是二、三個，然后就有許多小朋友上來看。瞧這些小朋友，有些興奮和騷動。還有幾個小朋友的小手開始不停地動著，而且頭不斷地向前張望著。終于，一個小朋友忍不住悄悄上來，在紙盒前駐足片刻，拿了一顆糖果。于是，又有幾個小朋友開始學(xué)樣，上來向紙盒伸手，但并未看清他們都拿了多少糖果。再后，就是所有小朋友都一擁而上，紛紛伸手去抓糖果。這下可好，那些小朋友坐的、站的都有；有的在將糖果往自己的小口袋放，有的在向別人要糖果，有的則在哭,……。此時，教師進來了，看到小朋友們亂作一團的場景，再看紙盒，里面早已空了，就知道是怎么回事了。教師免不了要向幼兒做一番教育。然后問了他們幾個問題：你們想過沒有，為什么有的小朋友很高興，有的小朋友很不高興？應(yīng)該怎樣做，才能使大家都高興？接下來你們應(yīng)該怎么做？想一想，然后老師可能會怎么做？（錄像結(jié)束）接著，教師邊播放第二遍錄像，邊讓全班學(xué)生思考幼兒園老師的問題。提出，可以每四個同學(xué)組成一組進行討論，并利用自己的學(xué)習(xí)用品來模擬剛才幼兒園小朋友的行為過程，提出自己想要弄懂的問題。于是，學(xué)生有的用畫線段圖的方式，有的用用擺小物品（如一些長短不一的細繩）的方式，也有的利用教師預(yù)先給出的正方體小積木，紛紛根據(jù)教師提出的問題，去嘗試解決的方法。可以看到，有一個小組先是將一堆小積木分成多少不一的幾堆，然后是試著將多的積木往少的地方放?？赡苁怯捎诜e木的塊數(shù)不巧，加上多少相差太大，所以，四個人邊動手，邊爭論，最終也沒有獲得成功。突然，其中一個學(xué)生提出，為什么不將這些積木先全部集中起來，然后來重新分呢？這次，小組獲得了成功，他們先將不同塊數(shù)的幾堆積木堆在了一起，然后像“發(fā)牌”一樣，每次一塊，一次發(fā)給每一堆。這時，教師正好在巡視中走了過來，她向小組的同學(xué)提了一個問題：想想看，還有什么辦法能更快的解決問題呢？于是，小組又展開了討論。新的方法出現(xiàn)了，就是先數(shù)出積木的總數(shù)目，然后數(shù)一數(shù)要放幾堆，用除法一算，就知道每一堆應(yīng)該有幾塊，這樣，只要直接將積木一次發(fā)給每一堆就可以了。還可以看到，有一個小組的同學(xué)從教師講臺上的工具箱內(nèi)取了若干（好像是5根）長短不一的細紗線，開始時，他們曾嘗試這些紗線的一頭對齊并捏緊，然后準(zhǔn)備將長的部分都剪下來，但是，很快他們就放棄了這個嘗試，因為他們發(fā)現(xiàn)，如果不斷地將多的部分剪下來再拼到少的地方去的話，活動是很難完成的。于是，在小組的一個同學(xué)的啟發(fā)下，他們又嘗試先量出每一根紗線的長度，可能想通過計算來解決問題。當(dāng)然，他們最終也放棄了這個辦法，因為這些紗線的長度都不是一個整數(shù)值（這可能時因為教師本來在選擇紗線長度時就是隨意的，也可能是教師刻意設(shè)計的），所以計算非常的不方便。似乎活動陷入了僵局。突然，一個其他小組的學(xué)生走了過來（可能這個教師在學(xué)生的小組活動時，是允許甚至鼓勵學(xué)生走出自己小組范圍的），猛地冒出了一句話：哎呀，把他們接起來嗎！真是柳暗花明又一村，一句話點醒了夢中人！小組里其中兩個學(xué)生的反應(yīng)最快，他們馬上動手，將這5根紗線打結(jié)連了起來，接下來就更明白了，再通過“折”的方式，將這根長的紗線折成5斷，并不斷的修正它們的長度，直到這5根紗線的長度相同為止。……觀察中發(fā)現(xiàn)，在這個階段，各小組的學(xué)生基本上就是在動手做各種嘗試性的操作活動，并沒有做任何的記錄活動。當(dāng)這個階段的活動基本結(jié)束以后，教師向每一個活動小組發(fā)了一張紙（可以看到，上面寫著“工作記錄表”）。她要求學(xué)生通過討論來回憶剛才自己的活動過程，思考并填寫這張“工作記錄表”。這張“工作記錄表”大致是這樣的：你的工作表格一、學(xué)習(xí)任務(wù)小朋友爭吵的原因是什么？