清單01 直線的傾斜角與斜率、直線方程問題（7個(gè)考點(diǎn)梳理題型解讀提升訓(xùn)練）（解析版）

清單01直線的傾斜角與斜率、直線方程問題（7個(gè)考點(diǎn)梳理+考點(diǎn)解讀+提升訓(xùn)練）【知識(shí)導(dǎo)圖】【考點(diǎn)分布圖】【知識(shí)清單】1、傾斜角和斜率（1）直線的傾斜角的概念：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．特別地，當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定．（2）傾斜角α的取值范圍：．當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，．（3）直線的斜率：一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，也就是①當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，，；②當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，，k不存在．由此可知，一條直線l的傾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在．（4）直線的斜率公式：給定兩點(diǎn)，用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來表示直線的斜率：2、兩條直線的平行與垂直（1）兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即注意：上面的等價(jià)是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個(gè)前提，結(jié)論并不成立．即如果，那么一定有（2）兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，那么它們互相垂直，即3、直線方程的不同形式間的關(guān)系直線方程的五種形式的比較如下表：名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點(diǎn)斜式是直線上一定點(diǎn)，k是斜率不垂直于x軸斜截式k是斜率，b是直線在y軸上的截距不垂直于x軸兩點(diǎn)式，是直線上兩定點(diǎn)不垂直于x軸和y軸截距式a是直線在x軸上的非零截距，b是直線在y軸上的非零截距不垂直于x軸和y軸，且不過原點(diǎn)一般式A、B、C為系數(shù)任何位置的直線【考點(diǎn)精講】考點(diǎn)1：傾斜角與斜率例1．（2023·浙江臺(tái)州·高二統(tǒng)考期中）直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)直線的傾斜角為，，直線可化為，所以直線的斜率，，故選：D．例2．（2023·云南昆明·高二?？计谥校┤糁本€l經(jīng)過點(diǎn)，，則直線l的斜率為（

）A．－4 B．4 C．－3 D．3【答案】A【解析】直線l的斜率為．故選：A.例3．（2023·海南·高二統(tǒng)考期末）若過點(diǎn)，的直線的斜率等于1，則的值為（

）A．1 B．4 C．1或3 D．1或4【答案】A【解析】由題意得，解得.故選：A.變式1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）直線經(jīng)過第二、四象限，則直線的傾斜角范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】直線傾斜角的取值范圍是，又直線l經(jīng)過第二、四象限，所以直線l的傾斜角范圍是.故選：C變式2．（2023·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）三條直線，，的位置如圖所示，它們的斜率分別為，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)三條直線，，的傾斜角為,由圖可知,所以.故選：B.考點(diǎn)2：直線與線段的相交問題例4．（2023·江西贛州·高二階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)?，若直線l過點(diǎn)且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【解析】如圖所示：依題意，，要想直線l過點(diǎn)且與線段AB相交，則或，故選：A例5．（2023·福建福州·高二福建省連江尚德中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)，，若點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)），則的取值范圍是（

）A． B．C． D．以上都不對(duì)【答案】A【解析】如圖，令，則的取值范圍等價(jià)于直線的斜率的取值范圍，點(diǎn)，，點(diǎn)是線段（含端點(diǎn)）上任一點(diǎn)，，，或，的取值范圍是．故選：A．例6．（2023·江西撫州·高二統(tǒng)考期末）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)，為的邊上一動(dòng)點(diǎn)，則直線斜率的變化范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】如圖所示，，因?yàn)闉榈倪吷弦粍?dòng)點(diǎn)，所以直線斜率的變化范圍是.故選：D.變式3．（2023·福建南平·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn).若直線與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】即，又因?yàn)椋灾本€恒過定點(diǎn)，畫圖得直線要想與線段有交點(diǎn)，就需要繞著點(diǎn)，從直線開始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線，則，所以直線斜率故選：A變式4．（2023·遼寧大連·高二統(tǒng)考期末）已知，直線過點(diǎn)且與線段相交，那么直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C．， D．【答案】A【解析】如圖所示：由題意得，所求直線的斜率滿足或，即，或，或，所以直線的斜率的取值范圍是故選：A.考點(diǎn)3：兩直線平行問題例7．