專題2.6乘法公式與幾何背景大題專練（分層培優(yōu)30題七下蘇科）-2022-2023學年七年級數(shù)學下學期復習備考高分秘籍【蘇科版】（解析版）

2022-2023學年七年級數(shù)學下學期復習備考高分秘籍【蘇科版】專題2.6乘法公式與幾何背景大題專練（分層培優(yōu)30題，七下蘇科）A卷基礎過關卷（限時70分鐘，每題10分，滿分100分）1．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖①是一張邊長為a的正方形紙片，在它的一角剪去一個邊長為b的小正方形，然后將圖①剩余部分(陰影部分)剪拼成如圖②的一個大長方形(陰影部分)(1)請分別用含a、b的代數(shù)式表示圖①和圖圖①陰影部分面積為：；圖②陰影部分面積為：；(2)請?zhí)骄坎⒅苯訉懗鯽2(3)利用(2)中的結論，求542.72【答案】(1)a2-(2)a(3)85400【分析】（1）用a為邊長的正方形面積減去小正方形面積即可得圖①陰影部分面積，直接讀取圖②中大長方形的長與寬，再求面積；（2）根據(jù)a2-b（3）根據(jù)a2【詳解】（1）解：(1)a2(a+b)(a-b)；（2）a2（3）原式=(542.7+457.3)(542.7-457.3)=1000×85.4=85400．【點睛】本題主要考查了平方差公式的幾何背景，解決問題的關鍵是運用兩種不同的方式表達同一個圖形的面積，進而得出一個等式，這是數(shù)形結合思想的運用．2．（2023春·江蘇·七年級專題練習）圖①、圖②分別由兩個長方形拼成：(1)圖②中的陰影部分的面積是：(a+b)(a-b)，那么圖①中的陰影部分的面積為______________．(2)觀察圖①和圖②，請你寫出代數(shù)式a2、b(3)根據(jù)你得到的關系式解答下列問題：若x+y=-6，x2【答案】(1)a(2)a(3)-5【分析】（1）由圖①中的陰影部分的面積為邊長為a的大正方形的面積減去邊長為b的小正方形的面積，再結合正方形的面積公式即可解答；（2）由題意可知圖①中的陰影部分的面積和圖②中的陰影部分的面積相等，從而可得出等式；（3）由平方差公式求解即可．【詳解】（1）圖①中的陰影部分的面積為邊長為a的大正方形的面積減去邊長為b的小正方形的面積，即為：a2故答案為：a2（2）由題意可知圖①中的陰影部分的面積和圖②中的陰影部分的面積相等，∴得出等式：a2故答案為：a2（3）解：∵x2∴(x+y)(x-y)=30．將x+y=-6代入上式，得：-6(x-y)=30，解得：x-y=-5．【點睛】本題考查平方差公式與幾何圖形，利用平方差公式計算．利用數(shù)形結合的思想是解題關鍵．3．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，從邊長為a的正方形紙片中剪掉一個邊長為b的正方形紙片（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．(1)探究：上述操作能驗證的等式是．(2)應用：利用（1）中得出的等式，計算：1-1【答案】(1)a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）(2)11【分析】（1）分別計算圖1和圖2中剩余部分的面積，根據(jù)面積相等即可得出答案；（2）逆用平方差公式，中間項全部約分掉，只剩下第一項和最后一項，從而得出答案．【詳解】（1）解：第一個圖形中剩余部分的面積是a2﹣b2，第二個圖形的面積是（a+b）（a﹣b），則a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．（2）解：1-===【點睛】本題主要考查了平方差公式應用，熟練掌握平方差公式，是解題的關鍵．4．（2023春·江蘇·七年級專題練習）在邊長為a的正方形的一角減去一個邊長為的小正方形（a＞b），如圖①．（1）由圖①得陰影部分的面積為．（2）沿圖①中的虛線剪開拼成圖②，則圖②中陰影部分的面積為．（3）由（1）（2）的結果得出結論：＝．（4）利用（3）中得出的結論計算：20212﹣20202．【答案】（1）a2﹣b2；（2）（a+b）（a﹣b）；（3）a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（4）4041【分析】（1）根據(jù)陰影部分面積=大正方形面積-小正方形面積和正方形的面積公式即可得到結論；（2）根據(jù)梯形的面積公式即可得到結論；（3）由（1）（2）的結論即可得到結果；（4）根據(jù)（3）所得的結論進行求解即可．【詳解】解：（1）由圖①得：陰影部分的面積為a2﹣b2．故答案為：a2﹣b2；（2）沿圖①中的虛線剪開拼成圖②，則圖②中陰影部分的面積為：12（2a+2b）?（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b故答案為：（a+b）（a﹣b）；（3）由（1）（2）的結果得出結論：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案為：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（4）20212﹣20202＝（2021+2020）×（2021﹣2020）＝4041．【點睛】此題考查了列代數(shù)式和含乘方的有理數(shù)混合運算，根據(jù)正方形的面積公式和梯形的面積公式得出它們之間的關系是解題的關鍵．5．（2020春·江蘇泰州·七年級?？计谥校┤鐖D，在長方形ACDF中，AC=DF，點B在CD上，點E在DF上，BC=DE=a，AC=BD=b，AB=BE=c，且AB⊥BE．（1）用兩種不同的方法表示長方形ACDF的面積S方法一：S=方法二：S=（2）求a，b，c之間的等量關系（需要化簡）（3）請直接運用（2）中的結論，求當c=5，a=3，S的值【答案】（1）ab+b2，ab+12b2-1【分析】（1）方法一，根據(jù)矩形的面積公式就可以直接表示出S；方法二，根據(jù)矩形的面積等于四個三角形的面積之和求出結論即可；（2）根據(jù)方法一與方法二的S相等建立等式就可以表示出a，b，c之間的等量關系；（3）先由（2）的結論求出b的值，然后代入S的解析式就可以求出結論．【詳解】（1）由題意，得：方法一：S1方法二：S2故答案為：ab+b2，（2）∵S1∴ab+b∴2ab+2b∴a2（3）∵a2+b2=∴b=c∴S=ab+=28．答：S的值為28．【點睛】本題考查了平方差公式以及整式的混合運算的運用，矩形的面積公式的運用，三角形的面積公式的運用，化簡求值的運用．6．（2018秋·江蘇南京·七年級校聯(lián)考期中）如圖，將邊長為a的正方形按虛線剪成4個部分，去掉其中邊長為b的小正方形，將剩余的3個部分重新拼成一個互不重疊且無縫隙的長方形．