信息光學(xué)常用函數(shù)傅立葉變換相關(guān)卷積線性系統(tǒng)二維光場

Sinc函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)型：xsinc(x)01-111xa+x0-a+x0x0特點(diǎn):

最大值sinc(0)=1；limsinc(x)=0

x

曲線下面積S=1；0點(diǎn)位置x=

n(n=1,2,3…)等間隔；偶函數(shù)第一頁第二頁，共56頁。Sinc函數(shù)數(shù)學(xué)上,sinc函數(shù)和rect函數(shù)互為傅里葉變換物理上,單一矩形脈沖rect(t)的頻譜是sinc函數(shù);單縫的夫瑯和費(fèi)衍射花樣是sinc函數(shù)Sinc函數(shù)的重要性:二維sinc函數(shù):

sinc(x)sinc(y)第二頁第三頁，共56頁。三角形函數(shù)底寬:2最大值：tri(0)=1曲線下面積:S=1底寬:2|a|,面積:S=|a|又寫成：L(x)南京郵電大學(xué)光電工程學(xué)院趙新彥第三頁第四頁，共56頁。符號函數(shù)（Signum

）x01Sgn(x)-1用途：代表“”相移器、反相器第四頁第五頁，共56頁。階躍函數(shù)（StepFunction

）x01Step(x)用途：開關(guān)；無窮大半平面屏與符號函數(shù)關(guān)系:Sgn(x)=2Step(x)-1第五頁第六頁，共56頁。圓柱（域）函數(shù)（CircularFunction

）特點(diǎn)：circ函數(shù)是不可分離變量的二元函數(shù)用途：描述無窮大不透明屏上半徑為1的圓孔的透過率第六頁第七頁，共56頁。δ函數(shù)第七頁第八頁，共56頁。δ函數(shù)----性質(zhì)

篩選性質(zhì)

函數(shù)是偶函數(shù)

比例變換性質(zhì)第八頁第九頁，共56頁。梳狀函數(shù)（CombFunction）第九頁第十頁，共56頁。傅里葉（1768-1830

）9歲父母雙亡，被教堂收養(yǎng)。12歲由主教送入地方軍事學(xué)校讀書。17歲回鄉(xiāng)教數(shù)學(xué)。26歲到巴黎，成為高等師范學(xué)校的首批學(xué)員，次年到巴黎綜合工科學(xué)校執(zhí)教。30歲隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及時任軍中文書和埃及研究院秘書，33歲回國后任伊澤爾省地方長官。51歲當(dāng)選為科學(xué)院院士，54歲任該院終身秘書，后又任法蘭西學(xué)院終身秘書和理工科大學(xué)校務(wù)委員會主席。1822年－《熱的分析理論》中解決了熱在非均勻加熱的固體中分布傳播問題1807年－《熱的傳播》推導(dǎo)出熱傳導(dǎo)方程，提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家第十頁第十一頁，共56頁。在你的理解中，一段音樂是什么呢？頻域第十一頁第十二頁，共56頁。時域：頻域：你眼中看似落葉紛飛變化無常的世界，實(shí)際只是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂章。第十二頁第十三頁，共56頁。傅里葉級數(shù)第十三頁第十四頁，共56頁。第十四頁第十五頁，共56頁。第十五頁第十六頁，共56頁。第十六頁第十七頁，共56頁。第十七頁第十八頁，共56頁。傅里葉級數(shù)周期為的函數(shù)可以展開為三角級數(shù)由正弦和余弦函數(shù)線性組合成的無窮級數(shù)理論意義：把復(fù)雜的周期函數(shù)用簡單的三角級數(shù)表示；用三角函數(shù)之和近似表示復(fù)雜的周期函數(shù)。第十八頁第十九頁，共56頁。指數(shù)傅里葉級數(shù)第十九頁第二十頁，共56頁。1.傅里葉變換正變換逆變換傅里葉變換把非周期函數(shù)分解為復(fù)指數(shù)函數(shù)在整個連續(xù)頻率區(qū)間上的積分和第二十頁第二十一頁，共56頁。極坐標(biāo)下的傅里葉變換

——正變換

——逆變換傅里葉-貝塞耳變換第二十一頁第二十二頁，共56頁。傅里葉變換第二十二頁第二十三頁，共56頁。廣義傅里葉變換周期函數(shù)：1.只有有限個極值點(diǎn)和間斷點(diǎn)，