你認為應(yīng)該怎樣解決整個問題？現(xiàn)在你是否知道自己最想探究下列哪些小問題？□解決這一類問題需要哪些步驟？□解決這一類問題的最關(guān)鍵步驟可能是什么？□解決這一類問題的過程有哪些最基本特點？□是否專門有一個方法來解決這類問題？□有多少方法可能來解決這一類的問題？二、預(yù)測你能不能猜猜這位幼兒園的老師要解決這個問題，她第一步將會怎么做？請說說你的理由。三、學(xué)習(xí)計劃你第一步主要想探究的問題最終你想弄清楚的問題四、你的每一步操作所做的和觀察到的結(jié)論：五、評價現(xiàn)在你可以自己來判斷一下，原來的猜測對嗎？如果有錯，主要是什么地方錯了？為什么會錯？最后，通過各小組的學(xué)生陳述自己的發(fā)現(xiàn)和想法，設(shè)法來證明自己的結(jié)論，從而得出這一類問題的基本性質(zhì)以及問題解決的基本特征和基本方法。接下來，教師還有意識地設(shè)計了一系列的跟進活動，來發(fā)展學(xué)生的知識以及將知識運用于實際情景的能力：活動一為迎接“城市運動會”，學(xué)校接到一項任務(wù)，為大會編織一批彩花。大隊部將這個任務(wù)交給了五（1）中隊。中隊第一天派了6位少先隊員，結(jié)果共做了92朵彩花，第二天派了8位少先隊員，結(jié)果共做了106朵彩花。到了運動會召開的前一天，大會突然要求學(xué)校再補充250朵彩花，并在一天內(nèi)完成。你認為派多少個少先隊員來完成此任務(wù)較為合適？為什么？活動二下面是兩個小組的英語朗誦成績，你能用多少種方法來判斷這兩個小組的成績好壞？并試著做一些比較。序號12345678一組8876849389906481二組7799786797837490活動三現(xiàn)在你將第一小組的第6號的同學(xué)去掉，這時你再用原來的方法進行成績好壞的判斷，并進行一些比較。你的結(jié)論和發(fā)現(xiàn)還是原來的一樣嗎？活動四下面是一份某公司的月工資報表。如果公司讓你到勞務(wù)市場去招聘一名職員，請你依據(jù)這個報表，設(shè)計一句既不帶有欺騙性卻有能吸引大家愿意來工作的話來。工種工資（元）經(jīng)理副經(jīng)理工程師科長職員勤工35002800250018001400800附：課后的調(diào)查觀察者拿了本案例的“跟進活動”中的第一個問題，進入了采用“常規(guī)方法”來組織學(xué)習(xí)“平均數(shù)”知識的不同的五個班級，在每次課后都隨機地選取五個學(xué)生進行測試，時間限制在2分鐘，結(jié)果是,在這25個樣本中，問題解決的準(zhǔn)確率不足30％，而錯誤率則要高達72％，其中問題表征的錯誤人數(shù)達16人，占64％，計算錯誤2人，占8％。通過訪談進一步發(fā)現(xiàn)，不能將問題與已經(jīng)習(xí)得的知識建立聯(lián)系的人數(shù)有11人，其余的學(xué)生是不能理解問題“你認為派多少個少先隊員來完成此任務(wù)較為合適？為什么？”的意義。其中曾有這樣一段對話：觀察者：你想想，剛才在課內(nèi)學(xué)習(xí)了什么知識？學(xué)生：平均數(shù)的知識。觀察者：那你認為能不能用剛才學(xué)到的知識來解決這個問題呢？學(xué)生：（猶豫）好象不能？觀察者：為什么不能？學(xué)生：因為這道題目里面沒有“平均”這個字（即平均這個詞語——觀察者注）【主題】在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織過程中，究竟應(yīng)當(dāng)如何體現(xiàn)出現(xiàn)實數(shù)學(xué)觀與生活數(shù)學(xué)觀這樣的學(xué)科性質(zhì)特征？