1畫出拼好的長方形，并標注相應的數(shù)據(jù)；2求拼好后長方形的周長；3若a=9，b=3，求拼好后長方形的面積．【答案】（1）詳見解析；（2）4a；（3）72.【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形即可；（2）根據(jù)矩形的周長公式計算即可；（3）根據(jù)矩形的面積公式計算即可．【詳解】解：1如圖所示；2拼好后長方形的周長=4b3拼好后長方形的面積=a當a=9，b=3，【點睛】本題考查平方差公式，能根據(jù)根據(jù)在邊長為a的大正方形中剪去一個邊長為b的小正方形是解此題的關鍵．7．（2020秋·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考期中）圖1是一個長為2m，寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的方法拼成一個邊長為m+n的正方形．(1)請用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積．方法1：；方法2：．(2)觀察圖2寫出m+n2，m-n2，mn三個代數(shù)式之間的等量關系：(3)根據(jù)（2）中你發(fā)現(xiàn)的等量關系，解決如下問題：若a+2b=8，ab=72，求【答案】(1)m-n2，(2)m-n(3)36【分析】（1）一種方法是先用m、n表示出陰影部分邊長，再用正方形面積公式表示；另一種方法是先表示出大正方形面積和四個長方形的面積，用大正方形面積減去四個長方形的面積表示出陰影部分面積；（2）m+n2，m-n2，mn三個代數(shù)式別表示大正方形，小正方形和長方形面積，由圖知大正方形面積-四個長方形面積（3）由（2）得出的關系式變形，再代入求值即可得結果．【詳解】（1）根據(jù)圖形可得：方法1：m-n2方法2：m+n2故答案為：m-n2，m+n（2）由陰影部分的兩個面積代數(shù)式相等，可得：m-n2故答案為：m-n2（3）∵a+2b=8，ab=7∴==36．【點睛】本題主要考查完全平方差公式和完全平方和公式的聯(lián)系，會用代數(shù)式表示圖形面積是解決問題的關鍵；兩數(shù)的完全平方和比它們的完全平方差多了兩數(shù)積的4倍，該結論經(jīng)常用到．8．（2020春·江蘇南京·七年級南京市寧海中學分校?？计谥校局R生成】通常情況下、用兩種不同的方法計算同一圖形的面積，可以得到一個恒等式.（1）如圖1，請你寫出a+b2,a-b【知識應用】（2）根據(jù)（1）中的結論，若x+y=4,xy=74，則【知識遷移】類似地，用兩種不同的方法計算同一幾何體的情況，也可以得到一個恒等式.如圖2是邊長為a+b的正方體，被如圖所示的分割成8塊．（3）用不同的方法計算這個正方體的體積，就可以得到一個等式，這個等式可以是（4）已知a+b=4，ab=1，利用上面的規(guī)律求a3【答案】（1）(a+b)2-4ab=(a-b)2.（2）x-y=3.（3）(a+b)3【分析】（1）根據(jù)兩種面積的求法的結果相等，即可得到答案；（2）根據(jù)第（1）問中已知的等式，將數(shù)值分別代入，即可求得答案.（3）根據(jù)正方體的體積公式，正方體的邊長的立方就是正方體的體積；2個正方體和6個長方體的體積和就是大長方體的體積，則可得到等式；（4）結合a+b=4，ab=1，根據(jù)（3）中的公式，變形進行求解即可.【詳解】（1）(a+b)2-4ab=（2）x+y=4,xy=74,x-y2=（3）(a+b)3（4）由a+b=4，ab=1，根據(jù)第（3）得到的公式可得a3【點睛】本題考查完全平方公式以及立方公式的幾何背景，從整體和局部兩種情況分析并寫出面積以及體積的表達式是解題的關鍵.9．（2022春·江蘇·七年級專題練習）圖a是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖b的形狀拼成一個正方形．（1）你認為圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于______．（2）請用兩種不同的方法求圖b中陰影部分的面積．（3）觀察圖b，你能寫出以下三個代數(shù)式之間的等量關系嗎？代數(shù)式：m+n2，m-n2，（4）若x，y都是有理數(shù)，x-y=4，xy=5，求x+y的值．【答案】（1）m-n；（2）S陰=m-n2，S陰=m+n-4mn【分析】（1）觀察得到長為m，寬為n的長方形的長寬之差即為陰影部分的正方形的邊長；（2）可以用大正方形的面積減去4個長方形的面積得到圖2中的陰影部分的正方形面積；也可以直接利用正方形的面積公式得到；（3）利用（2）中圖2中的陰影部分的正方形面積得到（m+n）2-4mn=（m-n）2；（4）根據(jù)（3）的結論得到（x-y）2=（x+y）2-4xy，然后把x-y=4，xy=5代入計算．【詳解】解：（1）由題意得：圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于m-n．故答案為：m-n；（2）由題意得：S陰=m-n（3）觀察圖b，可得三個代數(shù)式之間的等量關系為：m-n2（4）∵x-y=4，xy=5，∴x+y2∴x+y=±6．【點睛】本題主要考查了完全平方公式在幾何圖形中的應用，解題的關鍵在于能夠熟練掌握完全平方公式．10．（2022秋·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期中）如圖①是1個直角三角形和2個小正方形，直角三角形的三條邊長分別是a、b、c，其中a、b是直角邊．正方形的邊長分別是a、b．（1）將4個完全一樣的直角三角形和2個小正方形構成一個大正方形（如圖②）．用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖②中的大正方形面積：方法一：；方法二：；（2）觀察圖②，試寫出(a+b)2，a2，2ab，（3）請利用（2）中等量關系解決問題：已知圖①中一個三角形面積是6，圖②的大正方形面積是49，求a2（4）求3.142【答案】（1）a2+4×12ab+b2；(a+b)2；（2）a【分析】（1）利用兩種方法表示出大正方形面積，第一種用組成正方形的兩個小正方形+4個三角形面積，第二種用正方形面積公式邊長的平方即可；（2）根據(jù)各自表示的面積寫出四個代數(shù)式之間的等量關系即可；（3）利用面積求出12ab=6，（a+b）2=49，把原式變形a2+b2=（a+b）2-2（4）將算式適當變形，利用完全平方公式進行解答即可．【詳解】解：（1）方法一：a2+4×方法二：（a+b）2；