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知四邊形的頂點(diǎn)，則四邊形的形狀為.【答案】矩形【解析】，且不在直線上，.又，且不在直線上，，四邊形為平行四邊形.又.平行四邊形為矩形.故答案為：矩形.例8．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知直線的傾斜角為，直線經(jīng)過點(diǎn)，，則直線與的位置關(guān)系是．【答案】平行或重合【解析】由已知，得，，，但直線在y軸上的截距不確定，直線與的位置關(guān)系是平行或重合．故答案為：平行或重合．例9．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高二雅禮中學(xué)?？计谀┮阎希?，則實(shí)數(shù)．【答案】3【解析】因?yàn)?，所以直線與直線沒有交點(diǎn)，所以直線與直線互相平行，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線為：，，此時(shí)兩直線重合，不滿足；當(dāng)時(shí)，兩直線為：，，此時(shí)兩直線平行，滿足，所以的值為3.故答案為：3.變式5．（2023·上海浦東新·高二上海市進(jìn)才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合、，若，則．【答案】1【解析】依題知兩直線平行，則，解得，經(jīng)驗(yàn)證時(shí)，兩直線不重合，所以.故答案為：1變式6．（2023·陜西延安·高二?？计谀┮阎獌芍本€方程分別為，若，則．【答案】2【解析】因?yàn)?，且，所以，得，故答案為?變式7．（2023·浙江臺(tái)州·高二溫嶺中學(xué)?？计谀┮阎本€和直線，若，則【答案】－1【解析】時(shí)，兩直線顯然不平行，因此，所以由得，解得，故答案為：．考點(diǎn)4：兩直線垂直問題例10．（2023·高二單元測(cè)試）已知直線與互相垂直，垂足為，則的值是【答案】【解析】因?yàn)閮芍本€互相垂直，所以，解得，又垂足既在前一條直線上，也在后一條直線上，所以，解得，所以.故答案為：.例11．（2023·貴州黔東南·高二統(tǒng)考期末）若直線l1與l2的斜率k1、k2是關(guān)于k的方程的兩根，若l1⊥l2，則b=．【答案】【解析】因?yàn)樾甭蔾1、k2是關(guān)于k的方程的兩根，所以，因?yàn)閘1⊥l2，所以，即，故答案為：例12．（2023·天津?yàn)I海新·高二校考開學(xué)考試）已知定點(diǎn)，點(diǎn)B在直線x+y=0上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是.【答案】【解析】當(dāng)直線AB與直線x+y=0垂直時(shí)，此時(shí)AB最短，設(shè)B的坐標(biāo)為，則，解得：，所以B的坐標(biāo)為故答案為：變式8．（2023·甘肅武威·高二統(tǒng)考期末）若直線與互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】或【解析】因?yàn)橹本€與互相垂直，所以，即，解得：或，故答案為：或變式9．（2023·山東菏澤·高二山東省鄆城第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知三點(diǎn)，則△ABC為三角形.【答案】直角【解析】如圖，猜想是直角三角形，由題可得邊所在直線的斜率,邊所在直線的斜率，由，得即，所以是直角三角形.故答案為：直角.考點(diǎn)5：五種直線方程例13．（2023·安徽六安·高二校聯(lián)考期末）已知直線過點(diǎn)，且縱截距為橫截距的兩倍，則直線l的方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】由題意設(shè)直線與x軸交點(diǎn)為，則與y軸交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，直線過原點(diǎn)，斜率為，故方程為；當(dāng)時(shí)，直線的斜率，故直線方程為，即，故選：D例14．（2023·安徽銅陵·高二銅陵一中開學(xué)考試）在等腰三角形中，，、，點(diǎn)在軸的正半軸上，則直線的點(diǎn)斜式方程為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，，則軸，則點(diǎn)，故點(diǎn)，所以，直線的斜率為，所以直線的點(diǎn)斜式方程為．故選：D．例15．（2023·黑龍江鶴崗·高二統(tǒng)考期中）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為為的垂直平分線，求：(1)邊所在直線的方程；(2)邊的垂直平分線的方程.【解析】（1）因?yàn)橹本€經(jīng)過和兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得的方程為，即.（2）由（1）知直線的斜率，則直線的垂直平分線的斜率.易得中點(diǎn)的坐標(biāo)為.可求出直線的點(diǎn)斜式方程為，即.變式10．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學(xué)?？计谀┮阎⒃谥本€上.(1)求直線的方程；(2)若直線傾斜角是直線傾斜角的2倍，且與的交點(diǎn)在軸上，求直線的方程.【解析】（1）因?yàn)?、在直線上，所以，所以直線的方程為，即.（2）設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，所以直線的斜率，對(duì)于，令得，即直線與軸交于點(diǎn)，所以直線的方程為.變式11．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為、、．求：(1)邊所在直線的方程；(2)邊上的高所在直線的方程；(3)邊上的中線所在直線的方程．【解析】（1）因?yàn)椤?，故，邊AC所在直線的方程為：，即為：，（2）由（1）知，故所以AC邊上的高所在直線的斜率為，又，故為：，即；（3）設(shè)AC邊上的中點(diǎn)為D，則，即，故AC邊上的中線BD所在直線的方程的斜率為，故為：，即.考點(diǎn)6：直線與坐標(biāo)軸圍成三角形問題例16．（2023·湖北武漢·高二統(tǒng)考期末）已知直線方程為．(1)若直線的傾斜角為，求的值；(2)若直線分別與軸、軸的負(fù)半軸交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最小值及此時(shí)直線的方程．