【提示】長期的研究已經(jīng)表明，兒童常常是通過探索他們自己的生活世界和精神世界來了解并獲得學(xué)習(xí)的，常常是通過自己的大量的實踐活動來獲得數(shù)學(xué)知識的，常常是在許許多多的問題解決過程來發(fā)展自己的數(shù)學(xué)認知能力的。兒童認識數(shù)學(xué)的起點并不是符號所組成的邏輯公理，而是它們自己的生活實踐所形成的經(jīng)驗?！疽蟆俊ぴu析應(yīng)當(dāng)緊緊扣住小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)科性質(zhì)的本質(zhì)來展開；·在評析過程中做到有理有據(jù)；·在評析過程中要注意結(jié)合教材中的第一、第九章的相關(guān)內(nèi)容來進行；對于“數(shù)學(xué)觀”的解釋是：“作為生活的數(shù)學(xué)，往往是一種經(jīng)驗符號的數(shù)學(xué)，更多運用的是語言和直覺。作為生活的數(shù)學(xué)，就是指存在于生活實踐中的那些非形式的數(shù)學(xué)，是人們在社會生活的實踐活動中獲得交流和理解的數(shù)學(xué)?！笨墒牵腋嗟貙⑺斫鉃楹⒆觽冊疽勋@取的與數(shù)學(xué)相關(guān)的生活經(jīng)驗，這正是將兒童日常的生活或經(jīng)驗與書本上的數(shù)學(xué)結(jié)合起來的最好的橋梁，也正是許多數(shù)學(xué)特級教師理論中所提倡的“關(guān)注學(xué)生對相關(guān)知識的掌握程度，對已有的經(jīng)驗進行遷移?！边@里的“遷移”的“已有的經(jīng)驗”，就是將孩子們已經(jīng)獲得的生活數(shù)學(xué)?！斑w移”，就是對生活數(shù)學(xué)進行理論化和系統(tǒng)化，使之成為書本上數(shù)學(xué)知識。在這個案例中，孩子們雖然沒有學(xué)過平均數(shù)，但是依照他們原有的生活經(jīng)驗，他們同樣可以將積木用“發(fā)牌”的方式平均分配好（也可以每一次先等量地分發(fā)給每一個人，然后再這樣輪發(fā)）；同樣可以將長短不一的線先接起來然后平均分成一樣長的幾份……這些，都是孩子們生活中積累起來的經(jīng)驗，是生活數(shù)學(xué)。兒童更多的是利用生活中直觀材料的操作來解決問題，只有當(dāng)任務(wù)較大，要分的物品或者對象數(shù)額比較大、比較復(fù)雜時，才開始嘗試獲得另一種方法，最終形成了用“除法”的概念和算法。在小學(xué)教學(xué)《認識平均數(shù)》時，就從現(xiàn)實生活情境中引入概念，溝通數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系結(jié)合實際問題（通過小組口算比賽）比賽是哪一組獲勝，引導(dǎo)學(xué)生展開交流、思考。讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在我們身邊，從而深刻認識到數(shù)學(xué)的價值與魅力。在學(xué)生的活動討論中，在認知沖突下，認識在人數(shù)不同的情況下，比總數(shù)顯然也不公平；而感受平均數(shù)是實際生活的需要，也產(chǎn)生了學(xué)習(xí)“平均數(shù)”的需求。教學(xué)只有組織了這個過程，學(xué)生對平均數(shù)的統(tǒng)計意義以及作用才有比較深刻的理解，也才能在面臨相類似問題時，能自主地想到用平均數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，去進行比較和分析。對于“現(xiàn)實數(shù)學(xué)觀”的解釋是：“現(xiàn)實數(shù)學(xué)是依靠‘局部組織’來支撐的，它往往是依賴于人的經(jīng)驗的，是存在于我們的現(xiàn)實之中的。