故答案為：a2+4×12ab+b2（2）a2+2ab+b2=（a+b）2；（3）12ab=6，（a+b）2∴a2+b2=（a+b）2-2ab，=（a+b）2-4×12ab=49-4×6，=25；

（4）3.142=3.142=3.14=10=100．【點睛】此題考查了完全平方公式的幾何應用，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．B卷能力提升卷（限時70分鐘，每題10分，滿分100分）11．（2023春·江蘇·七年級專題練習）我們已經(jīng)知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．例如圖1可以得到(a+b)2（1）根據(jù)圖2，寫出一個代數(shù)恒等式：．（2）利用（1）中得到的結論，解決下面的問題：若a+b+c=10，ab+ac+bc=35，則a2+b2（3）小明同學用圖3中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張寬、長分別為a、b的長方形紙片拼出一個面積為(2a+b)(a+2b)長方形，則x+2y+z=．（4）事實上，通過計算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖4表示的是一個邊長為x的正方體挖去一個小長方體后重新拼成一個新長方體，請你根據(jù)圖4中圖形的變化關系，寫出一個代數(shù)恒等式：．【答案】（1）a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（【分析】（1）依據(jù)正方形的面積=(a+b+c)2；正方形的面積=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；（2）依據(jù)a2+b2+c2=(a+b+c)2-2ab-2ac-2bc，進行計算即可；（3）依據(jù)所拼圖形的面積為：xa2+yb2+zab，而(2a+b)(a+2b)=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5b2+2ab，即可得到x，y，z的值．（4）根據(jù)原幾何體的體積=新幾何體的體積，列式可得結論．【詳解】解：（1）由圖2得：正方形的面積可表示為(a+b+c)2，正方形的面積也可表示為a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案為：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∵a+b+c=10，ab+ac+bc=35，∴102=a2+b2+c2+2×35，∴a2+b2+c2=100-70=30，故答案為：30；（3）由題意得：(2a+b)(a+2b)=xa2+yb2+zab，∴2a2+5ab+2b2=xa2+yb2+zab，∴x=2，y=2，z=5，∴x+2y+z=11，故答案為：11；（4）∵原幾何體的體積=x3-1×1?x=x3-x，新幾何體的體積=(x+1)(x-1)x，∴x3-x=x(x+1)(x-1)．故答案為：x3-x=x(x+1)(x-1)．【點睛】本題主要考查的是整式的混合運算，利用直接法和間接法分別求得幾何圖形的體積或面積，然后根據(jù)它們的體積或面積相等列出等式是解題的關鍵．12．（2021春·江蘇鹽城·七年級校聯(lián)考期中）有兩根同樣長的鐵絲．（1）將兩根鐵絲分別圍成一個長方形和一個正方形（無剩余）．①若其中長方形的長為7cm，寬為3cm，則正方形的邊長為cm；②設其中長方形的長為xcm，寬為ycm，則正方形的邊長為cm（用含x、y的代數(shù)式表示）；③若長方形的長比寬多tcm，用含t的代數(shù)式表示正方形面積與長方形面積的差S（寫出過程）；（2）若每根鐵絲的長為32cm，現(xiàn)將一根鐵絲剪成兩段，用這兩段分別圍成兩個正方形，拼成如圖所示的形狀（在同水平線上，兩正方形無重疊），兩個正方形面積和為34cm2，求陰影部分的面積？（單位【答案】（1）①5；②x+y2；③S=t24【分析】（1）①根據(jù)周長相等，可求出正方形的邊長；②根據(jù)長方形的周長與正方形的周長相等，得出結果，③設出長方形的長，表示寬和周長，進而表示正方形的邊長，（2）設兩個正方形的邊長為a、b，利用面積和，周長和，列方程組求出邊長，進而計算出陰影部分的面積．【詳解】（1）解：（1）①長方形的周長為：（7+3）×2=20，因此正方形的邊長為：20÷4=5cm，故答案為：5；②由題意得，2（x+y）÷4=x+y2故答案為：x+y③設長方形的長為xcm，則寬為x-tcm，則正方形的邊長為：2x-t2cm∴S=2x-t（2）設大正方形的邊長為acm，小正方形的邊長為bcm，由題意得，4a+∴a+b=8∵a2∴由a+b28ab=15∴S陰影部分【點睛】本題考查完全平方公式的意義和應用，通過圖形直觀得出面積和周長的關系是解決問題的關鍵．13．（2021春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級鎮(zhèn)江市外國語學校?？