【解析】（1）由題意可得.（2）在直線的方程中，令可得，即點(diǎn)，令可得，即點(diǎn)，由已知可得，解得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)直線的方程為，即.例17．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線．若直線交軸負(fù)半軸于，交軸正半軸于，的面積為為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值并求此時(shí)直線的方程．【解析】直線：，當(dāng)時(shí)直線：，顯然不滿足題意，所以，令得，令得，即，．依題意得，解得．因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，此時(shí)直線的方程為．例18．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·高二統(tǒng)考期末）已知一條動(dòng)直線，(1)求證：直線l恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若直線l與、軸的正半軸分別交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在直線l同時(shí)滿足下列條件：①的周長(zhǎng)為；②的面積為.若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）證明：將直線方程變形為，由，可得，因此，直線恒過定點(diǎn).（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，若，則，則、，直線的斜率為，故直線的方程為，即，此時(shí)直線與軸的交點(diǎn)為，則，，，此時(shí)的周長(zhǎng)為.所以，存在直線滿足題意.變式12．（2023·江蘇南通·高二階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，求：（1）直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程；（2）直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成三角形面積最小時(shí)的直線方程．【解析】（1）若直線的截距為，則直線方程為；若直線的截距不為零，則可設(shè)直線方程為：，由題設(shè)有，所以直線方程為：，綜上，所求直線的方程為或．（2）設(shè)直線方程為：，則，所以，面積，又由得，當(dāng)且僅當(dāng)成立，即當(dāng)時(shí)，面積最小為6所以，所求直線方程為變式13．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知直線l：．（1）若直線不經(jīng)過第二象限，求k的取值范圍；（2）若直線l交x軸正半軸于A，交y軸負(fù)半軸于B，的面積為S，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程．【解析】（1）由方程可知：時(shí)，直線在x軸與y軸上的截距分別為：，．直線不經(jīng)過第二象限，，解得當(dāng)時(shí)，直線變?yōu)闈M足題意．綜上可得：k的取值范圍是；（2）由直線l的方程可得，．由題意可得，解得．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．的最小值為4，此時(shí)直線l的方程為．考點(diǎn)7：直線過定點(diǎn)問題例19．（2023·安徽宿州·高二校聯(lián)考期中）不論取何值，直線恒過一定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】【解析】由，令，即該直線過定點(diǎn).故答案為：例20．（2023·山東聊城·高二?？计谥校┲本€恒過定點(diǎn)【答案】【解析】直線方程化簡(jiǎn)為，即，當(dāng)，解得：，所以直線恒過定點(diǎn).故答案為：例21．（2023·上海虹口·高二上外附中校考階段練習(xí)）無論實(shí)數(shù)λ取何值，直線恒過定點(diǎn).【答案】【解析】由，可得，令，解得，所以直線恒過定點(diǎn).故答案為：.變式14．（2023·浙江寧波·高二校聯(lián)考期中）已知，過定點(diǎn)M的動(dòng)直線與過定點(diǎn)N的動(dòng)直線相交于點(diǎn)P，則的最大值是．【答案】4【解析】直線的方程變形為，由，得，所以，動(dòng)直線過定點(diǎn)，同理可知，動(dòng)直線過定點(diǎn)，由題意可知，且為與的交點(diǎn)，所以，由勾股定理可得，由重要不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最大值為.故答案為：.變式15．（2023·福建龍巖·高二福建省永定第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知?jiǎng)又本€和，是兩直線的交點(diǎn)，是兩直線和分別過的定點(diǎn)，則的最大值為.【答案】10【解析】因?yàn)橹本€的方程可化為，所以直線過定點(diǎn)，因?yàn)橹本€的方程可化為，所以直線過定點(diǎn)，又因，所以直線與直線垂直，即，所以，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則的最大值為.故答案為：.變式16．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）不論a為何實(shí)數(shù)，直線恒過一定點(diǎn)，則此定點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【解析】將直線整理為；直線過定點(diǎn)與無關(guān)，所以，且；聯(lián)立解方程組可得；可得定點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：【提升練習(xí)】1．（2023·河南開封·高二統(tǒng)考期中）經(jīng)過點(diǎn)作直線l，若直線l與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖，當(dāng)公共點(diǎn)在AO之間（不含O）時(shí)，直線l的斜率為負(fù)，當(dāng)公共點(diǎn)在A時(shí)，斜率有最大值，為，則此時(shí)斜率范圍為；當(dāng)公共點(diǎn)在OB之間（不含O）時(shí)，直線l的斜率為正，當(dāng)公共點(diǎn)在B時(shí)，斜率有最小值，為，則此時(shí)斜率范圍為；當(dāng)公共點(diǎn)在O點(diǎn)時(shí)，直線l的斜率不存在.