第25章 銳角的三角比（典型題）-2021-2022學年九年級數(shù)學期中考試滿分全攻略（滬教版）教師版

第25章銳角的三角比典型題專練

能力提升

一、單選題

1.（2020?上海浦東新?九年級月考）在Rta4況中，NC=90°,ZANB、/而對的邊

分別為a、b、c,下列等式中不成立的是（）

A.tanB=—B.cosB=-C.sinA=-D.cotA=-

accb

【答案】D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義進行判斷，就可以解決問題.

【詳解】解：中，NA90°,//、ZB./C所對的邊分別為a、b、c,

tanB=—,故/選項成立；

cosB=-,故糜項成立：

C

sinA=-,故優(yōu)項成立；

c

cot4=-,故〃選項不成立；

a

故選〃

【點睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，我們把銳角/的對邊a與斜邊。的比叫做//的

正弦，記作sin4銳角4的鄰邊6與斜邊c的比叫做//的余弦，記作cos4銳角力的對邊a與鄰

邊6的比叫做的正切，記作tan/.

2.（2019?上海全國?九年級單元測試）如圖，城關鎮(zhèn)某村準備在坡角為a的山坡上栽樹，

要求相鄰兩樹之間的水平距離為禰，那么這兩樹在坡面上的距離4夕為（）

A.nicosaB.----C.eisinaD.—

cosasma

【答案】B

【分析】根據(jù)余弦三角函數(shù)的定義，直接利用銳角三角函數(shù)關系得出cosa=2；,進而得出答

案.

【詳解】解：由題意可得:cosa二W，

AB

則/廬/

cosa

故選B.

【點睛】本題主要考查了解直角二角形的應用，正確記憶銳角三角函數(shù)關系是解題關鍵.

3.（2021?上海）為擴大網(wǎng)絡信號的輻射范圍，某通信公司在一座小山上新建了一座大型的

網(wǎng)絡信號發(fā)射塔.如圖，在高為12米的建筑物班的頂部測得信號發(fā)射塔4頗端的仰角/砌=

56°,建筑物頌底部座IJ山腳底部儆距離比’=16米，小山坡面式的坡度（或坡比）f=l：

0.75,坡長比’=40米（建筑物龍、小山坡6C和網(wǎng)絡信號發(fā)射塔/施勺剖面圖在同一平面內(nèi)，信

號發(fā)射塔與水平線比垂直），則信號發(fā)射塔/的高約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin56°弋

0.83,cos56°七0.56,tan56°^1.48）

DC

A.71.4米B.59.2米C.48.2米D.39.2米

【答案】D

【分析】延長打交力好點〃，DCU肝點G可得四邊形幽碉矩形，根據(jù)小山坡面比的坡度,

=1：0.75,即嘗=U，求得比=32,3=24,再根據(jù)三角函數(shù)即可求出信號發(fā)射塔/解J高.

CG3

【詳解】解：如圖，延長￡7交力時點〃，ZTL小于點&

A

■:EDLDG,

???四邊形皮做矩形，

:.GH=ED=\2,

??,小山坡面式的坡度/=1：0.75,即當

CG3

設8G=4x,CG=3x,則以7=5x,

?；EC=40,

.?.5x=40,

解得x=8,

:.BG=32,8=24,

:.EH=DG=DC+CG=16+24=40,

BH=BG-面=32-12=20,

在RtZ\4夕沖，NAEH=56°,

%tan56°*40X1.48-59.2,

：.AB=AH-2-20=39.2（米）.

答：信號發(fā)射塔4麻J高約為39.2米.

故選：D.

【點睛】本題主要考查解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關鍵.

4.（2019?上海九年級課時練習）如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=8cm,AB的垂直平分線

MN交AC于D,連接BD,若cosNBDC=0.6,則BC的長是（）

A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm

【答案】A

【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出BD=AD,再利用cosNBDC=CDW=0.6,即可求出CD的長,

DD

再利用勾股定理求出BC的長.

【詳解】解：VZC=900,AC=8cm,AB的垂直平分線MN交AC于D,

ABD=AD,

.\CD+BD=8cm,

工qCD

再Rt?BDC中，cosZBDC--=0.6,

BD

ACD=0.6BD=0.6（8-CD）

CD=3cm,

ABD=5cm,

由勾股定理得：BC=4cm

故選:A.

【點睛】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及解直角三角形等知識，得出AD=BD,進而

用CD及示出BD是解決問題的關鍵.