茧A段練習）對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積，可以得到一個數(shù)學等式．（1）對于等式a+2ba+b=a2+3ab+2b2，可以由圖1進行解釋：這個大長方形的長為_____（2）如圖2，試用兩種不同的方法求它的面積，你能得到什么數(shù)學等式？方法1（從整體角度）：_________；方法2（從局部角度：6個長方形和3個正方形）：_____________；數(shù)學等式：______________________．（3）利用（2）中得到的數(shù)學等式，解決下列問題：已知a+b+c=7，a2+b【答案】（1）（a+2b），（a+b）；（2）（a+b+c）2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（3）15【分析】（1）根據(jù)圖形直接得出長為（a+2b），寬為（a+b）；（2）整體上是一個邊長為（a+b+c）的正方形，各個部分的面積和為a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，可得等式；（3）將（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，變形為（a+b+c）2-a2-b2-c2=2ab+2bc+2ac，再整體代入求值即可．【詳解】解：（1）由圖形直觀得出，長為：（a+2b），寬為（a+b），故答案為：（a+2b），（a+b）；（2）方法1（從整體角度）：（a+b+c）2，方法2（從局部角度：6個長方形和3個正方形）：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，因此有數(shù)學等式：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（3）由（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac得，2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2-（a2+b2+c2），∵a+b+c=7，a2+b2+c2=19，∴2ab+2bc+2ac=49-19=30，∴ab+bc+ac=15．【點睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，因式分解以及多項式乘以多項式的計算法則，掌握公式特征和適當變形是正確應用的前提．14．（2023春·江蘇·七年級專題練習）學習整式乘法時，老師拿出三種型號的卡片，如圖1；A型卡片是邊長為a的正方形，B型卡片是邊長為b的正方形，C型卡片是長和寬分別為a，b的長方形．（1）選取1張A型卡片，2張C型卡片，1張B型卡片，在紙上按照圖2的方式拼成一個長為(a+b)的大正方形，通過不同方式表示大正方形的面積，可得到乘法公式_______；（2）請用這3種卡片拼出一個面積為a2+5ab+6b2的長方形（數(shù)量不限），在圖（3）選取1張A型卡片，4張C型卡片按圖4的方式不重疊地放在長方形DEFG框架內(nèi)，圖中兩陰影部分（長方形）為沒有放置卡片的部分，已知GF的長度固定不變，DG的長度可以變化，圖中兩陰影部分（長方形）的面積分別表示為S1，S2．若S=S2-S1，則當a與b滿足______時，S【答案】（1）(a+b)2=a2+2ab+b2；（2）見解析；（3【分析】（1）從個體和從整體兩個方面計算大正方形的面積即可解題；（2）利用因式分解將a2+5ab+6b（3）設DG=x，結合圖形，計算S=S2-S1的值得到S【詳解】解：（1）從個體看：大正方形面積為a2+2ab+b故得到乘法公式：(a+b)2=a故答案為：(a+b)2=a（2）∵a2+5ab+6；（3）設DG=x，由圖可知S1=aS=S=2bx-2ab-(ax-=2bx-2ab-ax+=(2b-a)x+若S=S2-S1即2b-a=0，∴a=2b，此時S=故答案為：a=2b；a2【點睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，是重要考點，難度一般，掌握相關知識是解題關鍵．15．（2021春·江蘇無錫·七年級?？计谥校┤鐖D1是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形(如圖2)（1）觀察圖2請你寫出(a+b)2,(a-b)（2）根據(jù)（1）中的結論，若x+y=5，x?y=94，則x-y=（3）拓展應用：若(2019-m)2+(m-2021)【答案】（1）a+b2=a-b2+4ab；（2）【分析】（1）由圖可知，圖1的面積為4ab，圖2中白色部分的面積為a+b2-b-a2=（2）根據(jù)（1）中的結論，可知x+y2-x-y代入計算即可得出答案；（3）將等式2019-m+【詳解】（1）解：（1）由圖可知，圖1的面積為4ab，圖2中白色部分的面積為a+b∵圖1的面積和圖2中白色部分的面積相等，∴a+b故答案為：a+b2（2）根據(jù)（1）中的結論，可知（x+y）2-（x-y）2=4xy，∵x+y=5，∴52∴x-y∴x-y=±4，故答案為：±4；（3）∵2019-m+m-2021