對于大多數(shù)的人來說，是他們加強與外部世界進行溝通和交互，從而獲得高質(zhì)量生存并推進社會進步的一些必要的知識，因為每一個人的經(jīng)歷不同，他們對現(xiàn)實數(shù)學(xué)的理解也會有差異?！薄捌骄鶖?shù)”作為一個數(shù)學(xué)概念，是對一組數(shù)的集中和離散程度的本質(zhì)認識。掌握了單個詞匯并不一定就是理解了概念。本例中，在采用“常規(guī)方法”來組織學(xué)習(xí)“平均數(shù)”知識的班級中，雖然在概念的形成過程中，設(shè)計了生活化情境，可在跟進活動中學(xué)生仍然不能將問題與習(xí)得知識建立聯(lián)系甚至不能理解真實情境問題本身的意義，就是因為他們沒有真正理解作為數(shù)學(xué)概念的“平均數(shù)”的本質(zhì)意義。而小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)教學(xué)中，教師就會充分創(chuàng)造有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生理解平均數(shù)的意義和學(xué)會平均數(shù)的算法，教師應(yīng)從多方面向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機會，讓每一位學(xué)生主動從事數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生自己探索出求平均數(shù)的方法。一種是先合再分，一種是移多補少。由于生活經(jīng)驗和知識基礎(chǔ)，學(xué)生中有一部分已經(jīng)知道用移多補少的方法找出平均數(shù)，其實這種方法也能夠利用教材上的統(tǒng)計圖很好地進行過程的演示；還有一部分?jǐn)?shù)感較強的學(xué)生，能夠根據(jù)提供的一組數(shù)據(jù)感覺出平均數(shù)大概是多少；而用總數(shù)除以份數(shù)得到平均數(shù)的計算，也不難，學(xué)生肯定會有這種思維。平均數(shù)”的概念比較抽象，很多人對平均數(shù)的含義不理解。于是教學(xué)中可以設(shè)計了兩個包含平均數(shù)的句子，通過分析，讓學(xué)生進一步理解平均數(shù)反映的是一組數(shù)據(jù)的總體情況是一個虛擬的數(shù)，而不是具體的真實數(shù)。通過學(xué)生對句子的解釋可以看出學(xué)生對于“平均數(shù)”的表象已經(jīng)逐步清晰起來。小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實質(zhì)是，用自己與世界相互作用的獨特經(jīng)驗去建構(gòu)有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)科知識和技能的過程。從這個意義上說，小學(xué)兒童的生活經(jīng)驗理所當(dāng)然地成為他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要基礎(chǔ)，進而成為我們構(gòu)建小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)模式和開發(fā)小學(xué)數(shù)學(xué)活動課程的龐大資源庫。小學(xué)兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與生活經(jīng)驗是緊密相連的，他們的學(xué)習(xí)過程就是一個經(jīng)驗的激活、利用、調(diào)整、提升的過程，是“自己對生活現(xiàn)象的解讀”，是“建立在經(jīng)驗基礎(chǔ)上的一個主動建構(gòu)的過程”。小學(xué)兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動與