5.（2020?上海松江區(qū)?九年級月考）在RtZ\ABC中，ZC=90°,BC=5,AC=12,則sinB

的值是（）

、12

cD.—

A-HB-7-A13

【答案】D

【分析】直接利用勾股定理得出/回勺長，再利用銳角三角函數(shù)得出答案.

【詳解】解:如圖所示:

VZC=90°,BC=5,4C=12,

?'-AB->/52+122=13-

.?3=￡口

AB13

故選：D.

【點睛】本題考查勾股定理的應用和銳角三角函數(shù)的定義，在直角三角形中，銳角的正弦為

對?邊比斜邊，解題的關鍵是理解三角函數(shù)的定義.

6.（2020?上海九年級月考）如圖，在RtzM比中，/4方=90°,BC=\,AB=2,則下列結

論正確的是（）

...5/3n彳1n5/3

A.SIIL4=—B.tanJ=yCr.COSD=——D.>/3

22

【答案】D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解.

【詳解】解：：在RtZXABC中，ZACB=90°,BC=1,AB=2.

；?AC=4AB?-BC?=>/22-l2=6，

.-.SinA=^=ltanA=^=4==^,cosB=^=ltanB=^=^.

AB2ACy/33AB2BC

故選：D.

【點睛】本題考查了解直角三角形，解答此題關鍵是正確理解和運用銳角三角函數(shù)的定義.

7.（2020?上海市西南模范中學九年級月考）在RtZ\ABC中，ZC=90°,ZA,ZB,NC的

對邊分別為a,b,c,則下列關系式錯誤的是（）

b

A.a=btanAB.b=ccosAC.a=csinAD.c=----

sinA

【答案】D

【詳解】根據(jù)三角函數(shù)的定義可得：tanA=Y，cosA=-,sin>l=-,所以a=btanA,b=ccos

bcc

A,a=csinA,c=---.所以，選項A、B、C正確，選項D錯誤，

sinA

故選D.

8.（2020?上海市西南模范中學九年級月考）在RhABC中，NC=90。，AB=4,AC=3,

那么下列各式中正確的是（）

3333

A.sinA=—B.cosA=—C.tanA=-D.cotA=—

4444

【答案】B

【分析】利用銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理分別求解，再進行判斷即可.

【詳解】RtZ\ABC中，ZC=90°,AB=4,AC=3,

由勾股定理得：BC=^AB--AC-=A/4^37=不，

由z.?BC出.AC3.BC幣.*AC33不

所以sinA==——，cosA==—,tanA==——，cotA=——?=—；==

AB4AB4AC3BC近7

故選：B.

【點睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理，熟練應用銳角三角函數(shù)的定義

是解決問題的關鍵.

9.（2020?上海市靜安區(qū)實驗中學九年級課時練習）小明同學從4地沿北偏西60°方向走100

m到歷也，再從碘向正南方向走20001到。地，此時小明同學離地（）

B.50cmC.100mD.lOOx/3m

【答案】D

【分析】根據(jù)在Rt△/龍中利用三角函數(shù)分別求/〃，的的長，從而得到5勺長.再利用勾股定

理求力時長即可.

【詳解】解：如圖:

由碓力的北偏西60°方向可求得/廬60°,

在RtZ\4a沖,

49=4%sin60°=50jL

劭X"cos60°=50,

CD-BC-BD-\50.

AC=7（5OX/3）2+15O2=1OOA/3.

故選D.

【點睛】解一般三角形，求三角形的邊或高的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，解

決的方法就是作高線.

10.（2019?上海市民辦新竹園中學九年級月考）利用投影儀把口△力比各邊的長度都擴大5倍,

則銳角4的各三角函數(shù)值（）

A.都擴大5倍B.都縮小5倍C.沒有變化D.不能確定

【答案】C

【分析】根據(jù)三邊對應成比例，兩三角形相似，可知擴大后的三角形與原三角形相似，再根

據(jù)相似三角形對應角相等解答.

【詳解】???各邊的長度都擴大五倍，

,擴大后的二角形與RtaABC相似，

；?銳角A的各三角函數(shù)值都不變.

故選C.

【點睛】考查了銳角三角形函數(shù)的定義，理清銳角的三角函數(shù)值與角度有關，與三角形中所

對應的邊的長度無關是解題的關鍵.