∴2∴【點睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，熟練運用完全平方公式并數(shù)形結合是解題的關鍵．16．（2019春·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期中）若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：設9﹣x＝a，x﹣4＝b，則（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17請仿照上面的方法求解下面問題：（1）若x滿足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值（2）已知正方形ABCD的邊長為x，E，F(xiàn)分別是AD、DC上的點，且AE＝1，CF＝3，長方形EMFD的面積是48，分別以MF、DF作正方形，求陰影部分的面積．【答案】（1）5；（2）28．【分析】（1）設（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，根據(jù)已知等式確定出所求即可；（2）設正方形ABCD邊長為x，進而表示出MF與DF，求出陰影部分面積即可．【詳解】解：（1）設（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，則（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；（2）∵正方形ABCD的邊長為x，AE＝1，CF＝3，∴MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，∴（x﹣1）?（x﹣3）＝48，∴（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴陰影部分的面積＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．設（x﹣1）＝a，（x﹣3）＝b，則（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴a＝8，b＝6，a+b＝14，∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．即陰影部分的面積是28．【點睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，應從整體和部分兩方面來理解完全平方公式的幾何意義，主要圍繞圖形面積展開分析．17．（2022春·江蘇鹽城·七年級校考階段練習）從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．(1)上述操作能驗證的等式是

．（請選擇正確的選項）A、aB、a-bC、a(2)用你選的等式進行簡便計算：1012(3)用你選的等式進行簡便計算：20222【答案】(1)A(2)8(3)146927【分析】（1）根據(jù)圖1中去掉邊長為b的正方形后的圖形面積與圖2中的圖形面積相等列出式子即可得到答案；（2）根據(jù)（1）的結論進行求解即可；（3）先推出n+12-n2=n+1+n，則可以得到所求式子=2022+2021+2020+?+1951+1950+1949【詳解】（1）解：由題意得：圖1中去掉邊長為b的正方形后的圖形面積為：a2圖2中圖形面積為a+ba-b∵圖1中去掉邊長為b的正方形后的圖形面積與圖2中的圖形面積相等，∴a2故選A；（2）解：101===200×2+196×=400-392=8；（3）解：∵202222020220182∴n+12∴2022=2022+2021+2020+?+1951+1950+1949，∵1+2=2×32=3，1+2+3=∴1+2+3+?+n=n∴1+2+3+?+1947+1948=1948×19491+2+3+?+2021+2022=2022×2023∴2022+2021+2020+?+1951+1950+1949==146927，∴原式=146927．【點睛】本題主要考查了平方差公式在幾何圖形中的應用，應用平方差公式進行簡便計算，數(shù)字類的規(guī)律探索，正確理解題意掌握平方差公式是解題的關鍵．18．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖1，從邊長為a的正方形紙片中剪去一個邊長為b的小正方形，再沿著虛線剪開，把剪成的兩張紙片拼成如圖2所示的長方形．(1)設圖1中的陰影部分面積為S1，圖2中的陰影部分面積為S2，請直接用含有a、b的代數(shù)式表示，則S1＝________，S2＝_______________；(2)請寫出上述剪拼過程所揭示的乘法公式：_______________________；(3)請你利用（2）中的公式計算：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）＋1．【答案】(1)a2-(2)(a+b)(a-b)=(3)2【分析】（1）根據(jù)圖形直接求面積；（2）根據(jù)（1）中的S1（3）根據(jù)（2）中的公式逐步運算即可．【詳解】（1）解：圖①中的面積S1＝a2圖②中面積S2＝(a+b)(a-b)；故答案為：a2-（2）由（1）可知（1）S1∴(a+b)(a-b)=a故答案為：(a+b)(a-b)=a（3）(2+1)=(2-1)(2+1)====2【點睛】本題考查平方差公式，數(shù)形結合思想，熟練掌握平方差公式是解題的關鍵．19．（2022春·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期末）拼圖是一種數(shù)學實驗，我們利用硬紙板拼圖，不僅可以探索整式乘法與因式分解之間的內(nèi)在聯(lián)系，還可以利用同一圖形不同的面積表示方法來探索新的結論．(1)觀察下面圖①的硬紙板拼圖，寫出一個表示相等關系的式子：____________________；(2)用不同的方法表示圖②中陰影部分的面積，可以得到的乘法公式為____________________；(3)兩個邊長為a，b，c的直角三角形硬紙板和一個兩條直角邊都是c的直角三角形硬紙板拼成圖③，用不同的方法計算這個圖形的面積．你發(fā)現(xiàn)a，b，c之間具有的相等關系為____________________.（用最簡形式表示）【答案】(1)(2a+b)(a+b)=2(2)(a+b)(a-b)=(3)a【分析】（1）根據(jù)大長方形的面積等于三個小正方形的面積與三個小長方形的面積之和即可得；（2）方法一：圖②中陰影部分的面積等于兩個小長方形的面積之和；方法二；圖②中陰影部分的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，由此即可得；（3）方法一：利用直角梯形的面積公式求出這個圖形的面積；方法二：這個圖形的面積等于三個直角三角形的面積之和，由此建立等式，并利用完全平方公式進行化簡即可得．（1）解：由圖可知，大長方形的面積等于三個小正方形的面積與三個小長方形的面積之和，則(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+（2）解：方法一：圖②中陰影部分的面積等于兩個小長方形的面積之和，即a(a-b)+b(a-b)=(a+b)(a-b)，方法二：圖②中陰影部分的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，即a2-b2，則可以得到的乘法公式為（3）解：方法一：這個圖形是一個直角梯形，它的面積為(a+b)(a+b)2=a22+ab+b22【點睛】本題考查了整式的乘法與圖形面積、乘法公式與圖形面積，熟練掌握整式的乘法與乘法公式是解題關鍵．20．（2023春·江蘇·七年級專題練習）數(shù)形結合是解決數(shù)學問題的一種重要思想方法，借助圖形的直觀性，可以幫助理解數(shù)學問題．圖1