2.絕對可積非周期函數(shù)：延拓為周期函數(shù)，光學(xué)中不少有用的函數(shù)，如：脈沖函數(shù)、階躍函數(shù)等，不能滿足以上條件，因此必須把以上傅里葉變換定義推廣，才能求出其傅氏變換式第二十三頁第二十四頁，共56頁。函數(shù)不存在狹義傅里葉變換，但有：廣義傅里葉變換極限意義下的傅里葉變換和δ函數(shù)的傅里葉變換（1）極限意義下的傅里葉變換且：則：第二十四頁第二十五頁，共56頁。（2）δ函數(shù)的傅里葉變換廣義傅里葉變換根據(jù)δ函數(shù)的定義式，可直接求出它的傅里葉變換第二十五頁第二十六頁，共56頁。廣義傅里葉變換（2）廣義傅里葉變換舉例階躍函數(shù)：第二十六頁第二十七頁，共56頁。廣義傅里葉變換（2）廣義傅里葉變換舉例梳狀函數(shù)：特例：第二十七頁第二十八頁，共56頁。原函數(shù)頻譜函數(shù)縫函數(shù)

二維矩形函數(shù)

高斯函數(shù)

函數(shù)

(x)

1常數(shù)

1圓函數(shù)

傅里葉變換對第二十八頁第二十九頁，共56頁。傅里葉變換的意義數(shù)學(xué)意義:從一個函數(shù)空間(集合)到另一個函數(shù)空間(集合)的映射；f(x)稱為變換的原函數(shù)(相當(dāng)于自變量)，F(xiàn)(ω)稱為象函數(shù)。應(yīng)用意義:把任意函數(shù)分解為簡單周期函數(shù)之和，F(xiàn)(ω)的自變量為頻率，函數(shù)值為對應(yīng)的振幅。物理意義：把一般運(yùn)動分解為簡諧運(yùn)動的疊加；把一般電磁波(光)分解為單色電磁波(光)的疊加。第二十九頁第三十頁，共56頁。傅里葉變換是一種解決問題的方法，一種工具，一種看待問題的角度：一個連續(xù)的信號可以看作是一個個小信號的疊加，從時域疊加與從頻域疊加都可以組成原來的信號，將信號這么分解后有助于處理。傅里葉變換的意義時閾信號：將信號從時間角度的分割和疊加。傅里葉變換：將信號從頻率的角度疊加。第三十頁第三十一頁，共56頁。傅里葉變換的意義

傅立葉變換就是把一個信號，分解成無數(shù)的正弦波（或者余弦波）信號。也就是說，用無數(shù)的正弦波，可以合成任何所需要的信號。

傅里葉變換簡單理解就是把看似雜亂無章的信號考慮成由一定振幅、相位、頻率的基本正弦（余弦）信號組合而成。傅里葉變換的目的就是找出這些基本正弦（余弦）信號中振幅較大（能量較高）信號對應(yīng)的頻率，從而找出雜亂無章的信號中的主要振動頻率特點(diǎn)。例如：減速機(jī)故障時，通過傅里葉變換做頻譜分析，根據(jù)各級齒輪轉(zhuǎn)速、齒數(shù)與雜音頻譜中振幅大的對比，可以快速判斷哪級齒輪損傷。第三十一頁第三十二頁，共56頁。在光學(xué)信息處理中，光學(xué)系統(tǒng)所傳遞和處理的信息是隨空間變化的函數(shù)。一幅圖像是一種光的強(qiáng)度和顏色按空間的分布，這種分布的特征可用空間頻率表明。把圖像看作是由各種方向、各種間距的線條組成。傅里葉變換與光學(xué)第三十二頁第三十三頁，共56頁。例：振幅型透射光柵的傅里葉級數(shù)展開光柵常數(shù)：透射率：--空間周期為d的函數(shù)--空間位置x有確定的函數(shù)關(guān)系傅里葉變換與光學(xué){0其他第三十三頁第三十四頁，共56頁。展開為傅里葉級數(shù)空間頻率：單位長度內(nèi)變化的次數(shù)。傅里葉變換與光學(xué)表示一個周期為d

的黑白光柵可看成由頻率及許多正弦光柵（強(qiáng)度按正弦分布）組成。令第三十四頁第三十五頁，共56頁。第三十五頁第三十六頁，共56頁。以一束單色平行光照射光柵，在其后的透鏡焦平面上得到的光強(qiáng)分布與該光柵本身的透射函數(shù)的傅里葉功率譜相同。在焦面上的亮點(diǎn)代表直流成分，每一對亮點(diǎn)代表光柵的一個空間頻率。傅里葉變換與光學(xué)第三十六頁第三十七頁，共56頁。卷積rect(x)*rect(x)-101

g(x)

x11.畫出二個rect(t)2.將rect(t)折疊后不變;3.將一個rect(-t)移位至給定的x,

rect[-(t-x)]=rect(t-x);4.二者相乘;乘積曲線下面積的值即為g(x).rect(t)1t-1/201/2rect(t)1t-1/201/2

x-1/2x

x+1/2rect(t)1t-1/201/2翻轉(zhuǎn)、平移、相乘、積分第三十七頁第三十八頁，共56頁。

平滑：被積函數(shù)經(jīng)過卷積運(yùn)算，其微細(xì)結(jié)構(gòu)在一定程度上被消除，函數(shù)本身的起伏變得平緩圓滑。卷積效應(yīng)展寬：一般來說，卷積的寬度等于被卷積函數(shù)的寬度之和。第三十八頁第三十九頁，共56頁。1.交換律2.分配律3.結(jié)合律卷積運(yùn)算定律第三十九頁第四十頁，共56頁。即任意函數(shù)與δ函數(shù)卷積后不變由