11.（2019?上海九年級單元測試）如圖，A,B,C,三點在正方形網(wǎng)格線的交點處，若將AABC

繞著點力逆時針旋轉得到△ACE,則tan夕的值為（）

D.—

4

【答案】B

【分析】過C點作CD_LAB,垂足為D,根據(jù)旋轉性質(zhì)可知，NB'=/B,把求tanB'的問題，轉

化為在RtZ\BCD中求tanB.

【詳解】過0點作，AB,垂足為，

則根據(jù)旋轉性質(zhì)可知，=

CD1

在Rt^BCD中，tanB=--=-

BD3

所以tan8'=tan8=g

故選B.

【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)，旋轉后對應角相等；三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)值的求法.

二、填空題

12.（2021?上海）如圖1所示是放置在水平桌面上的臺燈，圖2是其側面示意圖，其中底座

的示意圖為矩形EFGB,EF=2.5cm,AC=40cm,燈罩CD=30cm,燈臂與底座構成的

ZC4B=60°,CD可以繞點C下調(diào)節(jié)一定的角度.使用發(fā)現(xiàn)：當CD平線上方且與水平線所成的

角為30時，臺燈光線最佳，則將臺燈調(diào)整到光線最佳時點D到桌面FG的距離為

的?（參考數(shù)據(jù)：G取1.732,結果精確到0.1cm）

【答案】52.1

【分析】如圖,作CM_LAB于M,DH_LAB于點H,交FG于N,CF_LDH于F,解直角三角形求出CM、

DF,從而可得切，于是可得到答案.

【詳解】解：如圖，作CMJ_AB于M,DH_LAB于點H,交FG于N,CFLDH于F,

VZCMH=ZCFH=ZFHM=90°,

四邊形CM1F是矩形，

；.CM=FH,

在Rt^AMC中，

VAC=40cm,ZCAB=60°,

.*.CM=AC?sin60°%34.64(cm),

/.FH=CM=34.6(cm),

VCD=30cm,ZDCF=30°,

DF--CD=15(cm),

2

?四邊形EFGH為矩形，ZEHN=90°,

...四邊形EFNH是矩形，

*.EF=HN=2.5cm,

*.DN=DF+FH+HN=15+34.6+2.5=52,1(cm)；

D

【點睛】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是學會添加常用輔助線面構造直角三角

形解決問題，屬于中考?？碱}型.

13.(2020?上海市西南模范中學九年級月考)在AA8c中，cosA-*+(l-cotB)2=0J!Lc

的形狀是.

【答案】鈍角三角形

【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到cosA-3=0,l-cotB=0,從而求出NA與NB的度數(shù)，即可

2

判斷AABC的形狀.

【詳解】；cosA-^-+(l-cotB)2=0

旦

>>cosA-2=01-cotB=()

CC)1

：.ZA=30°,ZB=45°

???ZC=180°-30°-45°=105°

AABC是鈍角三角形

故答案為：鈍角三角形

【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，三角形的分類與特殊角度的三角函數(shù)值，熟記特殊角度

的三角函數(shù)值是解題的關鍵.

14.(2021?上海)如圖1,一扇窗戶打開一定角度，其中一端固定在窗戶邊上的點A處,

另一端8在邊ON上滑動，圖2為某一位置從上往下看的平面圖，測得ZABO=30。，ZAOB=45。,

0B長為32厘米，則A8的長為厘米.

【答案】92石-32)

【分析】作AC_LOB于點C,然后根據(jù)題意和銳角三角函數(shù)可以求得AC和BC的長，再根據(jù)直角三

角形中30。的性質(zhì)即可得到AB的長.

【詳解】解：作ACJ_0B于點C,如右圖2所示，

則/AC0=/ACB=90°,

ZAQB=45。,

???ZAOC=NC4O=45。，

AAC=0C,

設AC=x,則0C=x,8c=32-蒼

?.?ZABO=30°,

由tan30。=蕓，

BC

,X_6

，

"32-X-T

.?.32X/5=（3+@X,

解得，x=16>/3-16,

，A8=2x=326-32（厘米），

即AB的長為（32石-32）厘米.

故答案為：326-32）.

【點睛】本題考查解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用銳角三角函數(shù)解

安口?

15.（2020?上海市靜安區(qū)實驗中學九年級課時練習）已知RtZXABC中，斜邊BC上的高AD=4,

4

cosB=—,貝！JAC二___.

【答案】5

4AD

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出NB二NCAD,推出cosNCAD=?二黑，把AD的值代入求

3Zjl

出即可.