圖2

圖3

圖4（1）請寫出圖1，圖2，圖3陰影部分的面積分別能解釋的數(shù)學公式．圖1：；圖2：；圖3：．其中，完全平方公式可以從“數(shù)”和“形”兩個角度進行探究，并通過公式的變形或圖形的轉(zhuǎn)化可以解決很多數(shù)學問題．例如：如圖4，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．方法一：從“數(shù)”的角度解：∵a+b＝3，

∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又∵ab＝1

∴a2+b2＝7．方法二：從“形”的角度解：∵a+b＝3，

∴S大正方形=9，又∵ab＝1，

∴S2＝S3＝ab＝1，∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7．類比遷移：（2）若（5﹣x）?（x﹣1）＝3，則（5﹣x）2+（x﹣1）2＝；（3）如圖，點C是線段AB上的一點，以AC，BC為邊向兩邊作正方形，設AB＝10，兩正方形的面積和S1+S2＝72，求圖中陰影部分面積．【答案】（1）（a+b）2=a2＋2ab+b2；（a－b）2=a2－2ab+b2；（a+b）（a－b）=a2－b2；（2）10；（3）7【分析】（1）圖1和圖2根據(jù)陰影部分是正方形，其面積等于兩個較小正方形的面積和兩個相同長方形的面積之和，即可得出結論；圖3可根據(jù)左邊長方形的面積等于右邊大正方形的面積減去小正方形的面積，即可得出結論；（2）仿照“方法一”進行計算求解即可；（3）根據(jù)（2）介紹的方法求出AC和CF邊的乘積關系，然后利用直角三角形的面積計算公式求解即可．【詳解】解：（1）圖1：陰影部分面積等于兩個較小正方形面積和兩個相同長方形面積之和，即：（a+b）2=a2＋2ab+b2；圖2：陰影部分面積等于大正方形面積減去最小正方形的面積以及兩個小長方形的面積，即：（a－b）2=a2－2ab+b2；圖3：左邊長方形的面積等于右邊大正方形的面積減去小正方形的面積，即：（a+b）（a－b）=a2－b2；故答案為：圖1：（a+b）2=a2＋2ab+b2；圖2：（a－b）2=a2－2ab+b2；圖3：（a+b）（a－b）=a2－b2．（2）∵（5﹣x）+（x﹣1）＝4，∴5-x+即：5-x2∵（5﹣x）?（x﹣1）＝3，∴5-x2故答案為：10；（3）設AC=x，則BC=CF=10-x，由題意，x2∵x+10-x∴x+10-x即：x2∴x10-x∴S陰影=∴圖中陰影部分面積為7．【點睛】本題考查完全平方公式和平方差公式與幾何圖形之間的聯(lián)系，掌握數(shù)形結合的思想，熟悉基本的乘法公式是解題關鍵．C卷培優(yōu)壓軸卷（限時80分鐘，每題10分，滿分100分）21．（2022春·江蘇鹽城·七年級?？茧A段練習）【探究】如圖①，從邊長為a的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開，拼成圖②的長方形（1）請你分別表示出這兩個圖形中陰影部分的面積；（2）比較兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式：（用字母表示）【應用】請應用這個公式完成下列各題計算：（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）【拓展】①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1結果的個位數(shù)字為；②計算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12【答案】（1）圖①：a2﹣b2；圖②：（a+b）（a﹣b）（2）(a+b)(a﹣應用：①4a2﹣b2+2bc﹣c2；拓展：①6；②20100【分析】（1）圖①陰影部分的面積為兩個正方形的面積差，圖②陰影部分的面積為長為（a+b），寬為（a-b）的長方形的面積；（2）由圖①和圖②的面積相等，可得到(a+b)(a﹣b)應用：利用添括號法則，將b-c看做一個整體，然后利用平方差公式和完全平方公式計算即可；拓展：①在所求式子前面添加（2-1），利用平方差公式逐步計算即可；②利用平方差公式，每前后兩個數(shù)的平方差先計算，再進行計算即可．【詳解】解：（1）圖①：a2﹣b2；

圖②：(a+b)(a﹣（2）(a+b)(a﹣【應用】①（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）