1.δ

-函數(shù)是偶函數(shù),2.δ

-函數(shù)的篩選性質(zhì),有:任意函數(shù)與脈沖函數(shù)卷積的結(jié)果,是將該函數(shù)平移到脈沖所在的位置f(x)與脈沖陣列的卷積可在每個脈沖位置產(chǎn)生f(x)的函數(shù)波形,用于描述各種重復(fù)性的結(jié)構(gòu).包含δ函數(shù)的卷積----函數(shù)的移位第四十頁第四十一頁，共56頁。包含δ函數(shù)的卷積*=ldxyt(x,y)[d(x+d/2)

+d(x-d/2)]=*x0dlxyy第四十一頁第四十二頁，共56頁。相關(guān)運(yùn)算（correlation）1.互相關(guān)crosscorrelation與卷積的關(guān)系：1.當(dāng)且僅當(dāng)f*(-x)=f(x)，相關(guān)才和卷積相同。一般情況下,相關(guān)運(yùn)算與卷積運(yùn)算的區(qū)別:

f(x)要取復(fù)共軛；運(yùn)算時f(x)不需折疊2.互相關(guān)不滿足交換律第四十二頁第四十三頁，共56頁。相關(guān)運(yùn)算（correlation）2.自相關(guān)auto-correlation互相關(guān)在兩函數(shù)有相似性時出現(xiàn)峰值，自相關(guān)則在位移到重疊時出現(xiàn)極大值第四十三頁第四十四頁，共56頁。自相關(guān)與互相關(guān)的比較互相關(guān)自相關(guān)第四十四頁第四十五頁，共56頁。線性系統(tǒng)分析－線性平移不變系統(tǒng)LinearShift-InvariantSystem輸入和輸出的變換關(guān)系不隨空間位置而變化H僅依賴于觀察點(diǎn)與脈沖輸入點(diǎn)坐標(biāo)在x和y方向的相對間距和，與坐標(biāo)本身的絕對數(shù)值無關(guān)。第四十五頁1/7/2024第四十六頁，共56頁。則此線性系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng).系統(tǒng)的性質(zhì)不隨所考察的時間而變,是穩(wěn)定的系統(tǒng)。時間軸平移了,響應(yīng)也隨之平移同樣的時間,即具有平移不變性.tt0d(t-t)t0d(t)例：時不變(一維)系統(tǒng):RC電路th(t)0th(t-t)t0實(shí)際物理系統(tǒng)大多可近似為平移不變系統(tǒng).線性系統(tǒng)分析－線性平移不變系統(tǒng)第四十六頁1/7/2024第四十七頁，共56頁。線性系統(tǒng)分析－線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)通過輸入函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)的卷積求得輸出函數(shù)空域：傅里葉變換求輸入函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)兩者各自頻譜密度的乘積，再對該乘積取逆傅里葉變換求得輸出函數(shù)。頻域：空域頻域第四十七頁1/7/2024第四十八頁，共56頁。線性系統(tǒng)分析－線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)線性平移不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)輸出函數(shù)中所有基元成分的線性疊加即合成輸出函數(shù)。表征系統(tǒng)對輸入函數(shù)中不同頻率的基元成分的傳遞能力；其模改變輸入函數(shù)各種頻率基元成分的模；其輻角改變基元成分的初位相；第四十八頁1/7/2024第四十九頁，共56頁。線性系統(tǒng)分析－線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)對于線性不變系統(tǒng)，輸入某一函數(shù)，如果相應(yīng)的輸出函數(shù)僅等于輸入函數(shù)與一個復(fù)常數(shù)的乘積，此輸入函數(shù)就是此系統(tǒng)的本征函數(shù)。例輸入函數(shù)：則輸出函數(shù)：本征函數(shù)通過系統(tǒng)時不改變函數(shù)形式，僅被衰減或放大，或產(chǎn)生相移。第四十九頁1/7/2024第五十頁，共56頁。二維光場分析－單色光波場的復(fù)振幅表示單色光波場中某點(diǎn)P在t時刻的光振動：振幅初相位時間頻率Define：復(fù)振幅光強(qiáng)：光振動的空間分布完全由復(fù)振幅隨空間位置的變化確定空間位置時間第五十頁1/7/2024第五十一頁，共56頁。二維光場分析－球面波的復(fù)振幅P(x,y,z)點(diǎn)離開光源的距離r＝1處的振幅波