【詳解】解：如圖：

〈AD是△ABC的高，NBAC=90°,

AZADB=ZADC=ZBAC=90°,

AZB+ZBAD=90°，NBAD+NDAC=90°,

ZB=ZCAD,

4

VcosB=y,AD=4,

.\cosB=cosZCAD=^--^^，

5AC

44

即二一=2,

AC5

???AO5,

故選：A.

【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和解直角三角形，解題的關鍵是推出cosBrosNCAD,

題目比較好.

16.（2021?上海）如圖，在aABC中，點D在邊BC上，AD±AC,ZBAD=ZC,BD=2,CD=6,

那么tanC=.

【分析】證明△ABDs/XCBA,得出二大=M；=76,求出AB=4,由三角函數(shù)定義即可得出答案.

ACBCAB

【詳解】解：＜BD=2,CD=6,

???BC=BD+CD=8,

VZB=ZB,ZBAD=ZC,

AAABD^ACBA,

.ADABBD

??耘一麗一南，

JAB2=BDXBC=2X8=16,

AAB=4,

VAD±AC,

故答案為：y.

【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)

為解題關鍵.

17.（2019?上海全國?九年級單元測試）如圖，某地修建高速公路，要從B地向C地修一座

隧道（B,C在同一水平上），某工程師乘坐熱氣球從B地出發(fā)，垂直上升100m到達A處，在A處

觀測C地的俯角為30°,則B、C兩地之間的距離為m.

【答案】1006

【分析】利用題意得到/C=30°,AB=100,然后根據(jù)30°的正切可計算出BC.

【詳解】根據(jù)題意得NC=30°,AB=100,

VtanC=—

BC

“100100

K(---------------------------------------------詈】。。石=100x/3(m).

tan30*'tan30°

3

故答案為IOOG.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；

俯角是向下看的視線與水平線的夾角.解決此類問題要了解角之間的關系，找到與已知和未

知相關聯(lián)的直角當圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構造直角三角形.

18.（2019?上海九年級單元測試）如圖，等腰梯形ABCD中，AD〃BC,ZDBC=45°,翻折梯

形ABCD,使點B重合于點D,折痕分別交邊AB、BC于點F、E,若AD=2,BC=8.則（1）BE的長為

.（2）NCDE的正切值為

【分析】(1)由軸對稱的性質(zhì)可以得出aBFE也ZXDFE,從而得出DE=BE,由NDBC=45°可以

得出/BED=90°,過A作AG_LBC于G,可以求出BG=3,可以求出BE的值.

(2)根據(jù)tan/CDE=^,由(1)的結論可以求出其值.

bu

【詳解】(1)由題意得△BFE/ZWFE,

.\DE=BE.

又；在aBDE中，ZDBE=45°,

/BDE=NDBE=45°,

.,.ZBED=90°,即DE_LBC.

?.?在等腰梯形ABCD中,AD=2,BC=8,

過A作AGJ_BC于G,

?.?四邊形AGED是矩形.

/.AD=GE=2,AG=DE.

?..四邊形ABCD是等腰梯形，

/.AB=CD,

VZAGB=ZDEC=90o

*.一(AB=CD

Rt/XABG和RtZ\DCE中，\

UG=DE

.,.RtAABG^RtADCE(HL),

/.BG=EC=3.

r.BE=5

⑵由(1)得DE=BE=5,

在ADEC中，ZDEC=90°,DE=5,EC=3,

.?.tan/CDE//

ED5

故答案為：（DBE=5；（2）tanZCDE=|

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，翻折變換，全等三角形的判定，解直角三角形的運

用.

19.（2019?上海九年級單元測試）已知小4110-3]=3-向白,則銳角。的取值范圍是

【答案】OVaW30。

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)可得出sina再由銳角正弦函數(shù)的增減性質(zhì)可得出結論.

【詳解】由題意知g-sinaNO,故sinawg,即sinaWsin30°,由正弦函數(shù)是增函數(shù).

知0<aW30°

【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和正弦函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)

值是解題關鍵.

20.（2019?上海九年級單元測試）如圖,AD±CD,AB=10,BC=20,ZA=ZC=30°,則AD的

長為;CD的長為.

【答案】5.10；101+5

【分析】過B點分別作BEJ_AD,BF±CD,垂足分別為E、F,則得BF=ED,BE=DF.

分別解RtZkAEB和RtZ\BFC,求得AE,BE,BF,CF,則可得解.

【詳解】解：過B點分別作BELAD,BF±CD,垂足分別為E、F,則得BF=ED,BE=DF.