＝[2a+（b﹣c）][2a﹣（b﹣c）]＝4a2﹣（b﹣c）2＝4a2﹣b2+2bc﹣c2【拓展】①原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=264∵24∴264的個位數(shù)是6②原式＝（200+199）（200﹣199）+（198+197）（198﹣197）+…+（2+1）（2﹣1）＝200+199+198+197+…+4+3+2+1＝20100．【點睛】本題考查的平方差公式的幾何意義和平方差公式的應用，掌握平方差公式和完全平方公式是解題的關鍵．22．（2021春·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期中）探究活動：（1）如圖①，可以求出陰影部分的面積是______（寫成兩數(shù)平方差的形式）；（2）如圖②，若將圖①中陰影部分裁剪下來，重新拼成一個長方形，面積是______（寫成多項式乘法的形式）；（3）比較圖①，圖②陰影部分的面積，可以得到公式__________．知識應用：運用你得到的公式解決以下問題：（4）計算：①a+b-2ca+b+2c②2a+b-3c-2a+b+3c【答案】（1）a2-b2；（2）a+ba-b；（3）a2-b【分析】（1）陰影部分的面積是大正方形面積-小正方形面積即可；（2）長方形的面積長是（a+b），寬是（a-b），利用矩形面積公式計算即可；（3）利用同一圖形變形前后面積不變可以得到公式：a2-b2=（a+b）（a-b），（4）計算：①根據(jù)公式的特征把多項式變形a+b-2c②根據(jù)公式的特征把多項式變形b+2a-3c【詳解】解：（1）陰影部分的面積是：a2-b2，故答案是：a2-b2；（2）長方形的面積是（a+b）（a-b），故答案是：（a+b）（a-b）；（3）可以得到公式：a2-b2=（a+b）（a-b），故答案是：a2-b2=（a+b）（a-b）；（4）計算：①a+b-2ca+b+2c=a+b=a②2a+b-3c-2a+b+3c=b=b【點睛】本題考查探究平方差公式推導以及應用公式解決問題，掌握平方差公式推導過程和特征會應用公式解決問題是解題關鍵．23．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖①是1個直角三角形和2個小正方形，直角三角形的三條邊長分別是a、b、c，其中a、b是直角邊．正方形的邊長分別是a、b．（1）將4個完全一樣的直角三角形和2個小正方形構成一個大正方形（如圖②）．用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖②中的大正方形面積：方法一：；

方法二：；（2）觀察圖②，試寫出（a+b）2，a2，2ab，b2這四個代數(shù)式之間的等量關系是：；（3）借助以上經(jīng)驗，利用以下兩個完全一樣的直角梯形，驗證等式a2【答案】（1）（a+b）2；a2+2ab+b2；（2）（a+b）2=a2+2ab+b2；（3）證明見解析【分析】（1）方法一：根據(jù)大正方形面積公式可得；方法二：等于兩個小正方形的面積加上四個直角三角形的面積的和；（2）根據(jù)（1）中兩種表示方法可以得到（a+b）2，a2，2ab，b2這四個代數(shù)式之間的等量關系；（3）拼成一個正方形和一個梯形，根據(jù)正方形和梯形的面積公式，觀察圖形發(fā)現(xiàn)這兩個圖形陰影部分的面積=a2-b2=（a+b）（a-b）．【詳解】解：（1）由題意可得，方法一：（a+b）2；方法二：a2+12ab×4+b2=a2+2ab+b2故答案為：（a+b）2，a2+2ab+b2；（2）由題意可得，（a+b）2=a2+2ab+b2，故答案為：（a+b）2=a2+2ab+b2；（3）用兩個完全一樣的直角梯形拼成如下兩個圖形，陰影部分的面積=a2-b2=12（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b所以a2【點睛】本題考查了列代數(shù)式、完全平方公式、平方差公式及應用．由面積相等得到代數(shù)式相等是解決本題的關鍵．24．（2020春·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期末）如圖①是由邊長為a的大正方形紙片剪去一個邊長為b的小正方形后余下的圖形．我們把紙片剪開后，拼成一個長方形（如圖②）．（1）探究：上述操作能驗證的等式的序號是．①a2＋ab＝a（a+b）②a2－2ab＋b2＝（a－b）2③a2－b2＝（a＋b）（a－b）（2）應用：利用你從（1）中選出的等式，完成下列各題：①已知4x2－9y2＝12，2x＋3y＝4，求2x－3y的值；②計算1-【答案】（1）③；（2）①3；②101【分析】（1）根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，即可列出等式；（2）①把4x2-9y2②利用（1）中的結論化成式子相乘的形式即可求解．【詳解】解：（1）第一個陰影部分的面積是a2-則a故選：③