綜上，直線l的斜率的取值范圍是.故選：C2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知，滿足，則直線必過定點(diǎn)（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，得，代入直線方程中，得，即，令，解得，所以該直線必過定點(diǎn).故選：D3．（2023·河南·高二校聯(lián)考期中）“”是“直線和直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，，兩直線斜率都為且不重合，所以兩直線平行；當(dāng)兩直線平行時(shí)，由，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，兩直線平行，故.綜上可知，“”是“直線和直線平行”的充要條件.故選：C4．（2023·河北石家莊·高二石家莊一中?？计谥校┎徽搆為任何實(shí)數(shù)，直線恒過定點(diǎn)，若直線過此定點(diǎn)其中m，n是正實(shí)數(shù)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由直線，得：，即恒過點(diǎn)，因?yàn)橹本€過此定點(diǎn)，其中m，n是正實(shí)數(shù)所以，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；故選：B5．（2023·河北石家莊·高二石家莊二中?？计谥校┲本€（為常數(shù)）的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則，直線的斜率為，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則.綜上所述，該直線的傾斜角的取值范圍是.故選：D.6．（2023·重慶·高二重慶十八中校考期中）已知直線，.則下列說法中正確的有（

）①存在實(shí)數(shù)，使，②存在實(shí)數(shù)，使；③對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，④存在點(diǎn)到四條直線距離相等A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，故，①對(duì)；由，故不成立，②錯(cuò)；由恒成立，即，③對(duì)；由各直線方程知：坐標(biāo)原點(diǎn)到各直線距離均為，④對(duì).所以共有3個(gè)正確.故選：C7．（2023·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期中）數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心（三邊中垂線的交點(diǎn)）、重心（三邊中線的交點(diǎn)）、垂心（三邊高的交點(diǎn)）依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知的頂點(diǎn)為，，，則該三角形的歐拉線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由重心坐標(biāo)公式可得：重心，即.設(shè)外心，因?yàn)椋?，解得，即?，故歐拉線方程為：，即：，故選：A.8．（多選題）（2023·貴州遵義·高二?？茧A段練習(xí)）下列結(jié)論中正確的有（

）A．過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程為B．過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程為C．若直線與直線平行，則的值為3D．過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為【答案】ABC【解析】對(duì)于A，過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程為，化簡(jiǎn)得，故A正確；對(duì)于B，過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程為，化簡(jiǎn)得，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得或，注意到當(dāng)時(shí)，兩直線重合，所以，故C正確；對(duì)于D，注意到點(diǎn)在直線上，且該直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為0，即該直線截距相等，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.9．（多選題）（2023·安徽宿州·高二校聯(lián)考期中）下列結(jié)論正確的是（

）A．直線的傾斜角越大，其斜率就越大B．若直線與直線垂直，則C．過點(diǎn)的直線的傾斜角為D．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】BD【解析】A：傾斜角為銳角，斜率為正；傾斜角為鈍角時(shí)，斜率為負(fù)，故A錯(cuò)誤；B：由題意若直線與直線垂直，則，解得，故B正確；C：由題意過點(diǎn)的直線的斜率為，故其傾斜角為，故C錯(cuò)誤；D：由于點(diǎn)與點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為即，滿足，即點(diǎn)在直線上，又直線的斜率為，過兩點(diǎn)、的直線斜率為，所以，即直線（即直線）垂直直線，綜上所述：點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，故D正確.故選：BD.10．（多選題）（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學(xué)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知點(diǎn)，，直線，其中，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線恒過定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為B．若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則C．