:在RtZkAEB中,ZA=30°,AB=10,

AE=AB?cos30°=10XBE=AB.sin30?=10Xl=5.

又：在RtZXBFC中，ZC=30°，BC=20,

.\BFWBC=X20=10,CF=BC?cos300=20X

.\AD=AE+ED=53+IO,

CD=CF+FD=103+5.

(1).5b+10：(2).10卜+5

故答案為:

【點睛】本題考查了解直角三角形，添加恰當?shù)妮o助線構造直角三角形和靈活運用銳角三角

函數(shù)解直角三角形是解題的關鍵.

21.（2019?上海楊浦區(qū)?九年級月考）如圖，一人乘雪橇沿坡比1：G的斜坡筆直滑下72

米，那么他下降的高度為米.

【答案】36

【分析】因為其坡比為1：G，則坡角為30度，然后運用正弦函數(shù)解答.

【詳解】如圖:

因為坡度比為1：石，即tana=@,

3

a=30°.

則其下降的高度=72Xsin30°=36米.

故答案為36

【點睛】此題主要考查了學生對坡度坡角的理解及運用，得出坡角的度數(shù)是解題關鍵.

22.（2019?上海市民辦新竹園中學九年級月考）如圖，把"個邊長為1的正方形拼接成一排,

求得tanN8AC=l,tanZBA,C=1,lanZBA,C=1,計算tanNR^C—,...按此規(guī)

律，寫出tanN8A“C=（用含〃的代數(shù)式表示）.

BC

【答案】']

n2-n+l

【分析】作QUBA,于H,根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形的面積公式求出CH、A.H,

根據(jù)正切的概念求出tan/BAC總結規(guī)律解答.

【詳解】試題解析：作CHJ_BA“于H,

由勾股定理得，BA,=j42+『=J萬，AC=Ji6,

△BAQ的面積=42|[,

/.-Xy/viXCH-，

22

解得，CH=姮，

17

22

則AM=^A3C-CH=

CH1

tanZBAjC=.=—,

4"rr13

tanZBA,C=l,1=12-1+1,

tanZBA,C=-,3=22-2+1,

3

tanN%C=g,7=32-3+1,

/.tanZBAnC=-------

一〃+1

故答案為：卷,

n2-/?+1.

【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、勾股定理的應用以及正切的概念，掌握正方形的性質(zhì)、

熟記銳角三角函數(shù)的概念是解題的關鍵.

三、解答題

23.（2020?上海大學附屬學校）如圖，某校教學樓后方有一斜坡，已知斜坡切的長為12

米，坡角。為60°.根據(jù)有關部門的規(guī)定，/aW39°時，才能避免滑坡危險.學校為了消

除安全隱患，決定對斜坡切進行改造，在保持坡腳壞動的情況下，學校至少要把坡頂晌后

水平移動多少米才能保證教學樓的安全？（結果取整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：s力?39°g0.63,cos39°

?0.78,為〃39°^0.81,X/2^1.41,VJ-1.73,6-2.24）

【答案】7

【分析】假設點〃移到〃'的位置時，恰好/。=39°,過點加46T點瓦作〃E'1ACT

點爐，根據(jù)銳角二角函數(shù)的定義求出龐、CE、CE1的長，進而可得出結論.

【詳解】假設點〃移到〃'的位置時，恰好/。=39。,過〃點作比工4行打點，作〃'EVAC^e

:.D扭CD?si/0"=65上Wcos60°=6

'：DELAC,ffE：LAC,DD'HCE

...四邊形頗‘D'是矩形

：.DE=D'E=6&,DD'=EE'

'：AD'CE=39°

?”小評

:.EE'=CE-存13-6=7（米）?

即加=7

答：學校至少要把坡頂鬧后水平移動7米才能保證教學樓的安全.

【點睛】本題考查了解直角三角的應用，銳角三角函數(shù)是解題的關鍵.

24.（2011?上海閔行區(qū)?中考模擬）為緩解交通壓力，市郊某地正在修建地鐵站，擬同步

修建地下停車庫.如圖是停車庫坡道入口的設計圖，其中MN是水平線，MN〃AD,AD1DE,CF

±AB,垂足分別為D,F,坡道AB的坡度=1：3,AD=9米，點C在DE上，CD=O.5米，CD是限高

標志牌的高度（標志牌上寫有：限高米）.如果進入該車庫車輛的高度不能超過線段

CF的長，則該停車庫限高多少米？（結果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：72^1.41,6心1.73,

M^3.16）

限高_米

【答案】2.3.