（2）∵4x∴(2x+3y)(2x-3y)=12又2x+3y=4∴2x-3y=12÷4=3故答案為：3②原式=(1-故答案為：101200【點睛】本題考查平方差的實際證明與運用，通過面積相等構造等量關系得出平方差公式，再運用平方差公式求解，屬于找規(guī)律一般題型．25．（2023春·全國·七年級專題練習）綜合與實踐如圖1所示，邊長為a的正方形中有一個邊長為b的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個長方形，設圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S(1)請直接用含a和b的代數(shù)式表示S1=__________，S2=(2)依據(jù)這個公式，康康展示了“計算：2+122解：原式=====2在數(shù)學學習中，要學會觀察，嘗試從不同角度分析問題，請仿照康康的解題過程計算：23+1(3)對數(shù)學知識要會舉一反三，請用（1）中的公式證明任意兩個相鄰奇數(shù)的平方差必是8的倍數(shù)．【答案】(1)a2-b2(2)3(3)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)圖形可知S1=a（2）根據(jù)康康的演示，可知將2=3-1代入，即可求解；（3）根據(jù)（1）中結論，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，S1=a∵S1∴a2故答案為：a2-b2；（2）解：2=======3故答案為：332（3）解：設一個奇數(shù)為2n-1，則另一個相鄰的奇數(shù)為2n+1，∴(2n-1)==4n×(-2)=-8n，∴任意兩個相鄰奇數(shù)的平方差必是8的倍數(shù)．【點睛】本題主要考查平方差公式的運算，掌握有理數(shù)的加減乘除混合運算法則是解題的關鍵．26．（2022秋·八年級課時練習）如圖1的兩個長方形可以按不同的形式拼成圖2和圖3兩個圖形．(1)在圖2中的陰影部分的面積S1可表示為；（寫成多項式乘法的形式）；在圖3中的陰影部分的面積S2可表示為；（寫成兩數(shù)平方差的形式）；(2)比較圖2與圖3的陰影部分面積，可以得到的等式是；A.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2B.（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2C.（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2(3)請利用所得等式解決下面的問題：①已知4m2﹣n2＝12，2m＋n＝4，則2m﹣n＝；②計算（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）×…×（232＋1）＋1的值，并直接寫出該值的個位數(shù)字是多少．【答案】(1)（a+b）（a﹣b），a2﹣b2；(2)B(3)①3，②264，6【分析】（1）根據(jù)長方形和正方形的面積公式即可求解即可；（2）根據(jù)兩個陰影部分的面積相等由（1）的結果即可解答.（3）①利用（2）得到的等式求解即可；②可以先把原式乘上一個（2﹣1），這樣可以和（2+1）湊成平方差公式，以此逐步解答即可．【詳解】（1）解：圖2中長方形的長為（a+b），寬為（a﹣b），因此面積為（a+b）（a﹣b），圖3中陰影部分的面積為兩個正方形的面積差，即a2﹣b2．故答案為：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2．（2）解：由（1）得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；故選B．（3）解：①因為4m2﹣n2＝12，所以（2m+n）（2m﹣n）＝12，又因為2m+n＝4，所以2m﹣n＝12÷4＝3．故答案為：3；②（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）×…×（232＋1）＋1＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1＝……＝264﹣1+1＝264，而21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256……，其個位數(shù)字2，4，8，6，重復出現(xiàn)，而64÷4＝16，于是“2、4、8、6”經(jīng)過16次循環(huán)，因此264的個位數(shù)字為6．答：其結果的個位數(shù)字為6．【點睛】本題主要考查了平方差公式的應用和數(shù)字類規(guī)律，靈活應用平方差公式成為解答本題的關鍵．27．（2020春·北京順義·七年級?？计谥校┤鐖D1是一個長為4a，寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成的一個“回形”正方形（如圖2）．

（1）圖2中的陰影部分的面積為

；（2）觀察圖2請你寫出a+b2，a-b2，ab之間的等量關系是（3）根據(jù)（2）中的結論，若x+y=6，x?y=114，則x-y=（4）實際上我們可以用圖形的面積表示許多恒等式，下面請你設計一個幾何圖形來表示恒等式a+2b2a+b【答案】（1）(b-a)2；（2）(a+b)2=(a-b)2+4ab；（【分析】（1）表示出陰影部分正方形的邊長，然后根據(jù)正方形的面積公式列式即可；（2）根據(jù)大正方形的面積減去小正方形的面積等于四個小長方形的面積列式即可；（3）將（x-y）2變形為（x+y）2—4xy，再代入求值即可；（4）由已知的恒等式，畫出相應的圖形，如圖所示．【詳解】解：（1）陰影部分為一個正方形，其邊長為b-a，∴其面積為：(b-a)2故答案為：(b-a)2（2）大正方形面積為：(a+b)小正方形面積為：(b-a)2=(a-b)四周四個長方形的面積為：4ab，∴(a+b)2故答案為：(a+b)2（3）由（2）知，(x+y)2∴(x-y)2∴x-y=±(x+y)2-4xy故答案為：±5；（4）符合等式(a+2b)(2a+b)=2a【點睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，此類題目關鍵在于同一個圖形的面積用兩種不同的方法表示．28．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·七年級統(tǒng)考期中）數(shù)學家波利亞說過：“為了得到一個方程，我們必須把同一個量以兩種不同的方法表示出來，即將一個量算兩次，從而建立相等關系，”這就是“算兩次”原理，也稱為富比尼（G．Fubini）原理，例如：對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積可以得到一個數(shù)學等式．【教材片段】：計算如圖1的面積，把圖1看做一個大正方形，它的面積是a+b2，如果把圖1看做是由2個長方形和2個小正方形組成的，它的面積為a2+2ab+（1）如圖2，用不同的代數(shù)式表示大正方形的而積，由此得到的等式為__________；（用a、b表示）（2）利用上面結論解決問題：若x+y=6,xy=2，則x-y2=（3）如圖3，用不同的代數(shù)式表示大正方形的面積，由此得到的等式為__________；（用a、b、c表示）（4）利用上面結論解決問題：已知a+b+c=7,ab+bc+ac=14，則a2+（5）如圖4，用不同的代數(shù)式表示大正方形的面積（里面是邊長為c的小正方形），由此得到的等式為__________；（用a、b、c表示）（6）若a=n2-1,b=2n,c=n2+1，請通過計算說明【答案】（1）b+a2=b-a2+4ab；（2）28；（3）a+b+c2=a2+b【分析】（1）分別利用整體和部分和兩種方法表示出面積即可得到結論；（2）由（1）得到x+y2（3）分別利用整體和部分和兩種方法表示出面積即可得到結論；（4）根據(jù)（3）中結論，將已