若直線過第一、三象限，則D．若直線和直線與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形有外接圓，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，直線的方程為，即，即，令，即此時(shí)直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，直線的方程為也過點(diǎn)，即直線恒過定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為，A正確；對(duì)于B，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，顯然時(shí)，直線的方程為不合題意；故，此時(shí)直線的方程，令，則，令，則，令，即，解得或，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若直線過第一、三象限，則直線的斜率一定存在且為正數(shù)，即，C正確；對(duì)于D，若直線和直線與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形有外接圓，即該四邊形對(duì)角互補(bǔ)，而直線恒過定點(diǎn)，故需滿足直線，則，D正確，故選：ACD11．（多選題）（2023·福建泉州·高二福建省德化第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件B．直線的傾斜角的取值范圍是C．過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線的方程為D．己知，若直線與線段有公共點(diǎn)，則【答案】BD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，兩直線分別為和，此時(shí)兩直線垂直，充分性成立，若兩直線垂直，則，解得或，必要性不成立，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由直線，得，所以斜率，設(shè)傾斜角為，則，又，所以，故B正確；對(duì)于C，若直線過原點(diǎn)，則方程為，若直線不過原點(diǎn)，設(shè)直線方程為，代入，得，所以直線方程為，綜上，直線的方程為或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若直線，得：，所以直線恒過定點(diǎn)，因?yàn)?，，結(jié)合圖象可知直線的斜率，即，故D正確.故選：BD.12．（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線與互相垂直，則這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.【答案】【解析】易知直線的斜率為，由兩直線垂直條件得直線的斜率，解得；聯(lián)立，解得；即交點(diǎn)為故答案為：13．（2023·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期中）設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值為．【答案】【解析】直線可得，直線可整理為，令，解得，所以，因?yàn)?，所以直線與直線垂直，則，所以點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：.14．（2023·上海寶山·高二上海市吳淞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線和以為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】直線，過定點(diǎn)，則，直線和以為端點(diǎn)的線段相交，由圖可知，或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.15．（2023·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中校考期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，邊上的中線所在的直線方程為，的角平分線所在的直線方程為，則直線的方程為．【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，所以中點(diǎn)，又所在的直線方程為，所以，即，又點(diǎn)在直線上，所以，由解得，所以，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，所以，所以直線的方程為，即.故答案為：16．（2023·福建廈門·高二福建省廈門第六中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，.(1)求平行四邊形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在中，求邊上的高線所在直線方程.【解析】（1）設(shè)線段中點(diǎn)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由平行四邊形性質(zhì)得為線段中點(diǎn)，有，解得，所以；（2）因?yàn)橹本€的斜率為，所以邊上的高線所在直線的斜率為，又，故邊上的高線所在直線的方程為，即為.17．（2023·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知直線的方程為，若直線過點(diǎn)，且.(1)求直線的方程；(2)已知直線經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn)，且在軸上截距是在軸上截距的倍，求直線的方程.【解析】（1）由已知以及直線的方程，可設(shè)直線的方程為.直線過點(diǎn)，所以有，解得，所以，直線的方程為.（2）聯(lián)立直線與直線的方程，可得，所以，直線與直線的交點(diǎn)為.當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為，代入點(diǎn)可得，所以，直線的方程為，即；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，由已知可設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)可得，，解得，代入直線方程，整理可得.綜上所述，