【分析】據(jù)題意得出tanB=g,即可得出tanA,在Rtz^ADE中，根據(jù)勾股定理可求得DE,即

可得出/FCE的正切值，再在RtZXCEF中，設EF=x，即可求出x,從而得出CF=3x的長.

【詳解】解：

.W

據(jù)題意得tanB=],

YMN/ZAD,

.".ZA=ZB,

**?tanA—,

3

VDE1AD,

???在RtZ\ADE中，tanA=—,

AD

VAD=9,

???DE=3,

又〈DC=0.5,

JCE=2.5,

VCF±AB,

AZFCE+ZCEF=90°,

VDE±AD,

???NA+NCEF=90°,

AZA=ZFCE,

.\tanZFCE=—

3

在RtACEF中，CE2=EE2+CE2

設EF=x,CF=3x(x>0),CE=2.5,

代入得（趣）2=x2+（3x）2

解得（如果前面沒有“設x>0”，則此處應“x=土磐，舍負”），

44

.?.CF=3x=^^=2.3,

4

該停車庫限高2.3米.

【點睛】點評：本題考查了解直角三角形的應用，坡面坡角問題和勾股定理，解題的關鍵是

坡度等于坡角的正切值.

25.（2018?上海九年級月考）如圖，某船以每小時36海里的速度向正東方向航行，在點A測得

某島C在北偏東60°方向上，航行半小時后到達點B測得該島在北偏東30°方向上，已知該島周圍

16海里內(nèi)有暗礁.

（1）說明點B是否在暗礁區(qū)域內(nèi)：

（2）若繼續(xù)向東航行有無觸礁的危險？請說明理由.

【答案】（1）B點不在暗礁區(qū)域內(nèi)；（2）繼續(xù)向東航行船有觸礁的危險，理由見解析.

【解析】（1）B是否在暗礁區(qū)域內(nèi)就要看CB的距離，若CB>16,則點B不在暗礁區(qū)域內(nèi)；若CB

<16,則點B在暗礁區(qū)域內(nèi).（2）往東航行是否有觸礁危險，就要看點C到AB的距離CH與16的

大小關系.若CH>16,則無觸礁的危險；若CBV16,則有觸礁的危險

26.（2020?上海市靜安區(qū)實驗中學九年級課時練習）如圖，斜坡AC的坡度為1：>/3,AC=8

米，坡頂有一旗桿BC,旗桿頂端B點與A點有一條彩帶AB相連，AB=8石米，試求旗桿BC的高度.

【答案】旗桿BC的高度為8米

【分析】如果延長BC交A0于E點，則要求BC的高度，就要知道BE和CE的高度,

就要先求出AE的長度.直角三角形ACE中有坡比，由AC的長，那么就可求出AE的長，然

后求出8E、CE的高度，BC=BE-CE,即可得出結果.

【詳解】解：延長8C交A。于E點，則CEJ_4).

在RtAAEC中，AC=8,由坡度為1:有可知：ZC4E=30°,

I

8?4

\C￡=AC浮in30?2-

AE=ACg:os30?8?當4后.

在RtAABE中，BE=-JAB2-AE2=J(8⑸一(4揚。=12.

?;BE=BC+CE,

\BC=BE-CE=12-4=8(米).

答：旗桿的高度為8米.

【點睛】本題考查了三角函數(shù)和解直角三角形，熟悉相關性質(zhì)是解題的關鍵.

27.(2020?上海市靜安區(qū)實驗中學九年級課時練習)如圖，AB和CD是同一地面上的兩座相

距36米的樓房，在樓AB的樓頂A點測得樓CD的樓頂C的仰角為45°,樓底D的俯角為30°,求樓

B一

=

=

E

B

=

B

△W

□:一

□EE

D三

O

B度

O懸

I

B

【答案】樓CD的高是(36+125/3)米

【分析】在題中兩個直角二角形中，知道已知角和其鄰邊，只需根據(jù)正切值求出對邊后相加

即可.

【詳解】延長過點A的水平線交CD丁點E

c

D

則有AELCD,四邊形ABDE是矩形，AE=BD=36

,/ZCAE=45°.?.△AEC是等腰直角三角形；.CE=AE=36

ED

在RtZ\AED中，tanZEAD=----

AE

.,.ED=36Xtan300=126

.\CD=CE+ED=36+1273

答:樓CD的高是（36+12白）米.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，借助俯角構造直角三角形，并結合

圖形利用三角函數(shù)解直角三角形是解題的關鍵.

