利用一元二次方程解決幾何問題

利用一元二次方程解決幾何問題2北師版九年級上冊情境導(dǎo)入你還記得本章開始時(shí)梯子下滑的問題嗎？如圖，一個(gè)長為10

m

的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8

m.如果梯子的頂端下滑1

m，那么梯子的底端滑動(dòng)多少米？（1）在這個(gè)問題中，梯子頂端下滑1米時(shí)，梯子底端滑動(dòng)的距離大于1米，那么梯子頂端下滑幾米時(shí)，梯子底端滑動(dòng)的距離和它相等呢？xx設(shè)梯子頂端下滑x米，底端滑動(dòng)x米(8-x)2+(6+x)2=102x2-2x=0x1=0（舍），x2=2.（2）如果梯子長度是13m，梯子頂端與地面的垂直距離為12m，那么梯子頂端下滑的距離與梯子底端滑動(dòng)的距離可能相等嗎？如果相等，那么這個(gè)距離是多少？設(shè)梯子頂端下滑x米，底端滑動(dòng)x米(12-x)2+(5+x)2=132x2-7x=0x1=0（舍），x2=7.幾何畫板探究新知例1如圖：某海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目標(biāo)B，在B的正東方向200海里處有一重要目標(biāo)C，小島D位于AC的中點(diǎn)，島上有一補(bǔ)給碼頭。小島F位于BC中點(diǎn)。一艘軍艦從A出發(fā)，經(jīng)B到C勻速巡航，一艘補(bǔ)給船同時(shí)從D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送達(dá)軍艦。已知軍艦的速度是補(bǔ)給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補(bǔ)給船相遇，那么相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了多少海里？（結(jié)果精確到0.1海里）幾何畫板（1）要求

DE

的長，需要如何設(shè)未知數(shù)？

（2）怎樣建立含

DE未知數(shù)的等量關(guān)系？從已知條件中能找到嗎？（3）利用勾股定理建立等量關(guān)系，如何構(gòu)造直角三角形？（4）選定Rt△DEF后，三條邊長都是已知的嗎？DE，DF，EF分別是多少？解：連接DF.∵AD=CD，BF=CF，∴DF是△ABC

的中位線.∴DF∥AB，且DF=AB.∵AB⊥BC，DF=100nmile，BF=100nmile.設(shè)相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了xnmile，那么DE=xnmile，AB+BE=2xnmile，EF=AB+BF-（AB+BE）=（300-2x）nmile.在Rt△DEF

中，根據(jù)勾股定理可得方程

x2=1002+(300-2x)2，整理，得3x2-1200x+100000=0.

解這個(gè)方程，得

所以，相遇時(shí)補(bǔ)給船大約航行了118.4nmile.隨堂練習(xí)【選自教材P53隨堂練習(xí)】《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會(huì)，問甲乙行各幾何。”大意是說：已知甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3。乙一直向東走，甲先向南走了10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇。那么相遇時(shí)，甲、乙各走了多遠(yuǎn)？解：設(shè)所行時(shí)間為t，則有(3t)2+102=(7t-10)2，解得t1=0（舍去），t2=.∴甲走了×7=（步），乙走了×3=（步）.達(dá)標(biāo)檢測【選自教材P53習(xí)題2.9】有這樣一道阿拉伯古算題：有兩筆錢，一多一少，其和等于20，積等于96，多的一筆錢被許諾賞給賽義德，那么賽義德得到多少錢？解:設(shè)較多的錢為x．由題意,可得x(20－x)＝96，解得x1＝12，x2＝8(舍去)．所以，賽義德得到的錢數(shù)為12.如圖：在Rt△ACB中，∠C=90°，點(diǎn)P、Q

同時(shí)由A、B兩點(diǎn)出發(fā)分別沿AC、BC方向向點(diǎn)C

勻速移動(dòng)，它們的速度都是1m/s，幾秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半？解:設(shè)經(jīng)過ts，△PCQ

面積為Rt△ACB

面積的一半．

(8－t)(6－t)＝×6×8×，解得t1＝2，t2＝12(舍去)．所以，經(jīng)過2s，△PCQ

面積為Rt△ACB

面積的一半．【選自教材P53習(xí)題2.9】如圖，一條水渠的斷面為梯形，已知斷面的面積為0.78m2，上口比渠底寬0.6，渠深比渠底少0.4m，求渠深.【選自教材P53習(xí)題2.9】解:設(shè)渠深為xm，則渠底為(x＋0.4)m．S＝·[(x＋0.4＋0.6＋x＋0.4)]·x

＝0.78，解得x1＝－1.3(舍去)，x2＝0.6．所以，渠深0.6m．解:設(shè)

ts后P

，Q

兩點(diǎn)相距15cm．由題意有t2＋(21－t)2＝152，解得t1＝9，t2＝12．所以，運(yùn)動(dòng)9s或12s時(shí),P,Q

兩點(diǎn)相距15cm．如圖，在Rt△ACB

中，∠C=90°，AC=30cm，BC=