28.（2019?上海全國?九年級單元測試）如圖，在某一路段，規(guī)定汽車限速行駛，交通警

察在此限速路段的道路上設置了監(jiān)測區(qū)，其中點C、〃為監(jiān)測點，已知點GD、8在同一直線上,

且4cLa；必=400米，tan/4）C=2,4ABe=35°

（1）求道路AS段的長（結果精確到1米）

（2）如果道路/硼限速為60千米/時，一輛汽車通過力般的時間為90秒，請你判斷該車是否

是超速，并說明理由；參考數(shù)據(jù)：sin350弋0.5736,cos35°-0.8192,tan35°^0.7002

【答案】（1）1395米；（2）超速，理由見解析；

【分析】（1）根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案.

（2）求出汽車的實際車速即可判斷.

【詳解】解：（1）在Rt/ua沖，

AC=CZ>tanZADC=400X2=800,

在Rt△力比中，

AB=.'=”1395(米)；

sinZABC0.5736

1395

(2)車速為：-^-^15.5/n/s=55.8kni/h<&0k/n/h9

...該汽車沒有超速.

【點睛】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是熟練運用銳角二角函數(shù)的定義，本題

屬于中等題型.

29.(2019?上海楊浦區(qū)?九年級月考)如圖，在RtA48c中，NC=90。，點。是BC邊的中

3

點，C￡>=2,tanB=-.

(1)求4。和AB的長；

(2)求sin/R4。的值.

【答案】(1)AD-V13,AB=5；(2)sinNBAD二小叵.

65

3

【分析】(1)由中點定義求BC=4,根據(jù)tanB=:得：AC=3,由勾股定理得：AB=5,AD=g；

4

(2)作高線DE,證明△DEBS/XACB,求DE的長，再利用三角函數(shù)定義求結果.

【詳解】⑴??力是BC的中點，CD=2,

ABD=DC=2,BC=4,

nAC3

在Rt4ACB中，由tanB--

CB4

?4C_3

--4__4

JAC=3,

由勾股定理得：AD=>/AC2+CD2=V32+22=713，

AB=y/AC2+BCZ=V32+42=5;

（2）過點D作DE_LAB于E,

ZC=ZDEB=90°,

又NB=NB,

AADEB^AACB,

.DE_DB

''~AC~~AR'

?DE_2

",~35，

DE=y,

DE66713

.'.sinZBAD=AD~~5~~65.

乖

【點睛】此題考查解直角三角形，熟練掌握直角三角形的邊角關系是解題的關鍵.

30.（2020?上海市西南模范中學九年級月考）如圖，在一筆直的海岸線1上有A,B兩個觀測

站，A在B的正東方向，AB=2（單位：km）.有一艘小船在點P處，從A測得小船在北偏西60°

的方向，從B測得小船在北偏東45°的方向.

（1）求點P到海岸線1的距離；

（2）小船從點P處沿射線AP的方向航行一段時間后，到達點C處.此時，從B測得小船在北偏

西15°的方向.求點C與點B之間的距離.

（上述2小題的結果都保留根號）

【答案】（1）（石-l）km;（2）夜km

【分析】（1）過點P作PD_LAB于點D,構造直角二角形BDP和PDA,PD即為點P到海岸線1的距離,

應用銳角三角函數(shù)即可求解.

（2）過點B作BFLCA于點F,構造直角三角形ABF和BFC,應用銳角二角函數(shù)即可求解.

【詳解】解：（1）如圖，過點P作PDLAB于點D,

A

B

設PD=x,

由題意可知,PBD=45°,ZPAD=30°,

...在RtaBDP中，BD=PD=x

在RtAPDA中，AD=6PD-&

?；AB=2，...取.十岳m(xù)智

解得x=]+，=6-l（km）

???點P到海岸線1的距離為（0-Dkm

（2）如圖,過點B作BFLCA于點F,

在Rt^ABF中，：瑕效=輜,晶醺產(chǎn)，=窗:&，=11,

在Rtz\ABC中，NC=180°-ZBAC-ZABC=45°,

...在RtZ\BFC中，蝎震=檢界=赤闌1=唐伽堿

/.點C與點B之間的距離為島斕

31.（2019?上海浦東新?）向陽中學校園內(nèi)有一條林萌道叫“勤學路”，道路兩邊有如圖所示

的路燈（在鉛垂面內(nèi)的示意圖），燈柱BC的高為10米，燈柱BC與燈桿AB的夾角為120。.路燈采用

錐形燈罩，在地面上的照射區(qū)域DE的長為13.3米，從D、E兩處測得路燈A的仰角分別為a和45°,

且tana=6.求燈桿AB的長度.

【分析】過點掰乍/nL6K交位于點E過點8作BG上4居交川吁點G,則％除10.設/片瘋

Apv

E-D六---------二二，由膜13.3求得產(chǎn)11.4,據(jù)止匕知力信71尸-G41.4,再求得N47俏

tanZADF6

/ABC-/CBR3y可得/斤2/R2.8.

【詳解】過點力作仍L陽交CE于點、F,過點例乍旌LIE交AF于點、G,則陷陷10.

由題意得：NAD斤。，N氏45°.

設力片X.

VZ^45°,:?E六A六x.

AF

在RtAJ"中，VtanZJZ^—,DP=^----------------

DFtanZADF6

x

??,好13.3,Ax+=13.3,AA=11.4,C.AG-AF-GF-WA-10=1.4.

76

除120°,：.ZABG=ZABC-ZCBG=\20°-90°=30°,：.A&=2AG=2.8.

答：燈桿伽J長度為2.8米.

【點睛】本題主要考查解直角三角形-仰角俯角問題，解題的關鍵是結合題意構建直角三角

形并熟練掌握三角函數(shù)的定義及其應用能力.

32.（2020?上海松江區(qū)?九年級月考）如圖，港口B位于港口A的南偏東37°方向，燈塔C恰

好在AB的中點處.一艘海輪位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D處，它沿正北方向航

行5km到達E處，測得燈塔C在北偏東45°方向上，這時，E處距離港口A有多遠？（參考數(shù)據(jù)：

【答案】35km

【分析】過點C作CHJ_AD于H..構造直角三角形的模型，然后解直角三角形和平行線分線段成

比例的定理列方程求解即可.

【詳解】解：如圖，過點C作CHLADTH..設CH=xfon.

在HA4C”中，ZA=37\

.37。="

AH

CHx

AH=

tan37°~tan37°

在必AC￡7/中，ZCEH=45°,

345。="

EH

：.EH=-^--=x.

tan45

?:CH±AD,BDA.ADf

：.ZAHC=ZADB=9^.

：.HC//DB.

.AHAC

??而一演，

又C為AB的中點,

AC=CB.

:.AH=HD.

x

丁=x+5.

tan37

.5xtan375x0.75

??x~~=15.

1-tan371-0.75

AE=AH+HE=15?+15?35（km）.

tan37

因此，E處距離港口A大約為35km.

點睛：本題考查了解直角三角形的應用一方向角問題，結合航海中的實際問題，將解直角三

角形的相關知識有機結合，體現(xiàn)了數(shù)學應用于實際生活的思想.

33.（2021?上海九年級專題練習）如圖，在AABC中，AB=AC=IO,BC=16,點、D為BC邊

上的一個動點（點。不與點8、點C重合）.以。為頂點作乙M>E=N8,射線OE交AC邊于

點E,過點A作AF_LAD交射線DE■于點F.

(1)求證：AB?CE=BD?CD；

(2)當。尸平分/ADC時，求AE的長；

(3)當AA￡F是等腰三角形時，求BO的長.

【答案】(1)證明見解析；⑵125(3)8。的長為11或3多9或25

3242

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ZB=NC,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到

NBAD=NCDE,得到AB4)sZkCDE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明結論：

Ap?n

(2)證明。/〃AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到黑=黑，證明ABD4SA&4C,根據(jù)相似三角

ACDC

形的性質(zhì)列式計算，得到答案；

(3)分點尸在DE的延長線上、點尸在線段OE匕兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計算即

可.

【詳解】(1)證明：??.AB=AC,

??.ZB=ZC,ZADC=ZBAD+ZB,ZADE=ZB,

:?NBAD=/CDE,又N8=NC,

:.\BAD^\CDE,

.ABBD

"'CD~~CEf

即孫CE=3D?CZ)；

(2)解：:。方平分N")C,

??.ZADE=/CDE,

,:NCDE=ZBAD,

:.ZADE=/BAD,

.?.DF//AB,

.AEBD

AC-BC?

,:ZBAD=ZADE=ZB,

：.ZBAD=ZC,又N5=NB,

:.\BDA^\BAC,

.BDBABD10

??——=——,即Mn——=—

BABC1()16

解得，加午25,

4

25

_4,

To--!?

125

解得，=

(3)解：作A